(完整版)《集合》知识点总结
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念，它是由确定的元素组成的整体。
在数学中，集合论是一个独立的分支，它研究集合的性质、运算和关系。
本文将对集合的基本概念、运算和性质进行总结。
一、集合的基本概念1. 集合符号：集合常用大写字母表示，如A、B、C。
元素通常用小写字母表示，如a、b、c。
2. 集合的表示方法：集合可以通过列举元素的方式表示，例如A={1, 2, 3}；也可以用描述性的方式表示，例如B={x | x是自然数，且x<5}。
3. 空集：不包含任何元素的集合被称为空集，用符号∅表示。
二、集合的运算1. 并集：若A和B是两个集合，它们的并集是由两个集合中的所有元素组成的集合，用符号∪表示，即A∪B。
2. 交集：若A和B是两个集合，它们的交集是同时属于A和B的元素组成的集合，用符号∩表示，即A∩B。
3. 差集：若A和B是两个集合，它们的差集是属于A而不属于B的元素组成的集合，用符号A-B表示。
4. 互斥：若A∩B=∅，即A和B的交集为空集，称A和B是互斥的。
三、集合的性质1. 子集：若集合A中的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，用符号A⊆B表示。
2. 包含关系：若A是B的子集，且B不等于A，则称B包含A，用符号B⊇A表示。
3. 相等关系：当A⊆B且B⊆A时，称A和B相等，用符号A=B表示。
4. 幂集：集合A的所有子集构成的集合被称为A的幂集，用符号P(A)表示。
5. 交换律：并集和交集满足交换律，即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
6. 结合律：并集和交集满足结合律，即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
7. 分配律：并集和交集满足分配律，即A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
四、常用集合1. 自然数集：包括0、1、2、3......的集合，用符号N表示。
2. 整数集：包括负整数、0、正整数的集合，用符号Z表示。
集合知识点总结
集合知识点总结集合是现代数学中的一个重要概念，它在数学的各个领域都有着广泛的应用。
下面就让我们一起来系统地总结一下集合的相关知识点。
一、集合的定义集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体。
这些对象称为集合的元素。
例如，一个班级里的所有学生可以构成一个集合，其中每个学生就是这个集合的元素；自然数的全体也能构成一个集合，每个自然数都是其中的元素。
二、集合的表示方法1、列举法将集合中的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来。
例如，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
2、描述法用集合中元素所具有的共同特征来表示集合。
例如，集合 B ＝｛x ｜ x 是大于 5 的整数}。
3、图示法包括韦恩图（Venn Diagram），通过图形直观地表示集合之间的关系。
三、集合中元素的性质1、确定性对于一个给定的集合，其元素必须是确定的。
也就是说，一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，不存在模棱两可的情况。
2、互异性集合中的元素不能重复。
例如，集合{1, 1, 2}是不正确的，应该写成{1, 2}。
3、无序性集合中的元素没有顺序之分。
例如，｛1, 2, 3}和{3, 2, 1}表示的是同一个集合。
四、集合的分类1、有限集集合中元素的个数是有限的。
2、无限集集合中元素的个数是无限的。
比如自然数集就是一个无限集。
3、空集不含任何元素的集合，记作∅。
五、常见的数集1、自然数集：N ＝｛0, 1, 2, 3, …｝2、正整数集：N+ ＝｛1, 2, 3, …｝3、整数集：Z ＝｛…，－2, －1, 0, 1, 2, …｝4、有理数集：Q5、实数集：R六、集合间的关系1、子集如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素，那么称集合 A 是集合B 的子集，记作 A ⊆ B。
特别地，如果 A 是 B 的子集，但 A 不等于 B，就称 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
例如，集合 A ＝｛1, 2}，集合 B ＝｛1, 2, 3}，则 A 是 B 的子集。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。
在本篇文章中，将对集合的定义、运算、性质以及常见的集合类型进行总结和归纳。
一、集合的基本定义集合是由不同元素组成的整体。
通常用大写字母表示集合，用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。
例如，集合A可以表示为A={a, b, c}。
二、集合的运算1. 并集（Union）并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并在一起形成的新集合。
记作A∪B，其中A和B是待操作的集合。
并集包含了A和B中的所有元素，不重复计数。
2. 交集（Intersection）交集是指两个或多个集合中共有的元素所组成的集合。
记作A∩B，其中A和B是待操作的集合。
交集只包含A和B中共有的元素，重复计数一次。
3. 差集（Difference）差集是指一个集合中除去与另一个集合共有的元素后所剩下的元素。
记作A-B，其中A和B是待操作的集合。
差集包含了属于A但不属于B的元素。
4. 补集（Complement）补集是指集合在某个全集中的补集合。
一般情况下，全集为给定环境中的所有元素。
记作A的补集为A'或A^c。
补集包含了全集中属于但不属于A的元素。
三、集合的性质1. 包含关系集合A包含集合B，当且仅当B中的每个元素都属于A。
记作A⊇B。
如果A包含B且B包含A，那么A和B是相等的集合，记作A=B。
2. 互斥关系集合A和集合B互斥，当且仅当两个集合没有共同的元素，即A∩B=∅。
3. 子集关系集合A是集合B的子集，当且仅当A中的每个元素都属于B。
记作A⊆B。
空集∅是任何集合的子集。
4. 幂集幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。
假设集合A={a, b}，那么A的幂集为P(A)={{},{a},{b},{a,b}}。
四、常见的集合类型1. 自然数集合（N）自然数集合包含了从1开始的所有正整数。
即N={1, 2, 3, …}。
2. 整数集合（Z）整数集合包含了正整数、负整数和零。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念，广泛应用于各个领域。
本文将对集合的相关概念、运算、性质以及其在实际中的应用进行总结。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由确定的元素组成的整体，没有重复元素，顺序不重要。
2. 元素和集合的关系：元素是集合的组成部分，用于描述集合的特征。
3. 表示方法：- 列举法：将集合的所有元素逐个列举出来。
- 描述法：通过一定的特征或条件来描述集合。
4. 空集和全集：- 空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。
