九年级数学课题12：商品利润最大的问题

课题：商品利润最大的问题

【学习目标】

1．能够用二次函数知识解决商品最大利润问题．

2．能够根据实际问题构建二次函数模型．

【学习重点】

用二次函数知识解决商品最大利润问题．

情景导入生成问题

旧知回顾：

某市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务．甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元六折优惠．且甲、乙两厂都规定：一次印刷数至少是500份．

(1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？

解：(1)y甲＝1.5×80%·x＋900＝1.2x＋900(x≥500)；

y乙＝1.5x＋900×60%＝1.5x＋540(x≥500)；

(2)由题意得1.2x＋900＝1.5x＋540，∴x＝1 200.

∴当印刷1200份时，两个印刷厂费用一样；当印刷数量大于1200份时，甲印刷厂费用少；当印刷数量大于500小于1200份时，乙印刷厂费用少．

引入：正如一次函数能解决经济问题一样，二次函数在商品利润问题中的应用也十分广泛，让我们一起进入今天的学习吧．

自学互研生成能力

知识模块一利用二次函数求价格调整中的最大利润

【自主探究】

阅读教材P50“探究2”，解决下面的问题．

仿例：某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元．该商品每月的销量就减少10件．

(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的函数关系式；

(2)单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？

解：(1)y＝(80－60＋x)(300－10x)＝－10x2＋100x＋6000；

(2)y＝－10x2＋100x＋6000＝－10(x－5)2＋6250，

∵a＝－10<0，∴当x＝5时，y有最大值，其最大值为6250，

即单价定为65元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元．

知识模块二其他类型的利润问题的最值

【合作探究】

典例：某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75.其图象如图所示．

(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？

解：(1)y＝ax2＋bx－75图象过点(5，0)，(7，16)．

y＝－x2＋20x－75的顶点坐标是(10，25)．

当x＝10时，y最大＝25.

答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．

(2)∵函数y＝－x2＋20x－75图象的对称轴为直线x＝10，

可知点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)．

又∵函数y＝－x2＋20x－75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16.

答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．

交流展示生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一利用二次函数求价格调整中的最大利润

知识模块二其他类型的利润问题的最值

当堂检测达成目标

【当堂检测】

1．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A)

A．5元B．10元C．0元D．6元

2．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，每件的售价应为25元．

3．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：

每投入x万元，可获得利润P＝－

1

100(x－60)2＋41(万元)．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润

的最大值是205万元．

【课后检测】见学生用书

课后反思查漏补缺

1．收获：________________________________________________________________________

2．存在困惑：________________________________________________________________________