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解直角三角形定义

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可以直接利用这个比例关系求出未知边长。
02
45°-45°-90°三角形
当直角三角形中的两个锐角均为45°时，该三角形为等腰直角三角形，
三边之比为1:1:$sqrt{2}$，可以直接利用这个比例关系求出未知边长。
03
已知面积求边长
当已知直角三角形的面积和一条边长时，可以通过面积公式求出另一条
直角边的长度，再利用勾股定理求出斜边的长度。
纠正措施和避免方法
明确角度与弧度的区别
01
在教学过程中，教师应强调角度和弧度的区别，并指导学生正
确使用。
熟练掌握三角函数公式
02
学生应熟练掌握正弦、余弦、正切等三角函数公式，并能够正
确应用。
注意特殊角的三角函数值
03
学生应注意特殊角度的三角函数值，并能够灵活运用这些值进
行简化计算。
提高解题准确性和效率建议
关键知识点总结回顾
直角三角形的定义
有一个角为90度的三角形称为直角三角形。
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。
锐角三角函数
正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）的定义及性质。
解直角三角形的基本方法
利用已知元素和三角函数关系求解未知元素。
多做练习题
通过大量的练习，学生可以熟练掌握解直角三角形的技巧和方法，提高解题准确性和效率。
建立错题本
学生可以将做错的题目记录下来，分析错误原因并纠正，以避免类似错误的再次发生。
寻求帮助和辅导
如果遇到难以解决的问题，学生可以寻求老师或同学的帮助和辅导，以便及时解决问题。

(完整版)解直角三角形总结

解直角三角形总结解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系,是在深入研究几何图形性质的基础上,根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。

1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的.因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。

如图1,在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（1）边角之间的关系:sinA＝cosB＝ac， cosA＝sinB＝bc,tanA＝cotB＝ab，cotA＝tanB＝ba。

（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。

(3）三条边之间的关系：。

以上每个边角关系式都可看作方程,解直角三角形的思路，就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。

2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上,解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形,即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。

由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。

所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。

这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。

四种基本类型和解法列表如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角A B＝90°-A，b＝a·tanA，c=sinaA斜边c及锐角A B＝90°—A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°—A,直角边a和斜边c sinA=ac，B＝90°-A，例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1,求AB的长。

解直角三角形知识点.docx

每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项τ∠ ACB=90 CDL ABCD 2AD ?BDAC 2 AD ? ABBC 2 BD? AB6、常用关系式由三角形面积公式可得： AB ? CD=A （? BC二、锐角三角函数1、锐角三角函数定义：在RT ABC 中，∠ C=90o , a 、b 、C 分别是∠ A ∠ B ∠ C 的对边，则：（2）在0° : 90°之间，正弦、正切（Sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、cot ）的值，随角度的增大而减小。

直角三角形的性质: 1 、两个锐角互余∙∙∙∠ C=90°∙∙∙∠ A+∠B=902、在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半。