- 全集：包含所有元素的集合，用符号U表示。
二、集合的运算1. 交集：两个集合中具有相同元素的部分构成的新集合，用符号∩表示。
2. 并集：两个集合的所有元素组成的新集合，用符号∪表示。
3. 差集：一个集合中去掉与另一个集合共有元素后的新集合，用符号－表示。
4. 互补集：在全集中与某个集合没有交集的元素所构成的新集合，用符号A'表示。
5. 笛卡尔积：由两个集合的所有有序对构成的集合，用符号×表示。
三、集合的性质1. 包含关系：集合A包含于集合B，表示为A⊆B，当且仅当A的每个元素都是B的元素。
2. 相等关系：如果两个集合A和B互相包含，即A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，表示为A=B。
3. 幂集：一个集合的所有子集所构成的集合，用符号P(A)表示。
4. 交换律、结合律和分配律：集合的交换律、结合律与数的运算性质类似，具有相似的性质。
四、集合的应用1. 概率论与统计学：集合论为概率论和统计学提供了重要的数学基础，通过对事件的集合进行分析与运算。
2. 数据库管理系统：集合运算在数据库查询和数据处理中起着重要的作用，用于筛选、合并和处理数据。
3. 逻辑学与集合论关系：集合论与逻辑学相辅相成，通过集合的运算和逻辑连接词（与、或、非）进行逻辑推理。
4. 集合在数学证明中的应用：集合的性质和运算方式在数学证明中经常被使用，可以简化证明过程。
总结：集合是数学中不可或缺的重要概念，它具有基本的定义、运算和性质。
高一集合知识点总结
高一集合知识点总结一、集合的基本概念1. 集合定义：集合是具有某种特定性质的事物的总体。
2. 元素：组成集合的每个事物称为该集合的元素。
3. 集合的表示：常用大写字母表示集合，如集合A、B等；集合中的元素用小写字母表示，如a、b等。
二、集合的分类1. 有限集：元素数量有限的集合。
2. 无限集：元素数量无限的集合。
3. 空集：不包含任何元素的集合，记作∅。
三、集合的表示方法1. 枚举法：直接列举出集合中的所有元素。
2. 描述法：用数学表达式描述集合中的元素性质。
3. 图示法：用图形表示集合及其关系。
四、集合间的关系1. 子集：如果集合A的所有元素都属于集合B，则A是B的子集。
2. 真子集：集合A是集合B的子集，且A不等于B。
3. 并集：两个集合A和B的所有元素组成的集合。
4. 交集：两个集合A和B的公共元素组成的集合。
5. 补集：对于集合A，其在全集U中的补集是全集U中不属于A的元素组成的集合。
五、集合运算1. 并集运算（∪）：A ∪ B = {x | x ∈ A 或x ∈ B}。
2. 交集运算（∩）：A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}。
3. 差集运算（-）：A - B = {x | x ∈ A 且 x ∉ B}。
4. 补集运算（' 或 C）：A' = {x | x ∉ A}。
六、特殊集合1. 有理数集：可以表示为两个整数比的数的集合。
2. 无理数集：不能表示为两个整数比的数的集合。
3. 自然数集：正整数的集合。
4. 整数集：正整数、负整数和零的集合。
5. 实数集：包括有理数和无理数的集合。
七、集合的简单性质1. 德摩根定律：(A ∪ B)' = A' ∩ B'；(A ∩ B)' = A' ∪ B'。
2. 集合恒等式：A ∪ A' = U，A ∩ A' = ∅。
3. 子集性质：如果A ⊆ B 且 B ⊆ A，则A = B。
集合知识点
一、集合知识点一、集合的概念1、集合的概念（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：在一定范围内某些确定的不同的对象的全体，就构成一个集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.4、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集{Φ（以空集为元素的集合），}0{（以数字0为元素的集合），注：应区分Φ（空集），}0（数字0，可以是某个集合的元素）等符号的含义5、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集合.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0.二、集合的表示方法1、大写的字母表示集合。
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大(花)括号内{ }表示集合的方法.例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}注：（1）大括号不能缺失.(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}（3）区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素.（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.（5）列举法中元素之间用逗号，隔开。
集合数学知识点总结
集合数学知识点总结一、知识概述《集合》①基本定义：集合就是把一些确定的东西放在一起，就像把一群小伙伴聚在一个小圈子里，这些东西就叫做集合的元素。
比如说，一个班级里所有的学生就可以看成一个集合，班级里的每个学生就是这个集合的元素。
②重要程度：在数学里超级重要，很多数学概念和运算都是基于集合的概念建立起来的。
像函数的定义域、值域都是集合，数系也可以用集合来表示。
③前置知识：有点数的概念、了解简单的分类思想就好。
比如知道不同类型的图形，或者不同的数字分类。
④应用价值：在生活里安排活动时能用到。
像统计喜欢不同运动的人群，把喜欢篮球的人放在一个集合里，喜欢足球的人放在另一个集合里，这样就能清楚知道各类人群的状况。
在计算机里，数据库存储数据也类似集合概念，方便数据管理。
二、知识体系①知识图谱：集合是数学的基础概念，在代数、几何等很多分支中都会用到，是构建其他更复杂知识的基石。
②关联知识：和函数、数列等知识关系密切。
比如函数定义域和值域都是集合，数列可以看成是按照一定顺序排列的数的集合。
③重难点分析：掌握难度还行，难的点在于理解集合元素的确定性等特性。
关键就是要把概念搞清楚。
④考点分析：在考试里经常考，选择题、填空题里很常见，可能会考查集合的表示、集合间的关系、集合的运算等。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：集合就是把确定的、彼此可区别的对象汇聚成的整体。
这里的确定意思是元素必须是明确的，不能模棱两可。
比如说“身材高大的同学”就不能构成一个集合，因为“身材高大”这个标准不明确。
而“一米八以上的同学”就能构成集合，因为这个标准很清晰。
②特征分析：集合元素有确定性、互异性、无序性。
确定性刚才讲了，互异性就是集合里的元素不能重复，像{1,1,2}就不符合集合元素互异性，得写成{1,2}。
无序性就是元素的顺序没关系，{1,2,3}和{3,2,1}表示的是同一个集合。
③分类说明：集合分为有限集，像一个班级里的学生人数有限，这个班级学生构成的集合就是有限集；无限集，像全体自然数构成的集合就是无限集；还有空集，就是不含任何元素的集合，就像一个空盒子表示的就是空集。
(完整版)《集合》知识点总结
《集合》知识点总结一、集合有关概念1．集合的含义一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集） 2．集合中元素的三个特性：确定性 互异性 无序性3．集合的表示：{}⋅⋅⋅如：{}我校的篮球队员，{}太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋用拉丁字母表示集合：A ={}我校的篮球队员,B ={}1,2,3,4,5集合的表示方法：列举法与描述法。
