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专题09动态几何定值问题(原卷版)

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圆锥曲线【定点定值】12 大题型(原卷版)

圆锥曲线【定点定值】12 大题型(原卷版)

圆锥曲线中的定点、定值问题1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．常用消参方法：①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系(,)0F k m =，用一个参数表示另外一个参数()k f m =，即可带用其他式子，消去参数k ．②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．④参数无关消参：当与参数相关的因式为0时，此时与参数的取值没什么关系，比如：2()0y kg x -+=，只要因式()0g x =，就和参数k 没什么关系了，或者说参数k 不起作用．3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明．一般解题步骤：①斜截式设直线方程：y kx m =+，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到k 和m 的关系：m =()f k ，等式带入消参，消掉m ．③参数无关找定点：找到和k 没有关系的点．题型一：面积定值【典例1-1】如图所示，已知椭圆22:14x C y +=，A ，B 是四条直线2x =±，1y =±所围成的矩形的两个顶点．若M ，N 是椭圆C 上的两个动点，且直线OM ，ON 的斜率之积等于直线OA ，OB 的斜率之积，试探求OM N V 的面积是否为定值，并说明理由．【典例1-2】（2024·湖北荆州·三模）从抛物线28y x =上各点向x 轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为Γ.(1)求Γ的轨迹方程；(2),,A B C 是Γ上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,,D E F ，①若//AC DF ，求BDBF的值；②证明：三角形ABC 与三角形DEF 的面积之比为定值.【变式1-1】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，M 在椭圆E 上，且12MF F △(1)求椭圆E 的方程；(2)直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于P ，Q 两点，且22434k m +=，求证：OPQ △（O 为坐标原点）的面积为定值.【变式1-2】（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ^；（ii ）记PMQ V ，HNQ V ，MNQ V 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）已知()1,0A -，()10B ,，平面上有动点P ，且直线AP 的斜率与直线BP 的斜率之积为1.(1)求动点P 的轨迹Ω的方程.(2)过点A 的直线与Ω交于点M （M 在第一象限），过点B 的直线与Ω交于点N （N 在第三象限），记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，且124k k =.试判断AMN V 与BMN V 的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.题型二：向量数量积定值【典例2-1】（2024·高三·江苏盐城·开学考试）已知椭圆C ：22142x y +=，()0,1A ，过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点.(1)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得AP AQ OP OQ l ×+×uuu r uuu r uuu r uuu r为定值？若存在，求出l 的值；若不存在，说明理由.【典例2-2】（2024·上海闵行·二模）已知点12F F 、分别为椭圆22:12x y G +=的左､右焦点，直线:l y kx t =+与椭圆G 有且仅有一个公共点，直线12,F M l F N l ^^，垂足分别为点M N 、.(1)求证：2221t k =+；(2)求证：12F M F N ×uuuu r uuuu r为定值，并求出该定值；【变式2-1】（2024·陕西宝鸡·一模）椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点P æççè，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.(1)求椭圆C 的方程；(2)设5,04M æöç÷èø，过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交C 于A 、B 两点，试问：MA MB ×uuu r uuu r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【变式2-2】（2024·高三·河南南阳·期末）P 为平面直角坐标系内一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交直线b y x a =-（0a b >>）于Q ，过P 作y 轴的垂线，垂足为N ，交直线by x a=-于R ，若△OMQ ，V ONR 的面积之和为2ab．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若2a =，1b =，()4,0A -，(),0G n ，过点G 的直线l 交C 于D ，E 两点，是否存在常数n ，对任意直线l ，使AD AE ×uuu r uuu r为定值？若存在，求出n 的值及该定值，若不存在，请说明理由．【变式2-3】（2024·高三·天津河北·期末）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，短轴的两个端点为,A B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形.,C D 分别是椭圆的左右顶点，动点M 满足MD CD ^，连接CM ，交椭圆E 于点P .(1)求椭圆E 的方程；(2)求证：OM OP ×uuuu r uuu r为定值.【变式2-4】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F ，且3AF =uuu r ，以F为圆心，OF 为半径的圆F 经过点B .(1)求C 的方程；(2)过点A 且斜率为()0k k ¹的直线l 交椭圆C 于P ，（ⅰ）设点P 在第一象限，且直线l 与y x =-交于HHAO Ð，求k 的值；（ⅱ）连接PF 交圆F 于点T ，射线AP 上存在一点Q ，且QT BT ×为定值，已知点Q 在定直线上，求Q 所在定直线方程.题型三：斜率和定值【典例3-1】已知椭圆()222:11x M y a a +=>与双曲线222:1y N x a-=的离心率的平方和为234.(1)求a 的值；(2)过点1,02Q æöç÷èø的直线l 与椭圆M 和双曲线N 分别交于点A ，B ，C ，D ，在x 轴上是否存在一点T ，直线TA ，TB ，TC ，TD 的斜率分别为TA k ，TB k ，TC k ，TD k ，使得1111TA TB TC TDk k k k +++为定值？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【典例3-2】（2024·河南·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设()3,P t ，过点P 的两条直线1l 和2l 分别交椭圆C 于点,D E 和点,M N （1l 和2l .不重合），直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k .若PM PN PD PE =，判断12k k +是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由.【变式3-1】椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为()，且椭圆C 经过点()0,1P ，直线21y kx k =+-（0k ¹）与C 交于A ，B 两点（异于点P ）.(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值.【变式3-2】（2024·宁夏银川·一模）已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，左顶点为A ，则上顶点为1B ，且1AB 20y -+=.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P 是直线3x =上一点，过点P 的两条不同直线分别交C 于点D ，E 和点M ，N ，且PD PMPN PE=，求证：直线DE 的斜率与直线MN 的斜率之和为定值.题型四：斜率积定值【典例4-1】（2024·高三·陕西·开学考试）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左顶点为E ，虚轴的上端点为P ，且3PF =，PE =(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设M N 、是双曲线C 上不同的两点，Q 是线段MN 的中点，O 是原点，直线MN OQ 、的斜率分别为12k k 、，证明：12k k ×为定值．【典例4-2】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，过点，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，F 是E右焦点，π3AFB Ð=.(1)求E 的方程；(2)过点F 的直线与椭圆E 交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与直线4x =交于不同的两点M ，N .设直线FM ，FN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.【变式4-1】已知椭圆22122:1(0)22x y C a b a b +=>>左右焦点12,F F 分别为椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，过点1F 且斜率不为零的直线与椭圆1C 相交于,A B 两点，交椭圆2C 于点M ，且2ABF △与12BF F △的周长之差为4-(1)求椭圆1C 与椭圆2C 的方程；(2)若直线2MF 与椭圆1C 相交于,D E 两点，记直线1MF 的斜率为1k ，直线2MF 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值.【变式4-2】（2024·湖南长沙·二模）如图，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点1F ，2F 分别为双曲线22222:144x y C a b -=的左､右顶点，过点1F 的直线分别交双曲线1C 的左､右两支于,A B 两点，交双曲线2C 的右支于点M （与点2F 不重合），且12BF F △与2ABF △的周长之差为2.(1)求双曲线1C 的方程；(2)若直线2MF 交双曲线1C 的右支于,D E 两点.①记直线AB 的斜率为1k ，直线DE 的斜率为2k ，求12k k 的值；②试探究：DE AB -是否为定值？并说明理由.【变式4-3】已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)过点((1)求双曲线C 的标准方程；(2)设过点()2,0P 且斜率不为0的直线l 与双曲线C 的左右两支交于A ，B 两点.问：在x 轴上是否存在定点Q ，使直线QA 的斜率1k 与QB 的斜率2k 的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.题型五：斜率比定值【典例5-1】设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0M p ，过点F 且斜率存在的直线交C 于不同的,A B 两点，当直线AM 垂直于x 轴时，3AF =.(1)求C 的方程；(2)设直线,AM BM 与C 的另一个交点分别为,D E ，设直线,AB DE 的斜率分别为12,k k ，证明：（ⅰ）12k k 为定值；（ⅱ）直线DE 恒过定点.【典例5-2】如图所示，已知点()1,0K ，F 是椭圆22195x y+=的左焦点，过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，直线,AK BK 分别与椭圆交于,P Q 两点．(1)证明：直线PQ 过定点．(2)证明：直线PQ 和直线AB的斜率之比为定值．【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）如图，DM x ^轴，垂足为D ，点P 在线段DM 上，且||1||2DP DM =．(1)点M 在圆224x y +=上运动时，求点P 的轨迹方程；(2)记（1）中所求点P 的轨迹为,(0,1)A G ，过点10,2æöç÷èø作一条直线与G 相交于,B C 两点，与直线2y =交于点Q ．记,,AB AC AQ 的斜率分别为123,,k k k ，证明：123k k k +是定值．【变式5-2】（2024·云南·二模）已知椭圆EO ，焦点在x 轴上，右焦点为F ，A 、B 分别是E 的上、下顶点.E 的短半轴长是圆O 的半径，点M 是圆O 上的动点，且点M 不在y 轴上，延长BM 与E 交于点,N AM AN ×uuuu r uuu r的取值范围为(0,4).(1)求椭圆E 、圆O 的方程;(2)当直线BM 经过点F 时，求AFN V 的面积;(3)记直线AM 、AN 的斜率分别为12k k 、，证明:21k k 为定值.【变式5-3】（2024·河南·三模）已知点())A B ,，动点V 满足直线VA 与直线VB 的斜率之积为13，动点V 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程：(2)直线PQ 与曲线C 交于,P Q 两点，且BP BQ BM PQ ^^,交PQ 于点M ，求定点N 的坐标，使MN 为定值；(3)过（2）中的点N 作直线交曲线C 于,G H 两点，且两点均在y 轴的右侧，直线,AG BH 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值．题型六：斜率差定值【典例6-1】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()122,0,2,0F F -，D 为椭圆C 的右顶点，且124DF DF ×=uuu u r uuuu r.(1)求椭圆C 的方程；(2)设()4,2M -，过点()4,0Q -的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧），直线AM 与直线2x =-交于点N ，设直线NA ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：21k k -为定值.【典例6-2】已知双曲线2222;1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点æççè，右焦点为(),0F c ，且222,,c a b 成等差数列.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的右支交于,P Q 两点（P 在Q 的上方），PQ 的中点为,M M 在直线:2l x =上的射影为,N O 为坐标原点，设POQ △的面积为S ，直线,PN QN 的斜率分别为12,k k ，试问12k k S-是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.【变式6-1】已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的离心率为12，A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点，上顶点和右顶点，1F 为左焦点，且1ABF V P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点，直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ．(1)求椭圆M 的标准方程；(2)求证：2QN QC k k -为定值，并求出此定值（其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．【变式6-2】（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，点()3,1-在双曲线C 上．过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)若()2,0M -，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由．(3)点()4,2P -，直线AP 交直线2x =-于点Q ．设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ，求证：12k k -为定值．题型七：线段定值【典例7-1】（2024·高三·山西·期末）已知椭圆E ：()2221024x y b b +=<<.(1)若椭圆E 22y x =-与椭圆E 交于M ，N 两点，求证：OM ON ^；(2)P 为直线l ：4x =上的一个动点，A ，B 为椭圆E 的左、右顶点，PA ，PB 分别与椭圆E 交于C ，D 两点，证明CA PD PC BD××为定值，并求出此定值.【典例7-2】如图，已知圆22:210T x y ++-=，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为)，线段CH 的垂直平分线交线段TC 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA AH l =uuu r uuur ，CB BH m =uuur uuur ，试探究l m +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；(3)过点()2,1M 作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得1MP MQ k k ×=.且MD PQ ^，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得DF 为定值.【变式7-1】已知点N 在曲线22:11612x y C +=上，O 为坐标原点，若点M 满足2ON OM =uuu r uuuu r ，记动点M 的轨迹为G ．(1)求G 的方程；(2)设,C D 是上G 的两个动点，且以CD 为直径的圆经过点O ，证明：2211OCOD+为定值．【变式7-2】（2024·湖北·模拟预测）平面直角坐标系xOy 中，动点(,)P x y 满足=，点P 的轨迹为C ，过点(2,0)F 作直线l ，与轨迹C 相交于A ，B 两点．(1)求轨迹C 的方程；(2)求OAB △面积的取值范围；(3)若直线l 与直线1x =交于点M ，过点M 作y 轴的垂线，垂足为N ，直线NA ，NB 分别与x 轴交于点S ，T ，证明：||||SF FT 为定值．【变式7-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知12(2,0),(2,0),(1,0),(1,0)A B F F --，动点P 满足34PA PB k k ×=-，动点P 的轨迹为曲线1,PF t 交t 于另外一点2,Q PF 交t 于另外一点R .(1)求曲线t 的标准方程;(2)已知1212PF PF QF RF +是定值，求该定值;题型八：坐标定值【典例8-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，122AF AF AF -=uuur uuuu r uuuu r ，12AF F △(1)求C 的方程；(2)B 是C 上位于第一象限的一点，其横坐标为1，直线l 过点2F 且与C 交于M ，N 两点（均异于点B ），点P 在l 上，设直线BM ，BP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若2312k k k -=，问点P 的横坐标是否为定值？若为定值，求出点P 的横坐标；若不为定值，请说明理由.【典例8-2】（2024·全国·模拟预测）一般地，抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形．如图，012P PP V ，ABC V 分别为抛物线y 2=2px(p >0)的切线三角形和切点三角形，F 为该抛物线的焦点．当直线AB 的斜率为1-时，AB 中点的纵坐标为2-．(1)求p ．(2)若直线AC 过点F ，直线,AB BC 分别与该抛物线的准线交于点,D E ，记点,D E 的纵坐标分别为,D E y y ，证明：D E y y 为定值．(3)若,,A B C 均不与坐标原点重合，证明：012FA FB FC FP FP FP ××=××【变式8-1】（2024·四川凉山·三模）已知平面内动点P 与两定点()11,0A -，()21,0A 连线的斜率之积为3．(1)求动点P 的轨迹E 的方程：(2)过点()2,0的直线与轨迹E 交于A ，B 两点，点A ，B 均在y 轴右侧，且点A 在第一象限，直线2AA 与1BA 交于点M ，证明：点M 横坐标为定值．题型九：角度定值【典例9-1】抛物线C ：()20x py p =>的焦点为()0,1F ，直线l 的倾斜角为a 且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于两点A ，B .（1）若16AB =，求角a ；（2）分别过A ，B 作抛物线C 的切线1l ，2l ，记直线1l ，2l 的交点为E ，直线EF 的倾斜角为b .试探究a b -是否为定值，并说明理由.【典例9-2】（2024·高三·广东广州·期中）已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的离心率为12，焦距为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于B ，D （异于点A ）两点，直线AB ，AD 分别与直线4x =交于M ，N 两点，试问MFN Ð是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【变式9-1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，利用公式x ax byy cx dy¢=+ìí¢=+î①（其中a ，b ，c ，d 为常数），将点(,)P x y 变换为点(),P x y ¢¢¢的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a ，b ，c ，d 组成的正方形数表a b c d æöç÷èø唯一确定，我们将a b c d æöç÷èø称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A ，B ，…表示.(1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，将点(,)P x y 绕原点O 按逆时针旋转a 角得到点(),P x y ¢¢¢（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A ；(2)在平面直角坐标系xOy 中，求双曲线1xy =绕原点O 按逆时针旋转π4（到原点距离不变）得到的双曲线方程C ；(3)已知由（2）得到的双曲线C ，上顶点为D ，直线l 与双曲线C 的两支分别交于A ，B 两点（B 在第一象限），与x 轴交于点T ö÷÷ø.设直线DA ，DB 的倾斜角分别为a ，b ，求证：a b +为定值.【变式9-2】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点.(1)求圆O 和椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N .求证：MQN Ð为定值.题型十：直线过定点【典例10-1】（2024·陕西·模拟预测）已知动圆M 经过定点1(F ，且与圆222:(16F x y +=内切.(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ，B ，点P 为轨迹C 上异于A ，B 的动点，设直线PB 交直线4x =于点T ，连接AT 交轨迹C 于点Q ；直线AP ，AQ 的斜率分别为AP k ，AQ k .（i ）求证：AP AQ k k ×为定值；（ii ）设直线:PQ x ty n =+，证明：直线PQ 过定点.【典例10-2】（2024·广西·模拟预测）已知圆E 恒过定点()1,0，且与直线=1x -相切，记圆心E 的轨迹为G ，直线11:10l x m y --=与G 相交于A ，B 两点，直线22:10l x m y --=与G 相交于C ，D 两点，且121m m =-，M ，N 分别为弦,AB CD 的中点，其中A ，C 均在第一象限，直线AC 与直线BD 的交点为G ．(1)求圆心E 的轨迹G 的方程；(2)直线MN 是否恒过定点？若是，求出定点坐标？若不是，请说明理由．【变式10-1】（2024·江西·二模）已知()12,0F -，()22,0F ，M 是圆O ：221x y +=上任意一点，1F 关于点M 的对称点为N ，线段1F N 的垂直平分线与直线2F N 相交于点T ，记点T 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设(),0E t （0t >）为曲线C 上一点，不与x 轴垂直的直线l 与曲线C 交于G ，H 两点（异于E 点）.若直线GE ，HE 的斜率之积为2，求证：直线l 过定点.【变式10-2】在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，F 是椭圆的右焦点且椭圆C与圆M ：()22616x y -+=外切，又与圆N ：(223x y +-=外切．(1)求椭圆C 的方程．(2)已知A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，连接AF ，BF 并分别延长交椭圆C 于D ，E 两点，证明：直线DE 过定点．题型十一：动点在定直线上【典例11-1】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，A ，B 分别为C 的上、下顶点，O 为坐标原点，直线4y kx =+与C 交于不同的两点M ，N ．(1)设点P 为线段MN 的中点，证明：直线OP 与直线MN 的斜率之积为定值；(2)若AB 4=，证明：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．【典例11-2】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2H æö-ç÷èø，离心率12e =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点()4,3P 且倾斜角为135o 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，点R 为椭圆C 上任意一点，求RMN V 面积的最小值.(3)如图，过点()4,3P 作两条直线,AB CD 分别与椭圆C 相交于点,,,A B C D ，设直线AD 和BC 相交于点Q .证明点Q 在定直线上.【变式11-1】已知A ，B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点，P 是C 上异于A ，B 的一点，直线PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，且12||4k k AB ==.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知过点(4,0)的直线:4l x my =+，交C 的左，右两支于D ，E 两点（异于A ，B ）.（i ）求m 的取值范围；（ii ）设直线AD 与直线BE 交于点Q ，求证：点Q 在定直线上.【变式11-2】已知椭圆G ：()222210+=>>x y a b a b 的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交椭圆G 于点3(1,)2P ．过点P 作椭圆G 的切线，交x 轴于点Q ．(1)求点Q 的坐标；(2)过点Q 的直线（非x 轴）交椭圆G 于A 、B 两点，过点A 作x 轴的垂线与直线BP 交于点D ，求证：线段AD 的中点在定直线上．【变式11-3】（2024·河北·三模）已知椭圆C 的中心在原点O 、对称轴为坐标轴，A æççè、12B ö÷÷ø是椭圆上两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 的左、右顶点分别为1A 和2A ，M ，N 为椭圆上异于1A 、2A 的两点，直线MN 不过原点且不与坐标轴垂直．点M 关于原点的对称点为S ，若直线1A S 与直线2A N 相交于点T ．（i ）设直线1MA 的斜率为1k ，直线2MA 的斜率为2k ，求12k k -的最小值；（ii ）证明：直线OT 与直线MN 的交点在定直线上．题型十二：圆过定点【典例12-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>A 、B 分点是椭圆C 的左、右顶点，P 是椭圆C 上不同于A 、B 的一点，ABP V 面积的最大值是2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)记直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，且直线AP 、BP 与直线6x =分别交于D 、E 两点．①求D 、E 的纵坐标之积；②试判断以DE 为直径的圆是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【典例12-2】（2024·西藏拉萨·二模）已知抛物线2:2(0)C x py p =>上的两点,A B 的横坐标分别为4,8,AB -=.(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点()0,8Q 的直线l 与抛物线C 交于点,M N ，问：以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.【变式12-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为12，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P 作椭圆的切线l ，交y 轴于点A ，直线l ¢过点P 且垂直于l ，交y 轴于点B ．(1)求椭圆的方程；(2)试判断以AB 为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．【变式12-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线2:2(0)E x py p =>，焦点为F ，点(2,1)C 在E 上，直线1l ∶1y kx =+(0)k ¹与E 相交于,A B 两点，过,A B 分别向E 的准线l 作垂线，垂足分别为11,A B .(1)设1111,,FA B FAA FBB V V V 的面积分别为123,,S S S ，求证：21234S S S =×；(2)若直线AC ，BC 分别与l 相交于,M N ，试证明以MN 为直径的圆过定点P ，并求出点P 的坐标.1．（2024·全国·模拟预测）已知复平面上的点Z 对应的复数z 满足2297z z --=，设点Z 的运动轨迹为W ．点O 对应的数是0．(1)证明W 是一个双曲线并求其离心率e ；(2)设W 的右焦点为1F ，其长半轴长为L ，点Z 到直线Lx e=的距离为d （点Z 在W 的右支上），证明：1ZF ed =；(3)设W 的两条渐近线分别为12l l ，，过Z 分别作12l l ，的平行线34l l ，分别交21l l ，于点P Q ，，则平行四边形OPZQ 的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．2．（2024·湖南常德·三模）已知O 为坐标原点，椭圆C ：2221(1)x y a a +=>的上、下顶点为A 、B ，椭圆上的点P 位于第二象限，直线PA 、PB 、PO 的斜率分别为123,,k k k ，且312114k k k =-+.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过原点O 分别作直线PA 、PB 的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.3．已知一张纸上画有半径为4的圆E ，在圆E 内有一个定点F ，且EF =，折叠纸片，使圆上某一点F ¢刚好与F 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当F ¢取遍圆上所有点时，所有折痕与EF ¢的交点形成的曲线为C ．(1)若曲线C 的焦点在x 轴上，求其标准方程；(2)在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线C 恒有两个交点,A B ，且OA OB ^，（O 为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由；(3)在（1）的条件下，P 是曲线C 上异于上顶点1A 、下顶点2A 的任一点，直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ，若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切，切点为T ，证明：线段OT 的长为定值，并求出定值．4．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的一个动点，12PFF V 面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)求12PF PF ×uuu r uuu u r的取值范围；(3)过椭圆的左顶点A 作直线l x ^轴，M 为直线l 上的动点，B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于点Q ．试判断数量积AQ OM ×uuu v uuuu v ，OQ OM ×uuu v uuuu v是否为定值，如果为定值，求出定值；如果不是定值，说明理由．5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的上下焦点分别为()10,F c ，()20,F c -. 已知点(e 和(都在双曲线上， 其中e 为双曲线的离心率.(1)求双曲线的方程;(2)设,A B 是双曲线上位于y 轴右方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P .(i) 若122AF BF -=，求直线1AF 的斜率；(ii) 求证：12PF PF +是定值.6．已知椭圆22142x y +=，设动点P 满足OP OM ON =+uuu r uuuu r uuu r ，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-．问：是否存在两个点1F ，2F ，使得21PF PF +为定值？若存在，求1F ，2F 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为2，设F 为C 的右焦点，T 为C 的左顶点，过F 的直线交C 于A ，B 两点，当直线AB 斜率不存在时，TAB △的面积为9．(1)求C 的方程；(2)当直线AB 斜率存在且不为0时，连接TA ，TB 分别交直线12x =于P ，Q 两点，设M 为线段PQ 的中点，记直线AB ，FM 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值．8．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，(,2)M m 是抛物线C 上一点，且||2MF =．(1)求抛物线C 的方程．(2)若()()004,0P y y >是抛物线C 上一点，过点(1,4)Q -的直线与拋物线C 交于,A B 两点（均与点P 不重合），设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，试问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．9．（2024·河南新乡·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是12,A A ，椭圆C 的焦距是2，P （异于12,A A ）是椭圆C 上的动点，直线1A P 与2A P 的斜率之积为34-．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，Q 是12PFF V 内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点,M N ，使得QM QN +为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.10．（2024·江苏盐城·一模）已知抛物线O ：2x y =，圆C ：()2221x y +-=，O 为坐标原点.(1)若直线l ：()0y kx m k =+¹分别与抛物线O 相交于点A ，B （A 在B 的左侧）、与圆C 相交于点S ，T （S 在T 的左侧），且OAT !与OBS V 的面积相等，求出m 的取值范围；(2)已知1A ，2A ，3A 是抛物线O 上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中12A A ，13A A 均与圆C 相切，请判断此时圆心C 到直线23A A 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.11．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，1F ，2F 分别是C 的左、右焦点，C 上的点到1F 的最小距离为1，P是C 上一点，且12PFF V 的周长为6．(1)求C 的方程；(2)过点2F 且斜率为k 的直线l 与C 交于M ，N 两点，过原点且与l 平行的直线与C 交于A ，B 两点，求证：2ABMN为定值．12．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知点P 为圆()22:24C x y -+=上任意一点，()2,0A -，线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点M ，设点M 的轨迹为曲线H .(1)求曲线H 的方程；(2)若过点M 的直线l 与曲线H 的两条渐近线交于S ，T 两点，且M 为线段ST 的中点.（i ）证明：直线l 与曲线H 有且仅有一个交点；（ii ） 求证：OS OT ×是定值.13．（2024·湖北·模拟预测）已知F 为抛物线G ：()20y mx m =>的焦点，A ，B ，C 是G 上三个不同的点，直线AB ，BC ，AC 分别与x 轴交于F ，D ，E ，其中AB 的最小值为4.(1)求G 的标准方程；(2)ABC V 的重心G 位于x 轴上，且D ，G ，E 的横坐标分别为d ，g ，e ，32g d e --是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.14．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=；(2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹G 交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG V 的重心的横坐标为定值．。

中考数学动态几何之定值问题

中考数学动态几何之定值问题

中考数学动态几何之定值问题一、线段（和差）为定值问题：1、已知：在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，点P从点B出发，沿射线BC方向以每秒2cm的速度移动，同时，点Q从点D出发，沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动（当点Q到达点A时，点P与点Q同时停止移动），PQ交BD于点E．求证：在点P、Q的移动过程中，线段BE的长度保持不变．2、如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，顶点坐标为P．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．3、如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B 向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：△PQE∽△PMF；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．4、已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边上所在直线上，且随着点P运动而运动，PE＝PD总成立．(1)如图(1)，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；(2)如图(2)，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图(3)，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)(1)(2) (3)5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时．．出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0<t<10）．（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．6、已知：A、B、C不在同一直线上.（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；ii）如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A= BC2R；（2）.若定长线段．．．．BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P，试探索：在整个滑动过程中，P、A 两点的距离是否保持不变？请说明理由.二、面积（和差）为定值问题：1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC边的中点，AB=4，∠B=60°，（1）求点E到BC边的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥BC，垂足为M，过点M作MN∥AB交线段AD于点N，连接PN、探究：当点P在线段EF上运动时，△PMN的面积是否发生变化？若不变，请求出△PMN的面积；若变化，请说明理由．2、如图，在平面直角坐标系x O y中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=52.（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？练习题：1．如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG=3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是．2．如图2，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连接PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和等于 _________ ．图1 图23.如图所示，四边形OABC 是矩形．点A 、C 的坐标分别为(30-，)，(0，1)，点D 是线段BC 上的动点(与端点B 、C 不重含)，过点D 作直线12y x b =+交折线OAB 于点E 。