τ∠ C=90°∠ A=30°∙∙∙ BC= 1 AB3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半τ∠ ACB=90D 为AB 的中点D= 1 AB=BD=AD22 I 2 I 2 2 2C b , b C a4、勾股定理：a 2 b 2 c 2 : a 2 2 2 2b C 还可以变形为a5、射影定理：在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项,Sin AA 的对边 a 斜边 tan A A 的对边 a A 的邻边 b常用变形：a CgSinA ； CCoSAA 的邻边 b 斜边Ccot AA 的邻边 b A 的对边 a2、锐角三角函数的有关性质: (1)当 0° <∠ A<90° 时，0Sin ASinA 1 ； 0 cosA 1 ； tan A 0 ； cot A 03、同角三角函数的关系:Sin2 A COS2A 1 ta n Agpot A 1 ta nA Sin A CotA COSACoSA Si nA 5、特殊角的三角函数值:三角函数0°30 °45°60 °90°SinCOStan-COt-、解直角三角形已知的一些边、角求另一些边、角类型已知条件解法两边两直角边a、b C V a2b ，tan A 三，B 90 Ab直角边a ,斜边C b Jc2a2，Sin A 旦，B 90 AC一边一锐角直角边a，锐角AaB 90 A，b a cot A，C --------Sin A斜边C ,锐角A B 90 A，a cgβin A，b CgCOSA例1:①在Rt △ ABC中，∠ C=Rt∠,a,b,c 是厶ABC的三边，a=6, ∠ B=30°求∠ A,b,c.②在Rt △ ABC中,∠ C=Rt∠,a,b,c 是∠ A,常用变形：SinA 、1 COS2 A学自行完成）4、正弦与余弦，正切与余切的转换关系:aCOS A、一1 sin2A （用定义证明，易得，同如图1, 由定义可得：Sin A COS B COS(90 A) 同理可得:Sin A COS(90 A) COS A sin(90 A) tan A cot(90 A)cot A tan (90 A)∠ B, ∠ C 的对边,a=5,b= 5. 3 ,求C, ∠ A, ∠ B.3例 2:①在Rt Δ ABC 中，∠ C=Rt ∠ ,a,b,c 是三边，且 GtgA ,a=6.求 c.②在 Rt Δ ABC 中，∠ C=Rt ∠ , ∠ B=30° ,a-b=2.求 c. ③ 在 Rt Δ ABC 中，∠ B=45° , ∠C=60° ,BC=62 .3.求 S Δ ABC 及Δ ABC 的周长.④ 在Rt Δ ABC 中,∠ C=Rt ∠ , AC 8 5, ∠ A 的平分线AD 的长是IL 丄5解直角三角形.33⑤ 在 Rt Δ ABC 中，∠ C=90° , AB 10J3 , COSABC -.D 是 AC 上一点∠ DBC=30 .求5BC,AD.2、解直角三角形的实际运用⑴仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

解直角三角形知识点

解直角三角形
1.“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程。

2.解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角。

如图,在Rt △ABC 中, ∠C 为直角,其余5个元素之间有以下关系:
(1)三边之间关系：（勾股定理）
(2)锐角之间的关系：∠A+ ∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余)
(3)边角之间的关系： 3.解直角三角形的方法：（1）已知两边求第三边（或已知一边且另两边存在一定关系）时，用勾股定理（后一种需设未知数，根据勾股定理列方程）。

（2）已知或求解中有斜边时，用正弦、余弦；无斜边时，用正切。

（3）已知一个锐角求另一个锐角时，用两锐角互余。

注：上表中“√”表示已知． 222a b c +=a
sin ,cos ,tan b
a b A A A c c ==
=。

(2021年整理)解直角三角形的知识点总结

（完整）解直角三角形的知识点总结编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）解直角三角形的知识点总结）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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解直角三角形在中考试卷中,对于锐角三角形的概念，直角三角形中的边角关系，简单的解直角三角形等知识点的考查多以填空题和和选择题的形式出现,而运用解直角三角的知识解决实际问题，则成为近年来中考的热点。

解直角三角形问题，关键是正确运用直角三角形中的边角关系,同时要注意运用勾股定理、代数式的变形及方程思想。

解非直角三角形时，一定要通过作辅助线构造出直角三角形，将非直角三角形问题转换为直角三角形问题。

本知识点复习备考时应注意以下几点：1、熟练掌握锐角三角函数的概念，灵活应用特殊三角函数值来解决相关计算、求直角三角形的边和角等问题，能根据实际情况构造、构造出直角三角形解决问题.2、解答有关斜角问题时，能灵活地将其转换为易解答的直角三角形问题求解。

知识点总结一、锐角三角函数（一）、基础知识1．锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，∠C=900,设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：（1）正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦,记作sinA，即a,sin A =c（2)余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即b,cos A =c（3）正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即a，tan A =b这种对锐角三角函数的定义方法,有两个前提条件：（1）锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900；（2)在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示. 否则，不存在上述关系2、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。

知识清单17 解直角三角形- 2020年中考数学知识清单大全25讲(附例释)

知识清单17：解直角三角形1. 锐角三角函数的定义2. 特殊三角函数值3. 解直角三角形4. 锐角三角函数的应用1.锐角三角函数正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab .2.特殊角的三角函数值3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°；(3)边角之间的关系：sin A ＝=cosB=a c ，cos A ＝sinB=b c ，tan A ＝ab .名师点睛：（1）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.（2）科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC 中，已知a=5，sinA=30°，则c=10,b=5.（3）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： ①共边模型；②矩形模型解决这些模型的基本套路通常有两种：①在一个直角三角形中设未知数，把能表示的边全部表示完毕，在另一个直角三角形中解方程；②直接将未知的两条边设成两个未知数，在两个直角三角形中列出一个二元一次方程组解方程组.。