列举法：{,}a b ⋅⋅⋅,c,d,描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{|32}x x ->语言描述法：例：{}不是直角三角形的三角形Venn 图:注：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 *N N +或 整数集Z 有理数集Q 实数集R4．集合的分类：有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合空集 不含任何元素的集合 例：2{|5}x x =-二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集 注意：A B ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。
反之，集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆/B 或B ⊇/A2. “相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)例：设A={x|210x -=} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” ① 任何一个集合是它本身的子集. A ⊆A②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作B A ⊆ (或B ⊇/A)③如果A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C④如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为∅规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
结论：有n 个元素的集合，含有2n 个子集，12n -个真子集三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定义 由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A 交B’）即A B=｛x|x ∈A 且x ∈B｝．由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作A B （读作‘A 并B ’），即AB={x|x ∈A，或x ∈B})．设S 是一个集合，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集） 记作UCA ，即{|,}UC A x x U x A =∈∉且韦恩 图 示A B图1AB图2性 质A AB B A A B A A B B⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆⋂⊆A A A A AA B B A A B A A B B⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇ ()()()uuuC A C B C A B ⋂=⋃()()()uuuC A C B C A B ⋃=⋂()uA C A U ⋃=()uA C A ⋂=∅（2）交、并、补集的混合运算①集合交换律 A B B A ⋂=⋂ A B B A ⋃=⋃②集合结合律 ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂ ()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃③集合分配律 ()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃ （3）容斥定理()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂()()()()()card A B C card A card B card C card A B ⋃⋃=++-⋂()()()card A B card B C card A B C -⋂-⋂+⋂⋂card 表示有限集合A 中元素的个数SA。
高中集合知识点总结
高中集合知识点总结一、集合及其基本概念1、定义：集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
2、基本概念（1）元素：构成集合的对象称为集合的元素。
（2）集合的表示法：集合可以用描述法、列举法和扩展法表示。
（3）相等集合：集合中的元素相同，则两个集合相等。
（4）互斥集合：两个集合没有共同元素。
（5）空集：一个不包含任何元素的集合称为空集。
二、集合的运算1、交集：两个集合A和B的交集是由所有同时属于A和B的元素组成的集合，记作A∩B。
2、并集：两个集合A和B的并集是由所有属于A或属于B的元素组成的集合，记作A∪B。
3、差集：两个集合A和B的差集是由属于A而不属于B的元素组成的集合，记作A-B。
4、补集：集合A相对于集合E中所有不属于A的元素所构成的集合称为集合A的补集，记作A^c。
三、集合的性质1、交换律：集合的交集和并集都满足交换律。
2、结合律：集合的交集和并集都满足结合律。
3、分配律：集合的交集和并集满足分配律。
4、吸收律：集合的交集和并集都满足吸收律。
5、补集性质：集合的并集与补集、交集与补集的关系。
6、对偶律：交换律、结合律、分配律的对偶性质。
7、德摩根定律：集合的补集的交集与并集的关系。
四、集合的应用1、概率论中的集合应用2、集合的基本论证方法3、代数和数论中的集合应用五、集合的数学分析1、集合与代数结构2、集合的表示与运算的性质3、集合的数学证明方法4、集合的应用与拓展六、集合的应用与实践1、生活中的集合应用2、工程中的集合应用3、科学研究中的集合应用总结：集合作为数学的一项基础概念和重要工具，一直在数学的各个领域得到广泛应用。
通过对集合的定义、运算、性质、应用、数学分析和实践等方面的总结，有助于加深对集合概念的理解和提高其在数学中的应用能力。
希望本文可以对高中学生的集合知识学习和应用有所帮助。
集合知识点归纳总结
集合知识点归纳总结一、集合的定义与性质1. 集合的基本定义：集合是由一些确定的元素组成的整体。
2. 集合的表示方法：列举法、描述法、集合运算法等。
3. 集合的关系：包含关系、相等关系、互斥关系等。
4. 集合的运算：并集、交集、差集、补集等运算。
二、集合的分类1. 空集与全集：空集是不包含任何元素的集合，全集是指定范围内的所有元素的集合。
2. 子集与真子集：如果一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素，则称前者为后者的子集；若两个集合既有子集关系又不相等，则称前者为后者的真子集。
3. 有限集与无限集：元素个数有限的集合称为有限集，元素个数无限的集合称为无限集。
三、集合的运算1. 并集：将两个或多个集合中的所有元素都放在一起，得到的新集合即为并集。
2. 交集：两个集合中共有的元素组成的集合称为交集。
3. 差集：从一个集合中减去另一个集合的元素，得到的新集合称为差集。
4. 补集：相对于某个全集，与该集合不相交的元素组成的集合称为补集。
四、集合的表示与应用1. 集合的表示方法：列举法、描述法、集合运算法等。
2. 集合的应用场景：数学、计算机科学、概率论等领域中都有集合的应用。