专题01 几何动态问题(解析版)

专题01 几何动态问题(解析版)

专题01 几何动态问题1．小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关系．如图1，ABC D 中，CD 为AB 边的中线，可得AD BD =，过点C 作CM AB ^于M ，则1122ADC BDC S AD CM BD CM S D D =×=×=．在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务：（1）如图2，矩形ABCD 中，点M ，N 分别为CD ，AB 上的动点，且DM AN =，AM 与DN 交于点E ．连接CE ．①判断DAE D 与DME D 的面积关系；②若3AD =，4AB =，当点M 为CD 的中点时，求四边形BCEN 的面积；（2）ABC D 中，30A Ð=°，6AB =，点D 为AB 的中点，连接CD ，将ACD D 沿CD 折叠，点A 的对应点为点E ，若ECD D 与ABC D 重合部分的面积为ABC D 面积的14，直接写出ABC D 的面积．【解答】解：（1）①连接MN ，作DP AM ^，垂足为P ，//DM AN Q ，DM AN =，90ADM Ð=°，\四边形ANMD 是矩形，AE EM \=，DE EN =，12DAE S AE DP D \=×，12DME S EM DP D =×，DAE DME S S D D \=；②DNA DEC BCEN ABCD S S S S D D =--四边形四边形，E Q 为AM 的中点，E \到DM 的距离为12AD ，11114332222DEC S DC AD D \=×=´´´=，111433222DAN S AN AD D =×=´´´=，4312ABCD S AB CD =×=´=Q 矩形，12336BCEN S \=--=四边形；（2）设ACD S D 的高为h ，由前面提到的发现可知，CD 作为中线，可得ACD CDB S S D D =，11132222ACD S AD h AB h h D =×=´×=Q ，23ABC ACD S S h D D \==，设BC 交DE 于点Q ，Q 重合部分面积为ABC S D 的14，即13344CDQ S h h D =´=，11111244222CDQ ABC ADC ADC CDE CDB S S S S S S D D D D D D \==´===，CQ Q 是中线，QD QE \=，1111322222QE DE AD AB \===´=，CDE D Q 是由ACD D 沿CD 折叠，30A E \Ð=Ð=°，cos30°=Q\QE CE ==CE \，根据勾股定理得，CQ ==，CQE CQD S S D D \==14ABC CQE S S D D \=2．【问题再现】苏科版《数学》八年级下册第94页有这样一题：如图1，在正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，AD 上的点，GE BF ^，垂足为M ，那么GE =　BF ．（填“<”、“ =”或“>” )【迁移尝试】如图2，在56´的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 为格点，AB 交CD 于点M ．求AMC Ð的度数；【拓展应用】如图3，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP ，BP 为边在AB 的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF ，连接DE 分别交线段BC ，PC 于点M ，N ．①求DMC Ð的度数；②连接AC 交DE 于点H ，直接写出DH BC的值为 ．【解答】解：【问题再现】GE BF ^Q ，90BMG \Ð=°，将线段GE 向左平移至AL 处，交BF 于I ，AL GE \=，90AIB BMG Ð=Ð=°，90BAL ABI \Ð+Ð=°，Q 四边形ABCD 为正方形，AB BC \=，90ABC C Ð=Ð=°，90CBF ABI \Ð+Ð=°，BAL CBF \Ð=Ð，()ABL BCF ASA \D @D ，AL BF \=，GE BF \=，故答案为：=；【迁移尝试】将线段AB 向右平移至ND 处，使得点B 与点D 重合，连接PN ，如图2所示：AMC NDC \Ð=Ð，设正方形网格的边长为单位1，则由勾股定理可得：DN ==，PD ==，PN ==，222PN PD DN \+=，DPN \D 是直角三角形，90DPN Ð=°，且PN PD =，45AMC NDC \Ð=Ð=°；【拓展应用】①平移线段BC 至DK 处，连接KE ，如图3所示：则DMC KDE Ð=Ð，四边形DKBC 是平行四边形，DC KB \=，Q 四边形ADCP 与四边形PBEF 都是正方形，DC AD AP \==，BP BE =，90DAK KBE Ð=Ð=°DC AD AP KB \===，AG BP BE \==，在AKD D 和BEK D 中，AK BE DAK KBE AD KB =ìïÐ=Ðíï=î，()AKD BEK SAS \D @D ，DK EK \=，ADK EKB Ð=Ð，90EKB AKD ADK AKD \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90EKD \Ð=°，45KDE KED \Ð=Ð=°，45DMC KDE \Ð=Ð=°；②如备用图所示：AC Q 为正方形ADCP 的对角线，45DAC PAC DMC \Ð=Ð=Ð=°，AC \=，HCM BCA Ð=ÐQ ，AHD CHM ABC \Ð=Ð=Ð，ADH ACB \D D ∽，\DH AD BC AC ==，．3．已知，矩形ABCD中，4=，AC的垂直平分线EF分别交AD、BCBC cmAB cm=，8于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；D和CDE（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AFBD各边匀速运动一周．即点P自A F B A®®®停止．在运动过程中，®®®停止，点Q自C D E C①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，0)ab¹，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．【解答】解：（1）①Q四边形ABCD是矩形，\，AD BC//Ð=Ð，CAD ACB\Ð=Ð，AEF CFEQ垂直平分AC，垂足为O，EF\=，OA OC\D@D，AOE COFOE OF \=，\四边形AFCE 为平行四边形，又EF AC ^Q ，\四边形AFCE 为菱形，②设菱形的边长AF CF xcm ==，则(8)BF x cm =-，在Rt ABF D 中，4AB cm =，由勾股定理得2224(8)x x +-=，解得5x =，5AF cm \=．（2）①显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上或P 在BF ，Q 在CD 时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，\以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA =，Q 点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，5PC t \=，4124QA CD AD t t =+-=-，即124QA t =-，5124t t \=-，解得43t =，\以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =秒．②由题意得，四边形APCQ 是平行四边形时，点P 、Q 在互相平行的对应边上．分三种情况：)i 如图1，当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时，AP CQ =，即12a b =-，得12a b +=；)ii 如图2，当P 点在BF 上、Q 点在DE 上时，AQ CP =，即12b a -=，得12a b +=；)iii 如图3，当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时，AP CQ =，即12a b -=，得12a b +=．综上所述，a 与b 满足的数量关系式是12(0)a b ab +=¹．4．（1）已知：如图1，ABC D 为等边三角形，点D 为BC 边上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等边ADE D ，连接CE ．求证：①BD CE =，②120DCE Ð=°；（2）如图2，在ABC D 中，90BAC Ð=°，AC AB =，点D 为BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等腰Rt ADE D ，90DAE Ð=°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ，类比题（1），请你猜想：①DCE Ð的度数；②线段BD 、CD 、DE 之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D 点在BC 的延长线上运动，以AD 为边作等腰Rt ADE D ，90DAE Ð=°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连接BE ，若10BE =，6BC =，直接写出AE 的长．【解答】证明：（1）①如图1，ABC D Q 和ADE D 是等边三角形，AB AC \=，AD AE =，60ACB B Ð=Ð=°，60BAC DAE Ð=Ð=°，BAC DAC DAE DAC \Ð-Ð=Ð-Ð，BAD EAC \Ð=Ð．在ABD D 和ACE D 中，AB AC BAD EAC AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，BD CE \=；②ABD ACE D @D Q ，60ACE B \Ð=Ð=°，6060120DCE ACE ACB \Ð=Ð+Ð=°+°=°；（2）90DCE Ð=°，222BD CD DE +=．证明：如图2，90BAC DAE Ð=Ð=°Q ，BAC DAC DAE DAC \Ð-Ð=Ð-Ð，即BAD CAE Ð=Ð，在ABD D 与ACE D 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，45B ACE \Ð=Ð=°，BD CE =，90B ACB ACE ACB \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90BCE \Ð=°，Rt DCE \D 中，222CE CD DE +=，222BD CD DE \+=；（3）①（2）中的结论还成立．理由：90BAC DAE Ð=Ð=°Q ，BAC DAC DAE DAC \Ð+Ð=Ð+Ð，即BAD CAE Ð=Ð，在ABD D 与ACE D 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，45ABC ACE \Ð=Ð=°，BD CE =，90ABC ACB ACE ACB \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90BCE ECD \Ð=°=Ð，Rt DCE \D 中，222CE CD DE +=，222BD CD DE \+=；②Rt BCE D Q 中，10BE =，6BC =，8CE \===，8BD CE \==，862CD \=-=，Rt DCE \D中，DE ===，D Q\AE ==．5．综合与实践动手操作利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN ．思考探索（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B ¢落在MN 上，折痕为EC ，连接DB ¢，如图2．①点B ¢在以点E 为圆心，　BE 的长为半径的圆上；②B M ¢= ；③△DB C ¢为 三角形，请证明你的结论．拓展延伸（2）当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点)B 折叠后，点B 的对应点B ¢落在正方形ABCD 内部或边上．①ABB ¢D 面积的最大值为 ；②连接AB ¢，点P 为AE 的中点，点Q 在AB ¢上，连接PQ ，AQP AB E ¢Ð=Ð，则2B C PQ ¢+的最小值为 ．【解答】解：（1）由折叠的性质知，BE BE =¢，BC B C =¢，1322MA MB NC ND AB =====，B EB C Ð=Т，①由题意得，点B ¢在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上；②3MB MN MB MN ¢=-¢=-==；③BC B C CD =¢=Q ，而B D B C ¢===¢，\△DB C ¢为 等边三角形，故答案为①BE ；；③等边；（2）①33AB AE ==Q ，则1AE =，2BE =，Q 点B ¢在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上，如图1，ABB ¢\D 面积的最大时，只要AB 边上的高最大即可，\当B E AB ¢^时，ABB ¢D 面积的最大，ABB ¢\D 面积1132322AB B E =´´¢=´´=，故答案为3；②AQP AB E ¢Ð=ÐQ ，//PQ B E \¢，P Q 是AE 的中点，PQ \是AEB D ¢的中位线，如图2，12PQ B E \=¢，即2B C PQ B C B E ¢+=¢+¢，E \、B ¢、C 三点共线时，2B C PQ ¢+取得最小值为CE ，则CE ===，．6．（1）如图1，菱形ABCD 中，4AB =，60ABC Ð=°，点M ，N 分别为边AD ，DC 上的动点，且4DM DN +=，则四边形BMDN 的面积为 （2）如图2，平行四边形ABCD 中，3AB =，5BC =，60ABC Ð=°，点M ，N 分别为边AD 、DC 上的动点，且4DM DN +=，则四边形BMDN 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请求出最值；（3）如图3，四边形ABCD 中，AB AD =，1CD =，90A C Ð=Ð=°，60ABC Ð=°，点M 、N 分别为边AD 、DC 上的动点，且2DM DN +=，是否存在M 、N ，使得四边形BMDN 面积最大且DMN D 的周长最小？若存在，求出DMN D 的周长最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）过点B 作BE DA ^延长线于点E ，过点B 作BF DC ^延长线于点F ，则90BEA BFC Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是菱形，//AB CD \，//AD BC ，60ABC D Ð=Ð=°，60BAE BCF \Ð=Ð=°，BE BF \==，连接BD ，设DM x =，则4DN x =-，BMD BNDBMDN S S S D D =+四边形1122MD BE DN BF =××+××11(4)22x =´+´-=故四边形BMDN 的面积为，故答案为：；（2）过点B 作BP DA ^延长线于点P ，过点B 作BQ DC ^延长线于点Q ，则90BPA BQC Ð=Ð=°，设DM x =，则4DN x =-，5AM AD DM BC DM x =-=-=-，3(4)1CN CD DN AB DN x x =-=-=--=-，Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC \，//AB CD ，60BAP ABC \Ð=Ð=°，60BCQ ABC Ð=Ð=°，在Rt ABP D 中，sin 60BP AB =×°=，在Rt BCQ D 中，sin 60BQ BC =×°=ABCD ABM BCNBMDN S S S S D D =--Y 四边形115(5)(1)22x x =-´-´-=-，3DN DC =Q …，43x \-…，1x \…，0k =<Q ，S \随着x 的增大而减小，1x \=时，四边形BMDN 的面积最大为=（3）连接BD ，AB AD =Q ，90A Ð=°，45ADB ABD \Ð=Ð=°，60ABC Ð=°Q ，15DBC \Ð=°，又90BCD Ð=°Q ，75BDC \Ð=°，120ADC Ð=°，设DM x =，则2DN x =-，21x \-…，1x \…，过点M 作MH BD ^，过点N 作NJ BD ^，BMD BDNBMDN S S S D D =+四边形1122BD MH BD NJ =´´+´´1[sin 45(2)sin 75]2BD x x =×××°+-°1[(sin 45sin 75)2sin 75]2BD x =×°-°+°，sin 45sin 750°-°<Q ，\当1x =时，BMDN S 四边形存在最大值，过点M 作CD 的垂线交于延长线于点K ，60MDK \Ð=°，12DK x \=，MK =，112222NK x x x =-+=-，在Rt MKN D 中，22221)(2)(1)32MN x x =+-=-+，当1x =时，2MN 存在最小值，最小值为3，MN \\存在M 、N ，使得四边形BMDN 面积最大且DMN D 的周长最小，DMN D 的周长最小为2+．7．阅读材料如图1，在ABCD中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF DE=，连接CF，证明ADE CFED@D，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移（1）如图2，AD是ABCD的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE EF=，求证：AC BF=．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD FD=，连接MC，¼¼请根据小明的思路完成证明过程．方法运用（2）如图3，在等边ABCD中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．①请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；②若4AB=，12CF CD=请直接写出CF的长．【解答】（1）证明：延长AD至M，使MD FD=，连接MC，在BDFD和CDMD中，BD CD BDF CDM DF DM =ìïÐ=Ðíï=î，()BDF CDM SAS \D @D ，MC BF \=，M BFM Ð=Ð，AE EF =Q ，EAF EFA \Ð=Ð，EFA BFM Ð=ÐQ ，M MAC \Ð=Ð，AC MC \=，AC BF \=；（2）①解：线段DF 与AD 的数量关系为：2AD DF =，证明如下：延长DF 至点M ，使DF FM =，连接BM 、AM ，如图2所示：Q 点F 为BE 的中点，BF EF \=，在BFM D 和EFD D 中，BF EF BFM EFD FM DF =ìïÐ=Ðíï=î，()BFM EFD SAS \D @D ，BM DE \=，MBF DEF Ð=Ð，//BM DE \，Q 线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ，CD DE BM \==，120BDE Ð=°，18012060MBD \Ð=°-°=°，ABC D Q 是等边三角形，AB AC \=，60ABC ACB Ð=Ð=°，6060120ABM ABC MBD \Ð=Ð+Ð=°+°=°，180********ACD ACB Ð=°-Ð=°-°=°Q ，ABM ACD \Ð=Ð，在ABM D 和ACD D 中，AB AC ABM ACD BM CD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABM ACD SAS \D @D ，AM AD \=，BAM CAD Ð=Ð，60MAD MAC CAD MAC BAM BAC \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，AMD \D 是等边三角形，2AD DM DF \==；②解：CF 的长为1或2．当CF 为BDE D 的中位线时，1122CF CD DE ==，C \为BD 的中点，4CD BC \==，122CF CD \==，如图3，当CF 不是BDE D 的中位线时，连接CE ，取BC 的中点N ，连接FN ，过点D 作DG CE ^，过点G 作GI CD ^于点I ，过点F 作FH BC ^于点H ，CDE D Q 为等腰三角形，120CDE Ð=°，30DCE \Ð=°，12DG CD \=，12CG CE =，12CF CD =Q ，DG CF \=，N Q 为BC 的中点，F 为BE 的中点，NF \是BCE D 的中位线，//NF CE \，12NF CE CG ==，30CNF DCE \Ð=Ð=°，12HF NF \=，12GI CG =，HF GI \=，NH CI =，FC GD =Q ，Rt FCH Rt GDI(HL)\D @D ，CH DI \=，NH CH CI DI \+=+，即NC CD =，2CD \=，即1CF =，综上所述，CF 的长为1或2．8．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点G 在边BC 上，连接AG ，作DE AG ^于点E ，BF AG ^于点F ，连接BE 、DF ，设EDF a Ð=，EBF b Ð=，tan tan k a b =×．（1）求证：DE EF BF =+．（2）求证：BG k BC=．（3）若点G 从点C 沿BC 边运动至点B 停止，求点E ，F 所经过的路径与边AB 围成的图形的面积．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC AD \==，90BAD ABC Ð=Ð=°，DE AG ^Q ，BF AG ^，90AED BFA \Ð=Ð=°，90ADE DAE \Ð+Ð=°，90BAF DAE Ð+Ð=°Q ，ADE BAF \Ð=Ð，在AED D 和BFA D 中，ADE BAF AED BFA AD BA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AED BFA AAS \D @D ，AE BF \=，DE AF =，DE AF AE EF BF EF \==+=+；（2）证明：在Rt DEF D 和Rt EFB D 中，tan tan EF EDF DE a Ð==，tan tan EF EBF BF b Ð==，\tan tan EF BF BF DE EF DEa b =×=，由（1）可知，ADE BAG Ð=Ð，90AED GBA Ð=Ð=°，AED GBA \D D ∽，\AE DE GB AB=，由（1）可知，AE BF =，\DE BF AB GB =，\BF GB DE AB=，tan tan k a b =×Q ，\GB k AB=，AB BC =Q ，\BG BG BF k BC AB DE===；（3）解：DE AG ^Q ，BF AG ^，90AED BFA \Ð=Ð=°，\当点G 从点B 沿BC 边运动至点C 停止时，点E 经过的路径是以AD 为直径，圆心角为90°的圆弧，同理可得点F 经过的路径，两弧交于正方形的中心点O ，如图所示：4AB AD ==Q ，\所围成的图形的面积14444AOB S S D ==´´=．9．如图，射线AB 和射线CB 相交于点B ，(0180)ABC a a Ð=°<<°，且AB CB =．点D 是射线CB 上的动点（点D 不与点C 和点B 重合），作射线AD ，并在射线AD 上取一点E ，使AEC a Ð=，连接CE ，BE ．（1）如图①，当点D 在线段CB 上，90a =°时，请直接写出AEB Ð的度数；（2）如图②，当点D 在线段CB 上，120a =°时，请写出线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）当120a =°，1tan 3DAB Ð=时，请直接写出CE BE的值．【解答】解：（1）连接AC ，如图①所示：90a =°Q ，ABC a Ð=，AEC a Ð=，90ABC AEC \Ð=Ð=°，A \、B 、E 、C 四点共圆，AEB ACB \Ð=Ð，90ABC Ð=°Q ，AB CB =，ABC \D 是等腰直角三角形，45ACB \Ð=°，45AEB \Ð=°；（2）AE CE =+，理由如下：在AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图②所示：ABC AEC Ð=ÐQ ，ADB CDE Ð=Ð，180180ABC ADB AEC CDE \°-Ð-Ð=°-Ð-Ð，A C \Ð=Ð，在ABF D 和CBE D 中，AF CE A C AB CB =ìïÐ=Ðíï=î，()ABF CBE SAS \D @D ，ABF CBE \Ð=Ð，BF BE =，ABF FBD CBE FBD \Ð+Ð=Ð+Ð，ABD FBE \Ð=Ð，120ABC Ð=°Q ，120FBE \Ð=°，BF BE =Q ，11(180)(180120)3022BFE BEF FBE \Ð=Ð=´°-Ð=´°-°=°，BH EF ^Q ，90BHE \Ð=°，FH EH =，在Rt BHE D 中，12BH BE =，FH EH ===，22EF EH \===，AE EF AF =+Q ，AF CE =，AE CE \=+；（3）分两种情况：①当点D 在线段CB 上时，在AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图②所示：由（2）得：FH EH ==，1tan 3BH DAB AH Ð==Q ，332AH BH BE \==，32CE AF AH FH BE \==-=-=，\CE BE =②当点D 在线段CB 的延长线上时，在射线AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图③所示：同①得：FH EH ==，332AH BH BE ==，32CE AF AH FH BE \==+==，\CE BE =；综上所述，当120a =°，1tan 3DAB Ð=时，CE BE ．10．如图，直线:2l y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，C 为线段OA 的一个动点，以A 为圆心，AC 长为半径作A e ，A e 交AB 于点D ，连接OD 并延长交A e 于点E ，连接CD ．（1）当2AC =时，证明：OBD D 是等边三角形；（2）当OCD ODA D D ∽时，求A e 的半径r ；（3）当点C 在线段OA 上运动时，求OD DE g 的最大值．【解答】解：（1）Q 直线:2l y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，\点A ，0)，点(0,2)B ，OA \=2OB =，tan OB BAO OA \Ð==30BAO \Ð=°，24AB OB \==，60ABO Ð=°，2AC AD ==Q ，2BD BO \==，且60ABO Ð=°，BDO \D 是等边三角形；（2）如图1，过点D 作DH AO ^于H ，OCD ODA D D Q ∽，30ODC OAB \Ð=Ð=°，AC AD =Q ，30BAO Ð=°，75ACD \Ð=°，45DOH ACD ODC \Ð=Ð-Ð=°，DH AO ^Q ，30DAO Ð=°，12DH r \=，AH ==，DH AO ^Q ，45DOH Ð=°，12DH OH r \==，AO OH AH =+=Q ，12r \=，6r \=-（3）如图2，连接EH ，过点O 作OG AB ^于G ，OG AB ^Q ，30BAO Ð=°，12OG AO \==3AG ==，3GD AD \=-，DH Q 是直径，90DEH OGD \Ð=°=Ð，又ODG HDE Ð=ÐQ ，ODG HDE \D D ∽，\GD OD DE DH=，239(3)22()22OD DE GD DH AD AD AD \==-=--+g g g ，\当32AD =时，OD DE g 的最大值为92．11．[问题提出]（1）如图1，已知线段4AB =，点C 是一个动点，且点C 到点B 的距离为2，则线段AC 长度的最大值是 6　；[问题探究]（2）如图2，以正方形ABCD 的边CD 为直径作半圆O ，E 为半圆O 上一动点，若正方形的边长为2，求AE 长度的最大值；[问题解决]（3）如图3，某植物园有一块三角形花地ABC ，经测量，AC =120BC =米，30ACB Ð=°，BC 下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC 下方找一点P ，将该花地扩建为四边形ABPC ，扩建后沿AP 修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分BPC D 需满足60BPC Ð=°．为容纳更多游客，要求小路AP 的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP 的长度是否存在最大值？若存在，求出AP 的最大长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当C 在线段AB 延长线上时，AC 最大，此时426AC AB BC =+=+=，故答案为：6；（2）连接AO 并延长交半圆O 于F ，如图：Q 正方形ABCD 的边CD 为直径作半圆O ，边长为2，90ADO \Ð=°，2AD =，1OD OD OF ===，当E 运动到F 时，AE 最大，AF 的长度即是AE 的最大值，Rt AOD D 中，AO ==1AF AO OF \=+=，即AE 1；（3）作BC 的垂直平分线DE ，在BC 下方作30BCO Ð=°，射线CO 交DE 于O ，以O 为圆心，OC 为半径作O e ，连接OB 、连接AO 并延长交O e 于P ，则AP 为满足条件的小路，过A 作AF OC ^于F ，如图：30BCO Ð=°Q ，30ACB Ð=°，60ACF \Ð=°，Rt ACF D 中，sin 6030AF AC =×°=，cos60CF AC =×°=DE Q 垂直平分BC ，120BC =，60CE \=，90OEC Ð=°，cos30CE OC OP \===°，OF OC CF \=-=，Rt AOF D 中，60OA ==，60AP OA OP \=+=+．即小路AP 的长度最大为60+12．在O e 中，弦CD 平分圆周角ACB Ð，连接AB ，过点D 作//DE AB 交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O e 的切线；（2）若1tan 3CAB Ð=，且B 是CE 的中点，O e DE 的长．（3）P 是弦AB 下方圆上的一个动点，连接AP 和BP ，过点D 作DH BP ^于点H ，请探究点P 在运动的过程中，BH AP BP+的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．【解答】证明：（1）如图1，连接OD 交AB 于点F ，连接OA ，OB ，AD ，CD Q 平分ACB Ð，ACD BCD \Ð=Ð，\AD BD =，AOD BOD \Ð=Ð，OA OB =Q ，OD AB \^，//AB DE Q ，OD DE \^，DE \是O e 的切线．解：（2）如图2，连接OC ，OD ，OE ，过点O 作OF BC ^于点F ，2BOC BAC \Ð=Ð，OB OC =Q ，OF BC ^，12COF COB CAB \Ð=ÐÐ=Ð，1tan tan 3CF COF CAB OF \Ð==Ð=，设CF x =，3OF x =，O Qe ，OC \=，222OF CF +Q ，222(3)x x \=+，解得：12x =，12CF \=，32OF =，1BC \=，B Q 是CE 的中点，1BE BC \==，32EF \=，222OE OF EF =+Q ，2223318((224OE \=+=，222OD DE OE +=Q ，DE \===（3）解法一：如图3，延长BP 至Q 使得PQ AP =，连接AQ ，OC ，连接OB ，BD ，连接OD 交AB 于点K ，连接HK ，A Q ，P ，B ，C 四点共圆，APQ ACB \Ð=Ð，AP PQ =Q ，Q QAP \Ð=Ð，1902Q ACB \Ð=°-Ð，DE Q 是O e 的切线，OD DE \^，//DE AB Q ，OD AB \^，K \是AB 的中点，DH BH ^Q ，90BHD \Ð=°，90BKD Ð=°Q ，B \，K ，H ，D 四点共圆，BHK ODB \Ð=Ð，BOD ACB Ð=ÐQ ，OB OD =，1902ODB ACB \Ð=°-Ð，ODB Q \Ð=Ð，BHK Q \Ð=Ð，//AQ HK \，\12BH BK BQ AB ==，BQ BP QP =+Q ，QP AP =，BQ BP AP \=+，\12BH BP AP =+．解法二：如图4，在BP 上截取BM AP =，连接DM ，BD ，DP ，AD ，Q 弦CD 平分圆周角ACB Ð，AD BD \=，Q AP AP =，PAD PBD MBD \Ð=Ð=Ð，()APD BMD SAS \D @D ，DP DM \=，AP BM =，DH BP ^Q ，DH \为PDM D 的中线，HP HM \=，2BP BM PM BM HM \=+=+，BH BM HM =+Q ，\122BH BM HM AP BP BM BM HM +==+++．13．在ABC D 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 是直线AB 上的一动点（不与点A ，B 重合）连接CD ，在CD 的右侧以CD 为斜边作等腰直角三角形CDE ，点H 是BD 的中点，连接EH ．【问题发现】（1）如图（1），当点D 是AB 的中点时，线段EH 与AD 的数量关系是　12EH AD =，　．EH 与AD 的位置关系是 ．【猜想论证】（2）如图（2），当点D 在边AB 上且不是AB 的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AC BC ==，其他条件不变，连接AE 、BE ．当BCE D 是等边三角形时，请直接写出ADE D 的面积．【解答】解：（1）如图1中，CA CB=Q，90ACBÐ=°，AD BD=，CD AB\^，CD AD DB==，45A B\Ð=Ð=°，45DCB ACDÐ=Ð=°，45DCEÐ=°Q，\点E在线段CB上，DE BC^Q，45EDB B\Ð=Ð=°，DH HB=Q，EH DB \^，1122EH DB AD==，故答案为12EH AD=，EH AD^．（2）结论仍然成立：理由：如图2中，延长DE到F，使得EF DE=，连接CF，BF．DE EF=Q．CE DF^，CD CF\=，45CDF CFD\Ð=Ð=°，45ECF ECD\Ð=Ð=°，90ACB DCF\Ð=Ð=°，ACD BCF\Ð=Ð，CA CB=Q，()ACD BCF SAS\D@D，AD BF \=，45A CBF Ð=Ð=°，45ABC Ð=°Q ，90ABF \Ð=°，BF AB \^，DE EF =Q ，DH HB =，12EH BF \=，//EH BF ，EH AD \^，12EH AD =．（3）如图31-中，当BCE D 是等边三角形时，过点E 作EH BD ^于H ．90ACB Ð=°Q ，60ECB Ð=°，30ACE \Ð=°，AC CB CE EB DE =====Q 75CAE CEA \Ð=Ð=°，45CAB Ð=°Q ，30EAH \Ð=°，90DEC Ð=°Q ，60CEB Ð=°，150DEB \Ð=°，15EDB EBD \Ð=Ð=°，EAH ADE AED Ð=Ð+ÐQ ，15ADE AED \Ð=Ð=°，AD AE \=，设EH x =，则2AD AE x ==，AH =，222EH DH DE +=Q ，22(2)8x x \+=，1x \=-，2AD \=-，112)1)422ADE S AD EH D \=××=´×-=-如图32-中，当BCE D 是等边三角形时，过点E 作EH BD ^于H ．同法可求：1EH =，2AD =，111)422ADE S AD EH D \=××=´+=+综上所述，满足条件的ADE D 的面积为4-或4+．14．在正方形ABCD 中，点G 是边AB 上的一个动点，点F 、E 在边BC 上，BF FE AG ==，且12AG AB …，GF 、DE 的延长线相交于点P ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求P Ð的度数；（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，问：（1）中P Ð的度数是否发生变化，若有改变，请求出P Ð的度数，若不变，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作DN GP ^于点N ，连接CN 、BP ，取BP 的中点M ，连接MN ，在点G 的运动过程中，求证：MN NC 为定值．==Q，E与C重合，BF CF BG AG\===，\Ð=°，BGF45//Q，AB CD\Ð=Ð=°．45P BGF（2）不变．理由如下：如图所示，连接BD，取BD中点O，连接OG，OF，OC．在正方形ABCD中，有：Ð=Ð=°，OC OBOCF OBG=，45又AG BF=Q，\=，BG CF\D@D．OCF OBG SAS()Ð=Ð，\=，COF BOGOG DF\Ð=Ð=°，GOF BOC90GOF\D为等腰直角三角形．又OQ，F分别是BD，BE的中点，\，//OF DE\Ð=Ð=°．P OFG45（3）如图所示，取DP 中点Q ，连接NQ ，BD ，MQ ，由题意可得，DNP D 为等腰直角三角形，Q Q 为DP 中点，NQ DP \^．设CDP a Ð=，则45NDC a Ð=°+，45BDP a Ð=°-，M Q ，Q 分别是BP ，DP 的中点，//MQ BD \，45MQP BDP a \Ð=Ð=°-，90(45)45NQM a a \Ð=°-°-=°+，NQM NDC \Ð=Ð．，CD BD \又NQD D Q 为等腰直角三角形，\NQ ND =\NQ MQ ND CD ==，NQM NDC \D D ∽．\MN NQ NC ND ==\MNNC为定值．15．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将BCED绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF　是　（填“是”或“不是”)“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，10AB BC==，2CD=，AD AB>，过点B作BE AD^于E．①过C作CF BF^于点F，试证明：BE DE=，并求BE的长；②若M是AD边上的动点，求BCMD周长的最小值．【解答】解：（1）Q将BCED绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，ABF CBE \Ð=Ð，BF BE =，Q 四边形ABCD 是正方形，90ABC D \Ð=Ð=°，90ABE CBE \Ð+Ð=°，90ABE ABF \Ð+Ð=°，即90EBF D Ð=Ð=°，180EBF D \Ð+Ð=°，90EBF Ð=°Q ，BF BE =，\四边形BEDF 是“直等补”四边形．故答案为：是；（2）①证明：Q 四边形ABCD 是“直等补”四边形，10AB BC ==，2CD =，AD AB >，90ABC \Ð=°，180ABC D Ð+Ð=°，90D \Ð=°，BE AD ^Q ，CF BE ^，90DEF \Ð=°，90CFE Ð=°，\四边形CDEF 是矩形，DE CF \=，2EF CD ==，90ABE A Ð+Ð=°Q ，90ABE CBE Ð+Ð=°，A CBF \Ð=Ð，90AEB BFC Ð=Ð=°Q ，AB BC =，()ABE BCF AAS \D @D ，BE CF \=，AE BF =，DE CF =Q ，BE DE \=；Q 四边形CDEF 是矩形，2EF CD \==，ABE BCF D @D Q ，AE BF \=，2AE BE \=-，设BE x =，则2AE x =-，在Rt ABE D 中，222(2)10x x +-=，解得：8x =或6x =-（舍去），BE \的长是8；②BCM D Q 周长BC BM CM =++，\当BM CM +的值最小时，BCM D 的周长最小，如图，延长CD 到点G ，使DG CD =，连接BG 交AD 于点M ¢，过点G 作GH BC ^，交BC 的延长线于点H ，90ADC Ð=°Q ，\点C 与点G 关于AD 对称，BM CM BM MG BG \+=+…，即BM CM BM M C +¢+¢…，\当点M 与M ¢重合时，BM M C ¢+¢的值最小，即BCM D 的周长最小，在Rt ABE D 中，6AE ===，Q 四边形ABCD 是“直等补”四边形，180A BCD \Ð+Ð=°，180BCD GCH Ð+Ð=°Q ，A GCH \Ð=Ð，90AEB H Ð=Ð=°Q ，ABE CGH \D D ∽，\10542BE AE ABGH CH CG====，即88252GH CH-==，165GH\=，125CH=，12621055BH BCCH\=+=+=，BG\===，BCM\D周长的最小值为10+．16．如图，正方形ABCD中，AB=O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，2OE=，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．（1）求证：AE CF=；（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．（3）求线段OF长的最小值．【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：90EDFÐ=°，ED DF=，Q四边形ABCD是正方形，90ADC\Ð=°，AD CD=，ADC EDF\Ð=Ð，即ADE EDC EDC CDFÐ+Ð=Ð+Ð，ADE CDF\Ð=Ð，在ADED和CDFD中，QAD CDADE CDFDE DF=ìïÐ=Ðíï=î，()ADECDF SAS\D@D，AE CF\=；（2）解：如图2，过F作OC的垂线，交BC的延长线于P，O Q 是BC 的中点，且AB BC ==A Q ，E ，O 三点共线，OB \=由勾股定理得：5AO =，2OE =Q ，523AE \=-=，由（1）知：ADE CDF D @D ，DAE DCF \Ð=Ð，3CF AE ==，BAD DCP Ð=ÐQ ，OAB PCF \Ð=Ð，90ABO P Ð=Ð=°Q ，ABO CPF \D D ∽，\2AB CP OB PF ===，2CP PF \=，设PF x =，则2CP x =，由勾股定理得：2223(2)x x =+，x =（舍)，\，OP ==，由勾股定理得：OF ==，（3）解：如图3，由于2OE =，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA 到P 点，使得AP OC =，连接PE ，AE CF =Q ，PAE OCF Ð=Ð，()PAE OCF SAS \D @D ，PE OF \=，当PE 最小时，为O 、E 、P 三点共线，OP===，\==-=-，PE OF OP OE2\的最小值是2．OF17．ABC=，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重Ð=°，AB ACBACD中，90合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：　垂直　．②BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE ．若已知AB =，14CD BC =，请求出GE 的长．【解答】解：（1）①正方形ADEF 中，AD AF =，90BAC DAF Ð=Ð=°Q ，BAD CAF \Ð=Ð，在DAB D 与FAC D 中，AD AF BAD CAF AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，()DAB FAC SAS \D @D ，B ACF \Ð=Ð，90ACB ACF \Ð+Ð=°，即BC CF ^；故答案为：垂直；②DAB FAC D @D ，CF BD \=，BC BD CD =+Q ，BC CF CD \=+；故答案为：BC CF CD =+；（2）CF BC ^成立；BC CD CF =+不成立，CD CF BC =+．Q 正方形ADEF 中，AD AF =，90BAC DAF Ð=Ð=°Q ，BAD CAF \Ð=Ð，在DAB D 与FAC D中，AD AF BAD CAF AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，()DAB FAC SAS \D @D ，ABD ACF \Ð=Ð，90BAC Ð=°Q ，AB AC =，45ACB ABC \Ð=Ð=°．18045135ABD \Ð=°-°=°，1354590BCF ACF ACB \Ð=Ð-Ð=°-°=°，CF BC \^．CD DB BC =+Q ，DB CF =，CD CF BC \=+．（3）解：过A 作AH BC ^于H ，过E 作EM BD ^于M ，EN CF ^于N ，90BAC Ð=°Q ，AB AC =，4BC \==，122AH BC ==，114CD BC \==，122CH BC ==，3DH \=，由（2）证得BC CF ^，5CF BD ==，Q 四边形ADEF 是正方形，AD DE \=，90ADE Ð=°，BC CF ^Q ，EM BD ^，EN CF ^，\四边形CMEN 是矩形，NE CM \=，EM CN =，90AHD ADE EMD Ð=Ð=Ð=°Q ，90ADH EDM EDM DEM \Ð+Ð=Ð+Ð=°，ADH DEM \Ð=Ð，在ADH D 与DEM D 中，ADH DEM AHD DME AD DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ADH DEM AAS \D @D ．3EM DH \==，2DM AH ==，3CN EM \==，3EN CM ==，45ABC Ð=°Q ，45BGC \Ð=°，BCG \D 是等腰直角三角形，4CG BC \==，1GN \=，EG \==．18．如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：ADG ABE D @D ；（2）连接FC ，观察并猜测FCN Ð的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB a =，(BC b a =、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、)C ，以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，FCN Ð的大小是否总保持不变？若FCN Ð的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan FCN Ð的值；若FCN Ð的大小发生改变，请举例说明．【解答】（1）证明：Q四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，\=，AE AGAB ADÐ=Ð=°，BAD EAG=，90\Ð+Ð=Ð+Ð，BAE EAD DAG EADBAE DAG\Ð=Ð，\D@D．BAE DAG（2）解：45Ð=°，FCN理由是：作FH MN^于H，Q，Ð=Ð=°AEF ABE90Ð+Ð=°，FEH AEB90\Ð+Ð=°，90BAE AEB\Ð=Ð，FEH BAEQ，90又AE EF=Ð=Ð=°，EHF EBA\D@D，EFH ABE\=，EH AB BCFH BE==，\==，CH BE FHÐ=°Q，FHC90\Ð=°．FCN45（3）解：当点E由B向C运动时，FCNÐ的大小总保持不变，理由是：作FH MN^于H，由已知可得90Ð=Ð=Ð=°，EAG BAD AEF结合（1）（2）得FEH BAE DAGÐ=Ð=Ð，又GQ在射线CD上，。