中考解直角三角形知识点复习

中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半;3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2,那么这个三角形是直角三角形;考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形;经典直角三角形：勾三、股四、弦五用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：1确定最大边不妨设为c ；2若c 2＝a 2＋b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2,则此三角形为钝角三角形其中c 为最大边；若a 2＋b 2＞c 2,则此三角形为锐角三角形其中c 为最大边4. 勾股定理的作用：1已知直角三角形的两边求第三边; 2已知直角三角形的一边,求另两边的关系;3用于证明线段平方关系的问题; 4利用勾股定理,作出长为n 的线段考点三、锐角三角函数的概念 1、如图,在△ABC 中,∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记为sinA,即c asin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记为cosA,即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记为tanA,即b atan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记为cotA,即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°sinα cos αtan α 1 cot α14、各锐角三角函数之间的关系1互余关系：sinA=cos90°—A,cosA=sin90°—A ； 2平方关系：1cos sin 22=+A A 3倒数关系：tanA •tan90°—A=1 4商弦切关系：tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时,1正弦值随着角度的增大或减小而增大或减小；2余弦值随着角度的增大或减小而减小或增大；3正切值随着角度的增大或减小而增大或减小；4余切值随着角度的增大或减小而减小或增大考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形; 2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为a,b,c 1三边之间的关系：222c b a =+勾股定理 2锐角之间的关系：∠A+∠B=90°3边角之间的关系：正弦sin,余弦cos,正切tan4 面积公式：h c 为c 边上的高考点五、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中,用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面知识点及应用举例：1仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角;2坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度坡比;用字母i 表示,即hi l=;坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等; 把坡面与水平面的夹角记作α叫做坡角,那么tan hi lα==; 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角;如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°;解直角三角形的基本类型及其解法公式总结2测量底部可以到达的物体的高度h ＝h 1＋h 2＝a 1tan α＋tan β3测量底部不可到达的物体的高度1数学模型所用工具应测数据数量关系根据理论皮尺侧倾器仰角α 俯角β 高度a tan α＝x h 1 ,tan β＝xah ＝a ＋h 1＝a ＋a ＝a1＋矩形的性质和直角三角形的边角关系俯角α 俯角β 高度 tan α＝, tan β＝xa∴x ＝＝ ∴h ＝a －测量底部不可到达的物体的高度2数字模型所用工具应测距离数量关系根据原理皮尺侧倾器仰角α, 仰角β 水平距离a 1 侧倾器高a 2tan α＝xa h +11tan β＝x h 1∴h 1＝αββαtan tan tan tan 1-ah ＝a 2＋h 1＝a 2＋αββαtan tan tan tan 1-a矩形的性质和直角三角形的边角关系仰角α 仰角β 高度atan α＝, tan β＝ h ＝tan α＝, tan β＝、h ＝仰角α 仰角β 高度atan α＝, tan β＝h ＝第三部分真题分类汇编详解2007-2012200719．本小题满分6分一艘轮船自西向东航行,在A 处测得东偏北°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B 处,测得小岛C 此时在轮船的东偏北°方向上．之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C 最近参考数据：°≈925,°≈25, °≈910,°≈2200819．本小题满分6分在一次课题学习课上,同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬,小明同学绘制的设计图如图所示,其中,AB 表示窗户,且2AB =米,BCD 表示直角遮阳蓬,已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18.6,最大夹角β为64.5．请你根据以上数据,帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD 的长是多少米结果保留两个有效数字参考数据：sin18.60.32=,tan18.60.34=,sin 64.50.90=,tan 64.5 2.1=200919．本小题满分6分在一次数学活动课上,老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器,测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°,然后往塔的方向前进50米到达B 处,此时测得仰D ＤＣ BβC GEFhα β x h xaα βhAa x α βhaxαβ hx α β角37CGE ∠=°,已知测倾器高米,请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度．参考数据：3sin 375°≈,3tan 374°≈,9sin 2125°≈,3tan 218°≈ 201019．本小题满分6分小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ,AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°,大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．结果保留整数参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，解：201119．6分某商场准备改善原有楼梯的安全性能, 原来的40o 减至35o ．已知原楼梯AB 长为5m,调整后的楼梯所占地面CD 有多长结果精确到0.1m ．参考数据：sin40o ≈,cos40o ≈≈,tan35o ≈ 201220.8分附历年真题标准答案：200719．本小题满分6分解：过C 作AB 的垂线,交直线AB 于点D,得到Rt△ACD 与Rt△BCD．设BD ＝x 海里,在Rt△BCD 中,tan∠CBD＝CDBD,∴CD＝x ·°．在Rt△ACD 中,AD ＝AB ＋BD ＝60＋x 海里,tan∠A＝CDAD,∴CD＝ 60＋x ·°． ∴x·°＝60＋x·°,即 ()22605x x =+．解得,x ＝15．答：轮船继续向东航行15海里,距离小岛C 最近． …………………………6′ 200819．本小题满分6分解：设CD 为x ,在Rt△BCD 中, 6.18==∠αBDC ,∵CDBCBDC =∠tan ,∴x BDC CD BC 34.0tan =∠⋅=． ········· 2′ 在Rt△ACD 中, 5.64==∠βADC , ∵CDACADC =∠tan ,∴x ADC CD AC 1.2tan =∠⋅=． ∵BC AC AB -=,∴x x 34.01.22-=． 1.14x ≈．答：CD 长约为米． 200919．本小题满分6分B CD A CG EDBAF B37° 48°DC A 第19题图40o 35o ADBC解：由题意知CD AD ⊥,EF AD ∥, ∴90CEF ∠=°,设CE x =,在Rt CEF △中,tan CE CFE EF ∠=,则8tan tan 213CE x EF x CFE ===∠°；在Rt CEG △中,tan CE CGE GE ∠=,则4tan tan 373CE x GE x CGE ===∠°∵EF FG EG =+,∴845033x x =+． 37.5x =,∴37.5 1.539CD CE ED =+=+=米．答：古塔的高度约是39米． ························ 6分 201019．本小题满分6分解：设CD = x ．在Rt △ACD 中,tan37ADCD︒=, 则34AD x =,∴34AD x =. 在Rt△BCD 中,tan48° = BD CD,则1110BD x=, ∴1110BD x =. ……………………4分∵AD ＋BD = AB ,∴31180410x x +=．解得：x ≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米． ………………… 6分201119．本小题满分6分 201220.8分第19题图。

