机械波1

中x = ut，说明t时刻x处质元的振动状态在t +t时传到了x +x处。 4. 波动方程还反映了波的时间和空间的双重周期性。周期T代表了
时间周期性（t时刻和t +T时刻的波形曲线完全重合）。波长代表了空间 周期性（波形在空间以为周期分布着，称波的“空间周期”）。
四、波的能量、能量密度和能流
波的能量 能量密度 能量密度的平均值： 能流 单位时间内通过S面的能量。 平均能流： 能流密度（波的强度） 通过垂直于传播方向的单位面积上的平均 能流。即。
1、某平面简谐波在t=0时的波形图和原点（x=0处）的振动曲线分
别如图5—10（a）和图5—10（b）所示，求此平面波的波动方程。
y(cm)
y(cm)
t=0
x=0
2
2
O 2 4 6 x(cm) O 1 2 3 t(s)
-2
-2
（a）
（b）
图5—10
2、波源作简谐振动，周期s，经平衡位置向正方向运动时作为计时
三、波的能量关系
例9 一平面简谐波，波速为340m·s-1，频率为300Hz，在横截面积 为3.00×10-2m2的管内的空气中传播，若在10秒内通过截面的能量为 2.70×10-2J，求：
（1）通过截面的平均能流； （2）波的平均能流密度； （3）波的平均能量密度。
解 （1）由定义，平均能流为 （2）由定义，平均能流密度为 （3）由平均能流密度的定义
二、波动方程的建立 要建立波动方程，先要确定波线上某一点的振动方程和波速，然后
由定义建立波动方程。 例4
某质点作简谐振动，周期为2s，振幅为0.06m，开始计时 (t=0)，质点恰 好在A/2处且向负方向运动，求：
（1）该质点的振动方程； （2）此振动以速度u=2m/s沿x轴正方向传播时，形成的平面简谐 波的波动方程；
所以人听觉的波长范围为
例2 一简谐波沿x轴正方向传播，图5—1为t =T /4 时的波形曲线。 若振动以余弦函数表示，且各点振动的初相取-π到π之间的值，求0、 1、2、3点的初位相？
图5—1
解 设0点的振动方程为： t =T /4 时， 得 同理可得：，，
例3 声波频率为3000Hz，波速1560m/s，波从A点经Δx=0.13m传至B 点，求：
。
3、写出沿x轴正方向传播的平面简谐波的波动方程
，
分别阐述下述情况下波动方程的意义：如果x给定，波动方程表示
；如果t 给定，波动方程表示
；如果x、t都在变化，波
动方程表示
。
4、半波损失的条件是：
。
5、一细线作驻波式振动，其方程为（SI），则两列分波的振幅为
，传播速度为
，驻波相邻两波节之间的距离为
。
三、计算题
解 设S1和S2的振动初相位分别为φ1和φ2 。在x1点两波引起的振动相位 差
即
①
在x2点两波引起的振动相位差
即
②
②-①得
由①式：
当 k= -2, -3时，相位差最小
例12 两个波在一根很长的细绳上传播，它们的方程为：
（SI）。
（1）求各波的频率、波长、波速和传播方向。
（2）试证此细绳作驻波振动，求节点的位置和腹点的位置。
三、波动方程
波动方程 描述媒质中各质点的位移随着各质点的平衡位置和时间而 变化的数学表达式。
如果选原点为参考点，其初相为 ，则波动方程为 波动方程的物理意义： 1. x不变（x = x0），则波动方程变为：
， 即x0处质元的振动方程。
2. t不变（t = t0），则波动方程变为： ，
反映t0时刻各不同x处质元的位移状况。 3. 波动方程反映了波是振动状态的传播。由y(x+x, t+t) = y(x, t)，其
当 时，如图5—6（a）所示： 所以该区域无干涉静止点。 同理，当时，
所以该区域也无干涉静止点。
图5—6（b）
当 时，如图5—6（b）所示：
满足干涉静止，则
所以取 即因干涉而静止的各点的位置为：
图5—7
例11 两相干波源S1和S2的距离为d=30m，S1和S2都在x坐标轴上，S1 位于坐标原点O。设由S1和S2分别发出的两列波沿x轴传播时，强度保 持不变，x1=9m和x2=12m处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点。 求两波的波长和两波源间的最小相位差。
（3）波腹处振幅多大？在x=1.2m处振幅多大?
