第5讲 函数的概念
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2 ⎤ 1 ⎞ ⎡⎛ 1⎞ ⎛ = ⎜ x + ⎟ ⎢ ⎜ x + ⎟ − 3⎥ x ⎠⎣ x⎠ ⎝ ⎢⎝ ⎥ ⎦
又x +
1 1 ≥ 2或x + ≤ −2 x x
∴ f ( x ) = x ( x − 3) ( x ≥ 2或x ≤ −2 )
（2）解：令 t =
∴ f ( x) = 则 f ( x) =
画图（见视频） 9⎫ ⎧ 值域 ⎨ y | y ≥ ⎬ 2⎭ ⎩
1⎞ 1 ⎛ 例 10、 （1）解： f ⎜ x + ⎟ = x3 + 3 x⎠ x ⎝ 1 ⎞⎛ 1 ⎛ ⎞ = ⎜ x + ⎟⎜ x 2 + 2 − 1⎟ x ⎠⎝ x ⎝ ⎠ 1 ⎞ ⎡⎛ 1 ⎛ ⎞ ⎤ = ⎜ x + ⎟ ⎢ ⎜ x 2 + 2 + 2 ⎟ − 3⎥ x x ⎝ ⎠ ⎣⎝ ⎠ ⎦
∴ ( 3a − 2a ) x + 3a + 3b + 2a − 2b = 2 x + 17 即 ax + 5a + b = 2 x + 17 ⎧a = 2 ∴⎨ ⎩5a + b = 17 ⎧a = 2 ∴⎨ ⎩b = 7
∴ f ( x) = 2x + 7
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例 11．某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出。当每辆车的月租金 每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的 车每辆每月需要维护费 50 元。 （1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
b −1 2
例 2．若 A = {a1 , a2 , a3 } , B = {b1 , b2 } ，则 A 到 B 的映射有____个，满射又有_____个.
( x ≥ 100) 例 3．设函数 f ( x) = x − 3 求f (89) f [ f ( x + 5)] ( x < 100)
{
例 4．函数 f ( x ) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x + 2 ) =
② B 中元素不一定都是 A 中元素的象 如果对任意 y ∈ B，均有x ∈ A使得y = f ( x) ⇔ 满射 （6）一一映射：设 A、B 是两个集合，f：A → B 是集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映射下，对 于集合 A 中不同元素，在集合 B 中有不同的象（单射） ；而且 B 中每一个元素都有 原象（满射） ，那么这个映射叫做 A 到 B 上的一一映射。 （7）逆映射：设 f：A → B 是一一映射，且 y = f ( x) ，则
2 2 +1 ∴ x = ( t ≠ 1) x t −1 4
2
( t − 1)
4 ( x ≠ 1) x2 − 2 x + 1
（3）解：设 f ( x ) = ax + b ( a ≠ 0 )
则 3⎡ ⎣ a ( x + 1) + b ⎤ ⎦ − 2⎡ ⎣ a ( x − 1) + b ⎤ ⎦ = 2 x + 17
∴ 值域 [5，+ ∞ )
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⎧ ⎡1 ⎞ ⎪3x + 3 x ∈ ⎢ 2 , + ∞ ⎟ ⎣ ⎠ ⎪ ⎪ 1⎞ ⎡ x ∈ ⎢ −4, ⎟ （3）解： y = ⎨− x + 5 2⎠ ⎣ ⎪ ⎪ −3x − 3 x ∈ ( −∞, − 4 ) ⎪ ⎩
| x| x≥0 , g ( x) = 1 x<0 1 − x
{
（3） f ( x) = 2 n +1 x 2 n +1 , g ( x) = (2 n −1 x ) 2 n −1 （n∈N*） ； （4） f ( x) = x x + 1 , g ( x) =
x2 + x ；
（5） f ( x) = x 2 − 2 x − 1 , g (t ) = t 2 − 2t − 1
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参考答案
例１、 （1）是映射，是一一映射 （2）是映射，不是一一映射 （3）是映射，不是一一映射 （4）不是映射 （5）是映射，是一一映射 例 2、8；6 例 3、解： f ( 89 ) = f ( f ( 94 ) ) = f f ( f ( 99 ) ) = f f f ( f (104 ) ) = f f ( f (101) ) = f ( f ( 98 ) ) =
f f ( f (103) ) = f ( f (100 ) ) = f ( 97 ) = f ( f (102 ) ) = f ( 99 ) = f ( f (104 ) ) = f (101) = 98
(
)
( (
))
(
)
(
)
例 4、解：∵ f ( 5 ) =
1 = f (1) = −5 f ( 3) 1 1 1 = f ( −1) = =− f ( −3) f (1) 5
∴ y = (100 − x )( 3000 + 50 x ) − (100 − x ) × 150 − 50 x
2 = 50 ⎡ − ( x − 21) + 6141⎤ ⎣ ⎦
故 x=21 时 ymax=50×6141=307050（元） 又租金 3000+50×21=4050（元） 答：当每辆车的月租金定为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是 307050 元.
