角平分线的性质定理PPT课件

(2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.
探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，
PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E A 求证: PD=PE
D
证明： 在△PDO和△PEO中
C
1
P
2
O
EB
∵OC平分∠ AOB ∴ ∠1= ∠2
△PEO(AAS)
∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2
F
E
CD=DE （已证）
CD
B
DF=DB （已知）
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且
BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
A
证明：
E
F
∵ AD平分∠CAB
DE⊥AB，DF⊥AC
E
N
C
C E
O
M
O
B
M
如何用尺规作角的平分线？
作法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢＮ于．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1 ＭＮ的长为
2
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
A
证明:连结MC,NC由作法知: M
C
在△OMC和△ONC中
B
C E
2、证明：
A
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边） D
B
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 C
对E 应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
活动 3
N
根据角平分仪的制作原
理怎样作一个角的平分线？（不用
角平分仪或量角器）A
OM=ON MC=NC
O
N
B
OC=OC
∵△OMC≌△ONC(SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分
线.
C
1〉平分平角∠AOB
BO
A
D
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
活 动 5 探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三 角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折 叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
B
D
C
∴ DE ＝ DF(角平分线的性质)
在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,
DE=DF （已证）
BD=CD（已知）
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
∴ EB=CF （全等三角形对应边相等）
1：画一个已知角的角平分线； (注意作图痕迹和几何语言的表达)
及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
还需要我们找什么条件
DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角 平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。
证明：
A
∵ AD平分∠CAB
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）
∴ CD＝DE (角平分线的性质)
在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
A E
D
B
C
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长。
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2019/7/30
角平分线的性质
第一课时
活动 1
不利用工具，请你将一张 用纸片做的角分成两个相等的角。你 有什A 么办法？（对折）
再打开纸片 ，看 C 看折痕与这个角有何关系？
O
B
活动 2
如果前面活动中的纸片换成木 板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢A ？
1、如图，是一个角平分仪， 其中AB=AD,BC=DC。 将点A放在角的顶点,AB和AD沿 D 着 角 的 两 边 放 下 , 沿 AC 画 一 条 射 线 AE,AE 就 是 角 平 分 线 ， 你 能说明它的道理吗?
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
A
如 图 ： 在 △ ABC 中 ， F
E
∠C=90° AD是∠BAC的平分线
，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF
；
求证：CF=EB
CD B
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要
证 它 们 所 在 的 两 个 三 角 形 全 等 , 即 Rt△CDF ≌
Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),
OP=OP ∴ △PDO ≌
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴ ∠PDO= ∠PEO
∴PD=PE
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
A
D
∵点P是∠AOB平分线上的一点
又PD⊥OA，PE⊥OB
∴ PD=PE
O
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
P
EB
应用定理的前提条件是：
有角的平分线，有垂直距离
C
A E
C

D
2.如图,在△ABC中，AC⊥BC， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB， AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的 长。
例1 已知：在等腰Rt△ABC中，AC ＝ BC ∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E。 求证：BD＋DE ＝AC A
E
变式
C
D
B
已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
定理的作用： 证明线段相等
EA
如图所示OC是∠AOB 的
平分线,P 是OC上任意一
O
P
C 点,问PE=PD?为什么?
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是 角平分线上任一点这个角两边 的距离,所以不一定相等直
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2019/7/30
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路 距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米， 应建在何处？（比例尺 1：20 000）
角的平分线上的点到角的两边的距离 相等．
3：角平分线的性质的应用
1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
A
D
思考：由PD=PE能不能得 到PD⊥OA，PE⊥OB？
C
P·
O
E B
提高与拓展
A
1、如图，连接角平分仪的 B
D
边BD、AC，那么AC与BD
有什么关系？为什么?