利用函数的性质求函数解析式
求函数解析式的基本方法
求函数解析式的基本方法求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。
本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。
一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。
例1. 已知x 2x )1x (f +=+，求)x (f 。
解：因为)1x (1x )x (f ,11x ,1]1)x [(x 2x )1x (f 22≥-=≥+-+=+=+所以二、换元法已知)x (g ),x (f )]x (g [f 把求看成一个整体t ，进行换元，从而求出)x (f 的方法。
例2. 同例1。
解：令2)1t (x ,1t x ,1t ,t 1x -=-=≥=+则，所以)1t (1t )1t (2)1t ()t (f 22≥-=-+-=，所以)1x (1x )x (f 2≥-=。
评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即)x (f 的定义域。
三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。
例3. 已知定义在R 上的函数)x (f 满足1x )x (f 2)x (f +=+-，求)x (f 的解析式。
解：1x )x (f 2)x (f +=+- ， ①1x )x (f 2)x (f +-=-+∴② ②①-⨯2得1x 3)x (f 3+=， 所以31x )x (f +=。
评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。
四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。
例 4. 已知函数)x (f 的定义域为R ，并对一切实数x ，y 都有)1y 2x (x )y (f 3)x (f )y x (f 2++++=-，求)x (f 的解析式。
解：令x x )0(f 3)x (f )x (f 20y 2+++==得， 令)0(f 3)0(f )0(f 20y x +===得，所以0)0(f =，所以)R x (x x )x (f 2∈+=五、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。
高一函数解析式的求解及其常用方法知识点总结
函数解析式的常用求解方法：（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。
待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。
本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。
一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。
例1. 已知，求。
解：因为二、换元法已知看成一个整体t，进行换元，从而求出的方法。
例2. 同例1。
解：令，所以，所以。
评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即的定义域。
三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。
例3. 已知定义在R上的函数满足，求的解析式。
解：，①②得，所以。
评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。
四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。
例4. 已知函数的定义域为R，并对一切实数x，y都有，求的解析式。
求函数解析式及值域的基本方法
求函数解析(jiě xī)式的基本方法求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。
本文给出求函数解析式的基本方法，供广大(guǎngdà)师生参考。
一、定义(dìngyì)法根据函数的定义(dìngyì)求其解析式的方法。
例1. 已知，求。
解：因为(yīn wèi)二、换元法已知看成一个整体t，进行换元，从而求出)x(f的方法。
例2. 同例1。
解：令，所以，所以。
评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即)x(f的定义域。
三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。
例3. 已知定义在R上的函数)x(f满足，求)x(f的解析式。
解：，①②得，所以。
评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。
四、特殊化法通过对某变量取特殊(tèshū)值求函数解析式的方法。
例4. 已知函数(hánshù))x(f的定义域为R，并对一切(yīqiè)实数x，y都有，求)x(f的解析(jiě xī)式。
解：令，令，所以(suǒyǐ)，所以五、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。
例5. 已知二次函数)x(f的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3），方程有两个相等的实根，求)x(f的解析式。
解：因为解集为（1，3），设，所以①由方程0a 6)x (f =+ 得②因为方程②有两个相等的实根， 所以，即解得又，将①得。
六、函数(h ánsh ù)性质法利用函数的性质如奇偶性、单调(d āndi ào)性、周期性等求函数解析式的方法。
例6. 已知函数(h ánsh ù)是R 上的奇函数，当的解析(ji ě x ī)式。
解析(ji ě x ī)：因为)x (f 是R 上的奇函数， 所以，当，所以函数值域的八大求法方法一：观察法例1. 求函数的值域。
初中数学求反比例函数解析式的六种方法
