一种针对错误隐藏的牛顿插值算法
牛顿插值法原理及应用
牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。
为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。
插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。
若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。
定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
基于Newton-Thiele有理插值的误码隐藏
基于Newton-Thiele有理插值的误码隐藏
周巍;史浩山;周欣
【期刊名称】《计算机仿真》
【年(卷),期】2007(024)002
【摘要】低速率的视频传输必然要求对视频信号进行高效压缩,而高效压缩后的视频码流对传输中产生的误码非常敏感.一旦传输中出现了误码,不仅影响该误码数据的恢复,还会影响与之相关的其他数据的恢复,造成误码扩散,误码隐藏是解决这个问题的一种有效方法.在对最新视频压缩标准H.264研究的基础上,针对H.264中相邻运动矢量具有高度相关性的特性,提出了一种基于Newton-Thiele型有理插值的误码隐藏算法,仿真结果显示,提出的误码隐藏算法可以有效地改善解码图像的视觉质量,并且能够满足实时视频传输的要求.
【总页数】4页(P93-95,144)
【作者】周巍;史浩山;周欣
【作者单位】西北工业大学电子信息学院,陕西,西安,710072;西北工业大学电子信息学院,陕西,西安,710072;西北工业大学计算机学院,陕西,西安,710072
【正文语种】中文
【中图分类】TP919.81
【相关文献】
1.基于数据隐藏的H.264视频传输抗误码方法研究 [J], 陈海波;董育宁
2.基于可伸缩视频编码的自适应误码隐藏方案 [J], 杨仝;唐昆;赵锴
3.一种基于Newton-Thiele型有理插值曲面的图像缩放方法 [J], 胡敏;檀结庆
4.一种三元Newton-Thiele型有理插值方法 [J], 崔蓉蓉;顾传青
5.关于Newton-Thiele型二元有理插值的存在性问题 [J], 赵春霞;顾传青
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数值分析2-3(牛顿插值法)
二阶差商
f [ xi , x j , xk ]
一般的k阶差商定义为
f [ x0 , x1 ,..., x k ] f [ x0 ,..., x k 2 , x k ] f [ x0 , x1 ,..., x k 1 ] x k x k 1
特别地，f(x)关于一个点xi的零阶 差商定义为函数值本身，即
§3
差 商 与 牛 顿 插 值
一、差商及其性质 二、差商的计算
三、牛顿插值公式 四、牛顿插值法举例
一、差商及其性质
1. 差商的定义 函数关于 xi, xj 一阶差商
f [ xi , x j ] fห้องสมุดไป่ตู้( x j ) f ( xi ) x j xi
f [ x j , xk ] f [ xi , x j ] xk xi
∶ ∶ ∶
f[x0,x1,x2] f[x1,x2,x3]
∶ ∶ ∶
f[x0,x1,x2,x3]
∶ ∶ ∶
例 已知函数y= f (x)的观测数据如下， 试构造差商表，并求 f [2,4,5,6]的值
x 0 2 f(x) 1 5
4 5 6 9 -4 13
解 构造差商表如下
xi f(xi) 一阶 二阶 三阶 0 1 2 5 2 4 9 2 0 5 -4 -13 -5 -1 6 13 17 15 5 四阶
4 3 2
用二次插值求f (3)时，取
x0=2, x1=4, x2=5, 得 f ( 3) f ( 2) f [2,4]( 3 2)
f [2,4,5]( 3 2)( 3 4) 7 5( 3 2)( 3 4) 12 思考：若本题只给出前三个点，结果 如何？请你总结牛顿插值法何时停止？
牛顿插值法介绍
牛顿插值法介绍本文将介绍牛顿插值法的基本原理、计算过程、优缺点以及在实际问题中的应用。
首先，我们将简要介绍插值法的基本概念和牛顿插值法的由来，然后详细讨论牛顿插值法的计算步骤和算法，接着分析其优缺点以及适用范围，最后通过几个实际问题的例子展示牛顿插值法的应用场景。
一、插值法基本概念在数学和计算机领域，插值是指根据已知的离散数据点构造满足这些数据点的曲线或函数的过程。
假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们想要通过这些数据点构建一个函数f(x)，使得f(xi) = yi，其中i = 1, 2, ..., n。
这样的函数就是经过插值的函数，它代表了这些数据点的趋势和变化规律。
插值法通常用于寻找这样的函数，它能够通过已知的数据点来估计函数在其他位置的值。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
在这些方法中，牛顿插值法是最为广泛使用的一种，因为它的计算效率高、精度较高，并且易于编程实现。
二、牛顿插值法的由来牛顿插值法由艾萨克·牛顿在17世纪提出，他是一位英国著名的数学家、物理学家和天文学家，在微积分、物理学和光学等领域都做出了重大贡献。
牛顿发展了牛顿插值法的理论基础和计算方法，并将其应用于数据分析和天体运动等问题中。
牛顿插值法基于牛顿插值多项式的概念，该多项式利用差商（divided differences）来表示，并具有易于计算和分析的优势。