部编数学七年级上册专题09几何中种动角问题的两种考法(解析版)(人教版)含答案

部编数学七年级上册专题09几何中种动角问题的两种考法(解析版)(人教版)含答案

专题09 几何中动角问题的两种考法类型一、判断角的数量之间的关系例．如图所示，O 是直线AB 上的一点，COD Ð是直角，OE 平分BOC Ð．（1）如图①，若28AOC Ð=°，求DOE Ð的度数；（2）在图①，若AOC a Ð=，直接写出DOE Ð的度数_________（用含a 的代数式表示）；（3）将图①中的COD Ð绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置．①探究AOC Ð和DOE Ð的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在AOC Ð的内部有一条射线OF ，满足42AOC AOF BOE AOF Ð-Ð=Ð+Ð，试确定AOF Ð与DOE Ð的度数之间的关系，说明理由．【答案】（1）14°；（2）2a ；（3）①∠AOC ＝2∠DOE ；（2）2∠DOE −52∠AOF ＝90°【详解】解：（1）∵∠COD 是直角，OE 平分∠BOC ，∠AOC ＝28°，∴∠BOC ＝180°−∠AOC ＝152°，∠COE ＝12∠BOC ，∠COD ＝90°．∴∠COE ＝76°，∠DOE ＝∠COD −∠COE ＝90°−76°＝14°．即∠DOE ＝14°；（2）∵∠COD 是直角，OE 平分∠BOC ，∠AOC ＝a ，∴∠DOE ＝90°−1802a °-＝2a ．故答案是：2a ；（3）①∠AOC ＝2∠DOE ．理由：∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOC ＝2∠COE ．∵∠COD 是直角，∠AOC ＋∠BOC ＝180°，∴∠DOE ＋∠COE ＝90°，∠AOC ＋2∠COE ＝180°．∴∠AOC ＋2（90°−∠DOE ）＝180°．化简，得∠AOC ＝2∠DOE ；②2∠DOE −52∠AOF ＝90°．理由：∵42AOC AOF BOE AOF Ð-Ð=Ð+Ð，∴2∠AOF ＋∠BOE ＝12（∠AOC −∠AOF ），∴2∠AOF ＋∠BOE ＝12∠AOC−12∠AOF ．又∵∠AOC ＝2∠DOE ，∴52∠AOF ＝∠DOE −∠BOE ，∴52∠AOF ＝∠DOB ．∵∠DOB ＋∠BOC ＝90°，∠AOC ＋∠BOC ＝180°，∠AOC ＝2∠DOE ．∴52∠AOF ＋180°−∠AOC ＝90°．∴52∠AOF ＋180°−2∠DOE ＝90°．化简，得2∠DOE −52∠AOF ＝90°．【变式训练1】已知∠AOB ＝∠COD ＝90°，OE 平分∠BOC ．(1)如图，若∠AOC ＝30°，则∠DOE 的度数是______；（直接写出答案）(2)将（1）中的条件“∠AOC ＝30°”改为“∠AOC 是锐角”，猜想∠DOE 与∠AOC 的关系，并说明理由；(3)若∠AOC 是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE 与∠AOC 之间的数量关系．（不用写探索过程，将结论直接写在你画的图的下面）【答案】(1)60°；(2)1=452DOE AOC °+∠，理由见解析(3)∠AOC +2∠DOE =270°或2∠DOE -∠AOC =90°或∠AOC +2∠DOE =450°或∠AOC -2∠DOE =90°【解析】(1)解：∵∠AOB =90°，∠AOC =30°，∴∠BOC =∠AOB -∠AOC =60°，∵OE 平分∠BOC ，∴∠COE =∠BOE =30°，∵∠COD =90°，∴∠DOE =∠COD -∠COE =60°，故答案为：60°(2)解：1=452DOE AOC °+∠ ，理由如下：∵∠AOB =90°，∴∠BOC =∠AOB -∠AOC =90°-∠AOC∵OE 平分∠BOC ，∴()1190=4522COE BOE AOC AOC Ð=Ð=°-°-∠∠ ∵∠COD =90°，∴119045=4522DOE COD COE AOC AOC Ð=Ð-Ð=°-°+°+∠∠(3)：如图3-1所示，当OD 在∠AOB 内部时，∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOC =2∠BOE =2∠COE ，∵∠AOB =∠COD =90°，∴∠AOC =∠AOB +∠BOC =90°+2∠COE ，∠DOE =∠COD -∠COE =90°-∠COE ，∴∠AOC +2∠DOE =90°+2∠COE +180°-2∠COE =270°；如图3-2所示，当OD 在∠AOB 外部时，同理可以求出∠AOC =∠AOB +∠BOC =90°+2∠COE ，∠DOE =∠COD +∠COE =90°+∠COE ，∴2∠DOE -∠AOC = 180°+2∠COE -90°-2∠COE =90°；如图3-3所示，当OD 在∠AOB 外部时，同理可以求出∠AOC =360°-∠AOB -∠BOC =270°-2∠COE ，∠DOE =90°+∠COE ，∴∠AOC +2∠DOE =270°-2∠COE +180°+2∠COE =450°；如图3-4所示，当OD 在△AOB 外部时，同理可以求出∠AOC =270°-2∠COE ，∠DOE =90°-∠COE ，∴∠AOC -2∠DOE =90°；综上所述，∠AOC +2∠DOE =270°或2∠DOE -∠AOC =90°或∠AOC +2∠DOE =450°或∠AOC -2∠DOE =90°．【变式训练2】如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使70BOC Ð=°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O 处．（注：90DOE Ð=°）（1）如图①，若直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OB 上，则COE Ð=________°；（2）如图②，将直角三角板DOE 转到如图位置，当OC 恰好平分DOE Ð时，求BOD Ð的度数；（3）如图③，将直角三角板DOE 绕点O 转动，如果OD 始终在BOC Ð的内部，直接写出BOD Ð和COE Ð的数量关系_________．【答案】（1）20；（2）25°；（3）∠COE-∠BOD=20°【详解】解：（1）如图①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，故答案为：20；（2）如图②，∵OC 平分∠EOD ，∠DOE=90°，∴∠COD=12∠DOE=45°，∵∠BOC=70°，∴∠BOD=∠BOC-∠COD=25°；（3）∠COE-∠BOD=20°，理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，∴（∠COE+∠COD ）-（∠BOD+∠COD ）=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD=∠COE-∠BOD=90°-70°=20°，即∠COE-∠BOD=20°．【变式训练3】已知100AOB Ð=°，40COD Ð=°，OE ，OF 分别平分AOD Ð，BOD Ð．(1)如图1，当OA ，OC 重合时，EOF Ð= 度；(2)若将COD Ð的从图1的位置绕点O 顺时针旋转，旋转角AOC a Ð=，满足090a °<<°且40¹°a ．①如图2，用等式表示BOF Ð与COE Ð之间的数量关系，并说明理由；②在COD Ð旋转过程中，请用等式表示ÐBOE 与COF Ð之间的数量关系，并直接写出答案．【答案】(1)50；(2)①90COE BOF ÐÐ+=°；②40a <°时，150COF BOE a ÐÐ=+°+；4090a °<<°时，30COF BOE a Ð=-Ð-°【解析】(1)OA Q ，OC 重合，40AOD COD \Ð=Ð=°，10040140BOD AOB COD Ð=Ð+Ð=°+°=°，OE Q 平分AOD Ð，OF 平分BOD Ð，11402022EOD AOD \Ð=Ð=´°=°，111407022DOF BOD Ð=Ð=´°=°，702050EOF DOF EOD \Ð=Ð-Ð=°-°=°；(2)①90COE BOF ÐÐ+=°；理由如下：OE Q 平分AOD Ð，OF 平分BOD Ð，111(40)20222EOD AOE AOD a a \Ð=Ð=Ð=°+=°+，1111()(10040)702222BOF BOD AOB COD a a a Ð=Ð=Ð+Ð+=°+°+=°+，11202022COE AOE AOC a a a \Ð=Ð-Ð=°+-=°-，1170209022BOF COE a a \Ð+Ð=°++°-=°；②由①得：1202EOD AOE a Ð=Ð=°+，1702DOF BOF a Ð=Ð=°+，当40AOC Ð<°时，如图2所示：1170403022COF DOF COD a a Ð=Ð-Ð=°+-°=°+，1110040(20)12022BOE BOD EOD AOB COD EOD a a a a Ð=Ð-Ð=Ð+Ð+-Ð=°+°+-°+=°+，111203015022BOE COF AOC a a a \Ð+Ð-Ð=°++°+-=°，∴150COF BOE a ÐÐ=+°+当4090AOC °<Ð<°时，如图3所示：11(360140)4015022COF DOF DOC a a Ð=Ð+Ð=°-°-+°=°-，11140(20)12022BOE BOD DOE a a a Ð=Ð-Ð=°+-°+=°+，11150(120)3022COF AOC BOE a a a \Ð+Ð-Ð=°-+-°+=°；∴30COF BOE a Ð=-Ð-°综上所述，40a <°时，150COF BOE a ÐÐ=+°+；4090a °<<°时，30COF BOE a Ð=-Ð-°【变式训练4】如图，已知150AOB Ð=o ，将一个直角三角形纸片(90D Ð=o )的一个顶点放在点O 处，现将三角形纸片绕点O 任意转动，OM 平分斜边OC 与OA 的夹角，ON 平分BOD Ð.（1）将三角形纸片绕点O 转动(三角形纸片始终保持在AOB Ð的内部)，若30COD Ð=o ，则MON Ð=_______；（2）将三角形纸片绕点O 转动(三角形纸片始终保持在AOB Ð的内部)，若射线OD 恰好平分MON Ð，若8MON COD Ð=Ð，求COD Ð的度数;（3）将三角形纸片绕点O 从OC 与OA 重合位置逆时针转到OD 与OA 重合的位置，猜想在转动过程中COD Ð和MON Ð的数量关系？并说明理由.【答案】（1）90°；（2）COD=10а；（3）1752MON COD Ð=Ð+°，证明见解析【详解】解：（1）∵OM 平分斜边OC 与OA 的夹角，ON 平分BOD Ð．∴OM 平分∠AOC, ON 平分∠BOD∴设11,22AOM MOC AOC x BON DON BOD y Ð=Ð=Ð=Ð=Ð=Ð=∴2,2AOC x BOD y Ð=Ð=，30MON MOC COD DON x yÐ=Ð+Ð+Ð=+°+∵2302150AOB AOC BOD COD x y Ð=Ð+Ð+Ð=+°+=°∴60x y +=°，∴3090MON x y Ð=+°+=°，故答案为: 90°（2）∵8MON COD Ð=Ð，∴设=,8COD a MON aÐÐ=∵射线OD 恰好平方MON Ð，∴14,2DOM DON MON a Ð=Ð=Ð=∴43,COM DOM COD a a a Ð=Ð-Ð=-=∵OM 平分斜边OC 与OA 的夹角，ON 平分BOD Ð．∴OM 平分∠AOC, ON 平分∠BOD ∴113,422AOM MOC AOC a BON DON BOD a Ð=Ð=Ð=Ð=Ð=Ð= ，∴6,8AOC a BOD a Ð=Ð=∵68150AOB AOC BOD COD a a a Ð=Ð+Ð+Ð=++=°，∴=10a °，∴COD=10а(3) 1752MON AOC Ð=Ð+°,证明如下：当OC 与OA 重合时，设∠COD=x,则150150BOD AOB COD COD x Ð=Ð-Ð=°-Ð=°-∵ON 平分∠BOD ∴117522DON BOD x Ð=Ð=°- ∴MON COD DON Ð=Ð+Ð 1752x x =+°- 1752x =°+ ，∴1752MON COD Ð=°+Ð当OC 在OA 的左侧时设∠AOD=a ，∠AOC=b ，则∠BOD=∠AOB-∠AOD=150°-a ，∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b∵ON 平分∠BOD ，∴117522DON BOD a Ð=Ð=°- ∵OM 平分∠AOC ，∴1122AOM COM AOC b Ð=Ð=Ð= ∴∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON 117522b a a =++°- 117522b a =++° 1752COD =Ð+°当OD 与OA 重合时，∵ON 平分∠AOB ，∴1752AON AOB Ð=Ð=° ∵OM 平分∠AOC ，∴12MON AOC Ð=Ð ，∴MON MOD AON Ð=Ð+Ð 1752AOC =Ð+° 综上所述 1752MON AOC Ð=Ð+°类型二、定值问题例．已知将一副三角尺（直角三角尺OAB 和OCD ）的两个顶点重合于点O ，90AOB Ð=°，30COD Ð=°（1）如图1，将三角尺COD 绕点O 逆时针方向转动，当OB 恰好平分COD Ð时，求AOC Ð的度数；（2）如图2，当三角尺OCD 摆放在AOB Ð内部时，作射线OM 平分AOC Ð，射线ON 平分BOD Ð，如果三角尺OCD 在AOB Ð内绕点O 任意转动，MON Ð的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【答案】（1）75COB Ð=°；（2）不变．60MON Ð=°【详解】解：（1）OB Q 平分COD Ð，11301522COB COD \Ð=Ð=´°=°，901575AOC AOB COB \Ð=Ð-Ð=°-°=°；图1 图2（2）不变．OM Q 平分AOC Ð，ON 平分BOD Ð12NOD BOD \Ð=Ð，12COM AOC Ð=Ð122MON NOD COD COM BOD AOC COD 1\Ð=Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð()12BOD AOC COD =Ð+Ð+Ð()12AOB COD COD =Ð-Ð+Ð()1903030602=´°-°+°=°【变式训练1】如图，两条直线AB 、CD 相交于点O ，且∠AOC=90°，射线OM 从OB 开始绕O 点逆时针方向旋转，速度为15°/s ，射线ON 同时从OD 开始绕O 点顺时针方向旋转，速度为12°/s ．两条射线OM 、ON 同时运动，运动时间为t 秒．（本题出现的角均小于平角）（1）当t=2时，∠MON 的度数为 ，∠BON 的度数为 ；∠MOC 的度数为（2）当0＜t ＜12时，若∠AOM=3∠AON-60°，试求出t 的值；（3）当0＜t ＜6时，探究72COM BON MON Ð+ÐÐ的值，问：t 满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？【答案】（1）144°，114°，60°；（2）t的值为107秒或10秒；（3）当0＜t＜103时，72COM BONMONÐ+ÐÐ的值不是定值；当103＜t＜6时，72COM BONMONÐ+ÐÐ的值是3．【详解】（1）由题意得：∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，∠BON=∠BOD+∠DON=90°+24°=114°，∠MOC=∠BOC-∠BOM=90°-2×15°=60°，故答案为：144°，114°，60°；（2）当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s），当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s）①如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（90-12t）-60，解得t=107，②如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10，综上，t的值为107秒或10秒；（3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t+90+12t=180，解得t=103，①如图所示，当0＜t＜103时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，∴()()790152901272810811590129027t t COM BON t MON t t t °-°+°+°Ð+а-°==а+°+°°+°（不是定值），②如图所示，当103＜t ＜6时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON ）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，∴()()79015290127227027t t COM BON MON t °-°+°+°Ð+Ð=а-°=3（定值），综上所述，当0＜t ＜103时，72COM BON MON Ð+ÐÐ的值不是定值；当103＜t ＜6时，72COM BON MON Ð+ÐÐ的值是3．【变式训练2】已知将一副三角板（90,30AOB COD Ð=°Ð=°）如图1摆放，点O 、A 、C 在一条直线上．将直角三角板OCD 绕点O 逆时针方向转动，变化摆放如图位置．（1）如图1，当点O 、A 、C 在同一条直线上时，BOD Ð=_______度；如图2，若要OB 恰好平分COD Ð，则AOC Ð=_______度；（2）如图3，当三角板OCD 摆放在AOB Ð内部时，作射线OM 平分AOC Ð，射线ON 平分BOD Ð，如果三角板OCD 在AOB Ð内绕点O 任意转动，MON Ð的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．（3）当三角板OCD 从图1的位置开始，绕点O 逆时针方向旋转一周，保持射线OM 平分AOC Ð、射线ON 平分BOD Ð（180,180AOC BOD У°Ð£°），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a 在什么范围内时MON Ð的度数是多少）．【答案】（1）60，75；（2）60MON Ð=°，理由见详解；（3）①当0180a °<<°时，60MON Ð=°；②当180a =°时，60MON Ð=°或120°，③当180240a °<<°时，120MON Ð=°；④当240a =°时，120MON Ð=°或60°；⑤当240360a °<<°时，60MON Ð=°【详解】解：（1）由题意得：30,90COD AOB Ð=°Ð=°，∴60BOD AOB COD Ð=Ð-Ð=°，∵OB 恰好平分COD Ð，∴1152BOC COD Ð=Ð=°，∴75AOC AOB BOC Ð=Ð-Ð=°；故答案为60，75；（2）MON Ð的度数不发生变化，理由如下：∵射线OM 平分AOC Ð，射线ON 平分BOD Ð，∴11,22MOC AOC NOD BOD Ð=ÐÐ=Ð，∵30,90COD AOB Ð=°Ð=°，∴9060AOC BOD COD Ð+Ð=°-Ð=°，∴30MOC NOD Ð+Ð=°，∴60MON MOC NOD COD Ð=Ð+Ð+Ð=°；（3）设旋转角度为a ，根据题意可得：30,90COD AOB Ð=°Ð=°，∵射线OM 平分AOC Ð，射线ON 平分BOD Ð，∴11,22MOC AOC NOD BOD Ð=ÐÐ=Ð，①当0180a °<<°时，如图所示：∴()()1190306022MON MOC NOD BOC BOC BOC BOC Ð=Ð+Ð-Ð=°+Ð+°+Ð-Ð=°，②当180a =°时，即AOC Ð为平角，可分为：当点M 在OB 上，如图所示：∴120MOD BOC COD Ð=Ð+Ð=°，∴1602MON MOD Ð=Ð=°；当点M 在BO 的延长线时，如图所示：∴180120MON BON Ð=°-Ð=°；③当180240a °<<°时，如图所示：∴360AOC CON BON AOB Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴()2303090360MOD CON CON Ð+°+Ð+Ð+°+°=°，解得：90MOD CON Ð+Ð=°，∴9030120MON MOD CON DOC Ð=Ð+Ð+Ð=°+°=°；④当240a =°时，则180BOD Ð=°，如图所示：∴当ON 平分在∠BOD 的左边时，则60MON Ð=°，当ON 平分在∠BOD 的右边时，则120MON Ð=°；⑤当240360a °<<°时，如图所示：∴30,90MOD COM AON BON Ð=Ð-°Ð=Ð-°，∴()()()1130906022MON AOD AON MOD AOD AOD AOD Ð=Ð-Ð+Ð=°-Ð+°-Ð+Ð=°．类型三、求值问题例.如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC Ð=°，将一直角三角板（30M Ð=°）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（注：本题旋转角度最多180°．）（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过t 秒后，AON Ð=______度（用含t 的式子表示），若OM 恰好平分BOC Ð，则t =______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过t 秒后，AOC Ð=______度（用含t 的式子表示）若OC 平分MON Ð，求t 为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒OC 平分BOM Ð？（直接写结果）【答案】（1）3t ，5；（2）306t +，5；（3）经过703秒OC 平分BOM Ð【解析】（1）3AON t Ð=，∵30AOC Ð=°，∴150BOC Ð=°∵OM 平分BOC Ð，90MON Ð=°，∴75COM Ð=°，∴15CON Ð=°∴301515AON AOC CON Ð=Ð-Ð=-=°°°，解得：1535t =¸=°°秒（2）()306AOC t Ð=+度，∵90MON Ð=°，OC 平分MON Ð，∴45CON COM Ð=Ð=°∴45AOC AON CON Ð-Ð=Ð=°，∴306345t t +-=解得：5t =秒（3）如图：∵90AON BOM Ð+Ð=°，BOC COMÐ=Ð由题可设AON Ð为3t ，AOC Ð为()306t +°，∴()19032COM BOC t Ð=Ð=-°∵180BOC AOC Ð+Ð=°，()()130********t t ++-=，解得：703t =秒答：经过703秒OC 平分BOM Ð．【变式训练1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起．（1）若∠DCE ＝35°，∠ACB ＝ ；若∠ACB ＝140°，则∠DCE ＝ ；（2）猜想∠ACB 与∠DCE 的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）若保持三角尺BCE 不动，三角尺ACD 的CD 边与CB 边重合，然后将三角尺ACD 绕点C 按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD ．