近世代数课件极大理想
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成的主理想 I p是一个最大理想。因为：假定 J 是
理想，并且:
IØJ Z
那么 J 一定包含一个不能被 p 整除的整数 q 。由于p
是素数，p与 q 互素，所以我们可以找到整数s和t， 使得
sp tq 1
但 p也属于 J ，而且 J是理想，所以 1 J, J = R
9.2 基本结论
J R, J = R
这样，R 只有零理想同单位理想。
必要性. 假定 I 不是最大的理想, 那么存在 J 是R的理
想,并且：
I 刎J R
那么, J 在 这下的 B 的象 J 是 R的理想。由于I Ø J，
J 0 J Ø R , J 也不会是R . 不然的话，对于R的任意元r， 可以找到 J 的元b，使得
引理 1 假定 I R是环R的理想。剩余类环 R / I 只有
零理想同单位理想,当而且仅当 I 是最大理想。
证明 我们用 来表示R到 R / I 的自然同态满射。
充分性. 已知 I 是最大理想. 设 J是 R R / I 的理想，
并且 J 0
那么，J 在 这下的逆象 J 是R的理想，J 显然包含 I 而且不等于 I (??)，所以
1 aa aR
这样,R的每个不等于零的元都有一个逆元,R是一个 域。证完..。
注： 由以上两个引理可以证明定理。
作业： P119：2，4
r b, r bI Ø J
由于 J 是理想，可以得到 r J, J = R，与假定不合。
引理 2 若R是有单位元的、可交换的非平凡环。如果 R只有零理想同单位理想，那么R一定是一个域。
证明 我们看R的任意 a 0. a 所生成的主理想 a 显
然不是零理想,于是由假定, a R 。因而R的单位1a 。但 a的元都可以写成 rar R的形式,所以
定理 假定 R是一个有单位元交换环，I是R的一个理想。
R / I 是一个域是 I 一个最大理想的时候。
证明
( ) 设 I 是一个最大理想, 我们分两步证明:
(1) R / I 至少有一个非零元. 那么 I Ø R . 因此,在商环 R / I {[a] aR} 中至少有 一个非零元(??).
J R .
(2)一个环 R 的一个不等于的理想 I 叫做一个最大理 想,如果存在理想 J满足: I Ø J R , 那么 J R .
(3)一个环 R 的一个不等于的理想 I 叫做一个最大理 想,如果存在理想 J满足: I J Ø R , 那么 J I .
例1 我们看整数环 Z。我们说，由一个素数 p所生
§9最大理想
• 9.1 定义及等价条件 • 9.2 基本结论 • 9.3 进一步的结论
9.1 定义及等价条件
以下我们要认识两种由一个交换环来得到一个域 的重要方法,第一种就是利用最大理想的方法(本节 内容),第二种方法是分式域(下节内容)。
一个基本的模型： Z
Z p
Fra Baidu bibliotek
Z /( p), a
[r] 可逆.
R / I是一个域.
() 设 R / I是一个域, 理想 J 满足: I Ø J R . 我 们需要证明 J R .
取一个 a J , a I 那么 [a] [0], 可逆(??). 于是, 存在 [b] R / I 使得
[a][b] [ab] [1] ab 1 I 1 ab i(i I )
p
is
a
prime
Q { b
a,b Z,b 0}
定义 一个环 R 的一个不等于的理想 I 叫做一个最
大理想,假如，除了 R 同 I 自己以外，没有包含 A 的
理想。
最大理想有下面一些等价表述:
(1)一个环 R 的一个不等于的理想 I 叫做一个最大理 想,如果存在理想 J满足: I J R , 那么 J I 或
1 J J R
证毕. 这样，给了一个有单位元的交换环R，我们只要找
得到R的一个最大理想 A ，就可以得到一个域 R A。
例2 R是整数环， p是由素数 p 所生成的主理想。 那么由上面例1，R p是一个域。这个结果我们在前
面已经得到过。
9.3 进一步的结论
给了一个环R，我们可以利用R的一个最大理想来 得到一个商环 R，使得 R除了零理想同单位理想以为， 没有其它的理想。
(2) 每一个非零元可逆.
[r] R / I,[r] [0],我们需要证明[r] 可逆.[r] [0] r I .
构造一个理想 J I (r) , 那么
iI ? J I (r) J R
(??)
