第八章 玻色统计与费米统计

二、热力学量的统计表达式（首先考虑玻色分布）
系统的平均总粒子数：
N
l
al
l
ωl eα βεl 1
引入巨配分函数： l [1 eαβεl ]ωl
l
l
al
l
e l
1
ln
l
取对数得： ln ωl ln(1 eα βεl )
l
al
N
ln l
N
ln
l
ln
ln
N
kT ln
J kT ln
小结：求量子体系热力学函数的一般步骤
（1）写出 l 及相应简并度 l
①量子力学的理论计算获得 ②分析光谱数据获得
（2）求粒子的巨配分函数 l [1 el ]l
l
l
（3）代入热力学统计公式求热力学量
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8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
1、弱简并气体：
第八章 玻色统计与费米统计
8.1 热力学量的统计表达式 8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体 8.3 玻色-爱因斯坦凝聚 8.4 光子气体 8.5 金属中的自由电子气体 8.6 白矮星 8.7 二维电子气体与量子霍尔效应
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8.1 热力学量的统计表达式
一、非简并气体和简并气体
玻耳兹曼分布讨论了定域系统和满足经典极限条件（非简并条 件）的近独立粒子系统的平衡性质。
3
非简并条件：eα
V N
2πmkT h2
2
1
3
或：nλ3
N V
h2 2πmkT
2
1
对于简并气体，需要分别用玻色分布或费米分布处理。微观 粒子全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质将产 生决定性的影响，使玻色气体和费米气体的性质迥然不同。
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8.1 热力学量的统计表达式
ln [al l ln al l al ln al l ln l ]
l
l
l
ln
l al l
l
al
ln
l
al
al
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8.1 热力学量的统计表达式
由al
ωl eα βεl
可得： 1
1 1 - eα βεl
1 al ; ωl
代入S k(ln αN βU )可得：
eα或nλ3虽小，但不可忽略的玻色气体和费米气体。
以玻色气体为例，假设分子只有平动自由度：
ε＝ 1 2m
(
px2
p
2 y
pz2 )
在体积V内，在ε到ε+dε范围内可能的微观状态数：
D(ε)dε
g
2πV h3
3
(2m) 2
ε
1
2dε
1
系统的总分子数：N
2πV g h3
3
(2m) 2
ε 2dε 0 eα βε 1
α
βεl
ln1
ωl al
S k
ωl ln(1 eα βεl )
al α βεl
l
l
k
l
l
ln
l al l
l
al
ln
l
al
al
k
ln
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8.1 热力学量的统计表达式
四、费米系统
费米系统，巨配分函数为： l [1 eαβεl ]ωl
l
l
其对数为： ln ωl ln(1 eαβεl )
l
前面得到的热力学量的表达式完全适用：
N ln α
Y 1 ln β y
U ln β
S k ln
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8.1 热力学量的统计表达式
五、巨热力学势
ln 是α、β、y的函数,即T、V、μ的函数
J U TS N
ln kT(ln ln ln ) ln
4 2g
第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是有微观粒子全通性原理引 起的量子统计关联所致的附加内能。并且可以看到在弱简并情形下，玻色气 体和费米气体出现了差异。
即：量子统计关联使费米子间出现等效的排斥作用，玻色子间则出现等效的 吸引作用。
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8.1 热力学量的统计表达式
证明： S k ln
玻色系统的微观状态数： (ωl al 1)!
l al !(ωl 1)!
取对数得：ln [ln( ωl al 1)! ln( ωl 1)! ln al !]
l
设：al 1,ωl 1 则ln m! mln m 1
α β
dN
)
d
ln
α
α
ln
β
β
ln
与热力学公式1 (dU Ydy α dN ) dS比较可得：
T
β
所以：dS kd(ln α ln β ln )
α
β
S k(ln ln ln )
积分得：S k(ln ln ln ) k(ln N U ) k ln
eα ]
U
3 2
2πmkT g(
h2
3
)
2VkTe
α
[1
1
5
22
eα ]
两式相除可得：
U 3 NkT[1 1 eα ]
2
42
利用零级近似结果： eα＝N (
h2
3
)2
1
V 2πmkT g
可得：U 3 NkT[1 1 N (
h2
3
)2
1]
3
NkT[1
1
nλ3 ]
2
4 2 V 2πmkT g 2
被积函数的分母可表为：
e
α
1
x
＝ 1e
α（x 1
1
e－α－x）
在e
α
小
的
情
形
下
，e
α
x
是
一
个
小
量
，
可
将 1
1 e α x
展开，
只取头两项： 1 eαx 1
e α x
1 eαx
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8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
代入上式可得：N
2πmkT g(
h2
3
)
2Veα
[1
1
3
22
特例： P 1 ln
β V
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8.1 热力学量的统计表达式
三、熵的统计表达式
因为：β(dU Ydy α dN ) βd( ln ) ln dy αd( ln )
β
β
y
α
而：d ln ln dα ln dβ ln dy
α
Hale Waihona Puke Baidu
β
y
β(dU
Ydy
3
U
g
2πV h3
3
(2m) 2
ε 2dε 0 eα βε 1
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8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
引入变量：x βε 则上述两式可写为：
1
N
2πV g h3
3
(2mkT ) 2 kT
x 2dx 0 eαx 1
3
U
2πV g h3
3
(2mkT ) 2 kT
x 2dx 0 eαx 1
l
al
l
ln l
l
ln l
ln
l
l
ln
系统的平均总粒子数：
N ln α
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8.1 热力学量的统计表达式
内能：
U
l
εlal
l
εl ωl eα βεl 1
U ln β
广义力：Y
l
εl y
al
l
ωl εl eα βεl 1 y
Y 1 ln β y