第九章解直角三角形知识点综合

解：∵tanA=
a b
=
∴∠A=60° （2）、已知一边一角求另一边已知：∠B=30°，a=3。求b? b 解：∵tanB= a ∴b=a×tanB=3×tan30°= 3
c
3 1
= 3
（3）、已知两边关系和一角，求其中一边已知：AC=x,BC=5+x,∠B=30° 求:x？解：∵tanB= AC ∴
第九章
解直角三角形
1、角之间的关系： ∠A+∠B=90° 2、边之间的关系： a² +b² =c² 变形：a= c 2 - b2 b= c 2 - a 2 c= a2 b2
A b c
C
a
B
3、角与边之间的关系：锐角三角比:
sinA=
A的对边斜边
a = c
A b c
变形：a=c×sinA
b A的邻边 cosA= 斜边 = c
c=
a sin A
C
b cos A
a
B
变形：b=c×cosA
A的对边 tanA= A的邻边
c=
a b
=
变形：a=b×tanA
a b= tan A
4、
30° 45°
2 2 2 2
60°
3 2
sin
1 2
3 2 3 3
cos tan
1 2
1
3
小资料
5、在实际测量中的角
从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角；从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．
A ∴设AC=x,则BC=3x
=2 6
c
∵AC² +BC² =AB²
b
C

解直角三角形知识点

中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c asin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A2、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ；（2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA ∙tan(90°—A)=1（4）商（弦切）关系：tanA=AAcos sin3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60° sin α cos αtan α 1cot α 1 5、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