设∠BCD ＝α（0°＜α＜90°）①∠ACB 能否是∠DCE 的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．②三角尺ACD 转动中，∠BCD 每秒转动3°，当∠DCE ＝21°时，转动了多少秒？【答案】（1）∠ACB ＝145°；∠DCE ＝40°；（2）∠ACB +∠DCE ＝180°或互补，理由见解析；（3）①能；理由见解析，α＝54°；②23秒【详解】解：（1）∵∠ACD ＝∠ECB ＝90°，∠DCE ＝35°，∴∠ACB ＝180°﹣35°＝145°．∵∠ACD ＝∠ECB ＝90°，∠ACB ＝140°，∴∠DCE ＝180°﹣140°＝40°．故答案为：145°，40°；（2）∠ACB +∠DCE ＝180°或互补，理由：∵∠ACE +∠ECD +∠DCB +∠ECD ＝180．∵∠ACE +∠ECD +∠DCB ＝∠ACB ，∴∠ACB +∠DCE ＝180°，即∠ACB 与∠DCE 互补．（3）①当∠ACB 是∠DCE 的4倍，∴设∠ACB ＝4x ，∠DCE ＝x ，∵∠ACB +∠DCE ＝180°，∴4x +x ＝180°解得：x ＝36°，∴α＝90°﹣36°＝54°；②设当∠DCE ＝21°时，转动了t 秒，∵∠BCD +∠DCE ＝90°，∴3t +21＝90，t ＝23°，答：当∠DCE ＝21°时，转动了23秒．【变式训练2】如图（1），∠BOC 和∠AOB 都是锐角，射线OB 在∠AOC 内部，AOB a Ð=，BOC b Ð=．（本题所涉及的角都是小于180°的角）(1)如图（2），OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，填空：①当40a =°，70b =°时，COM Ð=______，CON Ð=______，MON Ð=______；②MON Ð=______（用含有a 或b 的代数式表示）．(2)如图（3），P 为∠AOB 内任意一点，直线PQ 过点O ，点Q 在∠AOB 外部：①当OM 平分∠POB ，ON 平分∠POA ，∠MON 的度数为______；②当OM 平分∠QOB ，ON 平分∠QOA ，∠MON 的度数为______；（∠MON 的度数用含有a 或b 的代数式表示）(3)如图（4），当40a =°，70b =°时，射线OP 从OC 处以5°/分的速度绕点O 开始逆时针旋转一周，同时射线OQ 从OB 处以相同的速度绕点O 逆时针也旋转一周，OM 平分∠POQ ，ON 平分∠POA ，那么多少分钟时，∠MON 的度数是40°？【答案】(1)135,55,20,2°°°a ；(2)12a ，11802a °-；(3)48分钟时，∠MON 的度数是40°【解析】(1)①Q OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，当40a =°，70b =°时，COM Ð=113522BOC Ð=b =°，CON Ð=()111()55222AOC AOB BOC Ð=Ð+Ð=a +b =°，MON Ð=()11120222CON COM a b b a Ð-=+-==°②MON Ð()111222CON COM =Ð-=a +b -b =a ，故答案为：135,55,20,2°°°a (2)①Q OM 平分∠POB ，ON 平分∠POA ，\()12MON POB POA Ð=Ð+Ð 1122AOB =Ð=a ②Q OM 平分∠QOB ，ON 平分∠QOA ，\()12MON BOQ QOA Ð=Ð+Ð()1136018022AOB =°-Ð=°-a 故答案为：12a ，11802a °-(3)根据题意POQ BOC Ð=Ð=bQ OM 平分∠POQ ，113522POM POQ \Ð=Ð=b =°，如图，当OP 在AOB Ð的外部时，Q MON 的度数是40°MON PON POM Ð=Ð+Q 5PON \Ð=°Q ON 平分∠POA ，210POA PON \Ð=Ð=°，120POC \Ð=°，则OP 旋转了360120240°-°=°240548\¸=分，即48分钟时，∠MON 的度数是40°如图，OP 在AOB Ð的内部时，MON POM PON Ð=Ð-ÐQ ，即4035PON °=°-Ð，5PON \Ð=-°此情况不存在，综上所述，48分钟时，∠MON 的度数是40°【变式训练3】如图1，点A 、O 、B 依次在直线MN 上，现将射线OA 绕点O 沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB 绕点O 沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为(090)t t <<．（1）用含t 的代数式表示：MOA Ð=_______°，MOB Ð=_______°．（2）在运动过程中，当60AOB Ð=°时，求t 的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t ，使得直线OB 平分由射线OM 、射线OA 、射线ON 中的任意两条射线组成的角（大于0°而小于180°）？【答案】（1）2t ，1804t -；（2）当60AOB Ð=°时，20t =或40或80；（3）存在，当直线OB 平分由射线OM 、射线OA 、射线ON 中的任意两条射线组成的角时，18t =或36或54或72．【解析】（1）由题意得：射线OA 的运动路程为2t °，射线OB 的运动路程为4t °，∴2MOA t Ð=°，当045t <<时，1804MOB t Ð=°-°，当4590t <<时，4180MOB t Ð=°-°，∴1804MOB t Ð=°-°；故答案为2t ，1804t -；（2）由题意可得射线OA 与射线OB 相遇的时间为：24180t t °+°=°，解得：30t =，∴当射线OA 与射线OB 相遇前，60AOB Ð=°时，如图所示：∴2604180t t °+°+°=°，解得：20t =，当射线OA 与射线OB 相遇后，且射线OB 还没有过直线MN 时，60AOB Ð=°，如图所示：2604180t t °-°+°=°，解得：40t =，当射线OB 过了直线MN 时，60AOB Ð=°，如图所示：2418060360t t °+°-°+°=°，解得：80t =，综上所述：当60AOB Ð=°时，20t =或40或80；（3）存在，理由如下：由2MOA t Ð=°，1804MOB t Ð=°-°，4NOB t Ð=°，则可分：①若直线OB 平分AON Ð时，如图所示：∴12BON AON Ð=Ð，1802AON t Ð=°-°，∴490t t °=°-°，解得：18t =；若直线OB 平分AOM ∠时，如图所示：∴12BOM AOM Ð=Ð，∴1804t t °-°=°，解得：36t =；②若直线OB 平分AON Ð时，如图所示：∴12BOM CON AON Ð=Ð=Ð，∴418090t t °-°=°-°，解得：54t =；若直线OB 平分AOM ∠时，如图所示：∴12BON COM AOM Ð=Ð=Ð，3604BON t Ð=°-°，∴3604t t °-°=°，解得：72t =；综上所述：当直线OB 平分由射线OM 、射线OA 、射线ON 中的任意两条射线组成的角时，18t =或36或54或72．课后训练1．如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使120BOC Ð=°．将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一直角边OM 在射线OB 上，另一直角边ON 在直线AB 的下方．(1)将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使边OM 在BOC Ð的内部，且恰好平分BOC Ð．问：此时直线ON 是否平分AOC Ð？请说明理由．(2)将图1中的三角板绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n 秒时，直线ON 恰好平分AOC Ð，则n 的值为______（点接写结果）(3)若图1中的三角板绕点O 旋转至图3，使ON 在AOC Ð的内部时，AOM NOC Ð-Ð的度数是多少？【答案】(1)平分，理由见解析；(2)10或40；(3)30°【解析】(1)解：（1）直线ON 平分∠AOC ．理由：设ON 的反向延长线为OD ，∵OM 平分∠BOC ，∴∠MOC ＝∠MOB ，又∵OM ⊥ON ，∴∠MOD ＝∠MON ＝90°，∴∠COD ＝∠BON ，又∵∠AOD ＝∠BON （对顶角相等），∴∠COD ＝∠AOD ，∴OD 平分∠AOC ，即直线ON 平分∠AOC ；(2)解：由（1）得，∠BOM ＝60°时，直线ON 恰好平分AOC Ð，即旋转60°时，ON平分∠AOC，再旋转180°即旋转240°时，ON平分∠AOC，由题意得，6n＝60°或6n＝240°，∴n＝10或40；故答案为：10或40；(3)解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．2．如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，∠BOC ＝10°，以O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合．射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1度/秒，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止，射线OP旋转至与射线OE重合时停止），两条射线同时开始旋转（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）．(1)直接写出射线OP停止运动时的时间．(2)当射线OP平分∠AOC时，直接写山它的旋转时间．(3)若射线OQ的转速为3度/秒，当∠POQ＝70°时，直接写出射线OP的旋转时间．(4)若∠POA＝2∠POB时，射线OQ旋转到的位置恰好将∠AOB分成度数比为1：2的两个角，直接写出射线OQ的旋转速度．【答案】(1)180s；(2)55s；(3)3s或70s；(4)5(/6s°或0.5/s°或5(/14s°或3()/14s°．【解析】(1)Q∠EOF=180°，射线OP的速度为1°/s，则时间为180÷1=180s；(2)Q∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+10°=70°，当射线OP平分时∠AOC，∠AOP=∠POC=12∠AOC=35°，此时OP旋转的度数为：∠AOF+∠AOP=20°+35°=55°，∴旋转的时间为：55÷1=55s．(3)Q∠FOC=∠FOA+∠AOB+∠BOC=90°，设射线OP旋转的时间为t秒，由题意可得：t+3t=90+70或t+3t=90-70，解得：t=5或t=40，Q射线OQ旋转至射线OF重合时停止，∴.射线OQ最多旋转30秒，当射线OQ旋转30秒与射线OF重合停止，此时∠POQ=∠FOP=30°，之后射线OP继续旋转7030401/ss°°°-=，则∠POQ=∠FOP=70°，此时t=70s，故答案为：5s或70s．(4)①当射线OP在∠AOB内部时，Q∠POA=2∠POB，∠AOB=60°，∴∠POA=40°，∠FOP=60°，故射线OP旋转的时间为60s，若13AOQ AOBÐ=Ð，则∠BOQ=40°，∠COQ=50°，∴此时射线OQ的旋转速度为：50÷60=56（°/s)，若13BOQ AOBÐ=Ð时，则∠BOQ=20°，∠COQ=30°，\此时射线OQ的旋转速度为30÷60=12（°/s）；②当射线OP在∠EOB内部时，Q∠PDA=2∠POB，∠AOB=60°，\∠POA=120°，∠FOP=140°，故射线OP旋转时间为140秒，若13AOQ AOBÐ=Ð时，则∠BOQ=40°，∠COQ=50°，∴此时射线OQ的旋转速度为：50÷140=514（°/s)，若13BOQ AOBÐ=Ð时，则∠BOQ=20°，∠COQ=30°，\此时旋转速度为：30÷140=314（°/s)，综上，符合条件的旋转速度为5(/6s °或0.5/s °或5()/14s °或3(/14s °．3．已知O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC ．(1)如图1，若∠AOC =48°，求∠DOE 的度数；(2)如图1，若∠AOC =α，则∠DOE 的度数为 (用含有α的式子表示)；(3)将图1中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE 和∠AOC 度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．(4)将图1中的∠DOC 绕顶点O 逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC =α，则∠DOE 的度数为 (用含有α的式子表示)，不必说明理由．【答案】(1)24°；(2)12a ；(3)∠DOE =12∠AOC ，理由见解析；(4)180 °-12a 【解析】(1)∵∠AOC +∠BOC =∠AOB =180°∴∠BOC =180°-∠AOC =180°-48° = 132°∵OE 平分∠BOC∴∠COE =12∠BOC = 66°又∵∠COD 是直角∴∠COD = 90°∴∠DOE =∠COD -∠COE = 90°- 66°= 24°(2)由（1）得，12DOE COD BOC Ð=Ð-Ð190(180),2DOE AOC °°\Ð=--Ð11.22DOE AOC a \Ð=Ð=故答案为：12a (3)答：∠DOE =12∠AOC ．理由如下: ∵∠AOC +∠BOC =∠AOB =180°∴∠BOC =180°-∠AOC∵OE 平分∠BOC∴∠COE =12∠BOC =12 (180°-∠AOC )= 90°-12∠AOC又∵∠COD 是直角∴∠COD = 90°∴∠DOE =∠COD -∠COE = 90°-(90°-12∠AOC )=12∠AOC∴∠DOE =12∠AOC(4)Q OE 平分BOC Ð1180180222AOC COE BOC a °°-Ð-\Ð=Ð==COD ÐQ 是直角90,COD °\Ð=180********DOE COD COE a a °°°-\Ð=Ð+Ð=+=-故答案为：11802a °-；4．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC Ð=°，将一直角三角板（30M Ð=°）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（注：本题旋转角度最多180°．）（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过t 秒后，AON Ð=______度（用含t 的式子表示），若OM 恰好平分BOC Ð，则t =______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过t 秒后，AOC Ð=______度（用含t 的式子表示）若OC 平分MON Ð，求t 为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒OC 平分BOM Ð？（直接写结果）【答案】（1）3t ，5；（2）306t +，5；（3）经过703秒OC 平分BOM Ð【详解】（1）3AON tÐ=∵30AOC Ð=°，∴150BOC Ð=°∵OM 平分BOC Ð，90MON Ð=°∴75COM Ð=°，∴15CON Ð=°，∴301515AON AOC CON Ð=Ð-Ð=-=°°°解得：1535t =¸=°°秒（2）()306AOC t Ð=+度，∵90MON Ð=°，OC 平分MONÐ∴45CON COM Ð=Ð=°，∴45AOC AON CON Ð-Ð=Ð=°，∴306345t t +-=解得：5t =秒（3）如图：∵90AON BOM Ð+Ð=°，BOC COMÐ=Ð由题可设AON Ð为3t ，AOC Ð为()306t +°∴()19032COM BOC t Ð=Ð=-°∵180BOC AOC Ð+Ð=°()()130********t t ++-=，解得：703t =秒答：经过703秒OC 平分BOM Ð．5．已知:AOB Ð和COD Ð是直角．（1）如图，当射线OB 在COD Ð内部时，请探究AOD Ð和BOC Ð之间的关系；（2）如图2，当射线,OA 射线OB 都在COD Ð外部时，过点О作射线OE ，射线OF ，满足13BOE BOC Ð=Ð，23DOF AOD Ð=Ð，求EOF Ð的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG ，使得:2:3GOF GOE ÐÐ=，若不存在，请说明理由，若存在，求出GOF Ð的度数．【答案】（1）180AOD BOC Ð+Ð=°，详见解析；（2）150o ；（3）GOF Ð的度数是60°或84o【详解】解：（1）180AOD BOC Ð+Ð=° ，证明：AOB ÐQ 和COD Ð是直角，BOD BOC COD Ð+Ð=ÐQ ，90BOD BOC \Ð=°-Ð，同理：90AOC BOC Ð=°-Ð，9090180AOD AOB BOD BOC BOC \Ð=Ð+Ð=°+°-Ð=-Ðo ，180AOD BOC \Ð+Ð=°；（2）解：设BOE a Ð=，则3BOC a Ð=，BOE EOC BOC Ð+Ð=ÐQ ，2EOC BOC BOE a \Ð=Ð-Ð=，360AOD COD BOC AOB Ð+Ð+Ð+Ð=°Q ，360AOD COD BOC AOB \Ð=°-Ð-Ð-Ð360903901803a a =°-°--°=°-，23DOF AOD Ð=ÐQ ，21803103(22DOF a a \Ð=°-=°-），(1118036033AOF AOD a a \Ð=Ð=-=°-o ），9060150EOF BOE AOB AOF a a \Ð=Ð+Ð+Ð=+°+°-=°，答：EOF Ð的度数是150o ；（3）①如图，当射线OG 在EOF Ð内部时，:2:3GOF GOE ÐÐ=Q ，222150602355GOF EOF EOF \Ð=Ð=Ð=´°=°+，②如图，当射线OG 在EOF Ð外部时，()()222352360360150210845GOF EOF °\Ð=Ð=+-°-°=´°=°，综上所述，GOF Ð的度数是60°或84°．6.已知O 为直线AB 上的一点，∠COE ＝90°，射线OF 平分∠AOE ．（1）在图1中，当∠COF ＝36°时，则∠BOE ＝ ，当∠COF ＝m °时，则∠BOE ＝ ；以此判断∠COF 和∠BOE 之间的数量关系是 ；（2）若将∠COE 绕点O 旋转至图2的位置，试问（1）中∠COF 和∠BOE 之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请你说明理由；（3）若将∠COE 绕点O 旋转至图3的位置，继续探究∠COF 和∠BOE 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）72°；2m°；∠BOE =2∠COF ；（2）不发生变化，理由见解析；（3）∠BOE +2∠COF =360°，理由见解析【解析】（1）∵∠COE ＝90°，∠COF ＝36°，∴∠EOF =90°-36°=54°，∵OF 平分∠AOE ，∴∠AOE =2∠EOF =108°，∴∠BOE =180°-108°=72°；同理可求∠BOE =2m °；由第一和第二空可知：∠BOE =2∠COF ．故答案为：72°；2m °；∠BOE =2∠COF ；（2）∠BOE=2∠COF不会变化，其证明过程是：设∠AOC=x°，则∠AOE=(90-x)°，∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=∠AOF=12∠AOE=(45-12x)°，∴∠COF=∠COE-∠EOF=90°-(45-12x)°=(45+12x)°，∠BOE=180°-∠AOE=180°-(90-x)°=(90+x)°，∴∠BOE=2∠COF．（3）∠BOE+2∠COF=360°，其理由是：设∠AOC=x°，则∠AOE=∠AOC-∠COE=(x-90)°．∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF=12∠AOE=(12x-45)°，∴∠COF=∠AOC-∠AOF=x°-(12x-45)°=(12x+45)°，∠BOE=180°-∠AOE=180°-(x-90)°=(270-x)°，∴∠BOE+2∠COF=(270°-x)°+2(12x+45)°=360°．故答案为：（1）72°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）不发生变化，理由见解析；（3）∠BOE+2∠COF=360°。

动态几何之定值问题

动态几何之定值问题

动态几何之定值问题例1：如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE =BC ，AB =3，BC =4，点P 为直线EC 上的一点，且PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R ．（1）如图1，当点P 为线段EC 中点时，易证：PR +PQ =512（不需证明）． （2）如图2，当点P 为线段EC 上的任意一点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．例2：如图，O 是正△ABC 内一点，OA =3，OB =4，OC =5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，下列结论：①△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O ′的距离为4；③∠AOB =150°；④AOBO S =6+33四形边；⑤AOC AOB 93S S 6+4+= ．其中正确的结论是___________例3：如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ． （1）求证：∠APB =∠BPH ；（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．例4:已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．(1)如图(1)，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；(2)如图(2)，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图(3)，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)(1)(2)1.在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．2. 已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。

高二数学上册常考题专练(人教A版2019选修一)专题09 与圆有关的定值问题(解析版)

高二数学上册常考题专练(人教A版2019选修一)专题09 与圆有关的定值问题(解析版)