求反比例函数解析式的六种方法名师点金：求反比例函数的解析式，关键是确定比例系数k的值．求比例系数k的值，可以根据反比例函数的定义及性质列方程、不等式求解，可以根据图象中点的坐标求解，可以直接根据数量关系列解析式，也可以利用待定系数法求解，还可以利用比例系数k的几何意义求解．其中待定系数法是常用方法．利用反比例函数的定义求解析式1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求其函数解析式．利用反比例函数的性质求解析式2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，求此函数的解析式．利用反比例函数的图象求解析式3．【2017·广安】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6.(1)求函数y＝mx和y＝kx＋b的解析式．(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝m x的图象上一点P ，使得S △POC ＝9. (第3题)利用待定系数法求解析式4．已知y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，若函数y ＝y 1＋y 2的图象经过点(1，2)，⎝⎛⎭⎫2，12，求y 与x 的函数解析式．利用图形的面积求解析式5．如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝k x上，且AB ∥x 轴，C ，D 两点在x 轴上，若矩形ABCD 的面积为6，求点B 所在双曲线对应的函数解析式．(第5题)利用实际问题中的数量关系求解析式6．某运输队要运300 t物资到江边防洪．(1)求运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间的函数关系式．(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h之内运到江边，则运输速度至少为多少？答案1．解：由反比例函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－10＝－1，m ＋3≠0，∴m ＝3. ∴此反比例函数的解析式为y ＝6x. 易错点拨：该题容易忽略m ＋3≠0这一条件，得出m ＝±3的错误结论．2．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －9＝－1，n ＋3＞0. 解得n ＝2(n ＝－4舍去)．∴此函数的解析式是y ＝5x.3.解：(1)把点A(4，2)的坐标代入反比例函数y ＝m x，可得m ＝8， ∴反比例函数解析式为y ＝8x. ∵OB ＝6，∴B(0，－6)．把点A(4，2)，B(0，－6)的坐标代入一次函数y ＝kx ＋b ，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k ＋b ，－6＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6， ∴一次函数解析式为y ＝2x －6.(2)在y ＝2x －6中，令y ＝0，则x ＝3，即C(3，0)，∴CO ＝3，设P ⎝⎛⎭⎫a ，8a ，则由S △POC ＝9，可得12×3×8a＝9， 解得a ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，6. 4．解：∵y 1与x 成正比例，∴设y 1＝k 1x(k 1≠0)．∵y 2与x 成反比例，∴设y 2＝k 2x(k 2≠0)． 由y ＝y 1＋y 2，得y ＝k 1x ＋k 2x. 又∵y ＝k 1x ＋k 2x的图象经过(1，2)和⎝⎛⎭⎫2，12两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 1＋k 2，12＝2k 1＋k 22.解此方程组得⎩⎨⎧k 1＝－13，k 2＝73.∴y 与x 的函数解析式是y ＝－13x ＋73x. 5．解：如图，延长BA 交y 轴于点E ，由题意可知S 矩形ADOE ＝1， S 矩形OCBE ＝k.∵S 矩形ABCD ＝6，∴k －1＝6.∴k ＝7.∴点B 所在双曲线对应的函数解析式是y ＝7x. (第5题)6．解：(1)由已知得vt ＝300.∴t 与v 之间的函数关系式为t ＝300v(v ＞0)． (2)运了一半物资后还剩300×⎝⎛⎭⎫1－12＝150(t )， 150÷2＝75(t /h )．因此剩下的物资要在2 h 之内运到江边，运输速度至少为75 t /h .。
初中数学一次函数的图象、性质、解析式及应用
初中数学一次函数的图象、性质、解析式及应用1、一次函数的定义：一般地，如果变量y与变量x有关系式y＝kx＋b（k，b是常数，且k≠0）那么y叫x的一次函数。
一次函数y＝kx＋b中，若b＝0，此时变成y＝kx（k≠0）称y是x的正比例函数。
2、一次函数的图象（1）一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，这条直线与y 轴相交于（0，b），这里b叫作直线y＝kx＋b的截距。
（2）y＝kx（k≠0）的图象经过原点，y＝kx＋b（k≠0，b≠0）的图象不经过原点，与两坐标轴交点分别为（0，b），（，0）。
（3）对于直线，如果，且，那么这两条直线平行，反之也成立。
如果，那么这两条直线相交，反之也成立。
（4）直线y＝kx＋b可以看作是由直线y＝kx平移而来。
（5）（k≠0）的图象的不同情形，即当k值、b值不同时图象所处的位置。
3、一次函数的性质一般地，一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）有下列性质当k>0时，y随x的增大而增大，图象是自左到右上升的直线当k<0时，y随x的增大而减小，图象是自左到右下降的直线4、用待定系数法求一次函数的解析式待定系数法：先设待求函数关系式（其中含有未知常数，系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法。
用待定系数法求一次函数解析式的步骤：第一步：设关系式第二步：列方程（组）第三步：求出结果，写出关系式5、运用一次函数解决实际问题建立数学模型运用一次函数解决实际问题的一般步骤（1）通过实验，测量获得数量足够多的两个变量的对应值。
（2）建立合适的直角坐标系，在坐标系中，以各对应值为坐标描点，并画出函数图象。
（3）观察图象特征，判定函数类型。
（4）运用得到的经验公式，进一步求得所需要的结果。
例1、已知函数是一次函数，求m的值及函数关系式。
分析：一次函数满足：自变量的次数为1；自变量的系数不为0。