牛顿插值多项式能够在已知的数据点上进行插值，并且还可以通过添加新的数据点来动态地更新插值结果。
因此，牛顿插值法成为了一种非常有用的数值计算工具，被广泛应用于工程、科学和金融等领域。
三、牛顿插值法的计算步骤1. 确定数据点首先，我们需要确定一组离散的数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，这些数据点是我们已知的数据，我们要通过它们来构建插值函数。
牛顿法代数插值ndash差商表的求法
牛顿法代数插值ndash 差商表的求法原文地址：牛顿法代数插值–差商表的求法作者：大关牛顿法代数插值–差商表的求法下面的求插商的方法并不是好的求插商的方式，因为他的效率并不是很高，不论是从空间效率还是时间效率，但是下面主要探讨的是一种将塔形的数据转换成一位数组的方式。
实际上求插商仅通过一个n个元素的一位数组就能解决，但本文强调的是一种思路，希望对大家有所借鉴。
牛顿插商公式：f[xi,xj]=(f(xj)– f(xi))/(xj– xi)f[xi,xj,xk]=(f[xj,xk]– f[xi,xj])/(xk– xi)….f[x0,x1,x2…,xn]=(f[x1,x2,…,xn]– f[x0,x1,…,xn-1])/(xn– x0)转换成均插表(或称差商表)形式如下：定义1：f[xi,xi+1,…xj]简记为f(i,j)其中i=0&&i=n&&j=0&&j=n&&i j；记f(xi)为f[xi,xi]即f(i,i)根据定义1可以推出：f[x0,x1]=f(0,1),f[x0,x1…xn]=f(0,n)….根据定义1：可以将插商表转换为如下形式。
根据上图，可以给出实际一维数组存储时的序列关系，如下图所示：此时f(0,0)位置是数组下标0，f(1,1)是数组下标为1….这样，我们从中找出相应的规律。
推论1：已知f(i,j)，n为变量的数目，令k=j– i。
当k不等于0时，f(i,j)在数组中的下标通过计算得：Index=k*n–((k-1)*k)/2+i当k等于0时Index=i。
推论1很容易证明(实际就是一个等差数列求和问题)这里证明略。
推论2：n为变量的数目，则一维数组的长度可以计算得((1+n)*n)/2推论2可以通过等差数列求和得以证明。
证明略。
推论3：各阶插商就是f(0,k)k=1,2….n.推论3：根据插商的定义和定义1可以直接推出。
牛顿插值法的原理和推导过程
牛顿插值法的原理和推导过程一、引言在科学计算和数值分析中，插值法是一种重要的数学工具，它可以通过已知的离散数据点来估计未知点的值。
在众多插值法中，牛顿插值法以其形式简洁、计算方便而广受欢迎。
本文将对牛顿插值法的原理和推导过程进行详细阐述。
二、牛顿插值法的基本原理牛顿插值法是一种多项式插值方法，它的基本思想是通过构造一个n次多项式Pn(x)，使得该多项式在给定的n+1个插值节点上与被插值函数f(x)具有相同的函数值。
这样，在插值节点之间，我们可以用Pn(x)来近似代替f(x)。
三、牛顿插值法的推导过程差商与差分为了构造插值多项式，首先需要引入差商的概念。
设f[xi,xj]表示函数f(x)在点xi 和xj上的一阶差商，其计算公式为：f[xi,xj] = (f(xj) - f(xi)) / (xj - xi)类似地，可以定义二阶、三阶乃至n阶差商。
n阶差商f[x0,x1,...,xn]表示函数f(x)在点x0,x1,...,xn上的差商，可以通过低一阶的差商递归计算得到。
差分是差商的另一种表现形式，它与差商之间有一一对应的关系。
在实际计算中，差分往往比差商更方便。
牛顿插值多项式的构造有了差商的概念，我们就可以构造牛顿插值多项式了。
设n次牛顿插值多项式为：Pn(x) = f(x0) + fx0,x1 + fx0,x1,x2(x-x1) + ... + fx0,x1,...,xn(x-x1)...(x-xn-1)其中，f[x0,x1,...,xk]表示k阶差商。
可以看出，Pn(x)是一个形式简洁的多项式，其各项系数即为各阶差商。
为了证明Pn(x)满足插值条件，即Pn(xi) = f(xi) (i=0,1,...,n)，我们可以将xi代入Pn(x)中，逐项验证。
由于差商的性质，当x取xi时，高于i阶的差商项都将为0，因此Pn(xi) = f(xi)。
牛顿插值法的计算步骤（1）根据给定的插值节点，计算各阶差商；（2）根据牛顿插值多项式的公式，构造插值多项式Pn(x)；（3）将需要插值的点代入Pn(x)，得到插值结果。
数值分析4.2 牛顿插值法
Rn ( x ) f [ x, x0 ,, xn ]( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
Rn(x)称为牛顿型插值余项。
可见, Nn(x)为次数不超过n 的多项式,且易知
Rn(xi)= 0 即 Nn(xi)= yi , (i=0,1, …,n)
满足插值条件, 故其为插值问题的解, Nn(x)称为牛顿 插值多项式。
f ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x , x0 , x1 ]( x x0 )( x x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x , x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )( x x2 )
差分有如下基本性质
性质1 各阶差分均可用函数值表示. 即
f i f n i c f n i 1 (1) c f i (1) c f n i j