解 （1）
为沿x轴正向传播的横波。
为沿x轴负向传播的横波。 所以 此式即驻波方程。所以细绳是在作驻波振动。
（3）波腹处的振幅为0.12m。 在x=1.2m处振幅为：
习题
一、选择题
1、简谐波在介质中传播的速度大小取决于[ ]。
A． 波源的频率；
B． 介质的性质；
第五章 机 械 波 动 基本要求
1、 理解机械波产生的条件，以及波动方程、波形曲线的物理意 义。
2、 掌握根据已知质点的简谐振动方程建立平面简谐波波动方程的 方法。
3、 理解波的能量传播特征及能量、能流、能流密度等概念。 4、 了解惠更斯原理，掌握波的相干条件及相干波叠加后振幅加强
和减弱的条件。 5、 理解驻波及其形成的条件；了解驻波与行波的区别。
图5—2（a）
解 （1）如图5—2（a）所示，任取一点P，可得波动方程为 将代入上式，有
（SI）
（2）如图5—2（b）所示，任取一点P，可得波动方程为
图ຫໍສະໝຸດ Baidu—2（b）
（SI）
（SI） 将代入上式，有
（SI） 例6 如图5—3（a）所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，设
此简谐波的频率为250Hz，若波沿x轴负方向传播，求 （1）该波的波动方程； （2）画出t =T /8 时刻的波形图； （3）距原点O为100m处质点的振动方程与振动速度表达式。
可得
四、波的叠加与干涉 例10 同一介质中两相干波源位于A、B两点，其振幅相等，频率均为 100Hz，相位差为π。若A、B两点相距30m，且波的传播速度u = 400m·s-1。以A为坐标原点，试求AB连线上因干涉而静止的各点的位 置。 解
图5—6（a）
取P点为考察点，其坐标为x；两波在P点的振动相位差为∆φ；r1、r2 分 别是位于A、B 的两波源至P点的距离。
五、波的叠加与干涉
惠更斯原理 媒质中波传到的各点，都可看作开始发射子波(次级 波)的子波源(点波源)。在以后的任一时刻，这些子波面的包络面就是 实际的波在该时刻的波前。
波传播的独立性 媒质中同时有几列波时，每列波都将保持自己原 有的特性(传播方向、振动方向、频率等)，不受其他波的影响，如其他 波不存在一样。
（2）由③式得 ∴
例8 图5—5中曲线为沿x轴方向传播的平面简谐波在t=0时的波形。
求：
y O x ｃ t =0 p 图5—5
（１）原点的初相位； （２）p点的初相位； （３）若振幅为A，圆频率为，波速为ｃ，写出波动方程。 解 （１）设Ｏ点的振动方程为 由图，在x=0处， 波向右传播，可判断原点的振动速度 将代入上式，得： 或者画出下一个时刻的波形图，采用旋转矢量法也可判断出： （２）由O、P两点的相位差 得 或由旋转矢量法，根据下一时刻波形图，定出下一时刻P点位置，可 判断出 （３）波动方程为
示。已知B点的振动方程为：
y u
OB Px
图5—4
式中y以cm计，t以s计，OB=5cm。 （1）试在图示坐标系中写出此波的波动方程； （2）求距O点10cm处的P质点在t=3/4s时的振动速度。 解 （1）设原点O的振动方程为： ①
则B点的振动方程为 由题给条件，B点的振动相位为，，得 ②
由①②得波动方程为 ③
C． 波源的频率和介质的性质； D． 波源的能量。
2、波速为4m/s的平面简谐波沿x轴的负方向传播。如果这列波使位
于原点的质元作的振动，那么位于x=4m处质元的振动方程应为[ ]。
A．； B．；
C．； D．。
二、填空题
1、图5—8为一传播速度u=10m/s的平面简谐波在t=0时的波形图，则
在t=1.5s时，A处质点的振动速度的大小为 ，A处质点的振动速度方
解 （1）对原点O处质点，t=0时
图5—3（a）
所以 则O点的振动方程为 此波的波动方程为
（2） 代入上式，得波形方程
（SI）
图5—3（b）
由此画出波形图如图5—3（b）所示； 或由时，波形向左传播的距离也可得波形图。
（3）距原点O为100m 处质点的振动方程 （SI）
振动速度表达式是 （SI） 例7 一平面余弦波沿x轴正方向传播，波速为10cm/s，如图5—4所
3m
S2
P
r2=4m
内容提要
