对面积的曲面积分的可代入性和对称性

对面积的曲面积分的

可代入性和对称性

第十二章 曲面积分

一、对面积的曲面积分的可代入性

对面积的曲面积分中被积函数可代入性：是指可以将曲面的表达式代入被积函数。所以x , y , z 满足曲面的方程.

是定义在曲(,,)f x y z

面 上的，也就是说以 f (x , y , z ) 的自变量x , y , z 为坐标的点P 就是曲面Σ上,比如：设 f (x , y , z )=xyz 是定义在曲面Σ：z = x 2 + y 2 上，

从而 f (x ,y ,z ) 就可以写成 xy (x 2+y 2)，即f (x ,y ,z ) = xy (x 2+y 2).

因为 f 中的x , y , z 是约定在曲面之上的，所以 z 的取值为x 2 + y 2 , 而点的坐标必须满足曲面的方程，

而二重积分计算时则不能把边界曲线的表达式代入被积函数，满足的关系式通过不等式描述，一般含有“≤”或“≥”。

因为被积函数中的x , y 是平面区域D 内部的点对应的x , y ，此时x , y +≤+⎰⎰2222

1

()d ,x y x y x y σ比如：中的取值限定在圆内，满足的是x 2 + y 2 ≤ 1，所以

22221()d x y x y σ+≤+⎰⎰+≤≠⎰⎰2211d .

x y σ

二、对面积的曲面积分的对称性

定义1设曲面∑上任取一点P(x, y, z)，若(x, y, – z)对应的点Q也在∑上，或者说：将∑的关系式中“z”换成“–z”，而关系式不变，

则称曲面∑关于xOy面对称.

【曲面还可以关于yOz面对称或zOx面对称。】

例如： Σ的关系式为：x2 + y2 + z2= a2 (z ≥ 0), 若将z改成-z，

则关系式变成了： x2 + y2 +(-z)2= a2 (-z ≥0),即x2 + y2 + z2= a2 (z ≤ 0),

关系式发生了变化，即曲面发生了变化，所以曲面不关于xOy面对称。当然，如果大家把x改成-x,则关系式不变，所以曲面关于yOz面对称。

定义2设∑是光滑或分片光滑的曲面，若将∑的方程“x”和“y”交换，得到的方程所表示的曲面仍为∑，则称曲面∑关于平面

y = x 对称.

【类似还有关于平面 x = z, y = z 对称的情况。】

例如： Σ的方程为：x2 + y2 + z2= a2 (z ≥ 0), 若将x和y互换改成，

得到： y2 + x2 + z2= a2 (z ≥0),仍为原曲面的方程，所以曲面是关于

y = x 对称.

但是，如果大家把 x和z互换,则关系式变了，曲面不关于x = z对称。

1.对面积的曲面积分的奇偶对称性

xOy ∑设曲面关于面对称，(,,)f x z y z 关于若成奇函数，即

--(,,)=(,,)f x y f x y z z ，

∑=⎰⎰(,,)d 0f x y z S 则；(,,)f x z y z 关于若成偶函数，即-(,,)=(,,)f x y f x y z z ，

∑∑=⎰⎰⎰⎰1

(,,)d 2(,,)d f x y z S f x y z S 则，1xOy ∑∑其中为在面上方的部分.【类似的还有∑关于其他坐标面对称时的奇偶对称性。】

2.轮换对称性∑∑

=⎰⎰⎰⎰(,,)d (,,)d .

f z S f z x S y x y 则=y x ∑关于平面对称，称这种对称性为对面积的曲面积分的轮换对称性。比如++=222

:1,x y z ∑则

∑⎰⎰d z S ∑=⎰⎰d x S ∑=⎰⎰d y S ∑=++⎰⎰1()d .3x y z S

例1()2221:1(0),.

x y z z ∑++=≥∑∑设为在第一卦限部分,下列等式成立的是=⎰⎰⎰⎰1().d 4d A x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰1().d 4d B y S y S ∑∑=⎰⎰⎰⎰1().d 4d C z S x S

∑∑=⎰⎰⎰⎰1().d 4d D xyz S xyz S ∑∑x

y z O 解yOz ∑曲面关于面对称，

(),()A D x xyz x 选项中，被积函数或都是关于成奇函数，=⎰⎰⎰⎰d =d 0.x S x yz S ∑∑

因此10,0,

x xyz ∑≥≥而上：>>⎰⎰⎰⎰11d 0,d 0x S x yz S ∑∑从而，(),()A D 故选项不正确。()()B C 类似方法选项也不正确，下面来看选项。

O x y z 对面积的曲面积分的对称性

例1()2221:1(0),.x y z z ∑++=≥∑∑设为在第一卦限部分,下列等式成立的是续解d z S ∑⎰⎰yOz ∑关于面对称，z x 被积函数关于是偶函数，2221:1(00,0)x y z z x y ∑++=≥≥≥,满足轮换对称性，11

4d =4d ,z S x S ∑∑所以⎰⎰⎰⎰11

22d 4d .

z S z S ∑∑=⋅=⎰⎰⎰⎰2d z S ∑∑∑，为的前半部分''

=⎰⎰=⎰⎰⎰⎰1().d 4d A x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰1().d 4d B y S y S ∑∑=⎰⎰⎰⎰1().d 4d C z S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰1

().d 4d D xyz S xyz S ∑∑

zOx '∑关于面对称，d z S ∑⎰⎰()C 故选项正确。

小结

利用可代入性或对称性，可以化简对面积的曲面积分，其中对称性与三重积分类似，只是将空间立体换成了空间曲面。

被积函数若为多项的和差，可以考虑奇偶对称性；如果曲面具有轮换对称性

，可以考虑轮换对称性.小结