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辅导讲义(1) 三边关系：a 2+b 2=c 2,(2) 角关系：ZA+ZB=—,sin B = — ,cos A =—,cos B = —, tan A c c c c 二、同步题型分析直角三角形的性质已知：如图，ADDBC,F 是AB 中点，DF 交CB 延长线于点E, CE = CD ，则图中与ZADE 相等的有 ,与ZADE 互余的角有 ___ •解题分析：(1)注意题中直线的平行关系，利用平行线的性质找出相等角(2)利用等腰三角形的性质，判定哪些三角形是直角三角形，再利用Rt △的两个锐角互余进行处理1. 几何题注意先标清题屮给出的条件，寻找突破门;sin A (3)边角关系:AB（亍2.灵活运用平行线性质；3.注意等腰三角形三线合一.瑪例题3如图，A、C是ZMON的0M边上两点,A3丄0W于B,CD丄ON于D, 若OA=-,OB=CD,OD+AB=1 求ZMON的度数.2解题分析：(1)注意分析OD+AB二1二20A,可联想到三角形中的性质，延长0D至II,使得DII二AB,连CII；(2)利用三角形全等,可确定OA=CH=| OH,可得ZA=30°；(3)本题主要注意截长补短方法的运用.1.先标出己知条件，通过己知条件推导岀其中隐含的条件，再灵活运用这些条件解题;2.注意截长补短方法的运用；3.在Rt△屮，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。

.如图，已知在AABC中，ZACB = 90°, AC = BC, AE 丄BE于E, AE = -BD . 2求证：BZ)平分ZABC.4解题分析：（1）延长AE、BC,相交点F,连接CE；（2）灵活利用：在Rt△中，斜边上的小线等于斜边的一半；（3）同时注意垂直平分线定理的运用. 詈衣采弑一弑./1.己知：如图所示，AE、BD相交于点C, M、F、G分别是AD、BC、中点，AB = AC, DC = DE .求证：MF = MG .解题分析：连接AF、DG.灵活运用刚学的相关知识（在Rt△屮，斜边上的中线等于斜边的一半）进行处理.2.如图，在AA3C^,Z3 = 40o,ZC = 20°,AD 丄C4于人交BC于D .求证：CD = 2AB.解题分析：取CD 中点连接AM.灵活运用刚学的相关知识(在Rt △中，斜边上的中线等于斜边的一半)进行处理.3. 如图，正\ABC 的边长为1, P 是AB±不与A,3重合的任意一点，PQ 丄BC , QR 丄AC, RS 1 AB t Q,R,S为垂足，设BP = x, AS = y.求(1) y 与x 之间的函数关系式；(2) 当SP =丄时，求AP 的长； 4(3) 当点P 与S 重合时，与4R 的长各为多少?解题分析：在Rt △中，如果一个锐角等于30。

初三数学：《解直角三角形》知识点总结

初三数学：《解直角三角形》知识点总结知识点在不断更新的同时也需要及时的归纳总结，才能更好的掌握，接下来精品学习网初中频道给大家整理解直角三角形知识点整理，供大家参考阅读。

1解直角三角形【一】锐角三角函数(一)、锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：(1)正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sin A=ca,(2)余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即cos A=cb,(3)正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即tan A=ba，(4)锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切,记作cotA即aAAAb的对边的邻边cot锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。

这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：(1)锐角A必须在直角三角形中，且(2)在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。

否那么，不存在上述关系2注意:锐角三角函数的定义应明确(1)ca，cb，ba，ab四个比值的大小同△ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A取固定值时，它的四个三角函数也是固定的;(2)sinA不是sinA的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样;(3)利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等;(二)、同角三角函数的关系(1)平方关系：122sinCOS(2)倒数关系：tana cota=1(3)商数关系：sincoscot,cossintan注意：(1)这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。

(2)sinsin22是的简写，读作〝sin的平方〞，不能将22sin写成sin前者是a的正弦值的平方，后者无意义;(3)这里应充分理解〝同角〞二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cottan,1223030cossin22，而1cossin22就不一定成立。

九年级中考数学知识点总结--解直角三角形

九年级中考数学知识点总结--解直角三角形直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。

表示为：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

表示为：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

表示为：∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点； ∴ CD=21AB=BD =AD 4、勾股定理：222c b a =+5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ∙=2 ，AB AD AC ∙=2， AB BD BC ∙=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB ∙CD=AC ∙BC 锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC 中，∠C=90°c a sin =∠=斜边的对边A A c bcos =∠=斜边的邻边A Ab atan =∠∠=的邻边的对边A A Aabcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数3、锐角三角函数的取值范围：0 sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.ACBD锐角三角函数之间的关系（1）平方关系 1cos sin 22=+A A （2）弦切关系tanA=AAcos sin 特殊角的三角函数值α sinα cosα tanα 30° 45° 60°说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