解析：∵是一次函数所以解得m＝1所以函数关系式例2、下图不可能是关于x的一次函数的图象是（）分析：一次函数中的m的取值应是一致的，应从一次函数的图象和性质出发A中，m>0，3－m>0，即A是0<m<3时的图象B中，直线经过原点，所以，m＝3，即B是m＝3时的图象C中，截距在x轴下方，∴3－m<0，m>3直线是呈下降趋势的，所以m<0，而无解，即C不可能D中，截距在x轴上方，所以3－m>0，m<3，图象呈下降趋势，故m<0即D是m<0时的图象解析：选C例3、已知直线y＝kx＋b与直线y＝－2x平行，且在y轴上的截距为2，求直线y＝kx＋b的解析式。
求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法函数解析式指的是用代数式或公式来表示函数的方式。
以下是六种常用方法：一、明确函数定义域和值域在确定函数解析式之前，首先需要明确函数的定义域和值域。
函数的定义域是指函数可以取值的自变量的范围，而值域则是函数的函数值可以取的范围。
明确函数的定义域和值域可以帮助我们确定函数解析式的形式和特点。
二、利用已知条件和性质确定函数解析式在求函数解析式时，可以利用已知条件和性质来确定函数解析式的形式。
例如，已知函数的导函数，可以通过求导的逆运算确定原函数的解析式。
又如，已知函数的周期性质，可以利用周期性质来确定函数解析式的形式。
三、从实际问题中建立函数关系函数解析式可以从实际问题中建立起来。
在解决实际问题时，可以首先建立自变量和函数值之间的关系，然后根据问题中给出的条件来确定函数解析式。
例如，求解经济学中的需求函数、生长模型等。
四、利用已知函数的性质和运算建立函数解析式在求函数解析式时，可以利用已知函数的性质和运算来建立函数解析式。
例如，可以利用已知函数的线性性质、对称性质、指数性质等来建立函数解析式。
又如，可以利用已知函数的运算性质，如加减乘除、复合等来建立函数解析式。
五、利用恒等式和方程组建立函数解析式在求解一些复杂的函数问题时，可以利用恒等式和方程组来建立函数解析式。
通过列方程并求解，可以得到函数解析式中的一些未知系数。
例如，可以通过建立差分方程求解离散函数的解析式。
六、利用已知函数的级数展开建立函数解析式在求解一些函数的解析式时，可以利用已知函数的级数展开式来建立函数解析式。
通过逐项求和，可以得到函数解析式的形式。
例如，可以利用幂级数展开来确定一些特殊函数的解析式。
正切函数图象与性质及求函数解析式
练习： 1、函数 y A sin( x ) 在一个周期内的图象如下， 此函数的解析式为（ A ）
2 A. y 2 sin(2 x ) 3
B. y 2 sin(2 x ) 3 x C. y 2 sin( ) 2 3 D. y 2 sin(2 x ) 3
解:
4
)的定义域、值域和单调区间.
因此，函数的定义域是 x x R且x k , k Z 4
设t x , 则y tan t的定义域为 t t R且t k + , k Z 4 2 x k , x k 4 2 4
[解]
(1)∵f(x)＝sin(x＋φ)，
∴函数 f(x)的最小正周期为 2π. (2)∵函数
π π y＝f2x＋6＝sin2x＋6＋φ， π y＝f2x＋6的图象上，
π 1 又点6，2在函数
1 π π ∴sin2×6＋6＋φ＝ . 2
[解]
2π (1)T＝ 3 .
π sin3×12＋φ＝1，
(2)由题设可知 A＝4 且
π π π 则 φ＋4＝2＋2kπ，得 φ＝4＋2kπ(k∈Z)．
π π ∵0＜φ＜π，∴φ＝4，∴f(x)＝4sin3x＋4. 2 π π 12 α＋ ＝4sin2α＋ ＝4cos2α＝ ， (3)∵f 3 12 2 5
π φ< )的部分图象如图 已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0， 2 所示，求 f(x)的解析式． 2π T ω π [解] 由图象知 A＝ 2， ＝ ＝10－2 ∴ω＝ 2 2 8
函数解析式的七种求法
函数解析式的七种求法一、通过给定的输入和输出求解析式。
这是最简单直接的方法，当给定了函数的输入和输出时，可以利用这些已知信息求解析式。
例如，如果一个函数在输入为1时输出为3，在输入为2时输出为5，我们可以直接写出函数解析式为f(x)=2x+1二、基于已知函数的变换求解析式。
对于已知的一些基本函数，例如线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数等，我们可以通过对它们进行变换得到其他函数的解析式。
例如，如果已知函数f(x)=x^2，我们可以通过对f(x)进行变换得到f(x)=(x-1)^2+1三、利用函数的性质和特点求解析式。
对于一些特殊函数，例如奇函数、偶函数、周期函数等，可以利用它们的性质和特点来求解析式。
例如，如果一个函数是奇函数，那么它的解析式中只包含奇次幂项，可以利用这个特点来求解析式。
四、利用已知函数的级数展开求解析式。
对于一些复杂的函数，可以利用已知函数的级数展开进行逼近，从而得到函数的解析式。
例如，可以利用泰勒级数展开求得函数的解析式，只需要计算到足够高的阶数即可。
五、利用已知函数的导数和积分求解析式。
对于一些函数，可以通过对它们的导数和积分进行运算得到其他函数的解析式。
例如，如果已知一个函数的导数或积分，可以通过对这个导数或积分进行逆运算来求得函数的解析式。
六、基于已知函数的函数逼近求解析式。
对于一些复杂的函数，可以利用一些已知的简单函数进行逼近，从而得到函数的解析式。
例如，可以利用多项式函数对一个非多项式函数进行逼近，从而得到函数的解析式。
七、利用差分方程或微分方程求解析式。
对于一些具有差分方程或微分方程性质的函数，可以通过求解这些方程来得到函数的解析式。
例如，可以利用差分方程或微分方程求解线性递推函数的解析式。
以上是七种常用的求解函数解析式的方法。
不同方法适用于不同情况，根据具体的问题和已知信息选择合适的方法可以更高效地求解函数的解析式。
求函数解析式的6种方法
求函数解析式的6种方法一、待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数，指数函数，对数函数、幂函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。
其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