3. 集合的问题求解：通过集合的运算和性质，解决实际问题中的集合相关的计算和逻辑推理。
五、集合的常用性质与定理1. 幂集：一个集合的所有子集构成的集合称为幂集。
2. 对称差：两个集合的对称差是指两个集合的并集减去交集。
3. 德摩根定律：集合运算中的德摩根定律包括并集的德摩根定律和交集的德摩根定律。
4. 集合的基数：集合的基数是指集合中元素的个数。
5. 区间表示法：用数轴上的区间来表示集合。
六、集合的应用举例1. 数学中的集合：数学中的各种概念和定理都可以用集合的语言来表达和证明。
2. 数据库中的集合：数据库中的查询、连接和操作都可以用集合的概念来描述和实现。
3. 概率论中的集合：概率论中的事件和样本空间都可以用集合的概念来表示和计算。
集合知识点总结
集合知识点总结集合是数学中一个非常基础且重要的概念，它在数学的各个领域以及其他学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解集合的相关知识。
一、集合的定义集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。
简单来说，集合就是把一些确定的、不同的对象放在一起，看作一个整体。
例如，“所有小于 10 的正整数”就可以构成一个集合，这个集合的元素就是 1、2、3、4、5、6、7、8、9 。
二、集合的表示方法1、列举法把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
例如，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5} 。
2、描述法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合。
一般形式为｛x ｜P(x)｝，其中 x 是集合中的元素，P(x) 是一个关于 x 的条件。
例如，集合 B ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正偶数} 。
包括韦恩图（Venn Diagram）等，通过图形直观地表示集合之间的关系。
三、集合的特性1、确定性对于一个给定的集合，其元素必须是确定的。
也就是说，任何一个对象要么是这个集合的元素，要么不是，不能模棱两可。
2、互异性集合中的元素不能重复。
例如，集合｛1, 1, 2} 是不正确的，应该写成｛1, 2} 。
3、无序性集合中的元素排列顺序是无关紧要的。
例如，集合｛1, 2, 3} 和｛3, 2, 1} 是同一个集合。
四、集合的分类1、有限集含有有限个元素的集合称为有限集。
2、无限集含有无限个元素的集合称为无限集。
例如，自然数集就是一个无限集。
不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
五、集合之间的关系1、子集如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素，那么称集合 A 是集合B 的子集，记作 A ⊆ B 。
特别地，如果 A 是 B 的子集，但 A 不等于B ，则称 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B 。
例如，集合 A ＝｛1, 2} ，集合 B ＝｛1, 2, 3} ，则 A 是 B 的子集，也是真子集。
集合的所有知识点总结
集合的所有知识点总结1. 集合的基本概念集合是由一些称为元素的对象所组成的。
在数学中，我们通常用大写字母来表示集合，用小写字母来表示集合中的元素。
例如，我们可以用A来表示集合，用a、b、c来表示集合A中的元素。
集合的表示方法有多种，最常见的是列举法和描述法。
列举法是直接列出集合中的元素，例如{1, 2, 3, 4, 5}表示由1、2、3、4、5这五个元素组成的集合。
描述法是用一个条件来描述集合中的元素，例如{x | x是正整数，且x<10}表示由小于10的正整数所组成的集合。
2. 集合的关系在集合论中，我们通常关注的是集合之间的关系。
最常见的集合关系有包含关系、相等关系、交集、并集、补集等。
包含关系是指一个集合包含另一个集合，如果集合A中的所有元素都是集合B中的元素，则称集合A包含集合B，用A⊇B表示。
相等关系是指两个集合具有相同的元素，如果集合A包含集合B并且集合B包含集合A，则称集合A和集合B相等，用A=B表示。
交集是指两个集合共有的元素组成的集合，用A∩B表示。
并集是指两个集合中所有的元素组成的集合，用A∪B表示。
补集是指一个集合中除去另一个集合中的元素后所得到的集合，用A-B表示。
3. 集合的运算在集合论中，我们通常研究的是集合之间的运算。
最常见的集合运算有并、交、差、幂集等。
并运算是指将多个集合的所有元素组成的集合，用A∪B表示。
交运算是指两个集合中共有的元素组成的集合，用A∩B表示。
差运算是指一个集合除去另一个集合中的元素后所得到的集合，用A-B表示。
幂集是指一个集合的所有子集组成的集合，用P(A)表示。
4. 集合的基本定理在集合论中，有一些重要的基本定理，它们对于理解和运用集合论具有重要的意义。
最常见的基本定理有对称差定理、德摩根定理、绝对差定理等。
对称差定理是指两个集合的对称差等于这两个集合的并集减去交集，用A△B=(A∪B)-(A∩B)表示。
德摩根定理是指两个集合的并集的补集等于两个集合的补集的交集，用(A∪B)’=A’∩B’表示。
集合知识点总结
集合知识点总结集合是数学中常见的一个概念，也是许多其他数学分支的基础。
本文将对集合的定义、基本操作、集合运算以及一些常见的集合类型进行总结，以帮助读者更好地理解和应用集合概念。
一、集合的定义集合是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。
集合的表示通常使用大写字母表示，元素则用小写字母表示。
例如，集合A = {a, b, c, d} 表示由元素a、b、c、d 组成的集合。
集合中的元素没有顺序之分，而且每个元素只出现一次。
如果一个元素x属于集合A，我们可以写作x ∈ A。
如果元素y不属于集合A，我们可以写作y ∉ A。
二、基本操作1. 并集：如果x是A或B中的元素，则x属于A∪B。
A∪B 表示以原集合A和B中的所有元素构成的新集合。
2. 交集：如果x是A和B中的元素，则x属于A∩B。
A∩B 表示同时属于集合A和集合B的元素组成的新集合。
3. 差集：如果x是A中的元素，但不是B中的元素，则x属于A-B。
A-B 表示在集合A中，但不在集合B中的元素组成的新集合。
4. 补集：对于全集U和集合A，A的补集表示U中不属于A的元素组成的集合。
三、集合运算除了基本操作以外，还有一些常见的集合运算，如幂集、笛卡尔积等。
1. 幂集：幂集是指一个集合的所有子集构成的集合。
记作P(A)。
例如，集合A = {1, 2}，那么它的幂集P(A) = { {}, {1}, {2}, {1, 2} }。
2. 笛卡尔积：如果A和B是两个集合，它们的笛卡尔积表示为A×B，它是所有形如(a, b)的有序对构成的集合，其中a属于A，b属于B。
四、常见的集合类型1. 自然数集：N = {0, 1, 2, 3, ...}2. 整数集：Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}3. 有理数集：Q = { p/q | p ∈ Z, q ∈ N, q ≠ 0 }4. 实数集：R = [ -∞, +∞ ]5. 复数集：C = { a + bi | a ∈ R, b ∈ R, i^2 = -1}五、应用举例集合的概念在数学和计算机科学中有着广泛的应用。
最全集合知识点归纳梳理大全集
