第7章 参数估计

n ( z 2 ) 2 (1 )
E2 (1.96) 2 0.9 (1 0.9) 0.05 2 138.3 139
应抽取139个产品作为样本
课堂练习

据统计，具有工商管理学士学位的大学 毕业生年薪的标准差约为2000元，假定 想要以95%的置信水平估计年薪的置信区 间，希望的误差范围为400元，应抽取多 少具有工商管理学士学位的大学毕业生 做调查？ •应抽取97人。
2) 计算样本的均值和标准差
x 39.5
2 n
s 7.77
n S n
3) 计算样本均值的方差、标准差：
x
4) 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
s 7.77 39.5 1.645 2 n 36 39.5 2.13 x z
37.37,41.63

n
x z / 2
s n s n
正态分布
小样本 （n<30）
x z / 2

n
x z / 2
非正态分布 大样本
（n>=30）
x t / 2
s n
x t / 2
s n
7.2.2 总体比例的区间估计
假定条件 当样本容量很大（np大于或等于5）时，样 本比例的抽样分布可由正态分布来近似。 样本比例经标准化后的随机变量Z服从标准 正态分布，即：
2）区间估计

给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本 统计量加减抽样误差（边际误差）得到。
（区间估计的基本原理 ：167.161页。）

根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量 比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平 是95% 样本统计量 置信区间
1460
1460
1470
1470
解：已知Ｘ~N(，2)，n=16, 1- = 95%， 1) 查t分布表（456页）：t0.0.25（n-1）=2.131 2) 根据样本数据计算得：
x 1490
3) 4)
s 24.77
样本均值的标准差： x
24.77 6.1925 16
总体均值在95%置信水平下的置信区间为
(点估计)
置信下限
置信上限
区间估计的图示
X z 2 X
- 2.58x -1.65 x
X

+1.65x + 2.58x
X
-1.96 x
+1.96x
90%的样本 95% 的样本 99% 的样本
置信区间

由样本统计量所构造的总体参数的估计 区间称为置信区间 区间的最小值称为置信下限，最大值称 为置信上限。
影响置信区间宽度（估计结果的准确程度） 的主要因素 1.总体数据的离散程度，用 来测度
2.样本容量， X n
3.置信水平 (1 - )，影响 z 的大小
7.3

必要样本容量的确定
一、必要样本容量的影响因素 二、必要样本容量的确定 三、应注意的问题
7.3.1影响必要样本容量的因素
x t s
/2
n
/2

应根据概率α 查t分布表（456页）求t
值。
t 分布
t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比 正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之 为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐 趋于正态分布
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
t (df = 5)
Z
t 分布与标准正态分布的比较
X
不同自由度的t分布
t
例题分析
【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一 批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下 。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间。
16灯泡使用寿命的数据 1510 1450 1480 1520 1480 1490 1480 1510 1530 1500 1520 1510
36个投保人年龄的数据
23 36 42
35 42 53
39 46 45
27 43 54
36 31 47
44 33 24
34
39 34
28
49 39
39
38 45
36
34 48
44
48 45
40
50 32
解：已知n =36, 1- = 90% 1) 确定z值, z/2= z0.05 =1.645
置信区间与置信水平
均值的抽样分布
/2
x
1-
/2
x
(1 - ) % 区间包含了
X
% 的区间未包含
正态分布曲线下右侧面积
将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包 含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平， 或称为置信系数。 比较常用的置信水平及正态分布曲线下右侧面积 为α /2时的z值zσ /2如下表所示。



p

1 p(1 p) n n
4.计算置信上下限，得出估计区间。
例题分析
【例】某城市想 要估计下岗职工 中女性所占的比 例，随机抽取了 100个下岗职工， 其中65人为女性 职工。试以95% 的置信水平估计 该城市下岗职工 中女性比例的置 信区间。
解： 1) 求样本比例 p＝65/100=65% 2) 根据 1-= 95%，查表得z0.025=1.96 3) 求样本比例的标准差：
2
n
1. 2.
E的取值一般小于0.1 未知时，可取最大值0.5
例题分析
【例】根据以往
的生产统计，某 种产品的合格率 约为90%，现要 求边际误差为5% ，在求95%的置 信区间时，应抽 取多少个产品作 为样本？
解:已知=90%，E=5%，1-=0.95， 查表得Z/2=1.96，
应抽取的样本容量为
1.无偏性


无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数。 样本的 x 、p是总体均值和比例的无偏估计量。
ˆ P( )
无偏 有偏
A
B

ˆ
2.有效性
对同一总体参数的两个无偏估计量， 有更小标准差的估计量更有效
ˆ P( )
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ

3.一致性
1.估计总体均值时确定样本容量的公式：
n Z 2 E
2
2
2
重复抽样
不重复抽样
Z N n 2 2 2 E NZ
2
式中： E z 2
n

【例】拥有工商 管理硕士学位的 毕业生年薪的标 2 2 准差大约为2000 (z ) 2 n 2 元，假定想要估 E 计年薪95%的置 2 2 (1.96) 2000 信区间，希望边 2 400 际误差为400元， 96.04 97 应抽取多大的样 即应抽取97人作为样本。 本容量？

随着样本容量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数
ˆ P( )
较大的样本容量
B A
较小的样本容量

ˆ
7.1.3 参数估计的方法
估 计 方 法
点
估
计
区间估计
1）点估计
点估计就用样本的估计量直接作为总体参 数的估计值 优点：简单、具体明确。 缺点：无法说明估计结果的误差大小；无 法说明估计结果的把握程度。
p p(1 p) 0.651 0.65 n 100
p(1 p) n
4)
构建置信区间：
p z 2 0.65(1 0.65) 100 55.65%,74.35% 65% 1.96
以95%的概率估计，该城市下岗职 工中女性比例的置信区间为 55.65%~74.35% 。
x z / 2

n
x z / 2
s n
构建估计区间步骤

1.计算样本的均值 X 和标准差 S 2 ； 2.确定置信水平1–α 、z值； 3.计算样本均值的方差、标准差：
2 x n 2
x n n 2

4.计算置信上下限，得出估计区间。
例题分析
【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随 机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。 试建立投保人年龄90%的置信区间。
Z P
(1 )
n
~ N (0,1)

根据正态分布的性质可以构造出总体比例在1–α 置信水平下的置信间为 ：
pZ 2 (1 ) n

实际上π 未知，可以样本的比例替代，所以总体 比例的置信区间可表示为：
pZ
/2
p(1 p) n
构建总体比例估计区间的步骤
1.计算样本的比例； 2.确定置信水平、z值； 3.计算样本比例的标准差：
即：以 90%的概率估计，投保人平均年龄的置信区间 为37.37岁~41.63岁
2. 正态总体、方差未知、小样本

由于用样本方差计算的标准值服从自由度为 n-1的t分布，使用 t 分布统计量
t X S n ~ t (n 1)

根据t分布建立的总体均值μ 在1–α 置信水平 下的置信区间为
指标名称 均值 比例 方差
总体参数
样本统计量

X


2
P
S
2
7.1.1 估计量与估计值
估计量：用于估计总体参数的样本指标 如样本均值，样本比例、样本方差等 ˆ 总体参数用 表示，估计量用 表示 估计值：统计量的具体值 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值