解直角三角形的基本类型与解法公式(总结)

解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）1、解直角三角形的类型与解法2、测量物体的高度的常见模型1）利用水平距离测量物体高度2)测量底部可以到达的物体的高度13）测量底部不可到达的物体的高度（1）测量底部不可到达的物体的高度（2）第三部分真题分类汇编详解2007-2012（2007）19．（本小题满分6分）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°≈925，tan21.3°≈25，sin63.5°≈910，tan63.5°≈2）A B C北东（2008）19．（本小题满分6分）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB 表示窗户，且2AB =米，BCD 表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18.6，最大夹角β为64.5．请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD 的长是多少米？（结果保留两个有效数字）0.34=，sin 64.50.90=，tan 64.5 2.1=）（2009）19．（本小题满分6分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角，然后往塔的方向前进50米到达B 处，此时测得仰角，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度．（参考数据：，，，）21CFE ∠=°37CGE ∠=°3sin 375°≈3tan 374°≈9sin 2125°≈3tan 218°≈（2010）19．（本小题满分6分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，）解：37° 48°DCA（2011）19．(6分)某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40º减至35º．已知原楼梯AB 长为5m ，调整后的楼梯所占地面CD 有多长？(结果精确到0.1m ．参考数据：sin40º≈0.64，cos40º≈0.77，sin35º≈0.57，tan35º≈0.70)B第19题图40ºDBC（2012）20.（8分）附历年真题标准答案：（2007）19．（本小题满分6分）解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD．设BD＝x海里，在Rt △BCD 中，tan ∠CBD ＝CD BD，∴CD ＝x ·tan63.5°．在Rt △ACD 中，AD ＝AB ＋BD ＝(60＋x)海里，tan ∠A ＝CD AD，∴CD ＝(60＋x) ·tan21.3°．∴x ·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°，即()22605x x =+．解得，x ＝15．答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C 最近．…………………………6′ （2008）19．（本小题满分6分）解：设CD 为x ，在Rt △BCD 中， 6.18==∠αBDC ，∵CDBC BDC =∠tan ，∴x BDC CD BC 34.0tan =∠⋅=． ············ 2′在Rt △ACD 中， 5.64==∠βADC ， ∵CDAC ADC =∠tan ，∴x ADC CD AC 1.2tan =∠⋅=．∵BC AC AB -=，∴x x 34.01.22-=． 1.14x ≈．答：CD 长约为1.14米．（2009）19．（本小题满分6分）解：由题意知，， ∴，设，CD AD ⊥EF AD ∥90CEF ∠=°CE x =在中，，则；在中，，则 ∵，∴．，∴（米）．答：古塔的高度约是39米． ······················································ 6分（2010）19．（本小题满分6分）解：设CD = x ．在Rt △ACD 中，tan37AD CD︒=，则34AD x=，∴34AD x =.在Rt △BCD 中，tan48° =BDCD，则1110BD x=，∴1110BD x =.……………………4分∵AD ＋BD =AB ，∴31180410x x +=．解得：x ≈43．Rt CEF △tan CE CFE EF ∠=8tan tan 213CE x EF x CFE ===∠°Rt CEG △tan CE CGE GE ∠=4tan tan 373CE x GE x CGE ===∠°EF FG EG =+845033x x =+37.5x =37.5 1.539CD CE ED =+=+=答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．…………………6分（2011）19．（本小题满分6分）（2012）20.（8分）。

解直角三角形知识点梳理及经典练习(详细版)

解直角三角形知识点梳理及经典练习【本章知识结构梳理】一、锐角三角函数的定义如图，在Rt ABC∆中：正弦：sinAA∠=的对边斜边余弦：cosAA∠=的邻边斜边正切：tanAAA∠=∠的对边的邻边余切：cotAAA∠=∠的邻边的对边▲取值范围：0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0锐角三角函数1锐角三角函数的定义⑴、正弦；⑵、余弦；⑶、正切。