集合的基础知识点梳理大全集一、重点知识归纳及讲解1．集合的有关概念一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素⑴集合中的元素具有以下的特性①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素；而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的.②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}.③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合.（2）集合的元素某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a 是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.（3）集合的分类：有限集与无限集.（4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集.描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集.使用描述法时，应注意六点：①写清集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”；⑤所有描述的内容都要写在大括号内；⑥用于描述的语句力求简明、确切.图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示.如：A={1，2，3，4}例1、设集合A={a，a+b, a+2b},B={a,ac,ac2} ,且A=B，求实数c值．分析：欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac两种情况．解析：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a+ ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时无解．（2）a+b= ac2且a+2b=ac，消去b得：2ac2-ac-a=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴2c2-c-1=0，即c=1或，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，∴．点评：两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验，去伪存真．（5）常用数集及专用记号（1）非负整数集（或自然数集）N={0，1，2，……}（2）正整数集N*（或N＋）={1，2，3，……}（3）整数集Z={0，¡1，¡2，……}（4）有理数集Q={整数与分数}（5）实数集R={数轴上的点所对应的数}.强调：实数集不可记为{R}或{实数集}，0≠≠{} ，≠{0}，≠{空集}.强调：排除0和负数的数集也可表示为R*、Z*、Q*或R＋、Z＋、Q＋．2．基本运算1. 交集（1）定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组合的集合叫A与B的交集．记作，即{，且}（2）交集的图示上图阴影部分表示集合A与B的交集．（3）交集的运算律，，，2. 并集（1）定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作，即{，或}（2）并集的图示以上阴影部分表示集合A与B的并集．（3）并集的运算律，，，3、补集（1）定义：设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）.记作，即C S A=（2）补集的图示4、常用性质A A=A，AΦ=Φ，A B=B A，A B A，A B B．A A=A，AΦ=A，A B=B A，A B A，A B B．，，例2、集合{，且}，A U，B U，且{4，5}，{1，2，3}，{6，7，8}，求集合A和B．分析：利用集合图示较为直观．解：由{4，5}，则将4，5写在中，由{1，2，3}，则将1，2，3写在集A中，由{6，7，8}，则将6，7，8写在A、B之外，由与中均无9，10，则9，10在B中，故A={1，2，3，4，5}，B={4，5，9，10}．5、容斥原理：有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．二、难点知识剖析1、要注意区分一些容易混淆的符号（1）与的区别：表示元素与集合之间的关系，例如1N，-1N等；表示集合与集合之间的关系，例如N R，等．（2）a与{a}的区别：一般在，a表示一个元素，{a}而表示只有一个元素a的集合．例如，0{0},{1}{1,2,3}等，不能写成0={0}，{1}{1,2,3}，1{1,2,3}．（3）{0}与Φ的区别：是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，因此Φ{0}但不能写成Φ={0}，Φ{0}．例3、已知集合M={x|x≤3}，集合P={x|x<2}，设，则下列关系式中正确的一个是（）A、P∈MB、a∈MC、P MD、{a－3}P解析：集合M、P都是部分实数组成的集合，而a是一个具体的实数，故M、P间的关系应用“包含”，“不包含”来确定，而对a与集合M、P的关系只能用“属于”，“不属于”来确定，比较实数的大小，易判断C正确.小结：正确使用集合的符号是正确分析、解答问题的关键．2．理解集合所表示的意义（1）对由条件给出的集合，要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．如{y R|y=}表示的为函数y=中y的取值范围，故{y R|y=}={y R|y};而{x R|y=}表示y=的x的取值范围，故{x R|y=}=R．（2）用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或韦恩图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用韦恩图表示，容易被忽视，如在关系式B A中，易漏掉B=Φ的情况．例4、设A=，B=（1）若A B=B，求的值；（2）若A B=B，求的值．分析：明确A B=B和A B=B的含义，根据问题的需要，将A B=B和A B=B转化为等价的关系式：和，是解决本题的关键．解析：首先化简集合A，得A={-4，0}（1）由于A B=B，则有可知集合B或为空集Φ，或只含有根0或-4．①若B=Φ，由得②若，代入得：，当时，B=，合题意．当时，B=，也符合题意．③若，代入得：，当时，②中已讨论，合题意当时，B=不合题意．由①、②、③得，．（2）因为A B=B，所以，又A={-4，0}，而B至多只有两个根，因此应有A=B．由（1）知，【点评】：一般对于A B=B和A B=B这种类型的问题，都要注意转化为等价的关系式：和，且在包含关系中，注意不要漏掉B=的情况．并且当A、B中的元素的个数相同时，还存在或的情况时，只有A=B这一种情况．子集（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。
集合知识点总结