函数的概念
教 师：苗金利
爱护环境，从我做起
提倡使用电子讲义
第5讲
教学目标：
函数的概念
（1）理解函数的概念；明确函数的三要素； （2）掌握函数的三种主要的表示方法，即解析法、列表法、图象法； （3）能够正确表示和求某些函数的定义域、值域。
教学过程：
一、映射定义
⎧原象集A ⎪ （1）映射有三个要素 ⎨包含象集的集B ⎪对应法则f ⎩
1 , 若 f (1) = −5, 则 f ( f ( 5 ) ) = ________. f ( x)
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例 5．试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1） f ( x) = x 2 , g ( x) = 3 x3 ； （2） f ( x) =
例 6．已知函数 f ( x) =
3x − 1 的定义域是 R，则实数 a 的取值范围是（ ax + ax − 3
3 2
）
A．a＞
1 3
B．−12＜a ≤ 0
C．−12＜a＜0
D．a ≤
1 3
例 7． （1）若函数 f ( x) 的定义域为（0，3） ，则 f ( x 2 + 2 x) 的定义域是____________ （2）已知 f ( x + 1) 的定义域是 [ −2,5] ，则 f ( x) 的定义域是____________
例 9．求下列函数的值域： （1） y =
3x + 1 x−2
（2） y =| x − 1| + | x + 4 |
（3） y =| 2 x − 1| + | x + 4 |
1 1 例 10． （1）已知 f ( x + ) = x3 + 3 ，求 f ( x) ； x x 2 （2）已知 f ( + 1) = x 2 ，求 f ( x) ； x （3）已知 f ( x) 是一次函数，且满足 3 f ( x + 1) − 2 f ( x − 1) = 2 x + 17 ，求 f ( x) ； 1 （4）已知 f ( x) 满足 2 f ( x) + f ( ) = 3x ，求 f ( x) x
∴ f ( f ( 5 ) ) = f ( −5 ) =
例 5、 （1）不是（对应法则不同） （2）不是（定义域不同） （3）是 （4）不是（定义域不同） （5）是 例 6、B 例 7、 （1） ( −3, − 2 ) ∪ ( 0, 1)
⎧ x ⎪ 例 8、 ⎨ 2 ⎪− x + 6 ⎩ 0< x<2 2≤ x<4 4≤ x<6 3( x − 2) + 7 x−2 = 3+ 7 x−2
（2） [ −1, 6]
1 ⎤ ⎡1 ⎛ ⎞ （3） ⎜ −∞, − ⎥ ∪ ⎢ , + ∞ ⎟ 2⎦ ⎣5 ⎝ ⎠
例 9、 （1）解法一： y =
值域 { y | y ≠ 3} 法二：Leabharlann Baidu已知得 x =
∴ 值域 { y | y ≠ 3}
2y +1 y −3
（2）解： y = x − 1 + x + 4 表示数轴上的点到 1 和-4 的距离之和
⎛1⎞ （4）解：∵ 2 f ( x ) + f ⎜ ⎟ = 3x ⎝ x⎠ 1 令x= 得 x 3 ⎛1⎞ 2 f ⎜ ⎟ + f ( x) = x x ⎝ ⎠ ①②联立解得 f ( x) = 2x − 1 ( x ≠ 0) x
①
②
例 11、解： （1）设未租出 x 辆 3000 + 50 x = 3600 ∴ x = 12 故共租出 100-12=88 辆 （2）设月收益为 y 元
f −1 : B → A且x = f -1 ( y )称为f : A → B的逆映射
说明：f 有逆 ⇔ f 是一一映射