n 1 n n n n n n j
n
f i f i c f i 1 (1) c f i n (1) c f i j
Rn ( x ) f [ x , x0 , , xn ]( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) f [ x , x0 , , xn ] n1 ( x )
k 1 n
f ( x ) N n ( x ) Rn ( x )
N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , , xn ]( x x0 ) ( x xn1 )
牛顿插值法原理及应用
牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。
为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...x n](x-x0 )...(x-x n-1)+R n(x)。
插值函数插值函数的概念及相关性质乩定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn (设a< x1 <x2 < xn w b)。
若在函数类中存在以简单函数P(x)，使得P(xi)=yi,则称P(x)为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn为插值节点，称[a,b]为插值区间。
定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序1,-Mt Cll. nilI frT-r-1■■』zJr1程序框图#include<stdio.h> void mai n(){float x[11],y[11][11],xx,temp, newto n;int i,j, n;printf("Newton 插值:\n请输入要运算的值:x=");sca nf("%f", &xx);printf(" 请输入插值的次数(n<11):n=");sca nf("%d",&n);printf("请输入％d组值:\n",n+1);for(i=0;i< n+1;i++){ prin tf("x%d=",i);sca nf("%f", &x[i]);prin tf("y%d=",i);sca nf("%f", &y[0][i]);XO=OMHUOW ①匚LHdlu9a巨A-」WL-qx-mxgD-mL'M-nKL'MHmuM①(LAW7 (++rL+uvrHD 」04 (+土=+u v ~ud 」04a -=x① s a)O O H(匚L o_(x )l l o)u ①-H u((A)£6U2H H(X )£6U①一)七】siuAs(oxsx)uoweN H 4 u o l o u a性胆 qewlAIw迴B犀<eo w① u-xx-=u\J6&Ha寸& )M灭<撫旨e ^=)匕 £」d宀CL l u ①&=二A +uo g ① u H u og ① u二 L.'vxxhdlu 晋 dlu2 〉(+土=+u v ~U_)」O 4disp('x 和y 的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); % 将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x) 在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(X)的近似值。
拉格朗日插值法 牛顿插值法
拉格朗日插值法牛顿插值法
摘要：
1.插值法的概念和作用
2.拉格朗日插值法原理和应用
3.牛顿插值法原理和应用
4.两种插值法的优缺点比较
正文：
一、插值法的概念和作用
插值法是一种数学方法，通过已知的数据点来预测未知数据点的一种技术。
在科学计算和工程应用中，常常需要根据有限个已知数据点，来估计某个函数在其他点上的值。
插值法正是为了解决这个问题而诞生的。
二、拉格朗日插值法原理和应用
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日基函数的插值方法。
它的基本原理是：在给定的区间[a, b] 上，选取一个基函数，然后通过求解一组线性方程，得到基函数在各数据点上的值，最后用这些值来近似函数在待求点上的值。
拉格朗日插值法广泛应用于数值分析、工程计算等领域。
三、牛顿插值法原理和应用
牛顿插值法，又称为牛顿前向差分法，是一种基于差分的插值方法。
它的基本原理是：通过对已知数据点的函数值进行差分，然后使用牛顿迭代公式来求解差分后的函数在待求点上的值。
牛顿插值法具有较高的精度，适用于各种函数，特别是对于单调函数和多项式函数，效果尤为显著。
四、两种插值法的优缺点比较
拉格朗日插值法和牛顿插值法各有优缺点。
拉格朗日插值法的优点是适用范围广，可以插值任意类型的函数，但计算过程较为复杂；牛顿插值法的优点是计算简便，精度高，但对于非线性函数或多峰函数，效果可能不佳。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。
一种基于混合域牛顿插值的视频错误隐藏方法
最 后 的错 误 隐 藏运 动 矢 量． 验 证 明 ． 实 由于 充 分 利 用 了时 域 和 频域 的信 息冗 余 ． ｌ 网络 丢 包 率 的 环 在 Ｏ 境 下 平 均 峰 值 信 噪 比 比 空域 拉 格 朗 日插 值 方 法商 ０ ３ ． ｄ ． ． ～Ｏ ８ Ｂ