专题09与圆有关的定值问题1．已知圆C 的圆心在直线2y x =-上，并且经过点(2,1)A -，与直线1x y +=相切．（1）试求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线:2l y kx =-相交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点．求证：1211x x +为定值．【解答】解：（1）由题意知：过(2,1)A -且与直线1x y +=垂直的直线方程为：3y x =-， 圆心在直线：2y x =-上，∴由23y x y x =-⎧⎨=-⎩⇒12x y =⎧⎨=-⎩即(1,2)M -，且半径1||r AO ==，∴所求圆的方程为：22(1)(2)2x y -++=．（2）将l 的方程与圆C 的方程联立得22(1)210k x x +--=，由韦达定理得12122221,11x x x x k k -+==++ ，故121212112x x x x x x ++==-．【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解及直线与圆的位置关系的简单应用，方程的根与系数关系的应用是证明（2）的关键．2．动圆C 与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，且1x ，2x 是方程2240x mx +-=的两根．（1）若线段AB 是动圆C 的直径，求动圆C 的方程；（2）证明：当动圆C 过点(0,1)M 时，动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【解答】解：（1）1x ，2x 是方程2240x mx +-=的两根，122x x m ∴+=-，124x x =-． 动圆C 与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，且线段AB 是动圆C 的直径，∴动圆C 的圆心C 的坐标为(,0)m -，半径为21||||22x x AB -==．∴动圆C 的方程为222()4x m y m ++=+；（2）证明：设动圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 动圆C 与y 轴交于(0,1)M ，1(0,)N y ，令0y =则20x Dx F ++=，由题意可知2D m =，4F =-，又动圆C 过点(0,1)M ，140E ∴+-=，解得3E =．令0x =，则2340y y +-=，解得1y =或4y =-，14y ∴=-．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为1|1|5y -=．故动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【点睛】本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于定值问题中的基础题．3．如图，在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM 、AN 分别与圆O 交于M 、N 两点．（1）若2AM k =，12AN k =-，求AMN ∆的面积；（2）若直线MN 过点(1,0)，证明：AM AN k k为定值，并求此定值．【解答】解：（1）根据题意，圆22:4O x y +=的圆心为(0,0)，半径为2，(2,0)A -，若2AM k =，则直线AM 的方程为02(2)y x -=+，即24y x =+，12AN k =-，直线AN 的方程为10(2)2y x -=-+，即112y x =--，由题知1AM AN k k =- ，所以AN AM ⊥，MN 为圆O 的直径，所以圆心到直线AM的距离455d ==，则2AM =，又由中位线定理知，2AN d =，即855AN =，则AMN ∆的面积1116225S AM AN =⨯⨯=⨯；（2）证明：设1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，①当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，代入圆的方程中有：222(1)40x k x +--=，整理得：2222(1)240k x k x k +-+-=，则有212221k x x k +=+，212241k x x k -=+，此时2212121212121212121212(1)(1)()1122(2)(2)(2)(2)2()43AM AN y y y y k x x x x x x k k k x x x x x x x x x x ---++=⨯===⨯=-+++++++++ ，②当直线MN 斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =，代入圆的方程可得M，(1,N ；此时13AM AN k k =- ，综合可得：AM AN k k 为定值，且此定值为13-．【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，以及弦长公式的运用，属于定值问题中的基础题．4．已知过点M (0,2)且斜率为k 的直线l 与圆22:(1)1C x y -+=交于A ，B 两点．（1）求斜率k 的取值范围；（2）以点M 为圆心，r 为半径的圆与圆C 总存在公共点，求r 的取值范围；（3）O 为坐标原点，求证：直线OA 与OB 斜率之和为定值．【解答】解：（1）根据题意可得，直线l 的方程为：2(0)y k x -=-，即20kx y -+=，圆C 的方程为22(1)1x y -+=，则其圆心(1,0)C ，半径1r =，若直线与圆相交，必有d r <，即1<，解得34k <-，所以斜率k 的取值范围为34k <-．（2）若以点M 为圆心，r 为半径的圆与圆C 总存在公共点，则|1|||1r MC r -+，即|1|1r r -+，11r-+．（3）证明：联立直线与圆的方程：222(1)1y kx x y =+⎧⎨-+=⎩，消去y 整理得22(1)(42)40k x k x ++-+=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，根据韦达定理得12212242141k x x k x x k +⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，则121212121222222OA OB y y kx kx k k k x x x x x x +++=+=+=++212122842()122221141k x x k k k k k x x k --++=+=+=-+=+，故直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值1．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，斜率，属于中档题．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上的圆C 经过点(3,0)A ，且被y 轴截得的弦长为，经过坐标原点O 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点．（1）求当满足20OM ON += 时对应的直线l 的方程；（2）若点(3,0)P -，直线PM 与圆C 的另一个交点为R ，直线PN 与圆C 的另一个交点为T ，分别记直线l 、直线RT 的斜率为1k 、2k ，求证：12k k +为定值．【解答】解：因为圆C 被y轴截得的弦长为，所以OC =，又圆心在x 轴上的圆C 经过点(3,0)A ，所以3OC r +=，即3r +=，解得2r =，所以圆心(1,0)C ，所以圆C 方程为22(1)4x y -+=．设直线l 方程为：1y k x =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 联立圆的方程得，221(1)230k x x +--=，122121x x k +=+③，122131x x k -=+④，（1）因为20OM ON += ，所以1(x ，12)(2y x +，22)(0y =，0)即121220,20,x x y y +=⎧⎨+=⎩①②①-③得22121x k =-+，代入③得12141x k =+，代入④得，222111243()()111k k k --=+++解得1k =，所以直线l 的方程为：153y =±．（2）直线PT l 方程为：2200(3)3y y x x --=++，联立圆的方程得：2222222222[1(][26()]9()30333y y y x x x x x ++-++-=+++，所以22222222222222222222226()26()332(3)6(3)1()1()33T y y x x x y x x y y x y x x -+-+++-+=-==++++++，所以2222222222222222222(3)62(3)6[4(1)](3)(3)[4(1)]T x y x x x x x x y x x +-+---=-=-++++--，22222222222222121824612669426x x x x x x x x x ++-+-+=-+++-+-，22228812x x x =-+，2222228812812x x x x --=+22323x x -=+，12212212222223393(3)32332323T k x x k x x k x y x x x x x -+=+==+++++ ，所以223(23x T x -+，122323k x x +，同理可得113(23x R x -+，1113)23k x x +，所以1211211211122212112213323233(23)3(23)333(23)3(23)2323k x k x x x k x x k x x k x x x x x x x x -+++-+==--++++++11212112111269699()k x x k x k x x k x x x +--=-1211219()9()k x x k x x -=-=--，所以120k k +=，所以120k k +=为定值．【点睛】本题考查圆的方程，向量，直线与圆相交问题，还考查运算能力，属于中档题．6．已知圆心C 在第一象限，半径为54的圆与y 轴相切，且与x 轴正半轴交于A ，B 两点(A 在B 左侧），||||1(OA OB O ⋅=为坐标原点）．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于P ，Q 两点．①证明：||||||||PA QB PB QA +为定值；②求||2||PB PC +的最小值．【解答】（1）解：因为圆心C 在第一象限，半径为54的圆与y 轴相切，故设圆心5(,)4C b ，则225||216AB b =-，所以51||||42OA AB =-，51||||42OB AB =+，所以22251||||||1164OA OB AB b ⋅=-==，解得1b =，所以圆C 的方程为22525((1)416x y -+-=；（2）①证明：由（1）可得，1(,0),(2,0)2A B ，设0(P x ，0)y ，则22001x y +=，所以222200000222200000115()()1||1224||542(2)(2)1x y x x x PA PB x x y x y -+-+--====--+-+-，同理可得||2||QB QA =，所以||||||||PA QB PB QA +为定值52；②解：因为||2||PB PA =，所以5||2||2(||||)2||2PB PC PA PC AC +=+==，故||2||PB PC +的最小值为52．【点睛】本题考查了圆的标准方程的求解与应用，直线与圆位置关系的应用，圆中弦长公式的应用以及圆中最值问题的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．7．已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线3480x y +-=相切．（1）求圆C 的标准方程．（2）直线:2l y kx =+与圆C 交于A ，B 两点．（ⅰ）求k 的取值范围；（ⅱ）证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值．【解答】解：（1）设圆C 的圆心坐标为(,0)C a ，其中0a >，半径为r ，圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，r a ∴=，又 圆C 与直线3480x y +-=相切，∴r a ==，解得1a =或4a =-（舍去），∴圆心(1,0)C ，1r =，故圆C 的标准方程为22(1)1x y -+=．（2）()i 联立直线与圆的方程222(1)1y kx x y =+⎧⎨-+=⎩，可得22(1)(42)40k x k x ++-+=， 直线l 交圆C 与A ，B 两点，∴△2224(42)16(1)0b ac k k =-=--+>，解得34k <-，故k 的取值范围为3(,4-∞-．()ii 证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由韦达定理，可得122421k x x k -+=+，12241x x k =+，又 2121212121212284222()122221141OA OB k y y kx kx x x k k k k k k k x x x x x x k --+++++=+=+=+=+=-+=+，∴直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值，即得证．【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，并考查了点到直线的距离公式和韦达定理，需要学生较强的综合能力，属于中档题．8．在平面直角坐标系xOy 中，设圆22(2)4x y -+=的圆心为M ，(0,4)P -．（1）若PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 是切点，M 为圆心，求四边形PAMB 的面积；（2）若过点P 且斜率为k 的直线与圆M 相交于不同的两点A ，B ．设直线OA 、OB 的斜率分别为1k ，2k ，问12k k +是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）圆心M 的坐标为(2,0)，半径2r = 圆心(2,0)M 到直线0x =的距离2d =，∴直线0x =是圆的一条切线，无妨设切点为A ，则||2MA d ==，||PM ==||4PA ∴==，∴四边形PAMB 的面积为1||||282PA MA ⨯⨯⨯=．（2）过点P 的直线方程为4y kx =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立得224(2)4y kx x y =-⎧⎨-+=⎩，整理得22(1)(84)160k x k x +-++=，直线与圆相交，∴△2216(21)64(1)0k k =+-+>，34k ∴>，则122841k x x k ++=+，122161x x k ⋅=+，于是121221122112121212(4)(4)y y y x y x kx x kx x k k x x x x x x +++++=+==12124()84224()116x x k k k x x ++=-=-⨯=-，12k k ∴+为定值1-．【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，用联立法求解是解决问题的关键，属于中档题．9．已知圆22:(3)(4)4C x y +++=，直线l 过定点(1,0)A -．（1）若l 与圆相切，求l 的方程；（2）若l 与圆相交于P 、Q 两点，PQ 线段中点为M ，又l 与0:220l x y +-=交点为N ，求证：||||AM AN ⋅为定值．【解答】（1）解：由题意知直线的斜率不为0，设直线l 的方程为1x ty =-，10x ty -+=，则由l与圆相切得：2d ==，解得：0t =或43，故l 的方程为1x =-或3430x y -+=．（2）证明：l 与圆相交于PQ 两点，故l 斜率存在且不为0．设直线l 的方程为1x ty =-，联立122x ty x y =-⎧⎨+=⎩得31232t x t y t ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，故33(1,)22t N t t -++；PQ 线段中点为M ，CM PQ ∴⊥，设直线CM 的方程为4(3)y t x +=-+，联立14(3)x ty y t x =-⎧⎨+=-+⎩，得2222411241t t x t t y t ⎧--=-⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩，故2222424(1,)11t t t M t t -----++；∴2222424(,11t t t AM t t ----=++ ，33(,22t AN t t =++ ，∴6AM AN ⋅=- ，又由于A ，M ，N 三点共线，||||6AM AN ∴⋅=得证，||||AM AN ⋅为定值．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10．已知O 为坐标原点，圆C 的方程为：22(1)1x y -+=，直线l 过点(0,3)M ．（1）若直线l 与圆C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，试问：直线OA 与OB 的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由．【解答】解：（1）①当直线l 斜率不存在时，l 的方程为0x =，符合题意．②当直线l 斜率存在时，设l 的方程为3y kx =+，由22(1)1x y -+=，得圆心(1,0)C ，半径1r =．直线与圆有一个公共点，∴1d ==，解得43k =-．l ∴的方程为433y x =-+，即4390x y +-=．综上所述，直线l 的方程为0x =或4390x y +-=；（2）直线OA 与OB 的斜率之和为定值．证明：由（1）知直线l 斜率存在，设l 的方程为3y kx =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与圆的方程：223(1)1y kx x y =+⎧⎨-+=⎩，消去y 得22(1)(62)90k x k x ++-+=．根据韦达定理得12212262191k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．则1212121233OA OB y y kx kx k k x x x x +++=+=+212121221863()33221222229331k x x k k k k k k x x x x k --++=++=+=+=-+=+ ．∴直线OA 与OB 的斜率之和为定值23．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．11．若圆221:C x y m +=与圆222:68160C x y x y +--+=相外切．（1）求m 的值；（2）若圆1C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，P 为第三象限内一点且在圆1C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．【解答】解：（1）圆1C 的圆心坐标(0,0)圆2C 的圆心坐标(3,4)，半径为3，35+=，4m ∴=．（2）证明：点A 坐标为(2,0)，点B 坐标为(0,2)，设P 点坐标为0(x ，0)y ，由题意得点M 的坐标为002(0,)2y x -；点N 的坐标为002(2x y -，0)，四边形ABNM 的面积20000000022(422)11(2)(2)2222(2)(2)x y y x S y x y x --=--=---- ，由P 点在圆1C 上，有22004x y +=，∴四边形ABNM 的面积4S =，即四边形ABNM 的面积为定值4．【点睛】本题考查圆的标准方程，考查了圆与圆的位置关系，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．12．已知圆C 和y 轴相切于点(0,2)T ，与x 轴的正半轴交于M 、N 两点(M 在N 的左侧），且3MN =；（1）求圆C 的方程；（2）过点M 任作一条直线与圆22:4O x y +=相交于点A 、B ，连接AN 和BN ，记AN 和BN 的斜率为1k ，2k ，求证：12k k +为定值．【解答】解：（1） 圆C 与y 轴相切于点(0,2)T ，可设圆心的坐标为(m ，2)(0)m >，则圆C 的半径为m ，又||3MN =，∴223254()24m =+=，解得52m =，∴圆C 的方程为22525((2)24x y -+-=；证明：（2）由（1）知(1,0)M ，(4,0)N ，当直线AB 的斜率为0时，知0AN BN k k ==，即120k k +=为定值．当直线AB 的斜率不为0时，设直线:1AB x ty =+，将1x ty =+代入224x y +=，整理得，22(1)230t y ty ++-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，∴12221t y y t +=-+，12231y y t -=+，则12121212124433y y y y k k x x ty ty +=+=+----22121212126623()110(3)(3)(3)(3)t tty y y y t t ty ty ty ty -+-+++===----．综上可知，120k k +=为定值．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．13．平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,4)P ，圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴交于点Q ．（1）若过点P 的直线1l 与圆O 相切，求直线1l 的方程；（2）若过点P 的直线2l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．①设直线QA ，QB 的斜率分别是1k ，2k ，问12k k +是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由；②设线段AB 的中点为M ，点(1,0)N ，若14MN OM =，求直线AB的方程．【解答】解：（1）当1l 的斜率不存在时，易得1l 的方程为2x =适合题意；当1l 的斜率存在时，设1:4(2)l y k x -=-，即420kx y k -+-=，由题设知：圆心O 到直线1l的距离324d r k ===⇒=，此时1:34100l x y -+=，∴直线1l 的方程为2x =或34100x y -+=；（2）①2:4(2)l y k x -=-，联立224(2)4y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，可得222(1)4(2)(24)40k x k k x k +--+--=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1224(2)1k k x x k -+=+，2122(24)41k x x k--=+，∴121212121212(2)4(2)4442222222y y k x k x k k k x x x x x x -+-++=+=+=++------21221212224(2)4(4)4(4)4(84)12221(24)44(2)2()4162411k k x x k k k k k k k k x x x x k k --+-++=+=+=-=-----++-+++；②设0(M x ，0)y ，由①知，12022(2)21x x k k x k +-==+，代入直线方程，可得022(2)1k y k --=+，由14MN OM =，得222200001(1)()16x y x y -+=+，化简为22000151532160x y x +-+=，把0x ，0y 代入，可得222222(2)2(2)2(2)15()15(32160111k k k k k k k k ----+-+=+++，解得4k =或163k =．∴直线AB 的方程为44(2)y x -=-或164(4)3y x -=-，即440x y --=或163520x y --=．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了“设而不求”的解题思想，考查计算能力，是中档题．14．平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆被直线20x --=截得弦长为．（1）求圆O 的方程；（2）过点(0,1)P 的直线与圆O 交于A ，B 两点，与x 轴交于点Q ，设QA PA λ= ，QB PB μ=，求证：λμ+为定值．【解答】解：（1）设圆O 的半径为r，圆心到直线20x --=的距离为d ，则1d ==，则2r =．∴圆O 的方程为224x y +=；证明：（2）当AB 与x 轴垂直时（不妨设A 在x 轴上方），此时Q 与O 重合，从而2λ=，23μ=，83λμ+=；当点Q 与点O 不重合时，直线AB 的斜率存在，设:1AB y kx =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1(Q k -，0)，由QA PA λ= ，QB PB μ= ，得：111x x k λ+=，221x x kμ+=，即12121211112x x kx kx kx x λμ++=+++=+．联立2214y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得22(1)230k x kx ++-=．则△222412(1)16120k k k =++=+>．12221k x x k -+=+，12231x x k -=+，1212282233x x k kx x k λμ+-∴+=+=+=-．综上，λμ+为定值83．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15．已知圆C 的圆心在y 轴上，半径5r <，过点(0,4)且与直线32y x =-相切．（1）求圆C 的方程；（2）若过点(,0)P t 的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，且与直线240x y --=交于点M ，若A ，B 中点为N ，问是否存在实数t ，使PM PN为定值，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设圆心(0,)m ，圆心到直线32y x =-的距离等于半径，∴|4|31m =-+，解得2m =或10m =，又半径5r <，2m ∴=，则圆C 的方程为22(2)4x y +-=；（2）()PM PN PM PC CN PM PC PM CN PM PC =+=+= ．①当直线l 的斜率k 存在时，设:()l y k x t =-，联立()240y k x t x y =-⎧⎨--=⎩，解得4212412kt x kk kt y k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，424(,1212kt k kt M k k --∴--，∴4244(4)(,)(,12121212kt k kt t k t PM t k k k k----=-=---- ，(,2)PC t =-，∴4(4)(4)2(4)(4)(2)(,)(,2)1212121212t k t t t k t t t k PM PC t k k k k k-------+=-=+=----- ，要使PM PN 为定值，则1t =，此时3PM PN =-；②当l 的斜率不存在时，4(,)2t M t -，(,0)P t ，(,2)N t ，∴4(0,)(0,2)42t PM PN t -==- ，1t =时满足3PM PN =- ；又当M 与P 重合时，0PM PN =也为的值．综上，当1t =或4时，PM PN为定值．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为2230x y x y +-+=，点(1,1)P 是圆C 上一点．（1）若M ，N 为圆C 上两点，若四边形MONP 的对角线MN 的方程为20x y m ++=，求四边形MONP 面积的最大值；（2）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，试判断直线AB 的斜率是否为定值，并说明理由．【解答】解：（1）由圆C 的方程为2230x y x y +-+=，可知31(,)22C -，半径r =则C 到MN 距离31|1|||22m m d -++==所以MN ==12m =-时取等号，由d r <，解得1521522222m --<<-+；由O ，P 在MN 两侧，(12)0m m ++<，30m -<<，所以30m -<<．O 到MN距离1d ==，P 到MN距离2d =，所以四边形MONP的面积12132()22MNO MNP S S S MN d d ∆∆=+=+=，所以12m =-时，四边形MONP 面积最大为322；（2）由题意可设1:(1)1PA y k x =-+，由122(1)130y k x x y x y =-+⎧⎨+-+=⎩，可得22221111(1)(233)320k x k k x k k +--++-+=，设1(A x ，1)y ，则2111213211k k x k -+⨯=+，所以211121321k k x k -+=+，2111112121(1)11k k y k x k -++=-+=+，所以22111122113221(,)11k k k k A k k -+-++++，同理22222222223221(,)11k k k k B k k -+-++++，因为120k k +=，所以22111122113221(,)11k k k k B k k ++--+++，所以22111122111221111122112121112132326311ABk k k k k k k k k k k k k k k -++--+-++===--+++--++为定值．【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．17．已知圆22:1O x y +=与x 轴的正半轴交于点P ，直线:30l kx y k --+=与圆O 交于不同的两点A ，B ．（1）求实数k 的取值范围；（2）设直线PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k ，试问12k k +是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；（3）设AB 的中点为N ，求点N 到直线3100x y +-=的距离的最大值．【解答】解： 圆22:1O x y +=与x 轴的正半轴交于点P ，∴圆心(0,0)O ，半径1r =，(1,0)P ．（1） 直线:30l kx y k --+=与圆O 交于不同的两点A 、B ，∴圆心O 到直线l的距离1d =<，即|3|k -<43k >；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩，可得2222(1)(26)680k x k k x k k +--+-+=，∴2122261k k x x k -+=+，2122681k k x x k-+=+，∴121212121212(1)3(1)3332111111y y k x k x k k k x x x x x x -+-++=+=+=++------221222212123(2)3[262(1)]22()168(26)1x x k k k k k x x x x k k k k k +---+=+=+-++-+--++1862293k k --=+=-为定值．12k k ∴+是定值，定值为23-；（3）（方法一）AB 的中点为N ，∴2122321N x x k k x k +-==+，23(1)31N Nky k x k -=-+=+，∴22233(,)11k k kN k k--++．记点N 到直线3100x y +-=的距离为d ，则22222393|10|2(34)11]1k k k k k k d k --+--=++，令34m k =-，则0m >，∴22181818))]255825818m d m m m m =+=+=+++++-+18)18+=（当且仅当5m =，即3k =时取等号）．∴点N 到直线3100x y +-=（方法二）直线l 的方程为30kx y k --+=，即(1)3y k x =-+，∴直线恒过定点(1,3)M ．AB 的中点为N ，ON AB ∴⊥，∴点N 在以OM 为直径的圆上（在圆O 内的部分）．∴以OM 为直径的圆的方程为2221310()()()222x y -+-=．∴点N 到直线3100x y +-=的距离的最大值为13|310|10222+⨯-=（此时N 为(0,0))．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查化归与转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．18．平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,4)P ，圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴的交于点Q ．（1）若过点P 的直线1l 与圆O 相切，求直线1l 的方程；（2）若过点P 的直线2l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．①设线段AB 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值；②设直线QA ，QB 的斜率分别是1k ，2k ，问：12k k +是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）当直线1l 的斜率不存在时，则直线1l 的方程为：2x =，圆心O 到直线1l 的距离2d r ==，显然2x =符合条件，当直线1l 的斜率存在时，由题意设直线1l 的方程为4(2)y k x -=-即240kx y k --+=，圆心O 到直线1l 的距离为2|24|21d k ==+，解得34k =，所以切线方程为3324044x y --+= ，即34100x y -+=，综上所述：过P 点的切线方程为2x =或34100x y -+=；（2）①设点(,)M x y ，因为M 是弦AB 的中点，所以MO MP ⊥，又因为(,)OM x y = ，(2,4)PM x y =--，所以(2)(4)0x x y y -+-=，即22240x y x y +--=，联立22224240x y x y x y ⎧+=⎨+--=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩或6585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为M 在圆O 的内部，所以点M 的轨迹是一段圆22240x y x y +--=以6(5-，8)5和(2,0)为端点的一段劣弧（不包括端点），在圆22240x y x y +--=方程中，令1x =，得25y =±根据点(1,25)在圆O 内部，所以点M 的纵坐标的最小值为25；②联立224(2)4y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，整理可得222(1)4(2)(24)40k x k k x k +--+--=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 则12221224(2)1(24)410k k x x k k x x k -⎧+=⎪+⎪--⎪=⎨+⎪>⎪⎪⎩，所以21212121221212121212224(2)4[4](2)4(2)44(4)444(84)122221(24)44(2)2222222()4162411k k y y k x k x x x k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x k k ---+-++-+++=+=+=++=+=+=-=-----------++-+++ ，所以12k k +为定值1-．【点睛】本题考查求过某点的切线方程的方法，及直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2225x y +=，圆222:(1)(03)C x y r r +-=<<，点(3,4)P -，M ，N 为圆O 上的不同于点P 的两点．（1）已知M 坐标为(5,0)，若直线PM 截圆C所得的弦长为5，求圆C 的方程；（2）若直线MN 过(0,4)，求CMN ∆面积的最大值；（3）若直线PM ，PN 与圆C 都相切，求证：当r 变化时，直线MN的斜率为定值．【解答】解：（1）(3,4)P - ，(5,0)M 可得401352PM k -==---，故直线PM 的方程为：250x y +-=，∴点C 到直线PM的距离为=直线PM 截圆C，∴2224r =+=，∴圆C 的方程为：22(1)4x y +-=；（2）由题意可知直线MN 的斜率存在，故可设直线MN 的方程为40kx y -+=，所以点C 到直线MN的距离d =，可得MN =12CMN S MN d ∆∴=⋅=，令2t =，(0t ∈，16]，CMN S ∆=252t =时，即k =时，CMN ∆面积的最大值为758；（3）03r << ，所以过P 与圆相切的直线的斜率存在设为430kx y k -++=．由直线430kx y k -++=与圆222:(1)(03)C x y r r +-=<<相切，∴r =．整理可得222(9)1890r k k r -++-=，∴1221201891k k r k k >⎧⎪⎪+=⎨-⎪=⎪⎩ ，联立43kx y k -++，2225x y +=，可得211213831M k k x k --=+，222223831N k k x k --=+，∴22121212212221(3)4[(3)4]3()8()46()3M N M N MNM N M N k x k x k x k x k k k k k x x x x k k ++-++-+--====---，所以，当r 变化时，直线MN 的斜率为定值．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想、计算能力，属于中档题．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在y 轴右侧，原点O 和点(1,1)P 都在圆C 上，且圆C 在x 轴上截得的线段长度为3．（1）求圆C 的方程；（2）若M ，N 为圆C 上两点，若四边形MONP 的对角线MN 的方程为20x y m ++=，求四边形MONP 面积的最大值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，试判断直线AB 的斜率是否为定值，并说明理由．【解答】解：（1）由题意，圆C 过点(0,0)，(1,1)，(3,0)，设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=．则0110930F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得310D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．∴圆C 的方程为2230x y x y +-+=，即22315()()222x y -++=；（2）由（1）可知，3(2C ，12-，半径2r =，C 到MN 的距离31|1|||22m m d -++==．MN∴==，当且仅当12m=-时取等号．由d r<，解得1122m-<-+．由O，P在MN的两侧，得(12)0m m++<，即30m-<<．O到MN的距离1d==，P到MN的距离2d=∴四边形MONP的面积121()22MNO MNPS S S MN d d∆∆=+=+=．12m∴=-时，四边形MONP 的面积有最大值为322；（3）由题意可设1:(1)1PA y k x=-+．联立122(1)130y k xx y x y=-+⎧⎨+-+=⎩，得222211111(1)(233)320k x k k x k k+--++-+=．设1(A x，1)y，则2111213211k kxk-+⨯=+，∴211121321k kxk-+=+，2111112122(1)11k ky k xk-++=-+=+．2112132(1k kAk-+∴+，2112121)1k kk-+++，结合12k k+=，同理2112132(1k kBk+++，21121211k kk--++．22111122111221111122112121112132326311ABk k k kk k kkk k k k kk k-++--+-++∴===--+++--++．【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21．在直角坐标系xOy中，曲线22y x mx=+-与x轴交于A、B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC BC⊥的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．【解答】解：（1）曲线22y x mx=+-与x轴交于A、B两点，可设1(A x，0)，2(B x，0)，由韦达定理可得122x x=-，若AC BC ⊥，则1AC BC k k =- ，即有121010100x x --=--- ，即为121x x =-这与122x x =-矛盾，故不出现AC BC ⊥的情况；（2）证明：设过A 、B 、C 三点的圆的方程为22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，由题意可得0y =时，20x Dx F ++=与220x mx +-=等价，可得D m =，2F =-，圆的方程即为2220x y mx Ey +++-=，由圆过(0,1)C ，可得01020E +++-=，可得1E =，则圆的方程即为2220x y mx y +++-=，另解：设过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上的交点为(0,)H d ，则由相交弦定理可得||||||||OA OB OC OH = ，即有2||OH =，再令0x =，可得220y y +-=，解得1y =或2-．即有圆与y 轴的交点为(0,1)，(0,2)-，则过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值3．【点睛】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．22．如图，已知圆C 与y 轴相切于点(0,2)T ，与x 轴的正半轴交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），且||3MN =．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任作一条直线与圆22:4O x y +=相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：AN BN k k +为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为圆C 与y 轴相切于点(0,2)T ，可设圆心的坐标为(m ，2)(0)m >，则圆C 的半径为m ；又||3MN =，所以223254(24m =+=，解得52m =；所以圆C 的方程为22525()(2)24x y -+-=；（Ⅱ）证明：由（1）知，(1,0)M ，(4,0)N ，当直线AB 的斜率为0时，易知0AN BN k k ==，即0AN BN k k +=；当直线AB 的斜率不为0时，设直线:1AB x ty =+，将1x ty =+代入2240x y +-=，整理得22(1)230t y ty ++-=；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以1221222131t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，则121244AN BN y y k k x x +=+--121233y y ty ty =+--12121223()(3)(3)ty y y y ty ty -+=--22126611(3)(3)t t t t ty ty -+++=--0=；综上，可得0AN BN k k +=．【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了直线斜率的计算问题，是综合题．23．已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点(1,0)A （1）若直线1l 与圆相切，切点为B ，求线段AB 的长度；（2）若1l 与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为N ，判断AM AN 是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）圆22:(3)(4)4C x y -+-=，圆心为(3,4)，半径为2，直线1l 过定点(1,0)A ；直线1l 与圆C 相切，切点为B ，连接AB ，BC 与AC ，则BC AB ⊥，且2BC =，所以AC =4AB =，即线段AB 的长度为4；（2）易知，若斜率不存在，则1l 与圆相切，若斜率为0，则1l 与圆相离，故直线的斜率存在，可设1l 的方程：(1)y k x =-，由220(1)x y y k x ++=⎧⎨=-⎩，解得223(,)2121k k N k k --++，再由1CM l ⊥，解得22224342(,)11k k k k M k k +++++，又直线1CM l ⊥，所以14(3)(1)y x k y k x ⎧-=--⎪⎨⎪=-⎩，解得22224342(,11k k k k M k k +++++，所以6|21|AM AN k ==+ 为定值．⋯（12分）【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用问题，考查了数形结合思想与方程的应用问题，是综合性题目．。