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二、函数定义： 1. 函数 说明： （1）函数三要素：两域及对应法则 （2）函数与映射的关系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广 2. 分段函数：对于定义域内的不同取值范围内时，函数的解析式也不同 3. 复合函数：若 y = f (u )(u ∈ C , y ∈ B) 且 u = g ( x)( x ∈ A, u ∈ C ′ ⊆ C ) ；则 y = f ( g ( x)) （ x ∈ A, y ∈ B ） ， 叫函数 y = f (u ) 与 u = g ( x) 的复合函数 三、例题分析 例 1．下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射，一一映射？为什么？ （1）A={1，2，3，4}，B={3，5，7，9}；f： b = 2a + 1 （2）A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}；f： b = 2a + 1 （3）A={−2，−1，0，1，2}，B={0，1，2，3，4}；f： b = a 2 1 1 1 （4）A={−2，−1，0，1，2}，B={ − ,−1,0,1, }；f： b = a 2 2 （5）A={3，5，7，9}，B={1，2，3，4}；f： a =
1 （3）已知 f ( x + 1) 的定义域是 [ −2,5] ，则 f ( + 1) 的定义域是____________ x
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例 8．正方形 ABCD 的边长为 2，动点 P 从 A 点出发，沿 AB，BC，CD 运动到 D，求以 P 运动的路 程 x 为自变量，三角形 APD 的面积为函数值的函数 f ( x) =____________
⎧ A中每一个元素 ⎪ （2）定义三条件 ⎨ B中 ⎪唯一 ⎩
（3）映射有向：集合 A 中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的，不要求 B 中每一个元素都有原 象，即 B 中可能有些元素不是集合 A 中的元素的象；
⎧多对一 （4）映射的要点在于“对一” ⎨ ⎩一对一
（5）不许搞“土”政策 ① A 中不同的元素在 B 中可以有相同的项 如果 x1 ≠ x2 → f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ⇔ 单射
又x +
1 1 ≥ 2或x + ≤ −2 x x
∴ f ( x ) = x ( x − 3) ( x ≥ 2或x ≤ −2 )
（2）解：令 t =
∴ f ( x) = 则 f ( x) =
画图（见视频） 9⎫ ⎧ 值域 ⎨ y | y ≥ ⎬ 2⎭ ⎩
1⎞ 1 ⎛ 例 10、 （1）解： f ⎜ x + ⎟ = x3 + 3 x⎠ x ⎝ 1 ⎞⎛ 1 ⎛ ⎞ = ⎜ x + ⎟⎜ x 2 + 2 − 1⎟ x ⎠⎝ x ⎝ ⎠ 1 ⎞ ⎡⎛ 1 ⎛ ⎞ ⎤ = ⎜ x + ⎟ ⎢ ⎜ x 2 + 2 + 2 ⎟ − 3⎥ x x ⎝ ⎠ ⎣⎝ ⎠ ⎦
∴ ( 3a − 2a ) x + 3a + 3b + 2a − 2b = 2 x + 17 即 ax + 5a + b = 2 x + 17 ⎧a = 2 ∴⎨ ⎩5a + b = 17 ⎧a = 2 ∴⎨ ⎩b = 7
∴ f ( x) = 2x + 7
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例 11．某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出。当每辆车的月租金 每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的 车每辆每月需要维护费 50 元。 （1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
b −1 2
例 2．若 A = {a1 , a2 , a3 } , B = {b1 , b2 } ，则 A 到 B 的映射有____个，满射又有_____个.