例1 （1）已知二次函数()f x 满足(1)1f =，(1)5f -=，图象过原点，求()f x ；（2）已知二次函数()f x ，其图象的顶点是(1,2)-，且经过原点，()f x ．(3)已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式 (4)已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：（1）由题意设 2()f x ax bx c =++， ∵(1)1f =，(1)5f -=，且图象过原点，∴150a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩ ∴320a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴2()32f x x x =-．（2）由题意设 2()(1)2f x a x =++，又∵图象经过原点，∴(0)0f =，∴20a += 得2a =-， ∴2()24f x x x =--．(3)解析：设2()f x ax bx c =++ (a ≠0) 由(0)0,f =得c=0由(1)()1f x f x x +=++ 得22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++ 整理得 ax 2+(2a+b)x+a+b+c=ax 2+(b+1)x+c+1得 212211120011()22a ab b a bc c b c c f x x x⎧=⎪+=+⎧⎪⎪⎪++=+⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=⎪⎪⎩∴=+(4)解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ②由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 例2 (1)已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。
二次函数解析式解题技巧
二次函数解析式解题技巧二次函数解析式是数学学习当中非常重要的一个章节，也是数学考试的一个必考知识点。
下面是小编为大家整理的关于二次函数解析式解题技巧，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!二次函数解析式解题技巧函数解析式的常用求解方法：(1)待定系数法：(已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等)：若已知f(x)的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f(x)的表达式。
待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
(2)换元法(注意新元的取值范围)：已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)，我们常设t=g(x)，从而求得x=(g^(-1))(t)，然后代入f(g(x))的表达式，从而得到f(t)的表达式，即为f(x)的表达式。
(3)配凑法(整体代换法)：若已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)的表达式，用换元法有困难时，(如g(x)不存在反函数)可把g(x)看成一个整体，把右边变为由g(x)组成的式子，再换元求出f(x)的式子。
(4)消元法(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
(5)赋值法(特殊值代入法)：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。
极客数学帮给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。
一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。
二、换元法利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即f(x)的定义域。
三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。
方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。
四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。
函数基本性质题型及解题技巧
函数基本性质题型及解题技巧函数基本性质题型及解题技巧一、函数解析式的求法：1.配凑法：将关系式配凑成括号内的形式。
例如，已知$f(x+)=\frac{x^2}{2}$，求解析式$f(x)$。
解：因为$f(x+)=\frac{x^2}{2}=(x+)^2-2$，所以$f(x)=x^2-2$，$x\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$。
2.换元法：令括号内的部分等于$t$，然后解出$x$，带入得到关于$t$的解析式，最后再换回$x$。
例如，已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$的解析式。
解：令$t=x+1$，则$x=(t-1)^2$，$(t\geq1)$，因此$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1$。
所以$f(x)=x^2-1$，$(x\geq1)$。
3.待定系数法：根据已知函数类型，设相应的函数解析式，然后根据已知条件算出相应系数。
例如，已知$f(x)$是二次函数，且$f(0)=2$，$f(x+1)-f(x)=x-1$，求$f(x)$。
解：设$f(x)=ax^2+bx+c$，由$f(0)=2$得$c=2$，由$f(x+1)-f(x)=x-1$，得恒等式$2ax+a+b=x-1$，解得$a=\frac{1}{2}$，$b=-\frac{1}{2}$。
因此，所求函数的解析式为$f(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+2$。
4.消元法（方程组法）：若函数方程中同时出现$f(x)$与$f(-x)$，则一般用$x$代之或用$-x$代之，构造另一个方程，然后联立解方程组得到$f(x)$。
例如，已知$3f(x)+2f(-x)=x+3$，求$f(x)$。
解：因为$3f(x)+2f(-x)=x+3$，令$x=-x$得$3f(-x)+2f(x)=-x+3$，消去$f(-x)$得$f(x)=\frac{x}{5}+\frac{3}{5}$。
二、绝对值图像的画法：5.对于函数$y=ax^2+b|x|+c$，找出$x=0$的点和两个对称轴上的点，然后将它们连起来。
求函数解析式常用的方法
求函数解析式常用的方法函数的解析式是指能够描述函数关系的数学表达式。
