专题09动态几何定值问题(原卷版)

专题九动态几何定值问题

【考题研究】

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

【解题攻略】

动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。

解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：

第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.

第二种是采用综合法，直接写出证明.

【解题类型及其思路】

在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。

【典例指引】

类型一【线段及线段的和差为定值】

【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．

（1）如图1，当∠CA ′D ＝15°时，作∠A ′EC 的平分线EF 交BC 于点F ． ①写出旋转角α的度数； ②求证：EA ′+EC ＝EF ；

（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A ′D 上的一个动点，连接P A ，PF ，若AB ＝

2，求线段P A +PF 的最小值．（结果保留根号） 【举一反三】

如图（1），已知∠=90MON o ,点P 为射线ON 上一点，且=4OP ，B 、C 为射线OM 和ON 上的两个动点（OC OP >），过点P 作PA ⊥BC ，垂足为点A ，且=2PA ，联结BP ．

（1）若

1

2

PAC ABOP

S S ∆=

四边形时，求tan BPO ∠的值； （2）设PC x =，

AB

y BC

=求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点A 作BP 的垂线，垂足为点H ，交射线ON 于点Q ，点B 、C 在射线OM 和ON 上运动时，探索线段OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。若发生变化，试用含x 的代数式表示OQ 的长．

类型二 【线段的积或商为定值】

【典例指引2】如图①，矩形ABCD 中，2,5,1AB BC BP ===，090MPN ∠=，将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB （或AD ）于点E ，PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至PC 处时，MPN ∠的旋转随即停止.

（1）特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ，此时ABP ∆是否与PCD ∆相似？并说明理由；

（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，

PE

PF

的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理

由；

（3）拓展延伸：设AE t =时，EPF ∆的面积为S ，试用含t 的代数式表示S ； ①在旋转过程中，若1t =时，求对应的EPF ∆的面积； ②在旋转过程中，当EPF ∆的面积为4.2时，求对应的t 的值.

【举一反三】

如图1,已知直线y ＝a 与抛物线2

14

y x =交于A 、B 两点(A 在B 的左侧),交y 轴于点C (1)若AB ＝4,求a 的值

(2)若抛物线上存在点D (不与A 、B 重合),使1

2

CD AB =

,求a 的取值范围 (3)如图2,直线y ＝kx ＋2与抛物线交于点E 、F ,点P 是抛物线上的动点,延长PE 、PF 分别交直线y ＝－2于M 、N 两点,MN 交y 轴于Q 点,求QM ·QN 的值。

图1 图2

类型三 【角及角的和差定值】

【典例指引3】如图，在△ABC 中，∠ABC ＞60°，∠BAC ＜60°，以AB 为边作等边△ABD （点C 、D 在边AB 的同侧），连接CD ．

（1）若∠ABC =90°，∠BAC =30°，求∠BDC 的度数； （2）当∠BAC =2∠BDC 时，请判断△ABC 的形状并说明理由； （3）当∠BCD 等于多少度时，∠BAC =2∠BDC 恒成立．

【举一反三】

如图1，抛物线2

: 2W y ax =-的顶点为点A ，与x 轴的负半轴交于点D ，直线AB 交抛物线W 于另一点

C ，点B 的坐标为()1,0．

（1）求直线AB 的解析式；

（2）过点C 作CE x ⊥轴，交x 轴于点E ，若AC 平分DCE ∠，求抛物线W 的解析式； （3）若1

2

a =

，将抛物线W 向下平移()0m m >个单位得到抛物线1W ，如图2，记抛物线1W 的顶点为1A ，与x 轴负半轴的交点为1D ，与射线BC 的交点为1C ．问：在平移的过程中，11tan D C B ∠是否恒为定值？若是，请求出11tan D C B ∠的值；若不是，请说明理由．

类型四 【三角形的周长为定值】

【典例指引4】如图，现有一张边长为22的正方形ABCD ，点P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A 、点D 重合），将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交DC 于H ，折痕为 EF ，连接 BP ，BH .

（1）求证：EPB EBP ∠=∠； （2）求证：APB BPH ∠=∠；

（3）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？不变化，求出周长，若变化，说明理由； （4）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式.