量子力学第六章散射

第六章 散射

6.1 两体碰撞和散射截面

两个粒子的碰撞可以分为弹性散射，非弹性散射和反应三种类型。如果两个粒子的内部状态在碰撞前后都保持不变，则称为弹性散射。弹性散射也就是弹性碰撞，下面将只讨论弹性散射问题。如果粒子的内部状态在碰撞后有变化（例如激发或电离），则称为非弹性散射。如果碰撞后有新粒子出现，则称为反应。非弹性散射与反应有时并不能严格区分开来。单粒子的衰变也可属于反应。粒子之间的碰撞与能级跃迁中的频谱（能谱）一样对许多实际问题的研究具有很重要的意义。例如，贞瑟福（Rutherford ）由对X 粒子被原子散射的研究中发现原子中心有一个重核。又如，电子与原子碰撞的夫兰克——赫兹（Franck-Herty ）实验证明了原子中有定态。

两个粒子的碰撞可以在外场中进行，下面也只讨认没有外场的情况，这时，两个粒子体系

的势能仅由相互作用能()U r

决定。由§2.7“5”可知，两体问题可以化为一个具有折合质量为μ的粒子在一个固定于质心位置的势场()U r

中运动。这个静止不动的质心位置被称为散射中心，也称为

靶心。这时，两个粒子的散射便化为粒子被势场的散射。这个粒子的能量E 是连续谱，在弹性散射

中，能量E 在散射过程中保持不变。为了简单，设耙心质量比位于r

处的粒子质量大得多，则这个

具有折合质量的粒子便化为一个真实粒子，而相对运动能量E 便化为这个真实粒子的能量。

考虑一束粒子沿Z 轴正方向向散射中心C 射束，如下图：

在入射粒子未进入势场之前，即当入射粒子距离散射中心很远时，可近似地用平面波描写，所以穿过垂直于Z 轴平面的λ射粒子是均匀分布的。单位时间内穿过垂直于入射方向单位面积的粒子数N 称为入射粒子流强度。粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角称为散射角。设以C 点为球心以r 为半径的球面上的面积元ds 对C 点张开的立体角为d Ω，则单位时间内散射到d Ω内的粒子数dn 应与d Ω成正比，也与N 成正比：

(,)dn q Nd θϕ=Ω （6.1-1）

其中(,)q θϕ为比例系数。(,)q θϕ通常是,θϕ的函数，它的值与入射粒子的能量E 以及势场

()U r 有关，但应与N 无关。因2dS

dn r

=，则上式可化为：

2(,)dn q ds r

θϕ= （6.1-2）

上式中的

dn

ds

与N 应具有相同的量纲，所以(,)q θϕ具有面积的量纲。(,)q θϕ称为微分散射截面。进入立体角d Ω内的粒子数dn 来自入射粒子流，如果取垂直入射粒子前进方向的面积dQ ，使单位时间内穿过dQ 的粒子数NdQ 等于dn ，则（6.1-1）式化为：

(,)dQ q θϕ=，即

(,)dQ

q d θϕ=Ω

（6.1-3） 由上式得：

20

(,)(,)si Q q d q m d d π

π

θϕθϕθθϕ=Ω=⎰⎰

⎰

（6.1-4）

Q 称为总散射截面。

上面关于微分散射截面和总散射截面的定义在量子力学中和在经典力学中都同样适用。但量子力学中存在几率概念，每一个入射粒子都具有相同的被散射的几率。经典力学中不存在几率概念，但可引入瞄准距离的概念，均匀分布的入射粒子在进入势场前都各有一条平行于Z 轴的轨道，此轨道与Z 轴之间的距离（也是与散射中心之间的距离）称为瞄准距离，记为b 。当粒子被一个以C 点为球心半径为a 的刚性球散射时，只有b

Q a π=。如果用量子力学方法计算此问题，则得到的总散射截面将比2

a π大。

当粒子被势场()U r

散射时，定态薛定谔方程为：

22

()()()2h U r r E r ψψμ⎡⎤-∇+=⎢⎥⎣⎦

（6.1-5） 下面只讨论()0r U r →∞−−−→ 比10r r

→∞

−−−

→更快的情况（对于粒子被库仑势场的散射，通常采用抛物面坐标系进行讨论，其介绍从略）。一般说来，在离散射中心很远的地方即r α→时，波函

数ψ可近似地表示为入射波I ψ与散射波S ψ的叠加，ikz

I Ae ψ=，(,)ikr s e Af r

ψθϕ=。对于弹性散

射，入射波中的K 与散射波中的K 应相等，能量22

2h K E μ

=。由于散射截面与入射粒子流强度N 无

关，所以也与入射波的归一化约定无关。为了简单，取A=1（相当于单位体积中有一个粒子），则入射波的振幅为1，而(,)f θϕ称为散射振幅。

(,)ikr

r ikz

I S e e f r

ψψψθϕ→∞

−−−→+=+ （6.1-6）

将上式代入方程（6.1-5）得：

22(,)2ikr ikz h e U e f r θϕμ⎡⎤⎡⎤-∇++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

22

2

2

2

2222222222122(,)22222222ikr ikz h h L e U e r U f X Y Z r r r r r θϕμμμ∧⎡⎤

⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-++++-++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦

22[](,)2ikr ikz L e E U e E U f r r θϕμ∧⎡⎤

⎢⎥=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦

当r α→时，上式右边第二个中括号内的后两项可以忽略。若U 为库仑势场，由上式中的ikz

Ue

与(,)ikr e Ef r

θϕ同数量级。若当r α→时，U 比1r 下降得更快，则ikz

Ue 也可忽略。则当r α→时得：

22(,)(,)2ikr ikr r ikz ikz h e e U e f e f r r θϕθϕμ→∞⎡⎤⎡⎤⎡⎤

-∇++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

所以（6.1-6）式满足方程（6.1-5）。 将（6.1-6）式代入几率流密度公式得：

*()2I s o ih j j j j ψψμ

=∇-∇=++

（6.1-7）

其中I I j j R = 为散射波的几率流密度，0r 为r 方向的单位矢量。0j

为入射波与散射波的干涉项。

0j

的表示式为：

*0()2I s ih j cc ψψμ

=∇-∇+ （6.1-8）

其中CC 表示前一项的共轭项。显然，在前一项必含有因子(1cos )

ikr ijz

ikr e

e

θ--=。在0j 中应含有o

r

与R 两个方向上的分量，在球坐标系下，注意到R 在0ψ 上的投影为零，则0j

表示为下述形式：

(1cos )0001

(,,)(,,)ikr j r r e cc r θαθϕβθϕθ-⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦

设(,,)r αθϕ的幅角为arg x ，则在0j 的o r

分量中必含因子

[](1cos )2cos (1cos )arg ikr iangx e cc Kr x θθ-++=-+

当θ角稍微偏离零值时，（1cos θ-）不为零，则当r α→时，在d θθθ→+范围内（d θ与d Ω