动态几何之定值(

动态几何之定值(

• 模拟题7．已知抛物线C1： （ ）经过点A（﹣1，0）和B （3，0）． • （1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标； • （2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时 得到抛物线C2，此时点A，C分别平移到点D，E处．设点 F在抛物线C1上且在x轴的下方，若△DEF是以EF为底的 等腰直角三角形，求点F的坐标； • （3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一 动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点， 当点M从点B向点C运动时： • ①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由； • ②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．
• 模拟题8．如图，四边形OABC是边长为4的正方形， 点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连 接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过 点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设 OP=t． • （1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）． • （2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变 化而改变？并说明理由． • （3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．
• 模拟题4．如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、 F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且 AE=BF=CG=DH． • （1）求证：四边形EFGH是正方形； • （2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理 由； • （3）求四边形EFGH面积的最小值．
• 原创模拟预测题5．如图1，二次函数
• 原创模拟预测题6．如图，已知BC是⊙O的弦，A是 ⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为 ⊙O上一点，并且∠BMC=60°． • （1）求证：AB是⊙O的切线； • （2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且 ∠EDF=120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否 为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理 由．

2020年中考数学一轮复习题型09几何类比、拓展、探究题(原卷版)

2020年中考数学一轮复习题型09几何类比、拓展、探究题(原卷版)

题型09 几何类比、拓展、探究题一、解答题1．如图1，ABC ∆（12AC BC AC <<）绕点C 顺时针旋转得DEC ∆，射线AB 交射线DE 于点F ． （1）AFD ∠与BCE ∠的关系是 ；（2）如图2，当旋转角为60°时，点D ，点B 与线段AC 的中点O 恰好在同一直线上，延长DO 至点G ，使OG OD =，连接GC ．①AFD ∠与GCD ∠的关系是 ，请说明理由；②如图3，连接,AE BE ，若45ACB ∠=o ，4CE =，求线段AE 的长度．2．（问题）如图1，在Rt ABC V 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，过点C 作直线l 平行于AB ．90EDF ∠=︒，点D 在直线l 上移动，角的一边DE 始终经过点B ，另一边DF 与AC 交于点P ，研究DP 和DB 的数量关系．（探究发现）（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P 与点C 重合时，通过推理就可以得到DP DB =，请写出证明过程；（数学思考）（2）如图3，若点P 是AC 上的任意一点（不含端点A C 、），受（1）的启发，这个小组过点D 作DG CD ⊥交BC 于点G ，就可以证明DP DB =，请完成证明过程；（拓展引申）（3）如图4，在（1）的条件下，M 是AB 边上任意一点（不含端点A B 、），N 是射线BD 上一点，且AM BN =，连接MN 与BC 交于点Q ，这个数学兴趣小组经过多次取M 点反复进行实验，发现点M 在某一位置时BQ 的值最大．若4AC BC ==，请你直接写出BQ 的最大值．3．小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．(1)温故：如图 1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC=6 ，AD=4，求正方形PQMN的边长．(2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图 2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′,M′在BC边上，N′在△ABC内，连结B N′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．(3)推理：证明图2 中的四边形PQMN是正方形．(4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线B N上截取NE=NM，连结EQ，EM(如图 3)．当tan∠NBM=34时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．4．问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为 1 的小正方形，其中a≥2 ，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2× 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4 种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2 个位置不同的2 ×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2 ×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a ×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a ×2 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a× 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有______种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a ×3 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a ×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：如图，图⑦是一个由4 个棱长为1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2 ，b≥2 ，c≥2 ，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到______个图⑦这样的几何体．5．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ,（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN ∠=︒，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=;6．如图，正方形ABDE 和BCFG 的边AB ，BC 在同一条直线上，且2AB BC =，取EF 的中点M ，连接MD ，MG ，MB ．（1）试证明DM MG ⊥，并求MBMG的值． （2）如图，将如图中的正方形变为菱形，设()2090EAB αα∠=<<︒，其它条件不变，问（1）中MBMG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．7．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：()1如图1，点A B C ，，在O e 上，ABC ∠的平分线交O e 于点D ，连接AD CD ，．求证：四边形ABCD 是等补四边形； 探究：()2如图2，在等补四边形ABCD 中AB AD ，＝，连接AC AC ，是否平分?BCD ∠请说明理由． 运用：()3如图3，在等补四边形ABCD 中，AB AD ＝，其外角EAD ∠的平分线交CD 的延长线于点105F CD AF ，＝，＝，求DF 的长．8．已知V ABC 内接于O e ，BAC ∠的平分线交O e 于点D ，连接DB ，DC ．（1）如图①，当120BAC ∠=o 时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式： ； （2）如图②，当90BAC ∠=o 时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）如图③，若BC =5，BD =4，求ADAB AC+ 的值．9．如图，在ABC ∆中，AB BC =，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，AD 与BE 交于点F ，BH AB ⊥于点B ，点M 是BC 的中点，连接FM 并延长交BH 于点H ．（1）如图①所示，若30ABC ∠=o ，求证：DF BH +=； （2）如图②所示，若45ABC ∠=o ，如图③所示，若60ABC ∠=o （点M 与点D 重合），猜想线段DF 、BH 与BD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．10．将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究S△ABC与S△ADC的比是否为定值．（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常数），S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）11．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC BD ⊥．试证明：2222AB CD AD BC +=+；(3)解决问题：如图3，分别以Rt ACB V 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．已知4AC =，5AB =，求GE 的长．12．（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．13．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是BA 延长线上的一点，连接PC 交AD 于点F ，AP FD =．（1）求AFAP的值； （2）如图1，连接EC ，在线段EC 上取一点M ，使EM EB =，连接MF ，求证：MF PF =； （3）如图2，过点E 作EN CD ⊥于点N ，在线段EN 上取一点Q ，使AQ AP =，连接BQ ，BN ．将AQB ∆绕点A 旋转，使点Q 旋转后的对应点'Q 落在边AD 上．请判断点B 旋转后的对应点'B 是否落在线段BN 上，并说明理由．14．在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，ABn BC=，M 是BC 上一点，连接AM （1）如图1，若1n =，N 是AB 延长线上一点，CN 与AM 垂直，求证：BM BN =（2）过点B 作BP AM ⊥，P 为垂足，连接CP 并延长交AB 于点Q . ①如图2，若1n =，求证：CP BMPQ BQ=②如图3，若M 是BC 的中点，直接写出tan BPQ ∠的值（用含n 的式子表示）15．⑴如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD DE 、，将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G . ①线段DB 和DG 的数量关系是 ； ②写出线段BE BF 、和DB 之间的数量关系.⑵当四边形ABCD 为菱形，ADC 60∠=o ，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD DE 、，将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①如图2，点E 在线段上时，请探究线段BE BF 、和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ；若 BE 1,AB 2==,直接写出线段GM 的长度.16．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==，证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD Y 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ． （1）如图②，若ABCD Y 为正方形，且6AB =，则OF 的长为 ． （2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD Y 的面积为 ．17．如图1，在矩形ABCD 中，BC =3，动点P 从B 出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC 方向移动，作PAB ∆关于直线PA 的对称'PAB ∆，设点P 的运动时间为()t s（1）若AB =①如图2，当点B ’落在AC 上时，显然△PCB ’是直角三角形，求此时t 的值②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB ’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t 的值？若不存在，请说明理由（2）当P 点不与C 点重合时，若直线PB ’与直线CD 相交于点M ，且当t ＜3时存在某一时刻有结论∠P AM =45°成立，试探究：对于t ＞3的任意时刻，结论∠P AM =45°是否总是成立？请说明理由.18．在等腰三角形ABC ∆中，AB AC =，作CM AB ⊥交AB 于点M ，BN AC ⊥交AC 于点N ． （1）在图1中，求证：BMC CNB ∆≅∆；（2）在图2中的线段CB 上取一动点P ，过P 作//PE AB 交CM 于点E ，作//PF AC 交BN 于点F ，求证：PE PF BM +=；（3）在图3中动点P 在线段CB 的延长线上，类似（2）过P 作//PE AB 交CM 的延长线于点E ，作//PF AC 交NB 的延长线于点F ，求证：···AM PF OM BN AM PE +=．19．问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上，（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．若正方形ABCD的边长为4 ，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD 沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝52，请直接写出FH的长．20．箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO 交AB 于点D ，则1BOC B A C B ∠∠+∠∠+∠+∠＝＝．．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“BOC A B C ∠∠+∠+∠＝”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用:（1）直接应用：①如图2，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．②如图3，ABE ACE ∠∠、的2等分线（即角平分线）BF CF 、交于点F ，已知12050BEC BAC ∠=∠=o o ，，则BFC ∠=③如图4，i i BO CO 、分别为ABO ACO ∠∠、的2019等分线12320172018i =⋯（，，，，，）．它们的交点从上到下依次为1232018O O O O ⋯、、、、．已知BOC m BAC n ∠=∠=o o ，，则1000BO C ∠= 度 （2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD 中，2BC CD BCD BAD =∠=∠，．O 是四边形ABCD 内一点，且OA OB OD ==．求证：四边形OBCD 是菱形．21．如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当0α︒=时，AEBD= ；② 当时，AEBD= （2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEDB的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.22．操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.(1)如图1，求证：BE＝BF；(2)特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；(3)类比探究：若DE＝a，CF＝b.①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)23．如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题.（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）= ；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，.CD）24．（1）（探究发现）如图1，EOF ∠的顶点O 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，90EOF ︒∠=，将EOF ∠绕点O 旋转，旋转过程中，EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．则,,CE CF BC 之间满足的数量关系是 ． （2）（类比应用）如图2，若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“120BCD ∠=o 的菱形ABCD ”，其他条件不变，当60EOF ∠=o 时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． （3）（拓展延伸）如图3，120BOD =o ∠，34OD =，4OB =，OA 平分BOD ∠，AB =且2OB OA >，点C 是OB 上一点，60CAD ∠=o ，求OC 的长．25．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，111111AB BC CDA B B C C D ==，求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．（3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFDE 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求21S S 的值．26．在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过G 点的直线分别交AB 、AC 于点E 、F .（1）如图1，当EF ∥BC 时，求证：1BE CFAE AF+=； （2）如图2，当EF 和BC 不平行，且点E 、F 分别在线段AB 、AC 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.（3）如图3，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.27．如图，在等腰Rt ABC V 中，90,ACB AB ∠==o 点D ,E 分别在边AB ,BC 上，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90º得到EF ．（1）如图1，若AD BD =，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ．求证：2BD DO =． （2）已知点G 为AF 的中点．①如图2，若,2AD BD CE ==，求DG 的长．②若6AD BD =，是否存在点E ，使得DEG △是直角三角形？若存在，求CE 的长；若不存在，试说明理由．28．(1)方法选择如图①，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==．求证：BD AD CD =+. 小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM …小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =…请你选择一种方法证明．(2)类比探究（探究1）如图②，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ，BC 是O e 的直径，AB AC =．试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论．（探究2）如图③，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O e 的直径，30ABC ∠=︒，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．(3)拓展猜想如图④，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O e 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．29．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．①求证：DQ AE =； ②推断：GF AE的值为 ； （2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，BC k AB =（k 为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE CP 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当23k =时，若3tan 4CGP ∠=，GF =CP 的长．30．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．（1）观察猜想如图1，当60α︒=时，BD CP 的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． （2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BD CP 的值及直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时AD CP的值．。

2022-2023学年中考数学专题《几何中种动角问题的两种考法》原卷压轴必考(人教版)

2022-2023学年中考数学专题《几何中种动角问题的两种考法》原卷压轴必考(人教版)

专题09 几何中动角问题的两种考法类型一、判断角的数量之间的关系例．如图所示，O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠．（1）如图①，若28AOC ∠=︒，求DOE ∠的度数；（2）在图①，若AOC α∠=，直接写出DOE ∠的度数_________（用含a 的代数式表示）； （3）将图①中的COD ∠绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置．①探究AOC ∠和DOE ∠的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在AOC ∠的内部有一条射线OF ，满足42AOC AOF BOE AOF ∠-∠=∠+∠，试确定AOF ∠与DOE ∠的度数之间的关系，说明理由．【变式训练1】已知∠AOB ＝∠COD ＝90°，OE 平分∠BOC ．(1)如图，若∠AOC ＝30°，则∠DOE 的度数是______；（直接写出答案）(2)将（1）中的条件“∠AOC ＝30°”改为“∠AOC 是锐角”，猜想∠DOE 与∠AOC 的关系，并说明理由；(3)若∠AOC 是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE 与∠AOC 之间的数量关系．（不用写探索过程，将结论直接写在你画的图的下面）【变式训练2】如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使70BOC ∠=︒，将一个直角三角形的直角顶点放在点O 处．（注：90DOE ∠=︒）（1）如图①，若直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OB 上，则COE ∠=________︒；（2）如图②，将直角三角板DOE 转到如图位置，当OC 恰好平分DOE ∠时，求BOD ∠的度数； （3）如图③，将直角三角板DOE 绕点O 转动，如果OD 始终在BOC ∠的内部，直接写出BOD ∠和COE ∠的数量关系_________．【变式训练3】已知100AOB ∠=︒，40COD ∠=︒，OE ，OF 分别平分AOD ∠，BOD ∠．(1)如图1，当OA ，OC 重合时，EOF ∠= 度；(2)若将COD ∠的从图1的位置绕点O 顺时针旋转，旋转角AOC α∠=，满足090α︒<<︒且40≠︒α． ①如图2，用等式表示BOF ∠与COE ∠之间的数量关系，并说明理由；②在COD ∠旋转过程中，请用等式表示∠BOE 与COF ∠之间的数量关系，并直接写出答案．【变式训练4】如图，已知150AOB ∠=，将一个直角三角形纸片(90D ∠=)的一个顶点放在点O 处，现将三角形纸片绕点O 任意转动，OM 平分斜边OC 与OA 的夹角，ON 平分BOD ∠.（1）将三角形纸片绕点O 转动(三角形纸片始终保持在AOB ∠的内部)，若30COD ∠=，则MON ∠=_______；（2）将三角形纸片绕点O 转动(三角形纸片始终保持在AOB ∠的内部)，若射线OD 恰好平分MON ∠，若8MON COD ∠=∠，求COD ∠的度数;（3）将三角形纸片绕点O 从OC 与OA 重合位置逆时针转到OD 与OA 重合的位置，猜想在转动过程中COD ∠和MON ∠的数量关系？并说明理由.类型二、定值问题例．已知将一副三角尺（直角三角尺OAB 和OCD ）的两个顶点重合于点O ，90AOB ∠=︒，30COD ∠=︒（1）如图1，将三角尺COD 绕点O 逆时针方向转动，当OB 恰好平分COD ∠时，求AOC ∠的度数； （2）如图2，当三角尺OCD 摆放在AOB ∠内部时，作射线OM 平分AOC ∠，射线ON 平分BOD ∠，如果三角尺OCD 在AOB ∠内绕点O 任意转动，MON ∠的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【变式训练1】如图，两条直线AB 、CD 相交于点O ，且∠AOC=90°，射线OM 从OB 开始绕O 点逆时针方向旋转，速度为15°/s ，射线ON 同时从OD 开始绕O 点顺时针方向旋转，速度为12°/s ．两条射线OM 、ON 同时运动，运动时间为t 秒．（本题出现的角均小于平角）（1）当t=2时，∠MON 的度数为 ，∠BON 的度数为 ；∠MOC 的度数为（2）当0＜t ＜12时，若∠AOM=3∠AON -60°，试求出t 的值；（3）当0＜t ＜6时，探究72COM BON MON∠+∠∠的值，问：t 满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？【变式训练2】已知将一副三角板（90,30AOB COD ∠=︒∠=︒）如图1摆放，点O 、A 、C 在一条直线上．将直角三角板OCD 绕点O 逆时针方向转动，变化摆放如图位置．（1）如图1，当点O 、A 、C 在同一条直线上时，BOD ∠=_______度；如图2，若要OB 恰好平分COD ∠，则AOC ∠=_______度；（2）如图3，当三角板OCD 摆放在AOB ∠内部时，作射线OM 平分AOC ∠，射线ON 平分BOD ∠，如果三角板OCD 在AOB ∠内绕点O 任意转动，MON ∠的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．（3）当三角板OCD 从图1的位置开始，绕点O 逆时针方向旋转一周，保持射线OM 平分AOC ∠、射线ON 平分BOD ∠（180,180AOC BOD ∠≤︒∠≤︒），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a 在什么范围内时MON ∠的度数是多少）．类型三、求值问题例.如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC ∠=︒，将一直角三角板（30M ∠=︒）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（注：本题旋转角度最多180︒．）（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3︒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过t 秒后，AON ∠=______度（用含t 的式子表示），若OM 恰好平分BOC ∠，则t =______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6︒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过t 秒后，AOC ∠=______度（用含t 的式子表示）若OC 平分MON ∠，求t 为多少秒？ （3）若（2）问的条件不变，那么经过秒OC 平分BOM ∠？（直接写结果）【变式训练1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起．（1）若∠DCE ＝35°，∠ACB ＝ ；若∠ACB ＝140°，则∠DCE ＝ ；（2）猜想∠ACB 与∠DCE 的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）若保持三角尺BCE 不动，三角尺ACD 的CD 边与CB 边重合，然后将三角尺ACD 绕点C 按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD ．设∠BCD ＝α（0°＜α＜90°）①∠ACB 能否是∠DCE 的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．②三角尺ACD 转动中，∠BCD 每秒转动3°，当∠DCE ＝21°时，转动了多少秒？【变式训练2】如图（1），∠BOC 和∠AOB 都是锐角，射线OB 在∠AOC 内部，AOB α∠=，BOC β∠=．（本题所涉及的角都是小于180°的角）(1)如图（2），OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，填空：①当40α=︒，70β=︒时，COM ∠=______，CON ∠=______，MON ∠=______；②MON ∠=______（用含有α或β的代数式表示）．(2)如图（3），P 为∠AOB 内任意一点，直线PQ 过点O ，点Q 在∠AOB 外部：①当OM 平分∠POB ，ON 平分∠POA ，∠MON 的度数为______；②当OM 平分∠QOB ，ON 平分∠QOA ，∠MON 的度数为______；（∠MON 的度数用含有α或β的代数式表示）(3)如图（4），当40α=︒，70β=︒时，射线OP 从OC 处以5°/分的速度绕点O 开始逆时针旋转一周，同时射线OQ 从OB 处以相同的速度绕点O 逆时针也旋转一周，OM 平分∠POQ ，ON 平分∠POA ，那么多少分钟时，∠MON 的度数是40°？【变式训练3】如图1，点A 、O 、B 依次在直线MN 上，现将射线OA 绕点O 沿顺时针方向以每秒2︒的速度旋转，同时射线OB 绕点O 沿逆时针方向以每秒4︒的速度旋转，如图2，设旋转时间为(090)t t <<．（1）用含t 的代数式表示：MOA ∠=_______︒，MOB ∠=_______︒．（2）在运动过程中，当60AOB ∠=︒时，求t 的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t ，使得直线OB 平分由射线OM 、射线OA 、射线ON 中的任意两条射线组成的角（大于0︒而小于180︒）？课后训练1．如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使120BOC ∠=︒．将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一直角边OM 在射线OB 上，另一直角边ON 在直线AB 的下方．(1)将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使边OM 在BOC ∠的内部，且恰好平分BOC ∠．问：此时直线ON 是否平分AOC ∠？请说明理由．(2)将图1中的三角板绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n 秒时，直线ON 恰好平分AOC ∠，则n 的值为______（点接写结果）(3)若图1中的三角板绕点O 旋转至图3，使ON 在AOC ∠的内部时，AOM NOC ∠-∠的度数是多少？2．如图所示，OA ，OB ，OC 是以直线EF 上一点O 为端点的三条射线，且∠FOA ＝20°，∠AOB ＝60°，∠BOC ＝10°，以O 为端点作射线OP ，OQ 分别与射线OF ，OC 重合．射线OP 从OF 处开始绕点O 逆时针匀速旋转，转速为1度/秒，射线OQ 从OC 处开始绕点O 顺时针匀速旋转，（射线OQ 旋转至与射线OF 重合时停止，射线OP 旋转至与射线OE 重合时停止），两条射线同时开始旋转（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）．(1)直接写出射线OP 停止运动时的时间．(2)当射线OP 平分∠AOC 时，直接写山它的旋转时间．(3)若射线OQ 的转速为3度/秒，当∠POQ ＝70°时，直接写出射线OP 的旋转时间．(4)若∠POA ＝2∠POB 时，射线OQ 旋转到的位置恰好将∠AOB 分成度数比为1：2的两个角，直接写出射线OQ 的旋转速度．3．已知O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC ．(1)如图1，若∠AOC =48°，求∠DOE 的度数；(2)如图1，若∠AOC =α，则∠DOE 的度数为 (用含有α的式子表示)；(3)将图1中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE 和∠AOC 度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．(4)将图1中的∠DOC 绕顶点O 逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC =α，则∠DOE 的度数为 (用含有α的式子表示)，不必说明理由．4．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC ∠=︒，将一直角三角板（30M ∠=︒）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（注：本题旋转角度最多180︒．）（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3︒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过t 秒后，AON ∠=______度（用含t 的式子表示），若OM 恰好平分BOC ∠，则t =______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6︒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过t 秒后，AOC ∠=______度（用含t 的式子表示）若OC 平分MON ∠，求t 为多少秒？ （3）若（2）问的条件不变，那么经过秒OC 平分BOM ∠？（直接写结果）5．已知:AOB ∠和COD ∠是直角．（1）如图，当射线OB 在COD ∠内部时，请探究AOD ∠和BOC ∠之间的关系；（2）如图2，当射线,OA 射线OB 都在COD ∠外部时，过点О作射线OE ，射线OF ，满足13BOE BOC ∠=∠，23DOF AOD ∠=∠，求EOF ∠的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG ，使得:2:3GOF GOE ∠∠=，若不存在，请说明理由，若存在，求出GOF ∠的度数．6.已知O为直线AB上的一点，∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．（1）在图1中，当∠COF＝36°时，则∠BOE＝，当∠COF＝m°时，则∠BOE＝；以此判断∠COF 和∠BOE之间的数量关系是；（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试问（1）中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请你说明理由；（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．。

动态几何之定值(恒等)问题

动态几何之定值(恒等)问题

动态几何之定值（恒等）问题动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。

原创模拟预测题1.如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DEF=900，∠A=∠F=450，DF=4，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB。

求证：点E到AC的距离为常数2。

【答案】解：如图，过点E作EH⊥AC于点H，则EH即为点E到AC的距离。

∵在Rt△DEF中，∠DEF=900，∠F=450，DF=4，∴DE222==∵DE∥AB，∴∠EDH=∠A=450。

∴22EH22==。

∴点E到AC的距离为常数2。

【考点】平移问题，作辅助线，等腰直角三角形的性质，平行的性质。

原创模拟预测题2.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．如图，当点D在边CB的延长线上时，证明AC=CD﹣CF。

【答案】解：∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF。

∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠DAB=∠CAF，AD=AF，∴△BAD≌△CAF（SAS）。

∴CF=BD。

∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC。

∴AC=CD﹣CF。

【考点】单动点问题，菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等量代换。

【解析】根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可。

原创模拟预测题3.已知，点A、B、C在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=40°，点D ⊙O上的动点（与点B、C不重合）是则∠BDC的度数是。

【答案】20°或160°。

【考点】圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，分类思想的应用。

原创模拟预测题5. 如图，已知菱形ABCD 中，∠ABC=60°，点P 是对称线AC 上的一点，点F 为BC 边上一个动点，点E 在AB 边上，且满足条件∠EPF=60°。

专题09动态几何定值问题(解析版)

专题09动态几何定值问题(解析版)

专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。

动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。

解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。

在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。

【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接P A，PF，若AB＝2，求线段P A+PF 的最小值．（结果保留根号）【答案】（1）①105°，②见解析；（2）626+【解析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题，②连接A′F，设EF交CA′于点O，在EF时截取EM=EC，连接CM．首先证明△CF A′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF=EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF=PB′，推出P A+PF=P A+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．【详解】①解：由∠CA′D＝15°，可知∠A′CD=90°-15°=75°，所以∠A′CA=180°-75°=105°即旋转角α为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴OFA O'＝OCOE，∴OFOC＝A OOE'，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠F A′O＝∠OEC＝60°，∴△A′CF是等边三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴P A+PF＝P A+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC2AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝12CB′＝1，CM3∴AB ′＝22AM B M '+＝22(23)1++＝626+． ∴P A +PF 的最小值为626+． 【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查旋转变换相关，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题，难度较大． 【举一反三】如图（1），已知∠=90MON o ,点P 为射线ON 上一点，且=4OP ，B 、C 为射线OM 和ON 上的两个动点（OC OP >），过点P 作PA ⊥BC ，垂足为点A ，且=2PA ，联结BP ．（1）若12PAC ABOPS S ∆=四边形时，求tan BPO ∠的值； （2）设PC x =，ABy BC=求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点A 作BP 的垂线，垂足为点H ，交射线ON 于点Q ，点B 、C 在射线OM 和ON 上运动时，探索线段OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。

专题09 解析几何专题(数学文化)(原卷版)2023年新高考数学创新题型微专题

专题09 解析几何专题(数学文化)(原卷版)2023年新高考数学创新题型微专题

A．
1 59
B．
1 2
C． 29 56
D．
1 57
7．（2022 秋·福建·高二校联考期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点 M , N 是锐角 AQB 的一边 QA
上的两点，试在 QB 边上找一点 P ，使得 MPN 最大.”如图，其结论是：点 P 为过 M ， N 两点且和射线 QB
相切的圆与射线 QB 的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点
我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率 与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘
积，已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的面积为 6
2 ，两个焦点分别为 F1, F2 ，点 P 为椭圆 C 的上顶点．直
线 y kx 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 PA, PB 的斜率之积为 8 ，则椭圆 C 的长轴长为（ ） 9
R 的纵坐标为（ ）
A． 3
B．2
C． 2 3
D．4
6．（2022 秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地
球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，若轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心
的距离之比为 28 : 29 ，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是（ ）
A．3
B．6
C． 2 2
D． 4 2
12．（2022 秋·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形
少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： x a2 y b2 可以转化为