必修1 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系通常用大写拉丁字母A ，B ，C ···表示集合，用小写拉丁字母a ，b ，c ···表示集合中的元素 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B(2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n -非空真子集.（8）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 二．直击考点（一）、判断集合间的关系例1已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆C ．{}2,3MN = D ．{}1,4MN =例2设}4|{},4|{2<=<=x x Q x x P 则 （ ）名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅（3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）AA ∅= （3）AB A ⊇ AB B ⊇BA补集A C u{|,}x x U x A ∈∉且 （1）=)(A C A u ø（2）=)(A C A u U（3）)()()(B C A C B A C u u u =（4）)()()(B C A C B A C u u u =（A ）Q P ⊆ （B ）P Q ⊆（C ）Q C P R ⊆ （D ）P C Q R ⊆（二）、集合间的运算例3．已知全集{0,1,2,3,4}U =,集合{1,2,3}A =,{2,4}B =,则B A C U )(为（ ） A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4} D ．{0,2,3,4}例4．已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3} , (C U B)∩A={9},则A= （A ）.{1,3} (B).{3,7,9} (C).{3,5,9} (D).{3,9} 例5. 已知集合A={}1,),(22=+y x y x y x 为实数，且，B={}1,),(=+y x y x y x 为实数，且，则A ⋂B 的元素个数为 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1例6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .（三）、由集合间的关系及运算求字母参数的值或范围例7．已知集合{{},1,,A B m A B A ==⋃=,则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3例8． 已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）（四）集合中的新定义问题例9.定义集合运算：{}.,,B y A x xy z z B A ∈∈==*设{}{}2,0,2,1==B A ,则集合B A *的所有元素之和为 （ D ）A.0B. 2C. 3D. 6例10.在集合{}d c b a ,,,上定义两种运算○+和○*如下那么d ○*a (○+=)c （ ）A.aB.bC.cD.d 例11设{}{}{}等于则若且N M N M B x A x x B A -==∉∈=-,10,9,8,7,8,7,6,5,4, ( ) A ．{4，5，6，7，8，9，10}B ．{7，8}C ．{4，5，6，9，10}D ．{4，5，6}四． 课后作业1．设集合{,}A a b =,{,,}B b c d =,则AB =（ ）A ．{}bB ．{,,}b c dC ．{,,}a c dD ．{,,,}a b c d2．设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q={3,4,5},则P∩(C U Q) =（ ）A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}3. 已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3},集合B={2,4,5,6,8},则()()U U C A C B ⋂=（ ）A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}4．已知集合A={x |x 2-x -2<0},B={x |-1<x <1},则（ ）A ．A ⊂≠BB ．B ⊂≠AC ．A=BD ．A∩B=∅5．已知集合{}{}1,2,3,4,2,2M N ==-,下列结论成立的（ ）A ．N M ⊆B ．M N M ⋃=C ．M N N ⋂=D ．{}2M N ⋂=6．已知集合{}|A x x =是平行四边形,{}|B x x =是矩形, {}|C x x =是正方形,{}|D x x =是菱形,则（ ）A ．AB ⊆B ．C B ⊆C ．D C ⊆D ．A D ⊆7．已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,则B 中所含元素的个数为 （ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．108．若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．设集合M={-1,0,1},N={x|x 2≤x},则M∩N= （ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{-1,1}D ．{-1,0,0} 10. 设全集U 为R,，集合2{|50}A x x x q =-+=，2{|120}B x x px =++=，若{}{}4)(2)(==A C B B C A U U ，，求实数p 、q 的值及B A .。
集集合知识点总结
集集合知识点总结一、集合的基本概念定义：集合是由一些确定的、不同的元素所构成的整体。
表示：常用大写字母（如A、B、C等）表示集合，小写字母（如a、b、c 等）表示集合中的元素。
元素的特性：集合中的元素具有无序性、互异性和确定性。
二、集合的分类有限集：元素个数是有限的集合。
无限集：元素个数是无限的集合。
空集：不含任何元素的集合，记作∅。
三、集合的基本运算并集：两个集合中所有元素的集合，记作A∪B。
交集：两个集合中共同元素的集合，记作A∩B。
差集：在一个集合中存在而在另一个集合中不存在的元素的集合，记作A-B或A\B。
对称差集：属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合，记作A△B。
四、集合的关系子集：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称A是B 的子集，记作A⊆B。
真子集：如果A是B的子集且A不等于B，则称A 是B的真子集，记作A⊂B。
超集：如果A是B的子集，则称B是A的超集。
相等：如果两个集合互为子集，则它们相等，记作A=B。
五、集合的运算定律交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
德摩根定律：(A∪B)'=A'∩B'，(A∩B)'=A'∪B'（其中'表示补集）。
六、特殊集合全集：研究问题中，考虑的所有对象的集合，记作U。
补集：在一个集合的全集中不属于该集合的元素构成的集合称为该集合的补集。
以上是对集合知识点的基本总结，涵盖了集合的基本概念、分类、基本运算、关系、运算定律以及特殊集合等方面的内容。
掌握这些知识点有助于更好地理解和应用集合论的相关概念和方法。
《集合》知识点总结
《集合》知识点总结一、集合的基本概念1、集合：一些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象称为元素。