关键 词 ：拉 格 朗 日 值 ； 顿 插 值 ； 插 牛 混合 域 插 值 ； 动 矢量 运 中 图 分类 号 ： Ｎ９ ９ ８ Ｔ １． ５ 文 献 标识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ １２ ０ （０ ６ ０ —６ ７０ １０ —４０ ２ ０ ） ５０ ８—４
Ａｎ ｅ ｒ ｒ ｃ ｎ ｅ ｌ ｅ ｌ ｏ ｉｈ ａ ｅ ｎ ｒ ｏ ｏ ｃ ａ ｍ ｎｔａ ｇ ｒ ｔ ｍ ｂ ｓ ｄ ｏ Ｎｅ ｏ ｎ ｅ ｐｏ ａ ｉ ｎ ｉ ｈ ｙ ｒｄ ｆｅ ｄ ｗｔ ｎ ｉ ｔ ｒ ｌ ｔｏ ｎ ｔ ｅ ｈ ｂ ｉ ｉ ｌ
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维普资讯
２０ ０ ６年 １ ０月
西 安 电 子 科 技 大学 学 报 （ 自然 科学 版 ）
数值分析中的插值误差控制技巧探讨方向
数值分析中的插值误差控制技巧探讨方向数值分析是应用数学的一个分支，它研究利用数值方法解决数学问题的理论和算法。
其中，插值是数值分析中常用的技术之一，它通过已知数据点来估计未知数据点的值。
然而，插值过程中会引入一定的误差，因此探讨插值误差控制技巧对于优化数值计算过程具有重要意义。
本文将就数值分析中插值误差的控制技巧进行探讨，并介绍一些常用的方法。
一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是插值中常用的一种方法。
它通过已知的n个数据点来构造一个n次多项式，进而估计未知数据点的值。
然而，拉格朗日插值法在一些情况下可能会产生较大的误差。
为了降低插值误差，可以考虑以下几种技巧：1.1 均匀插值节点选择拉格朗日插值法中，节点的选择对插值结果的精度有较大影响。
一种常见的节点选择方式是均匀插值节点，即在插值区间上等距取点。
然而，均匀插值节点在某些函数上可能会产生较大的插值误差。
因此，在实际应用中，可以考虑非均匀插值节点选择，如Chebyshev节点，以减小插值误差。
1.2 引入高次插值多项式拉格朗日插值法是通过构造n次多项式来插值估计。
然而，低次多项式在某些情况下可能无法满足精度要求。
为了降低误差，可以考虑使用高次插值多项式。
通过增加多项式的次数，可以提高插值结果的精度，但也需要注意过高次数可能会引入过拟合问题。
二、牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法。
与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法采用了差商的概念，可以简化计算过程。
然而，在插值过程中，牛顿插值法可能存在一些误差。
为了降低误差，可以考虑以下技巧：2.1 计算插值节点的差商时，采用高阶差商牛顿插值法中，通过计算差商来构建插值多项式。
一般而言，差商越高阶，插值精度越高。
因此，在计算差商时，可以考虑采用高阶差商来提高插值精度。
2.2 选择适当的插值节点与拉格朗日插值法类似，牛顿插值法中节点的选择也对插值结果有一定影响。
在实际应用中，可以根据函数的性质来选择合适的插值节点，以减小插值误差。
牛顿(Newton)插值法
Newton插值C 的求法
i
Nn(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0) (x – x1) + …..+ cn(x – x0) (x – x1) …. (x-xn)
令x = x0得：Nn(x0) = c0 = y0 = f(x0) x = x1得：Nn(x1) = c0 + c1(x1 –x0) = y1 = f(x1) 由此可解出：c0，c1；ci 依次类推。
x y x0 y0 x1 y1 …………. …………. xn-1 yn-1 xn yn xn+1 yn+1
Nn+1(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0)（x – x1） + …. + cn(x – x0) (x – x1) …(x –xn-1) + cn+1(x – x0) (x –x1) ….(x – xn-1) (x - xn)
求n次多项式Nn(x)使得：
Nn(xi) = f(xi) = yi， i = 0，1，… ，n Nn(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0) (x – x1) + …..+ cn(x – x0) (x – x1) …. (x-xn)
Newton插值的承袭性
增加一个点之后
p1xp0xc1xx0其中p0xfx0其修正项的系数01011xxxfxfc???再进一步修正p1x可以进一步得到抛物线插值公式p2xp1xc2xx0xx10201011212xxxxxfxfxxxfxf??????c2差商的概念差商的定义定义1
牛顿（Newton）插值法
一种基于混合域牛顿插值的视频错误隐藏方法
一种基于混合域牛顿插值的视频错误隐藏方法
张建龙;吴成柯;石迎波;宋锐
【期刊名称】《西安电子科技大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(023)005
【摘要】提出了一种基于混合域牛顿插值的错误掩盖方法,分别在时域和空域进行插值获得两个运动矢量,通过建立插值系数表构造混合的插值模型,获得双域插值的运动矢量,通过最优运动矢量判断得到最后的错误隐藏运动矢量.实验证明,由于充分利用了时域和频域的信息冗余,在10%网络丢包率的环境下平均峰值信噪比比空域拉格朗日插值方法高0.3～0.8 dB.