一、机械波及其传播
波动 振动在空间的传播过程叫作波动。波动是一种重要的运动形 式。各种波的本质不同，传播机理不同，但其基本传播规律相同。
机械波 机械振动在媒质中的传播。 横波：质元振动方向与波的传播方向垂直。 纵波：质元振动方向与波的传播方向平行。 机械波的产生条件：波源和媒质。 简谐波 若媒质中的所有质元均按一定的相位传播规律作简谐振 动，此种波称简谐波。 波是振动状态的传播，是相位的传播，也是能量的传播；外观上还 有波形的传播。
波的叠加原理 在几列波相遇而互相交叠的区域中，任一点的振动 是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成。
波的干涉 当两列(或几列)满足一定条件(相干条件)的波在某区域 同时传播时，空间某些点的振动始终加强，某些点的振动始终减弱，在 空间形成一幅稳定的强度分布图样。这种现象称为干涉现象。
相干条件 (1)频率相同；(2)有恒定的相位差；(3)振动方向相同。 干涉的加强条件：
（3）该波的波长。
解 （1）， 时，质点恰好处在A/2 处，即
质点向负方向运动，即 所以 质点的振动方程
（2）以该质点的平衡位置为坐标原点，振动的传播速度方向为坐 标轴正方向，则波动方程为
（3）波长： 例5 一平面简谐波在介质中以速度c = 20 m/s自左向右传播。已知 在波线上的某点A的振动方程为 y=3cos(4πt-π) (SI) ，另一点D在A点右 方18米处。 （1）若取x轴方向向左并以A为坐标原点，试写出波动方程，并求 出D点的振动方程。 （2）若取x轴方向向右以A点左方10m处的O点为x坐标原点，重新 写出波动方程及D点的振动方程。
(m = 0,1,2,…)时，。 干涉的减弱条件： (m=0,1,2,…)时，。 当φ1 =φ2时，加强条件；减弱条件。
六、驻波 驻波是由两列频率相同、振动方向相同且振幅相等，但传播方向相反的 行波叠加而成的。
驻波的波形不传播，相位不传播，能量也不传播。 驻波表达式： y(x, t) = 2Acos kx cost 波节 始终静止的各点称作波节。两相邻波节间的距离为/2。波节处：
x = (2m +1) /4，(m = 0,1,2,…) 波腹 振幅最大的点各点称作波腹。两相邻波腹间的距离亦为/2。 波腹处：
x = m /2，(m = 0,1,2,…) 解题方法与例题分析
一、波的特征量的确定 例1 人听觉的频率范围为16~20000Hz，空气中声速
332m/s（0℃），求人听觉的波长范围。 解：由波长与频率的关系：
起点。若此振动以的速度沿x正方向传播，求：
（1）处的振动方程；
（2）和16m两点间振动相位差。
3、已知两相干波源S1和S2 ，频率均为，波速均为u=10m/s，振幅均 为5cm。波源S1和S2的初相位分别为，，波源的位置如图5—11所示。求 两列波传到P点时的振动方程和P点合振动的振动方程。
S1
r1
（1）B比A落后的时间，相当于多少个周期？Δx相当于多少个波 长？
（2）声波在A、B两点相位差为多少？ （3）设振幅为1mm，则振动速度是否等于传播速度？
解 （1）由已知条件：
B比A落后的时间
相当于1/4周期， Δx也相当于1/4波长。
（2）A、B两点相位差为：
（3）振幅为1mm，振动速度的幅值为
振动速度显然不等于传播速度。
向为
，A处质点的振动加速度的大小为 。
y(m)
u
0.1 A
O
5 10 15 20 x(m)
-0.1
图5—8
y（cm） 4.0 2.0 0 2 5 8 11 t(s) -4.0
图5—9
2、一平面简谐波沿x轴负方向以u=2m/s的速度传播。原点的振动曲
线如图5—9所示，则这列平面简谐波的波动方程为
，
在x=4m处质点的振动方程为
二、波的特征量
波长 两相邻同相点间的距离。波长也是波形曲线上一个完整波形 的长度，或一个振动周期内波传过的距离。 波的频率 媒质质点(元)的振动频率。波的频率也指单位时间传过媒质 中某点的波的个数。通常情况下波的频率等于波源的振动频率。
波速u 单位时间波所传过的距离。波速主要决定于媒质的性质和 波的类型(横波、纵波)。