常见的函数解析式有多种求法，下面介绍几种常用的方法。
一、通过已知的函数图像求函数的解析式：1.方程法：已知函数的图像，可以通过观察图像上的点与坐标轴的交点，列方程来求解。
例如，已知函数图像上点(1,3)和(2,5)，可以列出方程f(1)=3和f(2)=5，然后通过解方程组的方法求得函数解析式。
2.函数平移法：已知函数图像上的一些平移属性，可以通过对已知函数进行平移操作得到所求函数的解析式。
例如，已知函数f(x)在原坐标系上的图像向左平移2个单位，可以得到函数f(x+2)。
3.倒推法：已知函数的图像为已知函数的变换之一，可以从已知函数推导出所求函数的解析式。
例如，已知函数f(x)的图像是函数g(x)的图像上关于y轴对称得到的，可以通过对函数f(x)进行关于y轴对称操作得到函数g(x)的解析式。
二、通过已知函数求函数的解析式：1.基本函数的组合：常见的基本函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
可以通过将基本函数进行合理的组合和变换，来构建所求函数的解析式。
2.反函数法：已知函数的反函数，可以通过对已知函数的自变量和因变量进行互换得到所求函数的解析式。
例如，已知函数f(x)的反函数是g(x)，则所求函数的解析式为f(y)=x。
3.极限法：当函数的极限存在时，可以通过极限的概念推导所求函数的解析式。
例如，已知函数的极限为一些常数，可以通过求出极限值来得到所求函数的解析式。
三、通过函数的性质求函数的解析式：1.函数的奇偶性：如果一个函数是奇函数，那么它的解析式中不含有$x^2$的项；如果一个函数是偶函数，那么它的解析式中不含有$x$的项。
2.函数的周期性：如果一个函数是周期函数，那么它的解析式中必定含有正弦或余弦等与周期函数相关的函数。
3.函数的导数与微分：通过求函数的导数和微分，可以得到函数所满足的微分方程，然后进一步求解微分方程从而得到函数的解析式。
二次函数 图像的性质 求解析式 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
1.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：①c>0；②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（）AA．①②B．①④C．①②③D．①③⑤2.当b<0时，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）B3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac， 2a＋b，a＋b＋c 四个代数式中，值为正数的有( ) B 123A.4个B.3个C.2个D.1个4.在同一坐标系中，函数y= ax2+c与y= cx(a<c)图象可能是图所示的( )AA B C D5.函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（） C 134A．1B．2C．3D．46．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）DA．①②B．②③C．②③④D．①②④7.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a ，b 同号； ②当x ＝1和x ＝3时，函数值相同； ③4a ＋b ＝0; ④当y ＝－2时，x的值只能取0； 其中正确的个数是（ ）23 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4题型八、函数解析式的求法用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax 2+bx+c ，然后解三元方程组求解； 1．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。
求函数解析式的几种方法及题型
求函数解析式的几种方法及题型【最新版3篇】篇1 目录一、引言二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法2.交点式3.顶点式4.换元法5.归纳法三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式2.已知顶点求解析式3.已知交点求解析式4.抽象复杂函数问题四、结论篇1正文一、引言求函数解析式是高中数学中的常见问题，也是高考的常规题型之一。
解决这类问题需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍几种常用的求函数解析式的方法及题型，帮助同学们更好地理解和应用这些方法。
二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法待定系数法是一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。
2.交点式交点式适用于已知抛物线与 x 轴的两个交点的情况。
通过已知的交点，我们可以得到两个方程，解这两个方程可以求得抛物线的解析式。
3.顶点式顶点式适用于已知抛物线的顶点的情况。
通过已知的顶点，我们可以得到一个方程，这个方程包含了抛物线的顶点坐标和抛物线的解析式中的待定系数。
解这个方程可以求得抛物线的解析式。
4.换元法换元法是一种通用的求函数解析式的方法，适用于各种复杂的函数问题。
通过换元，我们可以将复杂的函数问题转化为简单的函数问题，从而求得函数的解析式。
5.归纳法归纳法适用于具有一定规律的函数问题。
通过观察函数的规律，我们可以猜测函数的解析式，然后通过数学归纳法证明我们的猜测是正确的。
三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式已知函数上的三个点，我们可以通过待定系数法求解函数的解析式。
设定函数的形式为 y=ax^2+bx+c，然后将三个点的坐标代入方程，得到三个方程组成的线性方程组，解这个方程组可以求得函数的解析式。
2.已知顶点求解析式已知抛物线的顶点，我们可以通过顶点式求解抛物线的解析式。
抽象函数-题型大全(例题-含答案)
高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
函数解析式的8种求法
函 数 解 析 式 的 八 种 求 法一．待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。
