高考一轮复习专题：导数及其应用(含答案)

导数及其应用

考点一：导数概念与运算

（一）知识清单

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 处有增量，那么函数y 相应地有增量=f （x +

0x ∆y ∆0）－f （x ），比值

叫做函数y=f （x ）在x 到x +之间的平均变化率，即=x ∆0x y ∆∆00x ∆x

y

∆∆。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 处可

x x f x x f ∆-∆+)()(000→∆x x

y

∆∆0导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 处的导数，记作f’（x ）或y’|。

000x x =即f （x ）==。00

lim

→∆x x

y

∆∆0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00说明：

（1）函数f （x ）在点x 处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，00→∆x x y ∆∆x

y

∆∆就说函数在点x 处不可导，或说无导数。

0（2）是自变量x 在x 处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。

x ∆00≠∆x y ∆由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 处的导数的步骤：0（1）求函数的增量=f （x +）－f （x ）；

y ∆0x ∆0（2）求平均变化率

=；

x

y ∆∆x x f x x f ∆-∆+)()(00（3）取极限，得导数f’(x )=。

0x

y

x ∆∆→∆0lim

2．导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x ，f （x ））处的切

000线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x ，f （x ））处的切线的斜率是f’（x ）。000相应地，切线方程为y －y =f /（x ）（x －x ）。0003．几种常见函数的导数: ① ② ③; ④;

0;C '=()1

;n

n x

nx

-'=(sin )cos x x '=(cos )sin x x '=-

⑤⑥; ⑦; ⑧.();x x e e '=()ln x x

a a a '=()1ln x x '=

()1

l g log a a o x e x

'=4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.

)'

'

'

v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.

)('

'

'

uv v u uv +=若C 为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘

'

'

'

'

'

0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=以函数的导数： .

)('

'Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v 0）。⎪⎭

⎫

⎝⎛v u 2

''v uv v u -≠形如y=f 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法[

x (ϕ])则：y ＇|= y ＇| ·u ＇|X U X

（二）典型例题分析

题型一：导数的概念及其运算

例1.

如果质点A 按规律运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为（ ）

32s t =A. 6m/s B. 18m/s

C. 54m/s

D. 81m/s

变式：定义在D 上的函数，如果满足：，常数，

)(x f x D ∀∈∃0M >都有≤M 成立，则称是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界.|()|f x )(x f 【文】（1）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻at t t S ++=

1

1

)([0,)t ∈+∞的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.

【理】（2）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时

at t t S -+=

12)([0,)t ∈+∞刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.

例2.

已知的值是（ ）x

f x f x x f x ∆-∆+=

→∆)

2()2(lim

,1)(0则A. B. 2 C. D. －2

4

1

-

4

1

变式1：（

）

()()()为则设h

f h f f h 233lim

,430

--='→A ．－１

Ｂ．－2C ．－3

D ．1

变式2：（

）

()()()

0000

3,

lim

x f x x f x x f x x x

∆→+∆--∆∆设在可导则等于A ．B ．C ．D ．()

02x f '()

0x f '()

03x f '()

04x f '例3.

求所给函数的导数：

()

33

2991

log ; ; sin ((1); 2; 2sin 25n x

x x y x x y x e y x

y x y e y x x --=+==

=+==+（文科）理科）变式：设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,

＞0.且g(3)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是（ ）

()()()()f x g x f x g x ''+A ．(－3,0)∪(3,+∞)

B ．(－3,0)∪(0, 3)

C ．(－∞,－ 3)∪(3,+∞)

D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)

题型二：导数的几何意义

①已知切点，求曲线的切线方程；

注：此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．

()f x '例4.

曲线在点处的切线方程为（ ）

3231y x x =-+(11)-，Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．34

y x =-32y x =-+43y x =-+45

y x =-