【总页数】5页(P687-690,708)
【作者】张建龙;吴成柯;石迎波;宋锐
【作者单位】西安电子科技大学,综合业务网理论与关键技术国家重点实验室,陕西,西安,710071;西安电子科技大学,综合业务网理论与关键技术国家重点实验室,陕西,西安,710071;西安电子科技大学,综合业务网理论与关键技术国家重点实验室,陕西,西安,710071;西安电子科技大学,综合业务网理论与关键技术国家重点实验室,陕西,西安,710071
【正文语种】中文
【中图分类】TN919.85
【相关文献】
1.一种基于双域拉格朗日插值的视频错误隐藏方法 [J], 张建龙;吴成柯;高新波
2.一种基于H.264的混合错误隐藏方法 [J], 郝晶;饶雪芳
3.一种新的基于凸集投影的空间域错误隐藏算法 [J], 宋峰;马宇峰;吕承民;孙俊
4.一种基于块匹配的立体视频错误隐藏方法 [J], 徐彬;蒋刚毅;郁梅
5.一种移动视频通信中的错误隐藏方法研究 [J], 朱飞跃;王颖
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牛顿插值法算法
牛顿插值法(算法)Newton Interpolation牛顿插值算法是根据n + 1个点x0, x1, ... x n(x0 < x1 < ... x n)与函数値f(x0), f(x1) , ... , f(x n)求出n次多項式p(x)。
再通过次多項式p(x)求出任意的点x所对应的f(x)的算法。
１．求n阶差分商f[x0, x1, ... x n]。
使用递归调用。
#define N 20typedef struct TagXYVALUE{double x;double y;} XYVALUE;XYVALUE val[N+1];//階差分商(Divided Differences)double f(int n0, int ni){if (n0 == ni)return val[n0].y;if (n0 + 1== ni)return (val[ni].y - val[n0].y) / (val[ni].x - val[n0].x);elsereturn (f(n0+1, ni) - f(n0, ni-1)) / (val[ni].x - val[n0].x);}２．牛顿插值算法的主程序，求p(x)的程序。
ndouble NewtonInterpolation(double x){double t = 1.0;double ft;double p = val[0].y; //P(0) = f[0]for(int i = 1; i <= N; i++){t = t * (x - val[i-1].x);ft = f(0, i) * t;p = p + ft;}return p;}３．测试。
用正弦波的20个采样点，还原出正弦波曲线。
计算速度很慢，需要改进程序。
void CNewtonInterpolationTestView::OnDraw(CDC* pDC){for (int i = 0; i <= N; i ++){val[i].x = i * 15 * atan(1.0) / 45.0 * 2;val[i].y = sin(val[i].x);pDC->Rectangle((int)(val[i].x*20)- 2, 150-(int)(val[i].y*50)- 2,(int)(val[i].x*20)+2,150-(int)(val[i].y*50)+2);}for (int j = 0; j <= N*15; j += 5){double x = j * atan(1.0) / 45.0 * 2;double y = NewtonInterpolation(x);pDC->SetPixel((int)(x*20)-2, 150-(int)(y*50)-2, 0x000000ff);}}４．n阶差分商的计算方法的改善。
正文牛顿插值法
牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x 0)...(x-xn-1)+Rn(x)关键词：牛顿插值法流程图程序实现一、插值法的由来在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值。
有时，即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不仅使用不便，而且不易于进行计算与理论分析。
解决这类问题的方法有两种：一种是插值法,另一种是拟合法。
插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机软件中，许多库函数，如等的计算实际上归结于它的逼近函数的计算。
逼近函数一般为只含有算术运算的简单函数，如多项式、有理分式（即多项式的商）。
在工程实际问题当中，我们也经常会碰到诸如此类的函数值计算问题。
被计算的函数有时不容易直接计算，如表达式过于复杂或者只能通过某种手段获取该函数在某些点处的函数值信息或者导数值信息等。
因此，我们希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数，然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值。
这种方法就叫插值逼近或者插值法。
逐次线性插值法优点是能够最有效地计算任何给定点的函数值，而不需要写出各步用到的插值多项式的表达式。
牛顿插值法原理及应用
牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。
为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。
插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。
若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。
定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数 f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