1 R I (r) 1 a sr(a I, s R) [1] [s][r] (??)
理想，并且:
IØJ Z
那么 J 一定包含一个不能被 p 整除的整数 q 。由于p
是素数，p与 q 互素，所以我们可以找到整数s和t， 使得
sp tq 1
但 p也属于 J ，而且 J是理想，所以 1 J, J = R
9.2 基本结论
J R, J = R
这样，R 只有零理想同单位理想。
必要性. 假定 I 不是最大的理想, 那么存在 J 是R的理
想,并且：
I 刎J R
那么, J 在 这下的 B 的象 J 是 R的理想。由于I Ø J，
J 0 J Ø R , J 也不会是R . 不然的话，对于R的任意元r， 可以找到 J 的元b，使得
引理 1 假定 I R是环R的理想。剩余类环 R / I 只有
零理想同单位理想,当而且仅当 I 是最大理想。
证明 我们用 来表示R到 R / I 的自然同态满射。
充分性. 已知 I 是最大理想. 设 J是 R R / I 的理想，
并且 J 0
那么，J 在 这下的逆象 J 是R的理想，J 显然包含 I 而且不等于 I (??)，所以
1 aa aR
这样,R的每个不等于零的元都有一个逆元,R是一个 域。证完..。
注： 由以上两个引理可以证明定理。
作业： P119：2，4
r b, r bI Ø J
由于 J 是理想，可以得到 r J, J = R，与假定不合。
引理 2 若R是有单位元的、可交换的非平凡环。如果 R只有零理想同单位理想，那么R一定是一个域。
证明 我们看R的任意 a 0. a 所生成的主理想 a 显
然不是零理想,于是由假定, a R 。因而R的单位1a 。但 a的元都可以写成 rar R的形式,所以
定理 假定 R是一个有单位元交换环，I是R的一个理想。
R / I 是一个域是 I 一个最大理想的时候。
证明
( ) 设 I 是一个最大理想, 我们分两步证明:
(1) R / I 至少有一个非零元. 那么 I Ø R . 因此,在商环 R / I {[a] aR} 中至少有 一个非零元(??).
J R .
(2)一个环 R 的一个不等于的理想 I 叫做一个最大理 想,如果存在理想 J满足: I Ø J R , 那么 J R .
(3)一个环 R 的一个不等于的理想 I 叫做一个最大理 想,如果存在理想 J满足: I J Ø R , 那么 J I .
例1 我们看整数环 Z。我们说，由一个素数 p所生
§9最大理想
• 9.1 定义及等价条件 • 9.2 基本结论 • 9.3 进一步的结论
9.1 定义及等价条件
以下我们要认识两种由一个交换环来得到一个域 的重要方法,第一种就是利用最大理想的方法(本节 内容),第二种方法是分式域(下节内容)。
一个基本的模型： Z
Z p
Fra Baidu bibliotek
Z /( p), a
[r] 可逆.
R / I是一个域.
() 设 R / I是一个域, 理想 J 满足: I Ø J R . 我 们需要证明 J R .
取一个 a J , a I 那么 [a] [0], 可逆(??). 于是, 存在 [b] R / I 使得
[a][b] [ab] [1] ab 1 I 1 ab i(i I )
p
is
a
prime
Q { b
a,b Z,b 0}
定义 一个环 R 的一个不等于的理想 I 叫做一个最
大理想,假如，除了 R 同 I 自己以外，没有包含 A 的
理想。
最大理想有下面一些等价表述:
(1)一个环 R 的一个不等于的理想 I 叫做一个最大理 想,如果存在理想 J满足: I J R , 那么 J I 或
1 J J R
证毕. 这样，给了一个有单位元的交换环R，我们只要找
得到R的一个最大理想 A ，就可以得到一个域 R A。
例2 R是整数环， p是由素数 p 所生成的主理想。 那么由上面例1，R p是一个域。这个结果我们在前
面已经得到过。
9.3 进一步的结论
给了一个环R，我们可以利用R的一个最大理想来 得到一个商环 R，使得 R除了零理想同单位理想以为， 没有其它的理想。
(2) 每一个非零元可逆.
[r] R / I,[r] [0],我们需要证明[r] 可逆.[r] [0] r I .
构造一个理想 J I (r) , 那么
iI ? J I (r) J R
(??)
1 R I (r) 1 a sr(a I, s R) [1] [s][r] (??)