【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x -1)=2x +17，求f(x )的解析式。
分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7 【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b （a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1例 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设bax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 例、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y =的解析式。
分析：二次函数的解析式有三种形式： ① 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f② 顶点式：()为函数的顶点点其中k h a kh x a x f ,,0)()(2≠++=③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f解法1：设)0()(2≠++=a cbx ax x f ，则由y 轴上的截距为1知：1)0(=f ，即c=1 ① ∴ 1)(2++=bx ax x f由)2()2(--=-x f x f 知：1)2()2(1)2()2(22+--+--=+-+-x b x a x b x a 整理得：0)4(=-x b a , 即： 04=-b a ②由被x 轴截得的线段长为22知，22||21=-x x ， 即84)()(21221221=-+=-x x x x x x . 得:814)(2=--aab .整理得： 2284a a b =- ③ 由②③得： 2,21==b a , ∴ 1221)(2++=x x x f .解法2：由)2()2(--=-x f x f 知：二次函数对称轴为2-=x ，所以设)0()2()(2≠++=a kx a x f ；以下从略。
抽象函数和函数的解析式
抽象函数和函数的解析式一、解析式的求法1.代入法f (x ) =2x +1，求f (x +1)f (x ) 满足f (x +3) =f (1-x ) ，且f (x ) =0的两实根平方和为10，图像过点2. 待定系数法二次函数(0,3); 已知f (x ) 二次实函数，且f (x +1) +f (x -1) =x 2+2x +43.换元法f (3x +1) =9x 2-6x +5， f (f (3x +1) =9x 2-6x +5，f (x ) +f (-x ) =x -1，33224. 配凑法x) =2x +1, x +111f (x +) =x 3+3x x5. 6.消元法（构造方程组法）利用函数的性质求解析式例1. 已知函数y =f (x ) 是定义在区间[-, ]上的偶函数，且x ∈[0,]时，f (x ) =-x 2-x +5 32f (x ) 解析式答案：3⎧2-x -x +5(0≤x ≤) ⎧⎧2f (x ) =⎧⎧-x 2+x +5(-3≤xy =f (x ) 为奇函数, 当 x >0时, f (x ) =lg(x +1) , 求f (x )例2. 已知解:∵f (x ) 为奇函数，∴f (x ) 的定义域关于原点对称，故先求x 0,∴f (-x ) =lg(-x +1) =lg(1-x ) ,∵f (x ) 为奇函数，∴lg(1-x ) =f (-x ) =-f (x ) ∴当x⎧lg(1+x ), x ≥0f (x ) =⎧-lg(1-x ), x例3．一已知f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，且有f (x ) +g (x ) =1，求f (x ) , g (x ) . x -1解：∵f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，∴f (-x ) =f (x ) , g (-x ) =-g (x ) ,不妨用-x 代换f (x ) +g (x ) =………①中的x ,x -1∴f (-x ) +g (-x ) =11即f (x ) －g (x ) =-……②-x -1x +1显见①+②即可消去g (x ) , 求出函数f (x ) =1x再代入①求出g (x ) =x 2-1x 2-17. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f (x ) 的表达式例：设解：∵f (x ) 的定义域为自然数集，且满足条件f (x +1) =f (x ) +f (y ) +xy , 及f(1)=1,求f (x )f (x ) 的定义域为N ，取y =1,则有f (x +1) =f (x ) +x +1∵f (1)=1,∴f (2)=f (1)+2,f (3)=f (2)+3……f (n ) =f (n -1) +nn (n +1) 1x (x +1), x ∈N 以上各式相加，有f (n ) =1+2+3+……+n =∴f (x ) =22f (x ) 的有关问题二、利用函数性质，解1. 判断函数的奇偶性：例：已知数。
函数解析式的求法
函数解析式的求法 2014年1月16求函数的解析式的常用方法有：(1)代入法：如已知f (x )＝x 2－1，求f (x ＋x 2)时，有f (x ＋x 2)＝(x 2＋x )2－1．(2)待定系数法：已知f (x )的函数类型，要求f (x )的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可．例如，一次函数可以设为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)；二次函数可以设为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)等．(3)拼凑法：已知f (g (x ))的解析式，要求f (x )时，可从f (g (x ))的解析式中拼凑出“g (x )”，即用g (x )来表示，再将解析式两边的g (x )用x 代替即可．(4)换元法：令t ＝g (x )，再求出f (t )的解析式，然后用x 代替f (g (x ))解析式中所有的t 即可．(5)方程组法：已知f (x )与f (g (x ))满足的关系式，要求f (x )时，可用g (x )代替两边的所有的x ，得到关于f (x )及f (g (x ))的方程组．