( x ≥ 100) 例 3．设函数 f ( x) = x − 3 求f (89) f [ f ( x + 5)] ( x < 100)
{
例 4．函数 f ( x ) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x + 2 ) =
② B 中元素不一定都是 A 中元素的象 如果对任意 y ∈ B，均有x ∈ A使得y = f ( x) ⇔ 满射 （6）一一映射：设 A、B 是两个集合，f：A → B 是集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映射下，对 于集合 A 中不同元素，在集合 B 中有不同的象（单射） ；而且 B 中每一个元素都有 原象（满射） ，那么这个映射叫做 A 到 B 上的一一映射。 （7）逆映射：设 f：A → B 是一一映射，且 y = f ( x) ，则
2 2 +1 ∴ x = ( t ≠ 1) x t −1 4
2
( t − 1)
4 ( x ≠ 1) x2 − 2 x + 1
（3）解：设 f ( x ) = ax + b ( a ≠ 0 )
则 3⎡ ⎣ a ( x + 1) + b ⎤ ⎦ − 2⎡ ⎣ a ( x − 1) + b ⎤ ⎦ = 2 x + 17
∴ 值域 [5，+ ∞ )
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⎧ ⎡1 ⎞ ⎪3x + 3 x ∈ ⎢ 2 , + ∞ ⎟ ⎣ ⎠ ⎪ ⎪ 1⎞ ⎡ x ∈ ⎢ −4, ⎟ （3）解： y = ⎨− x + 5 2⎠ ⎣ ⎪ ⎪ −3x − 3 x ∈ ( −∞, − 4 ) ⎪ ⎩
| x| x≥0 , g ( x) = 1 x<0 1 − x
{
（3） f ( x) = 2 n +1 x 2 n +1 , g ( x) = (2 n −1 x ) 2 n −1 （n∈N*） ； （4） f ( x) = x x + 1 , g ( x) =
x2 + x ；
（5） f ( x) = x 2 − 2 x − 1 , g (t ) = t 2 − 2t − 1
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参考答案
例１、 （1）是映射，是一一映射 （2）是映射，不是一一映射 （3）是映射，不是一一映射 （4）不是映射 （5）是映射，是一一映射 例 2、8；6 例 3、解： f ( 89 ) = f ( f ( 94 ) ) = f f ( f ( 99 ) ) = f f f ( f (104 ) ) = f f ( f (101) ) = f ( f ( 98 ) ) =
f f ( f (103) ) = f ( f (100 ) ) = f ( 97 ) = f ( f (102 ) ) = f ( 99 ) = f ( f (104 ) ) = f (101) = 98
(
)
( (
))
(
)
(
)
例 4、解：∵ f ( 5 ) =
1 = f (1) = −5 f ( 3) 1 1 1 = f ( −1) = =− f ( −3) f (1) 5
∴ y = (100 − x )( 3000 + 50 x ) − (100 − x ) × 150 − 50 x
2 = 50 ⎡ − ( x − 21) + 6141⎤ ⎣ ⎦
故 x=21 时 ymax=50×6141=307050（元） 又租金 3000+50×21=4050（元） 答：当每辆车的月租金定为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是 307050 元.
函数的概念
教 师：苗金利
爱护环境，从我做起
提倡使用电子讲义
第5讲
教学目标：
函数的概念
（1）理解函数的概念；明确函数的三要素； （2）掌握函数的三种主要的表示方法，即解析法、列表法、图象法； （3）能够正确表示和求某些函数的定义域、值域。
教学过程：
一、映射定义
⎧原象集A ⎪ （1）映射有三个要素 ⎨包含象集的集B ⎪对应法则f ⎩
1 , 若 f (1) = −5, 则 f ( f ( 5 ) ) = ________. f ( x)
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例 5．试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1） f ( x) = x 2 , g ( x) = 3 x3 ； （2） f ( x) =
例 6．已知函数 f ( x) =
3x − 1 的定义域是 R，则实数 a 的取值范围是（ ax + ax − 3
3 2
）
A．a＞
1 3
B．−12＜a ≤ 0
C．−12＜a＜0
D．a ≤
1 3
例 7． （1）若函数 f ( x) 的定义域为（0，3） ，则 f ( x 2 + 2 x) 的定义域是____________ （2）已知 f ( x + 1) 的定义域是 [ −2,5] ，则 f ( x) 的定义域是____________