牛顿插值法
牛顿插值法(1)牛顿真是牛，拉格朗日插值法只能算是数学意义上的插值，从插值基函数的巧妙选取，已经构造性的证明了插值法的存在性和惟一性，但是从实现的角度看并不很好，而牛顿很好的解决了这个问题。
牛顿插值是基于下面这些的公式：f[x0,x1,...xk]=(f[x1,...xk]-f[x0,...xk-1])/(xk-x0)f[x]=f(x)f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)前两个是均差的递推关系式，而后一个就是牛顿插值公式，其中N(x)=f(x)-Rn(x)，即目标多项式，Rn(x)是n阶插值余项，我们就是用N(x)去近似f(x)。
可以构造这样一个均方差表：xk f(xk) 一阶均差二阶均差 ...x0 f(x0)x1 f(x1) f[x0,x1]x2 f(x2) f[x1,x2] f[x0,x1,x2]...如果有n个点插值，表会有(n*n)/2+n个表项，如果直接编程会有O(n*n)的空间复杂度，编程时做个简单的改进，不难发现在这个表中只有部分数据有用，对角线（斜行）它们是目标值，用来表示多项式的，左边的两纵行（实际上只需要x一行）以及最底下的一行，表示当前插值的状态。
经过改进后只需要O(n)的空间复杂度。
两个过程：1，新增加一个点时的更新。
只须更新最底下一行数据，其递推关系由均差公式给出，最后算出高一队的均差值，需时O(n)2，插入点完成后如何计算多项式在另外给定点的值N(x)。
由牛顿插值公式，最终的表达式为：N(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)如果直接将它展开，再算实在麻烦，实际上大可不必这样做，还记得多项式求值的秦九韶算法吗？将多项式‘叠’起来，从内层括号往外一层层拨开，n次多项多的计算，只需要做n次乘法，同样的思想，将上式改写成：N(x)=f[x0]+(x-x0){f[x0,x1]+(x-x1){f[x0,x1,x2]+(x-x2){...{f[x0,...xn-1]+(x-xn-1)f[x0, (x)n]}...}就可以同样简单的计算了，时间复杂度O(n)综合起来的性能：对于n个点的插值，产生多项式的时间复杂度是O(n*n)，最终进行一个点的计算的时间复杂度是O(n)。
牛顿插值法
x2-x1
依次递推可得到a3, …, an. 为写出系数 ak的一般表达式,
➢差商(均差)定义
2.3.2 均差及其性质
1、差商（均差）的定义
称
f [x0 , xk ] =
f ( xk ) - f ( x0 ) xk - x0
为 f ( x关) 于点 x的0 ,一xk阶差商。
称
f [ x0 , x1, xk ] =
-
f ( x1)
-பைடு நூலகம்
f ( x0 )
( x1 - x0 )( xk - x1) ( x0 - x1)( xk - x1)
=
f (x0 )
+
f (x1)
+
f (xk )
(x0 - x1)( x0 - xk ) (x1 - x0 )( x1 - xk ) (xk - x0 )( xk - x1)
一般有
f [ x0 , x1,, xk ] =
注：差商与节点的排列次序无关——差商 的对称性
f[x0,x1,…,xn]= f[x1,x0,x2,…,xn]=… = f[x1, …, xn ,x0]
因此 f [ x0 , x1,, xk ] = f [ x1, xk-1, x0 , xk ] = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x1, x2 ,, xk-1, x0 ] xk - x0 = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x0 , x1, x2 ,, xk-1] xk - x0
=
f[x0,x2] - f[x0,x1]
x2 - x1
= f[x0,x1,x2] ;
P2(x)=f(x0) + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
第二章牛顿插值法
考虑点斜式，两点为((x0,y0)(x1,y1)):
y1 y0 P ( x x0 ) 1 ( x ) y0 x1 x0
在此基础上增加一个节点(x2,y2)，则过这三个点 的插值多项式
P2 ( x) P 1 ( x ) c( x )
C(x)应是一个二次多项式。
P2 ( x) P 1 ( x ) c( x )
x2 f ( x2 ) x3 f ( x3 ) x4 f ( x 4 )
规定函数值为零阶差商
差商具有如下性质:
(1) f ( x)的k阶差商f [ x0 , x1 , , xk 1 , xk ]可由函数值 f ( x0 ), f ( x1 ),, f ( xk )的线性组合表示 ,且
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
k 0,1,, n 1
向前 k 1,2 ,, n 向后 差分算子 f k f k f k 1 不在函数表上，要用到 中心 为f ( x)在 xk 处的一阶向后差分 函数表上的值
P2 ( x ) P 1 ( x ) c( x ) y1 y0 y2 P 1 ( x2 ) y0 ( x x0 ) ( x x0 )( x x1 ) x1 x0 ( x2 x0 )( x2 x1 ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) 其中 a0 y0 y1 y0 a1 x1 x0 y2 P 1 ( x2 ) a2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
f ( xi ) i 0 ( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xk )
k
Warning: my head is exploding… 差商的值与 i 的顺序无关！ What is the pointx of this formula?