解之即可得出f (x )；例如，已知f (x )＋2f (－x )＝4x 2－x ，求f (x )的解析式．(6)赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式．（7）由具体的实际问题建立函数关系求解析式，一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的等量关系，将函数用自变量和其他量的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围．【例4】求下列函数的解析式．(1)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )；(2)已知f1)＝x＋f (x )；(3)已知2f)1x （＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )； (4)已知对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )－2f (y )＝x 2＋2xy －y 2＋3x －3y ，求f (x )． 分析：(1)已知f (x )是二次函数，可用待定系数法设出函数解析式，然后利用已知条件求出待定系数即可；(2)1＝t ；也可用拼凑法，将x＋1的式子；(3)用x 替换1x，构造关于f (x )与f )1x （的方程组，解方程组求出f (x )；(4)利用赋值法，令x －y ＝0，求出f (0)的值，再令y ＝0，求得f (x )，也可令x ＝0，求出f (y )，进而可得f (x )．解：(1)设所求的二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝1，∴c ＝1，则f (x )＝ax 2＋bx ＋1．又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x 对任意x ∈R 成立，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ．由恒等式性质，得220a a b =⎧⎨+=⎩，，∴11.a b =⎧⎨=-⎩，∴所求二次函数为f (x )＝x 2－x ＋1． (2)(方法一)1＝t ，则t ≥1，即x ＝(t －1)2，则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t2－1．故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(方法二)∵1)2＝x＋1， ∴x＋1)2－1． ∴f1)＝1)2－11≥1．∴f (x )＝x 2－2，x ≥1．(3)(4)(方法一)∵f (x ＋y )－2f (y )＝x 2＋2xy －y 2＋3x －3y 对任意x ，y ∈R 都成立，故可令x ＝y ＝0，得f (0)－2f (0)＝0，即f (0)＝0．再令y ＝0，得f (x )－2f (0)＝x 2＋3x ，∴f (x )＝x 2＋3x ．(方法二)令x ＝0，得f (y )－2f (y )＝－y 2－3y ，即－f (y )＝－y 2－3y ．因此f (y )＝y 2＋3y ．故f (x )＝x 2＋3x ．点技巧 解含有两个变量的解析式的方法—赋值法 所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，可以根据函数特征来45．函数图象的作法(1)作函数图象的常用方法：①描点法：描点法是作函数图象的基本方法．根据函数解析式，列出函数中x 与y 的一些对应值的表，然后分别以它们为横、纵坐标，在坐标系中描出点，最后用平滑的曲线将这些点连起来，就是函数的图象，即“列表—描点—连线”．②利用基本函数图象作出所求的图象，已学过的基本函数图象有：常数函数的图象，例如f (x )＝1的图象为平行于x 轴的一条直线；一次函数的图象，例如f (x )＝－3x ＋1的图象是一条经过一、二、四象限的直线；二次函数的图象，例如f (x )＝2x 2－x ＋1的图象是一条抛物线；反比例函数的图象，f (x )＝k x(k ≠0，且k 为常数)，当k ＞0时，其图象是在一、三象限内，以原点为对称中心的双曲线；当k ＜0时，其图象是在二、四象限内，以原点为对称中心的双曲线．③变换作图法：1°平移：y ＝f (x )y ＝f (x ＋a )y ＝f (x )y ＝f (x －a )y ＝f (x )y ＝f (x )＋by ＝f (x )y ＝f (x )－b2°对称：y ＝f (x )y ＝－f (x )y ＝f (x )y ＝f (－x )y ＝f (x )y ＝－f (－x )y ＝f (x )――-------------→保留x 轴上方图象，再把x 轴下方图象对称到上方y ＝|f (x )|； y ＝f (x )――-------------→保留y 轴右边的图象，再在y 轴左边作其关于y 轴的对称图象y ＝f (|x |)． (2)分段函数图象的作法画分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ f 1(x )，x ∈D 1，f 2(x )，x ∈D 2，…(D 1，D 2，…，两两交集是空集)的图象步骤是：①画函数y ＝f 1(x )的图象，再取其在区间D 1上的图象，其他部分删去不要；②画函数y ＝f 2(x )的图象，再取其在区间D 2上的图象，其他部分删去不要；③依次画下去；④将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象．注意：在作每一段的图象时，先不管自变量的限制条件，作出其图象，再保留自变量限制条件内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，若端点包含在内，则用实点表示；若端点不包含在内，则用虚点表示，要保证不重不漏．【例5－1】作出下列函数的图象：(1)y ＝1＋x ，x ∈Z ；(2)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．【例5－2】作下列各函数的图象． (1)1,01,,1x y x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩；y=(2)y ＝|x －1|；(3)y ＝|x |－1．解：(2)(方法一)所给函数可写成1111x x y x x -≥⎧=⎨-<⎩，，，，是端点为(1,0)的两条射线，如图②． (方法二)可以先画函数y ＝x －1的图象，然后把其在x 轴下方的图象对称到上方．