2、集合的表示：用大括号{}或小括号()表示，元素与集合的关系为“属于”或“不属于”。
3、集合的特性：确定性、互异性、无序性。
二、常见集合的表示方法1、自然数集：N2、整数集：Z3、有理数集：Q4、实数集：R三、集合的运算1、交集：取两个集合的公共元素组成的集合，记作A∩B。
2、并集：把两个集合合并起来，记作A∪B。
3、补集：把属于一个集合但不在该集合的元素组成的集合，记作CuA。
四、集合间的关系1、子集：若一个集合A的每一个元素都是另一个集合B的元素，则称A是B的子集。
2、真子集：如果A是B的子集，且A≠B，则称A是B的真子集。
3、相等：当且仅当两个集合的元素完全相同，且不强调元素的顺序时，两个集合相等。
五、集合的基本运算性质1、若A、B为两个集合，有A∩B=B∩A。
2、若A、B为两个集合，有Cu(A∩B)=CuA∪CuB。
3、若A、B、C为三个集合，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
4、若A、B为两个集合，有(CuA)∪B=(A∪B)∩CuB。
5、若A、B、C为三个集合，有(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。
6、若A、B为两个集合，有(CuA)∩B=Cu(A∪B)。
7、若A、B为两个集合，有(CuA)∪(CuB)=Cu(A∩B)。
集合知识点总结一、集合、元素及其关系1、集合的基本概念：集合是一个不重复的元素的集合，常用大写字母表示集合，如A={1，2，3}，B={apple，banana，cherry}。
2、集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。
列举法是把集合中的元素一一列举出来，适用于元素数量较少的集合；描述法是用集合中元素的共同特征来描述集合，如自然数集N={n|n是自然数}。
3、集合的元素关系：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称A是B的子集，记作A⊆B。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中重要的概念，它是由一组确定的对象组成的。
在数学和计算机科学中，集合是一个基础概念，它被广泛应用于各个领域。
本文将对集合的定义、运算、性质以及常见应用进行总结。
一、集合的定义集合是指具有某种特定特征的一组对象的集合体。
集合中的对象称为元素。
可以用大写字母表示集合，用小写字母表示元素。
例如，集合A={1, 2, 3}，其中的元素1、2、3属于集合A。
集合可以用描述法或列举法表示。
描述法是通过描述集合的成员所满足的条件来表示集合，例如A={x|x是正整数，1≤x≤5}。
列举法是直接列举出集合中的元素，例如A={1, 2, 3}。
二、集合的运算1. 并集：集合A和集合B的并集是包含了A和B的所有元素的集合，记作A∪B。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集：集合A和集合B的交集是包含了A和B共有元素的集合，记作A∩B。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
3. 差集：集合A和集合B的差集是属于A但不属于B的元素的集合，记作A-B。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。
4. 补集：集合A相对于全集U的补集是指不属于A的所有元素的集合，记作A'。
例如，A={1, 2}，全集U={1, 2, 3, 4, 5}，则A'={3, 4, 5}。
三、集合的性质1. 互异性：集合中的元素各不相同，即集合中的元素是互不相等的。
2. 无序性：集合中的元素之间没有顺序关系，集合中元素的排列顺序对集合的定义没有影响。
3. 包含关系：一个集合包含另一个集合，当且仅当第一个集合中的所有元素都是第二个集合中的元素。
4. 幂集：集合A的幂集是包含A的所有子集的集合。
例如，A={1, 2}，则A的幂集为{{}, {1}, {2}, {1, 2}}。
四、集合的应用1. 概率论：在概率论中，集合被广泛应用于描述随机事件，例如样本空间、事件等。
(完整版)集合知识点归纳
集合的基础知识一、重点知识归纳及讲解1．集合的有关概念一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素⑴集合中的元素具有以下的特性①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素；而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的.②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}.③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合.（2）集合的元素某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a 是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.（3）集合的分类：有限集与无限集.（4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集.描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集.使用描述法时，应注意六点：①写清集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”；⑤所有描述的内容都要写在大括号内；⑥用于描述的语句力求简明、确切.图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示.如：A={1，2，3，4}例1、设集合A={a，a+b, a+2b},B={a,ac,ac2} ,且A=B，求实数c值．分析：欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac两种情况．解析：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a+ ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时无解．（2）a+b= ac2且a+2b=ac，消去b得：2ac2-ac-a=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴2c2-c-1=0，即c=1或，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，∴．点评：两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验，去伪存真．（5）常用数集及专用记号（1）非负整数集（或自然数集）N={0，1，2，……}（2）正整数集N*（或N＋）={1，2，3，……}（3）整数集Z={0，¡1，¡2，……}（4）有理数集Q={整数与分数}（5）实数集R={数轴上的点所对应的数}.强调：实数集不可记为{R}或{实数集}，0≠≠{} ，≠{0}，≠{空集}.强调：排除0和负数的数集也可表示为R*、Z*、Q*或R＋、Z＋、Q＋．2．基本运算1. 交集（1）定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组合的集合叫A与B的交集．