2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。

3、各锐角三角函数间关系⑴、定义；⑵、直角三角形的依据⑶、解直角三角形的应用。

①、三边间关系；②、锐角间关系；③、边角间关系。

二、特殊角三角函数三、锐角三角函数的增减性当090A ︒<∠<︒，正弦(sin A )、正切(tan A )随角度的增大而增大；余弦(cos A )、余切(cot A )随角度的增大而减小四、锐角三角函数之间的关系 1.同角关系：sin(90)cos αα︒-= cos(90)sin αα︒-= tan(90)cot αα︒-= cot(90)tan αα︒-= 22sin cos 1αα+= tan cot 1αα⋅=sin tan cos ααα= cos cot sin ααα=2.互余关系：若 ∠A+∠B=90°，则：sinA= cosB ；cosA= sinB ； tanA ·tanB=1.五、解直角三角形的应用问题解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。

解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。

1.俯角、仰角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的叫俯角2.坡度(坡比)、坡角：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)，即tan hi l α==，坡面与水平线的夹角α叫做坡角.3.方向角：指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90︒的角，叫做方向角。

解直角三角形知识点

解直角三角形知识点一、直角三角形的性质：1 、两个锐角互余T/ C=90°B=90°2、在直角三角形中，30°角所对等于斜边的一半。

•・•/ C=90°Z A=30°A Be弓AB3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半•・• / ACB=90°D为AB的中点 /CD=LAB=BD=AD 3 4a2b2=c2-a25、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项• / ACB=90 CDL AB・・ CD2=AD *BD2AC =AD *ABBC2 =BD ・AB6、常用关系式2 ____________________4勾股定理：|a2+b2=c2: a2+b2=c2还可以变形为由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC1、锐角三角函数a 、b 、c 分别是/ A 、/ B 、/ C 的对边，则:学们自行归纳2、锐角三角函数的有关性质:(1 )当 0 ° < / A<90° 时，0FnA ：：：1 ；0 cosA 1 ； ta nA 0 ； cot A 0(2) 在0° 90°之间，正弦、正切(sin 、tan）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切 cos 、cot）的值，随角度的增大而减小。

3、同角三角函数的关系:常用变形： sin A = 7-cos 2AcosA = U1-sin 2 A（用1、锐角三角函数定义：在 RT ABC 中，/ C = 90 , 斜边 cos A =.A 的邻边斜边N A 的对边tan A 二-N A 的邻边.A 的邻边 b.A 的对边=a常用变形:agsinA ；"抚等，由同2 2sin A cos A = 1cosAcot Atan Acot A 二 1tan A =sin AcosA定义证明，易得，同学自行完成）4、正弦与余弦，正切与余切的转换关系: 如图1 ,由定义可得 : sin A =? = COSB = cos(90^_ A) Ccot A = tan(90 - A)三角函数0°30 °45°60 °90°sin 口cosatana -cot a-】、有关三角函数计算（计算器、特殊角）1、解直角三角形已知的一些边、角求另一些边、角1、解直角三角形的基本类型及其解法总结:类型已知条件解法两边两直角边a、 bc=Ja2+J，十，BT/A同理可得：sin A =cos(90 -A) cosA = sin(90 -A) tan A = cot(90 - A)5、特殊角的三角函数值：21 -例1:①在Rt△ ABC中,/ C=Rt/,a,b,c 是厶 ABC 的三边,a=6, / B=30° 求/ A,b,c.②在Rt△ ABC中, / C=Rt Z ,a,b,c 是/ A, / B, / C 的对边,a=5,b= 5.3,求c, / A, / B.例2:①在Rt △ ABC中,/ C=Rt Z ,a,b,c 是三边, 且ctgA =|,a=6.求c.②在Rt △ ABC 中,/ C=Rt / , / B=30o ,a-b=2.求c.③在Rt △ ABC 中,/ B=45 o , /C=60° ,BC=6 23.求S A ABC M A ABC的周长.④在Rt A ABC 中,/ C=Rt/,A—85, / A 的平分线AD的长是呼解直角三角形.⑤在Rt A ABC中, / C = 90° , AB =10、3,cosABC 3.D是AC上一点/ DBC=30 .求BC,AD.2、解直角三角形的实际运用（1）仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

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解直角三角形定义

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知识清单17 解直角三角形- 2020年中考数学知识清单大全25讲(附例释)

中考解直角三角形知识点复习

第九章 解直角三角形 知识点综合

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