例 9．求下列函数的值域： （1） y =
3x + 1 x−2
（2） y =| x − 1| + | x + 4 |
（3） y =| 2 x − 1| + | x + 4 |
1 1 例 10． （1）已知 f ( x + ) = x3 + 3 ，求 f ( x) ； x x 2 （2）已知 f ( + 1) = x 2 ，求 f ( x) ； x （3）已知 f ( x) 是一次函数，且满足 3 f ( x + 1) − 2 f ( x − 1) = 2 x + 17 ，求 f ( x) ； 1 （4）已知 f ( x) 满足 2 f ( x) + f ( ) = 3x ，求 f ( x) x
∴ f ( f ( 5 ) ) = f ( −5 ) =
例 5、 （1）不是（对应法则不同） （2）不是（定义域不同） （3）是 （4）不是（定义域不同） （5）是 例 6、B 例 7、 （1） ( −3, − 2 ) ∪ ( 0, 1)
⎧ x ⎪ 例 8、 ⎨ 2 ⎪− x + 6 ⎩ 0< x<2 2≤ x<4 4≤ x<6 3( x − 2) + 7 x−2 = 3+ 7 x−2
（2） [ −1, 6]
1 ⎤ ⎡1 ⎛ ⎞ （3） ⎜ −∞, − ⎥ ∪ ⎢ , + ∞ ⎟ 2⎦ ⎣5 ⎝ ⎠
例 9、 （1）解法一： y =
值域 { y | y ≠ 3} 法二：Leabharlann Baidu已知得 x =
∴ 值域 { y | y ≠ 3}
2y +1 y −3
（2）解： y = x − 1 + x + 4 表示数轴上的点到 1 和-4 的距离之和
⎛1⎞ （4）解：∵ 2 f ( x ) + f ⎜ ⎟ = 3x ⎝ x⎠ 1 令x= 得 x 3 ⎛1⎞ 2 f ⎜ ⎟ + f ( x) = x x ⎝ ⎠ ①②联立解得 f ( x) = 2x − 1 ( x ≠ 0) x
①
②
例 11、解： （1）设未租出 x 辆 3000 + 50 x = 3600 ∴ x = 12 故共租出 100-12=88 辆 （2）设月收益为 y 元
f −1 : B → A且x = f -1 ( y )称为f : A → B的逆映射
说明：f 有逆 ⇔ f 是一一映射
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二、函数定义： 1. 函数 说明： （1）函数三要素：两域及对应法则 （2）函数与映射的关系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广 2. 分段函数：对于定义域内的不同取值范围内时，函数的解析式也不同 3. 复合函数：若 y = f (u )(u ∈ C , y ∈ B) 且 u = g ( x)( x ∈ A, u ∈ C ′ ⊆ C ) ；则 y = f ( g ( x)) （ x ∈ A, y ∈ B ） ， 叫函数 y = f (u ) 与 u = g ( x) 的复合函数 三、例题分析 例 1．下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射，一一映射？为什么？ （1）A={1，2，3，4}，B={3，5，7，9}；f： b = 2a + 1 （2）A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}；f： b = 2a + 1 （3）A={−2，−1，0，1，2}，B={0，1，2，3，4}；f： b = a 2 1 1 1 （4）A={−2，−1，0，1，2}，B={ − ,−1,0,1, }；f： b = a 2 2 （5）A={3，5，7，9}，B={1，2，3，4}；f： a =
1 （3）已知 f ( x + 1) 的定义域是 [ −2,5] ，则 f ( + 1) 的定义域是____________ x
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例 8．正方形 ABCD 的边长为 2，动点 P 从 A 点出发，沿 AB，BC，CD 运动到 D，求以 P 运动的路 程 x 为自变量，三角形 APD 的面积为函数值的函数 f ( x) =____________
⎧ A中每一个元素 ⎪ （2）定义三条件 ⎨ B中 ⎪唯一 ⎩
（3）映射有向：集合 A 中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的，不要求 B 中每一个元素都有原 象，即 B 中可能有些元素不是集合 A 中的元素的象；
⎧多对一 （4）映射的要点在于“对一” ⎨ ⎩一对一
（5）不许搞“土”政策 ① A 中不同的元素在 B 中可以有相同的项 如果 x1 ≠ x2 → f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ⇔ 单射