动态几何的定值问题

动态几何的定值问题

动态几何的定值问题
王春燕
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2013(000)002
【摘要】动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系．用动的观点看几何定理，常可把几个定理归为一类．几何图形按一定条件运动，有的几何量随着运动的变化而有规律变化，这就出现了轨迹和最值问题，
【总页数】3页(P14-16)
【作者】王春燕
【作者单位】河南省太康县华夏中学,461400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
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2020年中考数学动态问题-图形最值问题探究(含答案)

2020年中考数学动态问题-图形最值问题探究(含答案)

专题09 动点类题目图形最值问题探究题型一：矩形中的相似求解例1.（2019·绍兴）如图，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，MN 、EF 交于点P . 记k =MN :EF .（1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值.（2）若a ：b 的值为21，求k 的最大值和最小值. （3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE =60°，MP =EF =3PE 时，求a ：b 的值.BC DA E MF N题型二：二次函数中几何图形最值求解例2.（2019·衡阳）如图，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ．请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例3.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线2:2C y ax x c =++相交于点A （-1,0）和点B （2,3）两点.（1）求抛物线C 函数表达式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线417=y 的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.题型四：反比例函数中面积最值的求解例4.（2018·扬州一模）如图1，反比例函数y = k x（x ＞0）的图象经过点A （23，1），射线AB 与反比例函数图象交于另一点B （1，a ），射线AC 与y 轴交于点C ，∠BAC =75°，AD ⊥y 轴，垂足为D ．（1）求k 的值；（2）求tan ∠DAC 的值及直线AC 的解析式；（3）如图2，M 是线段AC 上方反比例函数图象上一动点，过M 作直线l ⊥x 轴，与AC 相交于点N ，连接CM ，求△CMN 面积的最大值．例5.（2019·达州）如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c过点A(1,0)，B(－3,0).（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）=4时，求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段P A交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m－n的最大值.题型六：二次函数中最值及最短路径题型例6.（2019·绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A 在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+35P A的最小值．例7.（2019·潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B （0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD 于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝45时，求点P的坐标．答案与解析题型一：矩形中的相似求解例1.（2019·绍兴）如图，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，MN 、EF 交于点P . 记k =MN :EF .（1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值.（2）若a ：b 的值为21，求k 的最大值和最小值. （3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE =60°，MP =EF =3PE 时，求a ：b 的值.BMF N【分析】（1）当a ：b =1时，可得四边形ABCD 为正方形，由MN ⊥EF ，可证MN =EF ，即k =1；（2）先确定MN 和EF 的取值范围，当MN 取最大值，EF 取最小值时，k 的值最大，否则反之；（3）根据N 是矩形顶点，分两种情况讨论，即N 分别与D 点和C 点重合，依据不同图形求解.【答案】见解析.【解析】解：（1）当a ：b =1时，即AB =BC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 是正方形，过F 作FG ⊥BC 于G ，过M 作MH ⊥CD 于H ，如下图所示，BDNH∵MN ⊥EF ，∴∠NMH =∠EFG ，∵∠MHN=∠FGE=90°，MH=FG，∴△MNH≌△FEG，∴MN=EF，即k=1；（2）由题意知：b=2a，所以得：a≤EF，2a≤MN,所以当MN取最大值，EF取最小值时，k；当MN取最小值，EF取最大值时，k取最小值，为5；（3）如下图所示，BEM FN连接FN，ME，设PE=x，则EF=MP=3x，PF=2x，MN=3EF=9x，PN=6x，∴PF PN PE PM又∵∠FPN=∠MPE，∴△FPN∽△EPM，∴∠PFN=∠PEM，∴FN∥ME，①当N点与D点重合时，由FN∥ME得，M点与B点重合，BE（M）（N）过F作FH⊥BD于H，∵∠MPE=60°，∴∠PFH =30°，∴PH =x ，FH，BH =BP +PH =4x ，DH =5x ，在Rt △DFH 中，tan ∠FDH， 即a :b=5; ②当N 点与C 点重合时，过B（N ）过点E 作EH ⊥MN 于H，连接EM ，则PH =x ，EH ，CH =PC +PH =13x ，在Rt △ECH 中，tan ∠ECH =13， ∵ME ∥FC ，∴∠MEB =∠FCB =∠CFD ，∵∠B =∠D ，∴△MEB ∽△CFD ，∴CD FC MB ME==2, 即a:b =2CD BM BC BC ==; 综上所述，a :b . 题型二：二次函数中几何图形最值求解例2.（2019·衡阳）如图，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ．请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入二次函数解析式求解；（2）由△POE ∽△CBP 得出比例线段，可表示OE 的长，利用二次函数的性质可求出线段OE 的最大值；（3）过点M 作MH ∥y 轴交BN 于点H ，由S △MNB ＝S △BMH +S △MNH 即可求解．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0），10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，抛物线函数关系表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）由题意知：AB ＝OA +OB ＝4，在正方形ABCD 中，∠ABC ＝90°，PC ⊥BE ，∴∠OPE +∠CPB ＝90°，∠CPB +∠PCB ＝90°，∴∠OPE ＝∠PCB ，又∵∠EOP ＝∠PBC ＝90°，∴△POE ∽△CBP ， ∴BC OP BP OE=， 设OP ＝x ，则PB ＝3﹣x ，∴43x x OE =-， ∴OE ＝()221139344216x x x ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭， 当32x =时，即OP =32时线段OE 长有最大值，最大值为916． （3）存在．如图，过点M 作MH ∥y 轴交BN 于点H ，∴N 点坐标为（0，﹣3），设直线BN 的解析式为y ＝kx +b ，∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，∴直线BN 的解析式为y ＝x ﹣3，设M （m ，m 2﹣2m ﹣3），则H （m ，m ﹣3），∴MH ＝m ﹣3﹣（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣m 2+3m ，∴S △MNB ＝S △BMH +S △MNH ＝()221132732228m m m ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭， ∴a ＝32时，△MBN 的面积有最大值，最大值是278，此时M 点的坐标为（31524-，）． 题型三：二次函数中面积最值的求解例3.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线2:2C y ax x c =++相交于点A （-1,0）和点B （2,3）两点.（1）求抛物线C 函数表达式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线417=y 的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）把A （-1,0），B （2,3）代入抛物线得：20443a c a c -+=⎧⎨++=⎩解得⎩⎨⎧=-=31c a ∴抛物线的函数表达式为：y =－x 2+2x +3（2）∵A （-1,0），B （2,3），∴直线AB 的解析式为：y =x +1，如下图所示，过M 作MN ∥y 轴交AB 于N ，设M (m ,－m 2+2m +3)，N (m ,m +1)，（-1＜m ＜2）∴MN =－m 2+m +2，∴S △ABM =S △AMN +S △BMN =1()2B A x x MN - ∴S △ABM =2213127(2)3()2228m m m -++⨯=--+， ∴当21=m 时，△ABM 的面积有最大值827，而S □MANB =2S △ABM =427，此时17(,)22M（3）存在，点15(1,)4F 理由如下：抛物线顶点为D ，则D （1,4），则顶点D 到直线417=y 的距离为41， 设(1,)F n 、2(,23)P x x x -++，设P 到直线417=y 的距离为PG . 则PG =22175(23)244x x x x --++=-+， ∵P 为抛物线上任意一点都有PG =PF ， ∴当P 与顶点D 重合时，也有PG =PF .此时PG =41，即顶点D 到直线417=y 的距离为14，∴PF =DF =41，∴)415,1(F ，∵PG =PF ， ∴PG 2=PF 2， ∵2222222153(1)(23)(1)(2)44PF x x x x x x =-++--=-+-+ 2225(2)4PG x x =-+∴222222153(1)(23)(1)(2)44x x x x x x -++--=-+-+225(2)4x x =-+整理化简可得0x =0， ∴当)415,1(F 时，无论x 取任何实数，均有PG =PF . 题型四：反比例函数中面积最值的求解例4.（2018·扬州一模） 如图1，反比例函数y = kx （x ＞0）的图象经过点A （23，1），射线AB 与反比例函数图象交于另一点B （1，a ），射线AC 与y 轴交于点C ，∠BAC =75°，AD ⊥y 轴，垂足为D ． （1）求k 的值；（2）求tan ∠DAC 的值及直线AC 的解析式；（3）如图2，M 是线段AC 上方反比例函数图象上一动点，过M 作直线l ⊥x 轴，与AC 相交于点N ，连接CM ，求△CMN 面积的最大值．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵将A（23，1）代入反比例函数y＝kx，∴k＝23；（2）由（1）知，反比例函数解析式为y＝23，∵点B（1，a）在反比例函数y＝23的图象上，∴a＝23，∴点B（1，23）过B作BE⊥AD于E，如下图所示，则AE＝BE＝3﹣1．∴∠ABE＝∠BAE＝45°又∵∠BAC＝75°，∴∠DAC＝30°∴DC＝tan30°·AD 3232，∴OC＝1，即C（0，﹣1）设直线AC的解析式为y＝kx+b∴2311k bb⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，解得331kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线AC的解析式为y＝33x﹣1（3）设M（m，23m），N（m，33m﹣1）则MN＝23m－（33m﹣1）＝23m﹣33m+1，∴S△CMN＝12（23m﹣33m+1）m＝﹣m2+m+＝﹣3（m﹣3）2+93当m＝3时，△CMN的面积有最大值，最大值为93.题型五：反比例函数中面积最值的求解例5.（2019·达州）如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c过点A(1,0)，B(－3,0).（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）=4时，求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段P A交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m－n的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，01093b cb c=-++⎧⎨=--+⎩，解得b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3＝－（x+1）2+4，∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；（2）由（1）知：抛物线对称轴为x ＝﹣1， 设抛物线对称轴与x 轴交于点H ，H （﹣1，0）， 在Rt △CHO 中，CH ＝4，OH ＝1， ∴tan ∠COH ＝CHOH＝4， ∵∠COH ＝∠CAO +∠ACO ， ∴当∠ACO ＝∠CDO 时，tan （∠CAO +∠CDO ）＝tan ∠COH ＝4， 如下图所示，当点D 在对称轴左侧时，∵∠ACO ＝∠CDO ，∠CAO ＝∠CAO ， ∴△AOC ∽△ACD ， ∴AC AOAD AC=， ∵AC ＝25AO ＝1， ∴AD ＝20，OD ＝19， ∴D （﹣19，0）；当点D 在对称轴右侧时，点D 关于直线x ＝1的对称点D '的坐标为（17，0）， ∴点D 的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；（3）设P （a ，﹣a 2﹣2a +3），设直线P A 的解析式为：y =kx +b ， 将P （a ，﹣a 2﹣2a +3），A （1，0）代入y ＝kx +b ，223ak b a a k b ⎧+=--+⎨+=⎩， 解得，k ＝﹣a ﹣3，b ＝a +3， ∴y ＝（﹣a ﹣3）x +a +3， 当x ＝0时，y ＝a +3， ∴N （0，a +3），如下图所示，∵m=S△BPM＝S△BP A﹣S四边形BMNO﹣S△AON，n=S△EMN＝S△EBO﹣S四边形BMNO，∴m－n＝S△BP A﹣S△EBO﹣S△AON＝12×4×（﹣a2﹣2a+3）﹣12×3×3﹣12×1×（a+3）＝﹣2（a+98）2+8132，∴当a＝﹣98时，m－n有最大值8132.题型六：二次函数中最值及最短路径题型例6.（2019·绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A 在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+35P A的最小值．【答案】见解析.【解析】解：（1）由平移知，平移后得到的抛物线解析式为y=a（x-1）2-2，∵OA=1，∴点A 的坐标为（-1，0），代入抛物线的解析式得，4a -2=0， 得：a =12，∴抛物线的解析式为()21122y x =--，即21322y x x =--． 令y =0，解得x 1=-1，x 2=3， ∴B （3，0）， ∴AB =OA +OB =4， ∵△ABD 的面积为5， ∴S △ABD =12AB ·y D =5 ∴y D =52，2513222x x =--，解得x 1=-2，x 2=4， ∴D （4，52），设直线AD 的解析式为y =kx +b ，∴5420k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得：1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AD 的解析式为：y =12x +12.（2）过点E 作EM ∥y 轴交AD 于M ，如下图所示， 设E （a ，12a 2－a －32），M （a ，12a +12），∴ME =－12a 2+32a +2，∴S △ACE =S △AME －S △CME =－14（a 2－3a －4）=－14（a －32）2+2516，∴当a=32时，△ACE的面积有最大值，最大值是2516，此时E点坐标为（32，158-）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交轴于点P，∴AG=52，EG=158，∴43 AGEG=,∵∠AGE=∠AHP=90°∴sin∠EAG=35 PH EGAP AE==，∴PH=35 AP，∵E、F关于x轴对称，∴PE=PF，∴PE+35AP=FP+HP=FH，此时FH最小，∵EF=154，∠AEG=∠HEF，∴sin∠AEG=sin∠HEF=45 AG FHAE AE==∴FH=3．即PE+35PA的最小值是3．例7.（2019·潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B （0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD 于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝5求点P的坐标．【答案】见解析．【解答】解：（1）∵AC 为△ABO 的中线，点B （0，4）， ∴点C （0，2）， ∵点A （4，0）， 点M 为线段AC 的中点， 即M （2，1）；（2）∵⊙P 与直线AD ，则∠CAD ＝90°， 设∠CAO ＝α，则∠CAO ＝∠ODA ＝∠PEH ＝α，tan ∠CAO ＝12OC OA =＝tan α，则sin α5cos α25， AC 10CD ＝sin ACα＝10，则D （0，﹣8），设直线AD 的解析式为：y ＝mx +n ： 得：840b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：k =2，b =－8，直线AD 的表达式为：y ＝2x ﹣8；（3）抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣2）2+1， 将点B 坐标代入上式并解得：a ＝34， 故抛物线的表达式为：y ＝34x 2﹣3x +4， 过点P 作PH ⊥EF ，则EH ＝12EF ＝5cos∠PEH＝25cosEHPEα=得：PE＝5，设点P（x，34x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），则PE＝34x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，解得x＝143或2（舍），则点P（143，193）．。

【常考压轴题】专题09 线段上动点问题的两种考法(原卷版)-七年级数学上册压轴题攻略

【常考压轴题】专题09 线段上动点问题的两种考法(原卷版)-七年级数学上册压轴题攻略

专题09线段上动点问题的两种考法类型一、线段和差问题
类型二、定值问题
课后训练（1）如图1，若4AC =，6BC =，求CF （2）若16AB CF =，求AC 的值；
(1)线段的中点这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝cm；
(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、
6．已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；
(2)若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM-2MN的值是否与m有关？并说明理由.
(3)若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度(用含m的代数式表示).
7．已知线段AB a=，MN b=(a，b为常数，且2
a b
>)，线段MN在直线AB上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段AB的中点，Q是线段MN的中点．
(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段PQ的长度(用含a，b的代数式表示)；
(2)如图②，当线段MN运动到点B，M重合时，求线段AN，PQ之间的数量关系；
(3)当线段MN运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段AN，BM，PQ三者之间的数量关系．。

【初三】动态几何的定值

【初三】动态几何的定值

初中数学竞赛专题选讲(初三.19)动态几何的定值一、内容提要1. 动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系. 用动的观点看几何定理，常可把几个定理归为一类. 例如：① 梯形的中位线，当梯形的上底逐渐变小，直到长度为零时，则为三角形的中位线； ② 两圆相交，两个公共点关于连心线对称，所以连心线垂直平分公共弦，当两个交点距离逐渐变小，直到两点重合时，则两圆相切，这时切点在连心线上；③ 相交弦定理由于交点位置、个数的变化，而演变为割线定理，切割线定理，切线长定理等等.2. 动态几何的轨迹、极值和定值. 几何图形按一定条件运动，有的几何量随着运动的变化而有规律变化，这就出现了轨迹和极值问题，而有的量却始终保持不变，这就是定值问题. 例如：半径等于R A 的圆A 与半径为R B (R B >R A ) 的定圆B 内切.那么：动点A 有规律地变化，形成了一条轨迹：以B 为圆心，以R B －R A 的长为半径的圆.而A ，B 两点的距离，却始终保持不变：AB=R B －R A .若另有一个半径为R C 的圆 C 与圆B 外切，则A ，C 两点的距离变化有一定的范围：R B +R C －(R B －R A )≤AC ≤R B +R C +(R B －R A ).即R C +R A ≤AC ≤2R B +R C －R A .所以AC 有最大值：2R B +R C －R A ； 且有最小值：R C +R A .3. 解答动态几何定值问题的方法，一般有两种： 第一种是分两步完成 ：① 先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.② 再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明. 二、例题例1. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，点P 是BC 上任一点，过点P 作BC 的垂线分别交AB ，AC 或延长线于E ，F.求证：PE ＋PF 有定值. 分析：（探求定值）用特位定值法.① 把点P 放在BC 中点上. 这时过点P 的垂线与AB ，AC 的交点都是点A ， PE ＋PF ＝2PA ，从而可确定定值是底上的高的2倍因此原题可转化：求证：PA ＋PB ＝2AD （AD 为底边上的高）. 证明：∵AD ∥PF ， ∴BD BP AD PE ＝；BD PD CD CD CP AD PF ＋＝.∴2BDBD 2BDPDCD BDBP ADPF ADPE ＋＝＋.同一道题的定值，可以有不同的表达式，只要是用题中固有的几何量表示均可. 例2. 已知：同心圆为O 中，AB 是大圆的直径，点P 在小圆上求证：PA 2＋PB 2有定值.分析：用特位定值法.设大圆，小圆半径分别为R，r. ① 点P 放在直径AB 上.得PA 2＋PB 2＝（R ＋r ）2＋（. R －r ）2＝2（R 2＋r 2）. ② 点P 放在与直径AB 垂直的另一条直径上 也可得PA 2＋PB 2＝ R 2＋r 2＋R 2＋r 2＝2（R 2＋r 2）.证明： 设∠POA ＝α，根据余弦定理，得PA 2＝R 2＋r 2－2RrCos α， PB 2＝R 2＋r 2－2RrCos(180 －α). ∵Cos(180 －α)＝Cos α. ∴PA 2＋PB 2＝2（R 2＋r 2）.本题一般知道定值是用两个圆的半径来表示的，所以可省去探求定值的步骤，直接列出PA ，PB 与R, r 的关系式，关键是引入参数α.例3. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，点P 在中位线MN 上，BP ，CP 的延长线分别交AC ，AB 于E ，F.求证：CE1BF1＋有定值，分析： 本题没有明显的特殊位置，不过定值一般是用三角形边长a, b, c 来表示的, 为便于计算引入参数t, 用计算法证明. 证明：设MP 为t, 则NP=21a －t.∵MN ∥BC ， ∴BFMF BCMP =，CENE BCNP =.BCAA即=at BF ac t a BF ca t a c BF 12121BF21=-⇒=-⇒-； CE ab ta CE bat a CEbCE at a 1212121212121=+⇒=+⇒-=- ∴CE1BF1＋=cacta t a 32121=++-∵c 是定线段，∴c3是定值. 即CE1BF1＋有定值c3.例4. 已知：在以AB 为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A 、B 两点)，以M 为圆心作圆M 和AB 相切，分别过A ，B 作⊙M 的切线，两条切线相交于点C.求证：∠ACB 有定值. 分析： ⊙M 是△ABC 的内切圆，∠AMB 是以定线段AB 为弦的定弧所含的圆周角，它是个定角.(由正弦定理Sin ∠AMB=R2AB )，所求定值可用它来表示.证明：在△ABC 中，∠MAB+∠MBA=180 －∠AMB ，∵M 是△ABC 的内心，∴∠CAB+∠CBA=2(180 －∠AMB). ∴∠ACB=180 －（∠CAB+∠CBA ）=180－2(180－∠AMB)= 2∠AMB －180.由正弦定理R 2AMBS AB =∠in ， ∴Sin ∠AMB=R2AB .∵弧AB 所在圆是个定圆，弦AB 和半径R 都有定值，∴∠AMB 有定值.∴∠ACB 有定值2∠AMB －180 .BC三、练习1. 用固有的元素表示下列各题中所求的定值 (不写探求过程和证明)： ①.等腰三角形底边上的任一点到两腰距离的和有定值是___________. ②.等边三角形内的任一点到三边距离的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿. ③.正n 边形内的任一点到各边距离的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.④.延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边，相交得五个角：∠B 1，∠B 2，∠B 3，∠B 4，∠B 5它们的度数和是________，延长凸n 边形 (n ≥5)的各边相交，得n 个角，它们的度数和是___________. (2001年希望杯数学邀请赛初二试题) ⑤.两个定圆相交于A ，B ，经过点B 任意作一条直线交 一圆于C ，交另一圆于D ， 则.ADAC 有定值是_____________.⑥.在以AB 为直径的半圆内，任取一点P ，AP ，BP 的延长线分别交半圆于C ，D ，则AP ×AC+BP ×BD 有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ⑦.AB 是定圆O 的任意的一条弦，点P 是劣弧AB 上的任一点(不含A 和B)，PA ，PB 分别交AB 的中垂线于E ，F.则OE ×OF 有定值是__________.2. 已知：点P 是⊙O 直径AB 上的任一点，过点P 的弦CD 和AB 相交所成的锐角45 .求证：PC 2+PD 2有定值.3. 已知：点O 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 的中点，点P 在BC 的延长线上，PD⊥BA 交BA 延长线于D ，PE ⊥AC 交AC 的延长线于E.求证：∠DOE 是定角4. 已知：点P 是线段AB 外一点，PD ⊥AB 于D ，且PD=AB ，H 是△PAB 的垂心，C 是AB 的中点.求证：CH+DH 是定值.5. 已知：AB ，CD 是⊙O 的两条直径，点P 是⊙O 上任一点(不含A ，B ，C ，D). . 求证：点P 在AB ，CD 的射影之间的距离是个定值.6. 经过∠XOY 的平分线上的任一点A ，作一直线与OX ，OY 分别交于P ，Q 则OP ，OQ 的倒数和是一个定值.7. △ABC 中，AB=AC=2，BC 边有100个不同点P 1，P 2，……，P 100， 记m i =AP i 2+Bp i ×P i C (i=1,2,3,……,100).则m 1+m 2+……+m 100=＿＿＿＿＿＿＿＿. (1990年全国初中数学联赛题)8.. 直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DA ⊥AB ，AB ＝26cm,CD=24cm,AD=8cm,有两个动点P 和Q ，点P 在CD 上，由D 向C 以每秒1cm 的速度移动，点Q 在AB 上由B 向A 以每秒3cm 的速度移动.问时间t 经过几秒时，①BCPQ 为平行四边形？等腰梯形？②PQ 与以AD 为直径的圆O 相切？相离？相交？练习题参考答案1 ①腰上的高. ②一边上的高或3r 3 . ③ nr n. ④ 180度，(n －4)180度. ⑤两圆半径比. ⑥AB 2⑦⊙O 的半径的平方.2. 定值是AB 平方的一半， 证Rt △COM ≌Rt △OBD ， OM=DN.3. 定值是直角， 以PA 为直径的圆经过A ，O ，E ，P ，D 五点， PE=AD ， ∠AOD=∠POE .4. 定值是AB 的一半，证明 仿例3.5. 定值是⊙O 的半径与两直径夹角的正弦的积，证明仿例4.6. 定值是OAos αC 2(∠xoy=2α)，证明 作AR ∥OQ 交Dx 于R ，AR1OP1OQ1=+.7. 4×100.。

几何动态型问题(解析版)

几何动态型问题(解析版)

几何动态型问题（解析版）专题诠释：几何图形动态变化型问题是中考的热点问题。

对于图形运动与变化型试题，要用运动的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系，并特别关注一些特别的量，不变的关系或特殊关系，善于化动为静。

有特殊情形（特殊点、特殊位置、特殊值、特殊图形）逐步过渡到一般情形，再综合运用各种相关的数学知识，以及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决。

