三角形全等之倍长中线(习题及答案)

三角形全等之倍长中线（习题）
例题示范
例1：已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．
求证：AE平分∠BAC．
【思路分析】
读题标注：
见中线，要倍长，倍长之后证全等．
结合此题，DE=EC，点E是DC的中点，考虑倍长，有两种考虑方法：
①考虑倍长FE，如图所示：②考虑倍长AE，如图所示：
（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）
倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF≌△CEG，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可．
【过程书写】
证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG
．
在△DEF 和△CEG 中，
ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DEF ≌△CEG （SAS ）
∴DF =CG ，∠DFE =∠G
∵DF =AC
∴CG =AC
∴∠G =∠CAE
∴∠DFE =∠CAE
∵DF ∥AB
∴∠DFE =∠BAE
∴∠BAE =∠CAE
∴AE 平分∠BAC
巩固练习
1.已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的
中点，且AD 是整数，则AD =________
．
2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，
且AD=DE，EF∥BC交BD于F．
求证：AB=EF．
3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以
AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．
求证：EF=2AD．
4.如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为
∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA 的延长线于G．
求证：BF=CG．
5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F
是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．
思考小结
1.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC
．
比较下列两种不同的证明方法，并回答问题．
方法1：
如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE
在△BDE 和△CDA 中
BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDE ≌△CDA （SAS ）
∴AC =BE ，∠E =∠2
∵AD 平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB =BE
∴AB =AC
方法2：
如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E
∵BE ∥AC
∴∠E =∠2
在△BDE 和△CDA 中
2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDE ≌△CDA （AAS ）
∴BE =AC
∵AD 平分∠
BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
相同点：
两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等．
不同点：
倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2.利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的
一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB的
中线．求证：CD
1
2
AB．
【参考答案】
巩固练习
1.2
2.证明略（提示：延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，
证明△ADG≌△EDF，转角证明AB=EF）
3.证明略（提示：延长AD到点G，使得GD=AD，连接CG，
证明△ABD≌△GCD，△EAF≌△GCA）
4.证明略（提示：延长FE到点H，使得EH=FE，连接CH，证
明△BFE≌△CHE，转角证明BF=CG）
5.证明略（提示：延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF
≌△GCF，转角证明AF⊥EF）
思考小结
1.倍长中线SAS AAS角
2.证明略。