记作，即{，且}（2）交集的图示上图阴影部分表示集合A与B的交集．（3）交集的运算律，，，2. 并集（1）定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作，即{，或}（2）并集的图示以上阴影部分表示集合A与B的并集．（3）并集的运算律，，，3、补集（1）定义：设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）.记作，即C S A=（2）补集的图示4、常用性质A A=A，AΦ=Φ，A B=B A，A B A，A B B．A A=A，AΦ=A，A B=B A，A B A，A B B．，，例2、集合{，且}，A U，B U，且{4，5}，{1，2，3}，{6，7，8}，求集合A和B．分析：利用集合图示较为直观．解：由{4，5}，则将4，5写在中，由{1，2，3}，则将1，2，3写在集A中，由{6，7，8}，则将6，7，8写在A、B之外，由与中均无9，10，则9，10在B中，故A={1，2，3，4，5}，B={4，5，9，10}．5、容斥原理：有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．二、难点知识剖析1、要注意区分一些容易混淆的符号（1）与的区别：表示元素与集合之间的关系，例如1N，-1N等；表示集合与集合之间的关系，例如N R，等．（2）a与{a}的区别：一般在，a表示一个元素，{a}而表示只有一个元素a的集合．例如，0{0},{1}{1,2,3}等，不能写成0={0}，{1}{1,2,3}，1{1,2,3}．（3）{0}与Φ的区别：是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，因此Φ{0}但不能写成Φ={0}，Φ{0}．例3、已知集合M={x|x≤3}，集合P={x|x<2}，设，则下列关系式中正确的一个是（）A、P∈MB、a∈MC、P MD、{a－3}P解析：集合M、P都是部分实数组成的集合，而a是一个具体的实数，故M、P间的关系应用“包含”，“不包含”来确定，而对a与集合M、P的关系只能用“属于”，“不属于”来确定，比较实数的大小，易判断C正确.小结：正确使用集合的符号是正确分析、解答问题的关键．2．理解集合所表示的意义（1）对由条件给出的集合，要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．如{y R|y=}表示的为函数y=中y的取值范围，故{y R|y=}={y R|y};而{x R|y=}表示y=的x的取值范围，故{x R|y=}=R．（2）用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或韦恩图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用韦恩图表示，容易被忽视，如在关系式B A中，易漏掉B=Φ的情况．例4、设A=，B=（1）若A B=B，求的值；（2）若A B=B，求的值．分析：明确A B=B和A B=B的含义，根据问题的需要，将A B=B和A B=B转化为等价的关系式：和，是解决本题的关键．解析：首先化简集合A，得A={-4，0}（1）由于A B=B，则有可知集合B或为空集Φ，或只含有根0或-4．①若B=Φ，由得②若，代入得：，当时，B=，合题意．当时，B=，也符合题意．③若，代入得：，当时，②中已讨论，合题意当时，B=不合题意．由①、②、③得，．（2）因为A B=B，所以，又A={-4，0}，而B至多只有两个根，因此应有A=B．由（1）知，【点评】：一般对于A B=B和A B=B这种类型的问题，都要注意转化为等价的关系式：和，且在包含关系中，注意不要漏掉B=的情况．并且当A、B中的元素的个数相同时，还存在或的情况时，只有A=B这一种情况．子集（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。
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《集合》知识点总结
一、集合有关概念
1．集合的含义
一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集） 2．集合中元素的三个特性：确定性 互异性 无序性
3．集合的表示：{}⋅⋅⋅如：{}我校的篮球队员
，{}太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋用拉丁字母表示集合：A ={}我校的篮球队员
,B ={}1,2,3,4,5 集合的表示方法：列举法与描述法。
列举法：{,}a b ⋅⋅⋅,c,d,
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{|32}x x ->
语言描述法：例：{}不是直角三角形的三角形
Venn 图:
注：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 *
N N +或 整数集Z 有理数集Q 实数集R
4．集合的分类：
有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合
空集 不含任何元素的集合 例：2
{|5}x x =-
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集 注意：A B ⊆有两种可能
（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。
反之，集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆
/B 或B ⊇/A 2. “相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
例：设A={x|2
10x -=} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
① 任何一个集合是它本身的子集. A ⊆A
②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作B A ⊆ (或B ⊇
/A) ③如果A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C
④如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为∅
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
结论：有n 个元素的集合，含有2n 个子集，12n -个真子集
（2）交、并、补集的混合运算
①集合交换律 A B B A ⋂=⋂ A B B A ⋃=⋃
②集合结合律 ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂ ()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃
③集合分配律 ()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃ （3）容斥定理
()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂
()()()()()card A B C card A card B card C card A B ⋃⋃=++-⋂
()()()card A B card B C card A B C -⋂-⋂+⋂⋂
card 表示有限集合A 中元素的个数。