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０ 引言
网络传输 技术在不断的发展 ，但是 丢包 现象仍
然不 可避免 ，为了减少和弥补丢包错 误 ，在 网络 中
重 传 （ Ｒ 、错 误弹 性编 码 、交 叉打包 和错误 隐 Ａ Ｑ） 藏技术 。本文 重点研究错误隐藏技术 ，并在 传统的
错误 隐藏 方法的基础上提 出一种 针对错 误隐藏技术
ｃ ｎｃ ａ ｍ ｅ ｏ ｅ ｌ ｎｔ
Ｌ Ｙｉａ ｅｇＨａ ｉ ｊ ，Ｚ ｎ ｉ ｏ
（ ｈ ｎ ｑｎ ｉ ｒ ｔ ｏ ｐ ｓ ＆ ｔｌ ｏ ｍｕ ｉ ｔ ｎ Ｃ ｏ ｇ ｉ ， ０ ０ ５， ． Ｃ ｉａ Ｃ ｏ ｇ ｉｇ Ｕｎｖ ｓｙ ｆ ｏｔ ｅ ｉ ｓ ｅ ｃ ｍ ｎｃ ｉ ， ｈ ｎ ｑｎ ４ ０ ６ ＰＲ． ｈｎ ） ｅ ａｏ ｇ
ｔ ｍ ｐ ａ ｅｄ，ｐｒ ｐｏ ｅ ｎ ｉ ｐｒ ｖｅ ｌｏｒｔ ｍ ． ｍ ｕｌｔｏ ｒ ｓ ｌｓｓ ｗ ｈａ ｈ ｓｓ ｈ ｍ ｅ ｃ ｎ ｈｉｈｌ ｍ ｐｒ ｖｅ ｈｅ ｅ ｏｒｌｆ ｌ ｉ ｏ ｓ ｄ ａ ｍ ｏ ｄ ａｇ ｉｈ Ｓｉ ａｉ ｎ ｅ ｕ ｔ ｈｏ ｔ ｔｔ ｉ ｃ ｅ ａ ｇ ｙ ｉ ｏ ｄｔ ｑｕ ｉｙｏｆｒ ｃ ｎｓ ｕ ｔｖ ｄ ｏ． ｌ ａ ｔ ｅ ｏ ｔ ｃ ｉ ｅ ｒ Ｋ ｅ ｗ ０ ｄｓＥｒｏ ｏ ｅ ｍ ｅ ；Ｎ ｅ ｔ ｎｔｒ ｏａｉ ｎ；Ｍ ｏ ｏｎ ｖ ｃｏｒ ｙ ｒ ： ｒ ｒｃ ｎｃ ａ ｌ ｎｔ ｗ ｏｎ ｉ ｅ ｐ ｌｔｏ ｉ ｔ ｅ ｔ
针对传统的空域 和时域 的牛顿插值 算法 ， 出了一种 改进算法 ， 提 经模拟 实验证 明，这种改进 的算法能较好地
改善图像的质量 。
关键词 ：错误隐藏 ；牛顿插值 ；运动矢量
中图分 类号 ：Ｔ １．４ 文 献 标 示 码 ：Ａ Ｎ９ ５ ０
Ｎ ｅ ｔ ｎ ｎｔ ｒ ｌ ｔｏｎ ｌ ｏｒｔ ｗ ｏ ｉ ｅ ｐｏ ａ ｉ ａ ｇ ｉｈｍ ｏ ｒ ｏｒ ｆ ｒｅ ｒ
定 了受损 块的范 围之后 ，利用受损块 周围正确接 收
的块信息做平均插值 计算得 到的。 帧 内错误隐藏流程如图 １ 所示 。
１针对错误 隐藏 的牛顿插值 算法
针对错误 隐藏 的 牛顿 插值算法 的大致原理如 图
３所示 。
图１帧 内错误隐藏流程
扫描 当前 帧 的 时 候 ，先 从 左 至 右 定 列 ，然 后
的牛顿插值算法。
有效 、高质 量的传 输视频流 ，我们通常 采用的容错
技术有 以下几种 ： 前向纠错编 码 （ Ｅ 、自动请求 Ｆ Ｃ）
错 误 隐藏技 术 （ ｒ ｒ ｏ ｃａ ｎ，Ｅ Ｅ ｒ ｎ ｅｌ ｔ Ｃ）就是 ｏＣ ｍｅ
在 解码端利用 已经正确接 收的信息将丢失的 图像信
巴
２１ ｏ ｏ年 ２旯 第 ２期
电 子 漏 试
