二面角典型习题

二面角

1.二面角的计算：1）定义法；

2）三垂线定理法；3）垂面法；4）面积射影法；

例1、已知P 是二面角棱上一点，过P 分别在内引射线PM ，PN ，且

AB αβ--αβ、，求此二面角的度数。

45,60BPM BPN MPN ∠=∠=︒∠=︒例2、已知P 为锐二面角棱上的点，，则二

l αβ--,4530PQ PQ l αβ

⊂︒︒与成，与成

面角的度数是多少。

l αβ--例3、已知二面角的度数为，在面内有一条射线AB 与棱l 成锐角，与面

l αβ--θαδ，则必有（ ）

βγ成角（A ） （B ）sin sin sin θδγ=sin sin cos θδγ=（C ） （D ）cos cos sin θδγ=cos cos cos θδγ

=

例4、在的二面角的面、内分别有A 、B 两点，且A 、B 到棱l 的距离120︒l αβ--αβAC 、BD 分别长2、4，AB=10，求：（1）直线AB 与棱l 所成角的正弦值。（2）直线AB 与平面所成角的正弦值。

β例5、已知二面角为，上的射影，且C 在棱

MN αβ--60︒,,A B BC AB αββ∈∈为在

MN 上，AB 与所成角为，且，求线段AB 的长。

β60

︒45AC MCB =

∠=︒例6、已知二面角的度数为，的面积为S ，且DC=m ，

DC αβ--θ,,A B ADC αβ∈∈∆，AB 与平面成角，当变化时，求面积最大值。

AB DC ⊥β30︒θDBC ∆

i

n

例7、已知C是以AB为直径的圆周上的一点，，

30

ABC

∠=︒

，求二面角A-

45

PA ABC PBA

⊥∠=︒

面，

PB-C的正弦值。

例8、在正方体中，利用解下列各题

1111

ABCD A B C D

-cos

S

S

θ=射影

1）P、Q分别为的中点，求平面与底面ABCD所成角的余弦值1

,

A A AB

1

C PQ

2）求二面角的大小；

11

C B

D C

--

3）M是棱BC的中点，求二面角的余弦值。

111

D B M C

--

例9、已知D 、E 分别是边长为a 的等边三角形ABC 的边AB 、AC 上的点，DE//BC ，现沿DE 将三角形ADE 折起，是二面角A-DE-B 成60度角，当DE 在什么位置时，使折起后的顶点A 到BC 边距离最短？最短是多少？

例10、等腰Rt 和Rt 有公共边AC ，，

ADC ∆BCA ∆90,60ADC BCA ABC ∠=∠=︒∠=︒以AC 为棱折起多少度的二面角时，有BD=BC ？

两个平面垂直

1、两个平面垂直的证明1）定义2）判定定理

2、两个平面垂直的性质

例1、已知ABCD 为矩形，E 为半圆CED 上一点，且平面ABCD 平面CDE ⊥1）求证DE 是AD 与BE 的公垂线2）若AD=DE=

AB ，求AD 与BE 所成角的大小。1

2

例2、等腰三角形ABC 的底BC=，高AD=1，现沿AD 将折起，使二面角B-AD-C

ABD ∆为60度，求此时AB 与面ACD 所成角的正弦值。

例3、在空间四边形ABCD 中，已知AB=BD=DC=CA ，M ，N ，P ，Q 分别是CD ，DB ，BA ，AC 的中点，K 为BC 中点，求证：平面KAD 平面PQMN

⊥

例4、在正方体中，已知P ，Q ，R ，S 分别是的中1111ABCD A B C D -11111,,,A D A B AB BB 点，求证：平面PQS 平面.

⊥1B RC 例5、已知PA 矩形ABCD 所在平面，M,N 分别是AB ，PC 的中点⊥1）求证，MN AB

⊥2）若平面PDC 与平面ABCD 成45度角，求证：平面MND 平面PDC

⊥例6、已知直角三角形ABD 和等腰直角三角形CBD 所在平面互相垂直，且

,在AB 上取一点P,当P 在什么位置时，平面PCD 与平面BCD 成60

90ADB DBC ∠=∠=︒度的二面角？

例7、已知Rt 三角形ABC 的两直角边AC=2，BC=3，P 是斜边AB 上的点，以CP 棱折成直二面角A-CP-B ，若折后

，试求二面角P-AC-B 的余弦值。

例8、M ，N 分别是正方体面对角线上的点，且

1111ABCD A B C D -11,A B B D ，求证MN 是异面直线的公垂线。1111111

,33

A M A

B B N B D =

=11,A B B D