如图③．(3)(方法一)所给函数可写成1010x x y x x -≥⎧=⎨--<⎩，，，，如图④． (方法二)可以先画出函数y ＝|x |－1在y 轴右侧，即y ＝x －1(x ≥0)的图象，然后按照关于y 轴对称作出函数y ＝|x |－1在y 轴左侧的图象即可．如图⑤．【例5－3】作出下列函数的图象．(1)y ＝|x ＋2|－|x －5|；(2)y ＝|x －5|＋|x ＋3|．点技巧 含绝对值的函数图象的作法 含有绝对值的函数，可以根据去绝对值的法则去掉绝对值符号，将函数化为分段函数的形式，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式画出图象．6．与分段函数有关的问题(1)已知自变量的取值，求函数值．(2)已知函数值，求自变量的取值．(3)已知f (x )，解不等式f (x )＞a ．【例2】已知函数f (x )＝21222221 2.x x x x x x x +≤-⎧⎪+-<<⎨⎪-≥⎩，，，，， (1)求f (－5)，f (，f(f(25)的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．【例3】已知f (x )＝222 2.x x x x +≥-⎧⎨--<-⎩，，，若f (x )＞2，求x 的取值范围． 7．函数图象的简单应用函数图象可以直观地显示函数的变化规律，使抽象的问题变得更加形象．图形与数的结合(数形结合)是解决数学问题的一件利器．函数图象的应用主要体现在以下几个方面：(1)由图象确定解析式解决“已知函数图象，求函数的解析式”的问题关键在于充分挖掘图形信息，也就是曲线的形状如何(据此设定相应的函数解析式的类型——定性)，图象有关特征点坐标如何(据此确定解析式的系数——定量)．例如，若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其表达式f (x )为__________．解析：此函数在三个区间上的图象各不相同，故分别在各区间内写出其函数表达式．答案：f (x )＝[)[)[)33,2,0,213,0,2,22,2,4.x x x x x ⎧+∈-⎪⎪⎪-+∈⎨⎪⎪∈⎪⎩(2)根据具体问题所表示的函数关系判断函数的图象解决此类问题应结合图象的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，把它转化为曲线的变化情况，问题即可解决．(3)利用函数的图象，求函数的值域或最值．解决这类问题的关键在于能正确作出函数的图象．例如，若x ∈R ，f (x )是y ＝2－x 2，y ＝x 这两个函数中的较小者，则f (x )的最大值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．无最大值解析：由题目可获取的信息是：①两个函数一个是二次函数，一个是一次函数；②f (x )是两个函数中的较小者．解答此题可先画出两个函数的图象，然后找出f (x )的图象，再求其最大值．在同一坐标系中画出函数y ＝2－x 2，y ＝x 的图象，如图，根据题意，坐标系中实线部分即为函数f (x )的图象．故x ＝1时，f (x )max ＝1，应选B ．答案：B(4)研究函数图象的交点个数 解决这类问题的关键是正确画出函数的图象，结合图象分析．【例7－1】已知函数y ＝f (x )的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．。
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利用函数的性质求函数解析式
阳新县第一中学 明江平
一、简单回顾函数的常见性质：奇偶性、周期性、对称性
二、例题讲解
1、已知函数)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，当)0,(-∞∈x 时，42)(x x x f -=，则当),0(+∞∈x 时，)(x f = 。
[解析]当)0,(),,0(-∞∈-+∞∈x x 则，44)()(x x x x x f --=---=-∴，
又)(x f 为偶函数，),0(),()(+∞∈∴=-∴x x f x f 当时，4)(x x x f --=
[答案]4x x --
2.已知)(x f 是R 上的奇函数，对任意的x ，总有)2()(+-=x f x f ，当32≤≤x 时， 86)(2+-=x x x f ，求当65≤≤x 时，函数)(x f 的解析式。
[分析]：由)2()(+-=x f x f 可知)(x f 具有周期性，由)(x f 的周期性可把所求)(x f 的定义域区间转化到已知函数)(x f 的定义域区间，再利用代换思想可求得解析式。
[解析]：)(,4)(),()4(),()2(x f x f x f x f x f x f 为是周期函数∴=+∴-=+ 的一个周期 283,65-≤-≤-∴≤≤x x ，即382≤-≤x ，)()8()8(x f x f x f -=--=- 2410]8)8(6)8[()8()(22-+-=+----=--=∴x x x x x f x f
3.函数)10)(3(log )(≠>-=a a a x a x f 且，当点),(y x P 是函数)(x f y =图象上的点时，),2(y a x Q --是函数)(x g y =图象上的点，写出函数)(x g y =的解析式。
[解析]设)(),(00x f y y x P =是图象上的点，点),(y x Q 是)(x g y =图象上的点，则⎩⎨⎧-=-=0
02y y a x x ，)32(log ,200a a x y y y a x x a -+=-∴⎩⎨⎧-=+=∴，)(1log a x a x y a >-=∴ )(1log )(a x a
x x g a
>-=即。
三、课后巩固
1、函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且对任意R x ∈都有)1()1(-=+x f x f 成立，若当
]2,1[∈x 时，)1(log >=a x y a 。
（1）求]1,1[-∈x 时，函数)(x f 的表达式。
（2）求)](12,12[z k k k x ∈+-∈时，函数)(x f 的表达式。
答案：（1）⎩⎨⎧≤≤-<≤-+=)
10)(2(log )01)(2(log )(x x x x x f a a （2）)()122)](2(2[log )212)](2(2[log )(z k k x k k x k x k k x x f a
a ∈⎩⎨⎧+≤≤--<≤--+=。