ＥＬＥｃＴ ＲＯＮＩ ＴＥｓＴ Ｃ
Ｆ ｂ．ｏ１ ｅ ２ ｏ
Ｎｏ． ２
一
种针对错误 隐藏 的牛顿插值算法
李 宜佳 ，曾浩 （ 重庆邮 电大学 ，重庆 ４０ ６ ） ０ ０ ５
摘要 ：网络 传输技术在不 断的发展 ，但是丢包现象 仍然不可避 免 ，为 了减 少和弥补丢 包错误 ，在 网络中有 效 、高质量地传输视频流 ，我 们通常采 用的容错技术有 以下几种 ：前 向纠错编码 、 自动请求重传 隐藏技术 中的牛顿插值算法进行 了详尽 的分析 ，并且
ａ ａ ｓ ｆｔ ｅ Ｎ ｅ ｏ ｎ ｅ ｐ ｌｔ ｎ ａ ｏ ｉ ｍ ｎ ｅｒ ｒｃ ｎ ｅ ｌ ｎ ｅ ｈ ｉ ｕ ｓ ｂ ｔ ｎ ｔ ｅｓ ａｉｌ ｅｄ ａ ｄ ｉ ｈ ｎ ｙ ｉ ｏ ｗｔ ｎ ｉ ｔｒ ｏａｉ ｌ ｒ ｈ ｉ ｒｏ ｏ ｃ ａｍｅ ｔ ｃ ｎ ｑ ｅ ， ｏ ｈ ｉ ｈ ｐ ｔ ｌ ｎ ｎ ｔ ｅ ｌ ｓ ｈ ｏ ｇ ｔ ｔ ａｆ ｉ
设计与研发
息一 定程 度的恢复 出来 ，从而起 到保证 图像质 量的
目的。
３ 。确定受 损范 围之后可 以简单 将前一 帧相 同位 种 置的块信息 拷 贝当前 块 中，或者通过 遍历受 损块 周
围的块 ，搜索 出最合适 的运动矢 量 ，来代替受 损块
的运 动矢量。
传统 的错误 隐藏技 术分为帧 内错误隐藏和 帧问 错误隐藏 ２类 。 对 于帧 内的错 误隐藏算法 ，简单的来说是 当确
ｈ ｈ ｑ ａ ｔ． ｓａ ｙ ｕｅ ｖ ｒ ｃ ｎ ｌｇ ，ｓｃ ｓ Ｅ ， ｉ — ｕ ｌ ｗｅｕｕ ｌ ｓｄ ｓ ｅ ｔ ｈ ｏｏ ｇ ｉ ｙ ｌ ｅ ａ ｅ ｌ ｙ ｕ ｈ ａ Ｆ Ｃ ＡＲＱ， ｒ ｓ Ｐ ｃ ａ ｅ Ｅ ｒｒｃ ｎ ｅｌ ｎ ． ｔ ｌ Ｃ ｏｓ ａ ｋ ｇ ， ｒ ｏ ｃａ ｏ ｍｅ ｔ Ｄｅ ｉ ｄ ａｅ
Ａ ｂｓ ｒ ｔ Ｗ ｉｈ ｔ ｖｅｏ ｔ ａｃ ： ｔ ｈｅ ｄｅ ｌ ｐｍ ｅ ｈｅ ｎｅｗ ｏｒ ｒ ｎ ｍ ｉｓｏｎ ｔ ｃ ｏｌ ｙ，ｔ ｎｔｏｆｔ ｔ ｋ ｔａ ｓ ｓｉ ｅ ｈｎ ｏｇ ｈｅ ｐｈｅ ｍ ｅ ｎ ｆｐａ ｋ ｔｌ ｔｉ ｔｌ ｎｏ ｎｏ ｏ ｃ ｅ ｏｓ ｓｓｉ ｌ ｉ ｖｉａ ｅ ｎ ｏｒ ｅ ｏ ｒ ｄ ｅ ｎｄ ｃ ｐｅ ｓ ｔ ｏｒｐａ ｋｅ ｏ ｓ ｒ ｎｓ ｔ ｄ ｖ ｄ ｏ ｓｒ ａ ｓｉ ｅ ｗ ｏ ｋ ｅ ｅ ｔｖ ｌ ｎｄ ｎｅ ｔｂｌ，ｉ ｄ ｒｔ ｅ ｕｃ ａ ｏｍ ｎ ａ ｅ ｆ ｃ ｔｌ ｓ，ｔａ ｐｏｒｅ ｉ ｅ ｔｅ ｍ ｎ ｎ ｔ ｒ ｆ ｃｉ ｅｙ ａ
在该列 中进行逐 行扫描 ，确定受损块 的范围 ，这里 分为从顶部开始 受损 ，至底部 受损和 中间受损三种 。 然后检测并收集 当前块周 围块的信息 ，最 后通过计 算平均 插值得到受损块 的信息 。