第一部分典例剖析+针对练习类型一动点问题典例1（2021•铜仁市模拟）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x 的函数关系图象如图②所示，则对角线BD的长为（）A．3B．4C．5D．6思路引领：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．∴12AB•12BC＝3，即AB•BC＝12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7．则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，∵AB＜AD，即AB＜BC，∴AB＝3，BC＝4．∴AD＝BC＝4，∴BD＝5．故选：C．点睛：本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．针对训练11．（2019•本溪）如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP＝x，P A﹣PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．思路引领：设圆的半径为R，连接PB，则sin∠ABP=AP2R=12R x，则PD＝AP sinα＝x×12R x=12R x2，即可求解．设：圆的半径为R，连接PB，则sin∠ABP=AP2R=12R x，∵CA⊥AB，即AC是圆的切线，则∠P AD＝∠PBA＝α，则PD＝AP sinα＝x×12Rx=12R x2，则y＝P A﹣PD=−12R x2+x，图象为开口向下的抛物线，故选：C．点睛：本题考查的动点的函数图象，涉及到解直角三角形、圆的切线的性质、二次函数基本性质等，关键是找出相应线段的数量关系，列出函数表达式．典例2（2021•中原区校级四模）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD＝．思路引领：如图，设直线x＝5交x轴于K．由题意KD=12CF＝5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．解：如图，设直线x＝5交x轴于K，连接DK，由题意KD=12CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO=OEOA=DKAD，∴OE8=512，∴OE=10 3，∴AE=√OE2+OA2=26 3，作EH⊥AB于H．∵S△ABE=12•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH=7√2 3，∴AH=√AE2−EH2=17√2 3，∴tan∠BAD=EHAH=7√2317√23=717．点睛：本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．针对练习22．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1．动点D在边AC上，以BD为边作等边△BDE （点E、A在BD的同侧）．在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路径长为√3．思路引领：取特殊点寻找点E的运动轨迹，利用等边三角形的性质即可解决问题；解：当点D与C重合时，点E与AB的中点M重合，当点D与A重合时，点E与等边三角形△ABN的顶点N重合，所以点E的运动轨迹是△ABN的中线MN，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∴MN=√3，故答案为√3．点睛：本题考查轨迹、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会取特殊点寻找点的运动轨迹，所以中考常考题型．类型二动图问题典例3 （2021秋•高州市期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（1）如图，求点E的坐标；（2）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C'O'D'E'，点D，O，C，E的对应点分别为C'，O'，D'，E'．设OO'＝t，矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分的面积为s．如图，当矩形C'O'D'E'与△ABO 重叠部分为五边形时，C'E'、D'E'分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示s，并直接写出t的范围．思路引领：（1）由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，再由含30°角的直角三角形的性质得AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4√3，即可得出答案；（2）由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4√3，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，则∠E′FM＝∠ABO＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得MF＝2ME′＝2t，FE′=√3t，求出S△MFE′=12√3t2，S矩形C′O′D′E′＝8√3，即可得出答案．解：（1）由点A（6，0）得OA＝6，又OD＝2，∴AD＝OA﹣OD＝4，在矩形CODE中，由DE∥CO，得∠AED＝∠ABO＝30°，∴在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得：ED=√AE2−AD2=4√3，又CO＝4√3，∴点E的坐标为（2，4√3）；（2）由平移可知，O'D'＝OD＝2，E'D'＝ED＝4√3，ME'＝OO'＝t．由E'D'∥BO，得∠E'FM＝∠ABO＝30°，在Rt△MFE'中，MF＝2ME'＝2t．∴由勾股定理得FE′=√MF2−ME′2=√3t，∴S△MFE′=12ME′⋅FE′=12t⋅√3t=√32t2，S矩形C′O′D′E′=O′D′⋅E′D′=8√3，∴s=−√32t2+8√3（0＜t＜2）．点睛：本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．针对训练33．（2019•宁夏）将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC 分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O 时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（√3，0），与s轴相交于点Q．（1）试确定三角板ABC的面积；（2）求平移前AB边所在直线的解析式；（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．思路引领：（1）与m轴相交于点P（√3，0），可知OB=√3，OA＝1；（2）设AB 的解析式y ＝kx +b ，将点B （0，√3），A （1，0）代入即可； （3）在移动过程中OB =√3−m ，则OA ＝tan30°×OB =√33×（√3−m ）＝1−√33m ，所以s =12×（√3−m ）×（1−√33m ）=√36m 2−m +√32，（0≤m ≤√3）；当m ＝0时，s =√32，即可求Q （0，√32）． 解：（1）∵与m 轴相交于点P （√3，0）， ∴OB =√3， ∵∠ABC ＝30°， ∴OA ＝1， ∴S =12×1×√3=√32； （2）∵B （0，√3），A （1，0）， 设AB 的解析式y ＝kx +b ， ∴{b =√3k +b =0， ∴{k =−√3b =√3， ∴y =−√3x +√3；（3）在移动过程中OB =√3−m ，则OA ＝tan30°×OB =√33×（√3−m ）＝1−√33m ，∴s =12×（√3−m ）×（1−√33m ）=√36m 2−m +√32，（0≤m ≤√3） 当m ＝0时，s =√32，∴Q （0，√32）． 点睛：本题考查直角三角形平移，一次函数的性质；能够通过函数图象得到B （0，√3）是解题的关键．典例4 如图，等边△ABC 边长为2，四边形DEFG 是平行四边形，DG ＝2，DE ＝3，∠GDE ＝60°，BC 和DE 在同一条直线上，且点C 与点D 重合，现将△ABC 沿D →E 的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点B 与点E 重合时停止，则在这个运动过程中，△ABC 与四边形DEFG 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是（ ）A．B．C．D．思路引领：分三种情况：①0≤t≤2时，由重叠部分为边长为t的等边三角形可得S=√34t2；②2＜t≤3时，由重叠部分即为△ABC得S=√34×22=√3；③3＜t≤5时由重叠部分是S△ABC﹣S△HEC且△HEC边长为t﹣3可得S=−√34t2+3√32t−5√34，据此可得答案．解：①当0≤t≤2时，如图1，由题意知CD＝t，∠HDC＝∠HCD＝60°，∴△CDH是等边三角形，则S=√34t2；②当2＜t≤3时，如图2，S=√34×22=√3；③当3＜t≤5时，如图3，根据题意可得CE＝CD﹣DE＝t﹣3，∠C＝∠HEC＝60°，∴△CEH为等边三角形，则S＝S△ABC﹣S△HEC=√34×22−√34（t﹣3）2=−√34t2+3√32t−5√34；综上，0≤t≤2时函数图象是开口向上的抛物线的一部分，2＜t≤3时函数图象是平行于x轴的一部分，当3＜t≤5时函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：B．点睛：本题主要考查动点问题的函数图象，根据重叠部分形状的变化情况分类讨论是解题的关键．针对训练44．（2020•滁州模拟）在△EFG中，∠G＝90°，EG=FG=2√2，正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD和△EFG如图放置，AD与EF在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点A与点F重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．思路引领：分0≤t≤1、1＜t≤2、2＜t≤3、3＜t≤4分别求出函数表达式即可求解．解：EG=FG=2√2，则EF＝4，①当0≤t≤1时，如图1，设AB交EG于点H，则AE＝t＝AH，S=12×AE×AH=12t2，函数为开口向上的抛物线，当t＝1时，y=12；②当1＜t≤2时，如图2，设直线EG交BC于点G，交CD于点H，则ED＝AE﹣AD＝t﹣1＝HD，则CH＝CD﹣HD＝2﹣t＝CG，S＝S正方形ABCD﹣S△CGH＝1−12×CH×CG＝1−12（2﹣t）2，函数为开口向下的抛物线，当t＝2时，y＝1；③当2＜t≤3时，S＝S正方形ABCD＝1，④当3＜t≤4时，同理可得：S＝1−12（t﹣3）2，为开口向下的抛物线；故选：C．点睛：本题考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．第二部分专题提优练习1．（2021•罗湖区校级模拟）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+√32PD的最小值等于（）A．√3B．3C．3√3D．2+2√3思路引领：过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EP=√32PD，即PB+√32PD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP=EPDP=√32，∴EP=√32PD∴PB+√32PD＝PB+PE∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A=BEAB=√32，∴BE＝3√3，故选：C．点睛：本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．√2D．2√2思路引领：根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=12CE，当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP，由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=12CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2，∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°，∴∠DP2P1＝90°，∴∠DP1P2＝45°，∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长，在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝2√2，∴PB的最小值是2√2．故选：D．点睛：本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．3．（2019•潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝125．思路引领：根据轴对称，可以求得使得△P AB 的周长最小时点P 的坐标，然后求出点P 到直线AB 的距离和AB 的长度，即可求得△P AB 的面积，本题得以解决． 解：{y =x +1y =x 2−4x +5，解得，{x =1y =2或{x =4y =5，∴点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（4，5）， ∴AB =√(5−2)2+(4−1)2=3√2，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，则此时△P AB 的周长最小， 点A ′的坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（4，5）， 设直线A ′B 的函数解析式为y ＝kx +b ， {−k +b =24k +b =5，得{k =35b =135， ∴直线A ′B 的函数解析式为y =35x +135， 当x ＝0时，y =135， 即点P 的坐标为（0，135），将x ＝0代入直线y ＝x +1中，得y ＝1， ∵直线y ＝x +1与y 轴的夹角是45°， ∴点P 到直线AB 的距离是：（135−1）×sin45°=85×√22=4√25， ∴△P AB 的面积是：3√2×4√252=125，故答案为：125．点睛：本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（2020•长春一模）如图，直线y ＝x +1与抛物线y ＝x 2﹣4x +5交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最小时，点P 的坐标为 ．思路引领：首先确定点A 和点B 的坐标，然后根据轴对称，可以求得使得△P AB 的周长最小时点P 的坐标．解：{y =x +1y =x 2−4x +5，解得，{x =1y =2或{x =4y =5，∴点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（4，5）， ∴AB =√(5−2)2+(4−1)2=3√2，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，则此时△P AB 的周长最小， 点A ′的坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（4，5）， 设直线A ′B 的函数解析式为y ＝kx +b ， {−k +b =24k +b =5，得{k =35b =135，∴直线A ′B 的函数解析式为y =35x +135， 当x ＝0时，y =135， 即点P 的坐标为（0，135），故答案为：（0，135）．点睛：本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2021春•汉阴县月考）如图，在三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝11，把三角形ABC 向下平移至三角形DEF 后，AD ＝CG ＝6，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：先根据平移的性质得到AD ＝BE ＝6，EF ＝BC ＝11，S △ABC ＝S △DEF ，则BG ＝5，由于S阴影部分＝S 梯形BEFG ，所以利用梯形的面积公式计算即可．解：∵三角形ABC 向下平移至三角形DEF ， ∴AD ＝BE ＝6，EF ＝BC ＝11，S △ABC ＝S △DEF ， ∵BG ＝BC ﹣CG ＝11﹣6＝5， ∴S 梯形BEFG =12（5+11）×6＝48， ∵S 阴影部分+S △DBG ＝S △DBG +S 梯形BEFG ， ∴S 阴影部分＝S 梯形BEFG ＝48． 故答案为48．点睛：本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．6．（2021•仪征市二模）如图，Rt △ABC ≌Rt △FDE ，∠ABC ＝∠FDE ＝90°，∠BAC ＝30°，AC ＝4，将Rt △FDE 沿直线l 向右平移，连接BD 、BE ，则BD +BE 的最小值为 ．思路引领：根据平面直角坐标系，可以假设E（m，√3），则D（m+1，2√3），则BD+BE=√(m+1)2+(2√3)2+√m2+(√3)2，欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R（m，0），使得R到M（﹣1，2√3），N（0，√3）的距离和的最小值，如图1中，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴题意R，连接RN，此时RM+RN的值最小，最小值＝MN′的长．解：建立如图坐标系，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，∠BAC＝30°，∴BC=12AC＝2，AB=√3BC＝2√3，∴斜边AC上的高=2×2√34=√3，∵△ABC≌△FDE，∴EF＝AC＝4，斜边EF上的高为√3，∴可以假设E（m，√3），则D（m+1，2√3），∴BD+BE=√(m+1)2+(2√3)2+√m2+(√3)2，欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R（m，0），使得R到M（﹣1，2√3），N（0，√3）的距离和的最小值，如图1中，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴题意R，连接RN，此时RM+RN的值最小，最小值＝MN′=√12+(3√3)2=2√7，∴BD+BE的最小值为2√7，故答案为：2√7．点睛：本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．7．（2019•乐山）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，直线l⊥AB．当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示，则四边形ABCD的周长是．思路引领：根据题意和函数图象中的数据，可以得到AB、BC、AD的长，再根据平行线的性质和图形中的数据可以得到CD的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．解：∵∠B＝30°，直线l⊥AB，∴BE＝2EF，由图可得，AB＝4cos30°＝4×√32=2√3，BC＝5，AD＝7﹣4＝3，由图象可得，AN＝5﹣4＝1，ND＝CM＝7﹣5＝2，DM＝2，∵∠B＝30°，EF⊥AB，∴∠M＝60°，又∵DM＝MC＝2，∴△DMC是等边三角形，∴DC＝DM＝2，∴四边形ABCD的周长是：AB+BC+AD+CD＝2√3+5+3+2＝10+2√3，故答案为：10+2√3．点睛：本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（2019•大庆）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？思路引领：（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；（2）由S=12•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴ADAB=AEAC，∴AE=6(8−2x)8=6−32x，∴y关于x的函数关系式为y=−32x+6（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE=12⋅BD⋅AE=12×2x(−32x+6)=−32x2+6x（0＜x＜4）．当x=−62×(−32)=2时，S△BDE最大，最大值为6cm2．点睛：本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．9．已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1厘米/秒的速度向大正方形的内部沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S厘米2，完成下列问题：（1）平移到1.5秒时，重叠部分的面积为厘米2．（2）求小正方形在平移过程中，S与t的关系式．思路引领：（1）1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，即可计算出重叠部分的面积；（2）分情况讨论：当0≤t＜2时，当2≤t≤4时，当4＜t≤6时，当t＞6时，分别用t表示出S即可．解：（1）1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，S＝2×1.5＝3（厘米2）；故答案为：3；（2）分情况讨论：当0≤t＜2时，小正方形未完全进入大正方形，此时S＝2t；当2≤t≤4时，小正方形完全在大正方形内，此时S＝2×2＝4；当4＜t≤6时，小正方形逐渐离开大正方形，此时S＝2×2﹣2（t﹣4）＝12﹣2t；当t＞6时，无重叠部分，此时S＝0．综上所述：小正方形在平移过程中，当0≤t＜2时，S＝2t；当2≤t≤4时，S＝4；当4＜t≤6时，S＝12﹣2t；当t＞6时，S＝0．点睛：本题考查了正方形的性质，平移的性质，解决本题的关键是计算各个阶段S随t的变化规律．10．（2021•南通一模）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝6cm，D是BC的中点．点E从A出发，以acm/s（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1cm/s的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值；（2）当a=12时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；（3）当a＝2时，是否存在某个时间t，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）先表示出CF ，AE ，EC ，由相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；（2）先判断出△AEG ∽△ACD ，得出EG ，再判断出EG ＝DF ，最后分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论；（3）先表示出AG =52t 厘米，EG =32t ，DF ＝3﹣t 厘米，DG ＝5−52t （厘米），再分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论． 解：（1）∵t ＝2，∴CF ＝2厘米，AE ＝2a 厘米， ∴EC ＝（4﹣2a ） 厘米， ∵△ECF ∽△BCA ． ∴EC CB =CF AC．（2分）∴4−2a6=24．∴a =12．（2）由题意，AE =12t 厘米，CD ＝3厘米，CF ＝t 厘米． ∵EG ∥CD ， ∴△AEG ∽△ACD ． ∴EG CD=AEAC ，EG3=12t 4．∴EG =38t ．∵以点E 、F 、D 、G 为顶点的四边形是平行四边形， ∴EG ＝DF ．当0≤t ＜3时，38t =3−t ，∴t =2411．（7分）当3＜t ≤6时，38t =t −3，21 ∴t =245． 综上，t =2411或245 （3）∵点D 是BC 中点，∴CD =12BC ＝3，在Rt △ACD 中，根据勾股定理得，AD ＝5，由题意，AE ＝2t 厘米，CF ＝t 厘米，由（2）知，△AEG ∽△ACD ，∴AE AC =AG AD =EG CD ， ∴2t 4=AG 5=EG 3∴AG =52t 厘米，EG =32t ，DF ＝3﹣t 厘米，DG ＝5−52t （厘米）．若∠GFD ＝90°，则EG ＝CF ，32t =t ． ∴t ＝0，（舍去）若∠FGD ＝90°，则△ACD ∽△FGD ．∴AD CD=FD GD ， ∴53=3−t 5−52t ． ∴t =3219． 综上：t =3219，△DFG 是直角三角形．点睛：此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，分类讨论是解本题的关键．。

专题09 选择填空中档题：二项分布、超几何分布与正态分布(原卷版)

专题09 选择填空中档题：二项分布、超几何分布与正态分布(原卷版)

专题09 选择填空中档题：二项分布、超几何分布与正态分布一、单选题1．（22-23高二下·北京怀柔·期末）将一枚均匀硬币随机抛掷4次，记“正面向上出现的次数”为X ，则随机变量X 的期望()E X =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（22-23高二下·北京海淀·期末）学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会．已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为（ ）A ．14B ．23 C ．37 D ．4153．（22-23高二下·北京通州·期末）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，恰好出现3次正面朝上的概率为（ ）A ．116B ．112C ．18D ．14 4．（22-23高二下·北京西城·期末）某一批种子的发芽率为23．从中随机选择3颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为（ ）A ．29 B ．827 C ．49 D ．235．（21-22高二下·北京通州·期末）若110,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()P X k =取得最大值时，k =（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．5或66．（22-23高二下·北京大兴·期末）设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，则(0)P X ≤=（ ）A ．23B ．14C ．13D ．127．（22-23高二下·北京丰台·期末）正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.假设随机变量()2~,X N μσ，可以证明，对给定的*,()k P k X k μσμσ∈-≤≤+N 是一个只与k 有关的定值，部分结果如图所示：通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩ξ基本服从正态分布()2~105,10N ξ.若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在(105,125)的考生人数大约为（ ）A ．341B ．477C ．498D ．6838．（22-23高二下·北京通州·期末）已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且()020.2P X <<=，则()4P X >=（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.89．（21-22高二下·北京·期末）已知随机变量服从正态分布2~(2,)X N σ，若(12)(1)1P X a P X a ≤-+≤+=，则=a （ ）A ．0B ．2C ．1-D ．2-10．（21-22高二下·北京通州·期末）假设随机变量X 服从正态分布()230,6N ，随机变量Y 服从正态分布()234,2N ，关于随机变量X ，Y 有以下三个结论：①(34)(34)P X P Y ≤<≤；①(30)(30)P X P Y ≤<≤；①(38)(38)P X P Y ≤<≤．其中正确结论的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．（21-22高二下·北京海淀·期末）已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()020.3P ξ<<=，则()4P ξ>=（ ）A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.212．（21-22高二下·北京大兴·期末）已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（ ）A ．12μμ<，12σσ<B ．12μμ<，12σσ>C ．12μμ>，12σσ<D ．12μμ>，12σσ>二、填空题13．（22-23高二下·北京·期末）4封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则邮箱A 的信件数X 的数学期望()E X = ．14．（21-22高二下·北京房山·期末）一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y 的均值()E Y 为 ． 15．（21-22高二下·北京通州·期末）某区3000名学生的期中检测的数学成绩X 服从正态分布()290,8N ，则成绩位于[90,98]的人数大约是 ．（参考数据：0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈）。

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专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。

动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。

解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。

在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。

【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA ′D ＝15°时，作∠A ′EC 的平分线EF 交BC 于点F ． ①写出旋转角α的度数； ②求证：EA ′+EC ＝EF ；（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A ′D 上的一个动点，连接P A ，PF ，若AB ＝2，求线段P A +PF 的最小值．（结果保留根号） 【举一反三】如图（1），已知∠=90MON o ,点P 为射线ON 上一点，且=4OP ，B 、C 为射线OM 和ON 上的两个动点（OC OP >），过点P 作PA ⊥BC ，垂足为点A ，且=2PA ，联结BP ．（1）若12PAC ABOPS S ∆=四边形时，求tan BPO ∠的值； （2）设PC x =，ABy BC=求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点A 作BP 的垂线，垂足为点H ，交射线ON 于点Q ，点B 、C 在射线OM 和ON 上运动时，探索线段OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。

若发生变化，试用含x 的代数式表示OQ 的长．类型二 【线段的积或商为定值】【典例指引2】如图①，矩形ABCD 中，2,5,1AB BC BP ===，090MPN ∠=，将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB （或AD ）于点E ，PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至PC 处时，MPN ∠的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ，此时ABP ∆是否与PCD ∆相似？并说明理由；（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，PEPF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设AE t =时，EPF ∆的面积为S ，试用含t 的代数式表示S ； ①在旋转过程中，若1t =时，求对应的EPF ∆的面积； ②在旋转过程中，当EPF ∆的面积为4.2时，求对应的t 的值.【举一反三】如图1,已知直线y ＝a 与抛物线214y x =交于A 、B 两点(A 在B 的左侧),交y 轴于点C (1)若AB ＝4,求a 的值(2)若抛物线上存在点D (不与A 、B 重合),使12CD AB =,求a 的取值范围 (3)如图2,直线y ＝kx ＋2与抛物线交于点E 、F ,点P 是抛物线上的动点,延长PE 、PF 分别交直线y ＝－2于M 、N 两点,MN 交y 轴于Q 点,求QM ·QN 的值。

图1 图2类型三 【角及角的和差定值】【典例指引3】如图，在△ABC 中，∠ABC ＞60°，∠BAC ＜60°，以AB 为边作等边△ABD （点C 、D 在边AB 的同侧），连接CD ．（1）若∠ABC =90°，∠BAC =30°，求∠BDC 的度数； （2）当∠BAC =2∠BDC 时，请判断△ABC 的形状并说明理由； （3）当∠BCD 等于多少度时，∠BAC =2∠BDC 恒成立．【举一反三】如图1，抛物线2: 2W y ax =-的顶点为点A ，与x 轴的负半轴交于点D ，直线AB 交抛物线W 于另一点C ，点B 的坐标为()1,0．（1）求直线AB 的解析式；（2）过点C 作CE x ⊥轴，交x 轴于点E ，若AC 平分DCE ∠，求抛物线W 的解析式； （3）若12a =，将抛物线W 向下平移()0m m >个单位得到抛物线1W ，如图2，记抛物线1W 的顶点为1A ，与x 轴负半轴的交点为1D ，与射线BC 的交点为1C ．问：在平移的过程中，11tan D C B ∠是否恒为定值？若是，请求出11tan D C B ∠的值；若不是，请说明理由．类型四 【三角形的周长为定值】【典例指引4】如图，现有一张边长为22的正方形ABCD ，点P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A 、点D 重合），将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交DC 于H ，折痕为 EF ，连接 BP ，BH .（1）求证：EPB EBP ∠=∠； （2）求证：APB BPH ∠=∠；（3）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？不变化，求出周长，若变化，说明理由； （4）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式.【举一反三】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝82，点O是AB的中点.将一个边长足够大的Rt△DEF的直角顶点E放在点O处，并将其绕点O旋转，始终保持DE与AC边交于点G，EF与BC边交于点H.(1)当点G在AC边什么位置时，四边形CGOH是正方形.(2)等腰直角三角ABC的边被Rt△DEF覆盖部分的两条线段CG与CH的长度之和是否会发生变化，如不发生变化，请求出CG与CH之和的值：如发生变化，请说明理由.类型五【三角形的面积及和差为定值】【典例指引5】综合与实践：矩形的旋转问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．具体要求：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合．固定矩形ABCD，将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点E与点B重合时停止，在此过程中开展探究活动．操作发现：（1）雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边AB与EF交于点M，边CD与GH交于点N，如图2、图3所示，则线段AM与CN始终存在的数量关系是．（2）雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时，如图3所示，四边形QMRN为菱形，请你证明这个结论．（3）雄鹰小组还发现在问题（2）中的四边形QMRN中∠MQN与旋转角∠AOE存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，并说明理由．实践探究：（4）在图3中，随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化．若矩形纸片的长为2 2，请你帮助雄鹰小组探究当旋转角∠AOE为多少度时，四边形QMRN的面积最大？最大面积是多少？（直接写出答案）【举一反三】如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.（1）求证：BE＝CE（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.【新题训练】1．已知在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，∠BAD=120°，E为线段BC上的一个动点（不与B，C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，（1）如图1，当AE⊥BC时，求线段BE、CG的长度．（2）如图2，点E在线段BC上运动时，连接DE，DF，△BEF与△CEG的周长之和是否是一个定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（3）如图2，设BE=x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式．2．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD，PE，DE．（1）求抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置是发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；（3）请直接写出△PDE周长的最大值和最小值．3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．(1)直接填空：∠BAD=______°.(2)点P在CD上，连结AP，AM平分∠DAP，AN平分∠P AB，AM、AN分别与射线BP交于点M、N．设∠DAM=α°．①求∠BAN的度数(用含α的代数式表示)．②若AN⊥BM，试探究∠AMB的度数是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请用α的代数式表示它．4．将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A 旋转，连接BC ，DE ．探究S △ABC 与S △ADC 的比是否为定值．（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S △ABC ：S △ADE 是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S △ABC ：S △ADE 是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）（3）两块三角板中，∠BAE +∠CAD ＝180°，AB ＝a ，AE ＝b ，AC ＝m ，AD ＝n （a ，b ，m ，n 为常数），S △ABC ：S △ADE 是否为定值？如果是，用含a ，b ，m ，n 的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）5．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．6．如图，已知锐角△ABC 中，AB 、AC 边的中垂线交于点O（1）若∠A =α（0°＜α＜90°），求∠BOC ；（2）试判断∠ABO +∠ACB 是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由．7．⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦，CD 在弧AB 上滑动（点C 和A 、点D 与B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于E ，DF ⊥CD 交AB 于F ． （1）求证：AE ＝BF（2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由.8．如图，动点在以为圆心，为直径的半圆弧上运动（点不与点及的中点重合），连接.过点作于点，以为边在半圆同侧作正方形，过点作的切线交射线于点，连接、.（1）探究：如左图，当动点在上运动时；①判断是否成立？请说明理由；②设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；③设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点在上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）9．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将»CD沿着CD翻折后，，链接PC．点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP OA（1）求CD的长．（2）求证：PC是⊙O的切线．（3）点G为¼ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交»BC于点F（F与B、C不重合）．则GE GF为一定值．请说明理由，并求出该定值．10．在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，且OA=6，OB=8，点D是AB的中点．（1）直接写出点D的坐标及AB的长；（2）若直角∠NDM绕点D旋转，射线DP分别交x轴、y轴于点P、N，射线DM交x轴于点M，连接MN．①当点P和点N分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴时，若△PDM∽△MON，求点N的坐标；②在直角∠NDM绕点D旋转的过程中，∠DMN的大小是否会发生变化？请说明理由．11．如图，△AOB中，A（－8，0），B（0，323），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F，（1）⊙P的半径为；（2）求证：EF为⊙P的切线；（3）若点H是»CD上一动点，连接OH、FH，当点H在»CD上运动时，试探究OHFH是否为定值？若为定值，求其值；若不是定值，请说明理由.12．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E ．P 为边BD 上的一个动点（不与端点B ，D 重合），连接P A ，PE ，AC ．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）求四边形ABDE 的周长和面积；（3）记△ABP 的周长和面积分别为C 1和S 1，△PDE 的周长和面积分别为C 2和S 2，在点P 的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C 1+C 2，②S 1+S 2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．13．如图，在O e 中，圆心O 关于弦AB 的对称点C 恰好在O e 上，连接AC 、BC 、BO 、AO . （1）求证：四边形AOBC 是菱形；（2）如图，若点Q 是优弧¼AmB （不含端点A 、B ）上任意一点，连接CQ 交AB 于点P ，O e 的半径为23.试探究①线段CP 与CQ 的积CP CQ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；②求·CP PO 的取值范围.14．如图，抛物线的顶点坐标为C （0，8），并且经过A （8，0），点P 是抛物线上点A ，C 间的一个动点（含端点），过点P 作直线y =8的垂线，垂足为点F ，点D ，E 的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD ，PE ，DE ．（1）求抛物线的解析式；（2）猜想并探究：对于任意一点P ，PD 与PF 的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；（3）求：①当△PDE 的周长最小时的点P 坐标；②使△PDE 的面积为整数的点P 的个数．15．如图1，点(),0A a 、(,0)B b ，其中a 、b 满足()2340a b b a ++--=，将点A 、B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C 、D ，连接AC 、BD .（1）直接写出点D 的坐标：__________；（2）连接AD 交OC 于一点F ，求CF OF的值： （3）如图2，点M 从O 点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动，同时点N 从B 点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN 交y 轴于F .问FMD OFN S S ∆∆-的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由.16．如图所示，D 为等腰ABC ∆底边BC 上一动点，DE AB ⊥于,E DF AC ⊥于F ，8,24ABC AC cm S ∆==，问当D 点在C 边上运动时，DE DF +的值是否为定值，如果是，求出这个定值，如果不是，说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，已知直线2y x =+和6y x =-+与x 轴分别相交于点A 和点B ，设两直线相交于点C ，点D 为AB 的中点，点E 是线段AC 上一个动点（不与点A 和C 重合），连结DE ，并过点D 作DF DE ⊥交BC 于点F ．（1）判断ABC △的形状，并说明理由．（2）当点E 在线段AC 上运动时，四边形CEDF 的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．（3）当点E 的横坐标为12-时，在x 轴上找到一点P 使得PEF V 的周长最小，请直接写出点P 的坐标．。

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