1.4 阶跃函数和冲激函数

d 2t e (t ) e 2t (t ) 2 e 2t (t ) (t ) 2 e 2t (t ) dt
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2.δ(t)的奇偶性 (t ) ( t ) 或由冲激的广义函数定义可得到奇偶性的严格证明 由极限定义，矩形脉冲本身是偶函数，故极限也是偶函数。 3.δ(t)的尺度变换
第一章 信号与系统
§1.4 阶跃函数和冲激函数
• 函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统 称为奇异信号或奇异函数。本节介绍的奇异函数：
–单位阶跃信号
–单位冲激信号 –冲激偶信号
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一、阶跃函数和冲激函数
阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函数。研 究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。这 里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。 1.单位阶跃函数的极限定义
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
f ( 0)




(t ) f (t ) d t f (0)
f(t)在t=0处连续
o
t
对于移位情况：
(t t 0 ) f (t ) f (t0 ) (t t 0 )



(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
[ f(t) δ(t)]’ = f(t) δ’(t) + f ’(t) δ (t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t)
f t ( t ) f 0 ( t ) f ( 0) t ， f(t) δ’(t) = [ f(t) δ(t)]’ – f ’(t) δ (t)
f (t ) (at t 0 ) t t 1 f ( 0 ) (t 0 ) a a a
推论2: 当a = –1时
( n) (t ) (1) n ( n) (t )
δ(–t)=δ(t)为偶函数，δ’(–t)=–δ’(t)为奇函数
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例
已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和g(2t)
ຫໍສະໝຸດ Baidu

t
O
t
2
由极限定义显然可见，冲激偶为奇函数
( t ) ( t )
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冲激偶的性质 ( t ) ( t ) , (t )是奇函数 ① ② ③



( t ) d t 0 ,

t

( t ) d t t
ε [f (t) ]
1 -2 o 2
t
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一般地，
[ f (t )]
i 1 n
1 (t t i ) f ' (t i )
1 f ' (t i )的n个冲激函数
这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为 构成的冲激函数序列。
1 1 1 1 (4t 1) (t ) (t ) 4 2 4 2
f(t)在t=t0处连续
注意
在积分时要看积分区间是否将冲激包含在内。
例


4
(t ) d t 0 而


0
(t ) d t无定义
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例
2 sin(t ) (t ) sin( ) (t ) (t ) 4 4 2
2 sin( t ) ( t ) d t 4 2
( n ) (at)
1 1 ( n) n (t ) |a| a 1 推论1: (at ) (t ) a
证明见教材P21 证明
有时延时： (at t 0 )
t 1 (t 0 ) a a
例 δ(2t)=0.5δ(t) 要确定冲激出现在何处，强度是多少板书简单例子
2
注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。
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三、序列δ(k)和ε(k)
这两个序列是普通序列。 1.单位(样值)序列δ(k)的定义
δ (k )
1 o 1 k
1, k 0 (k ) 0, k 0
def
-1
取样性质： f(k)δ(k) = f(0)δ(k)
选定一个函数序列γn(t)如图所示。
0, t 0 def 1 (t ) lim n (t ) , t 0 n 2 1, t 0
γn(t)
(t )
1 O t
1 1/2 -1/n 0 1/n t
n→∞
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2.阶跃函数性质： • 用单位阶跃信号描述其他信号
[t 2 4]
1 d 1 [ (t 2 4)] [ (t 2) (t 2)] 2t d t 2t 1 1 1 1 (t 2) (t 2) (t 2) (t 2) 2 2 2 2 4 4
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1 1 p(at)面积为 ， at 强度为 a a
0 时,
p( t ) ( t ) ,
1 p(at ) ( t ) a
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d d f (t ) { [ f (t )]} [ f (t )] dt dt
f (t)
1 d [ f (t )] { [ f (t )]} f ' (t ) d t
例 f(t)= t2 – 4
ε[f(t)]图示说明：
-2
o -4
2
t
ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
(t ) d t (t ) d t
0
0
n/2
-1/n
0
1/n
t
0

函数值只在t = 0时不为零；
积分面积为1；

t =0 时， t ，为无界函数。
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4.冲激函数的特点 ★面积为1 三个特点： ★宽度为0
无穷 ★ 幅度 0
(t )
f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)
k
f (k ) (k ) f (0)
k

例
k
(k ) ?

(k 5) (k ) ?

i
(k i ) ?
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2.单位阶跃序列ε(k)的定义
f (t ) 单边信号： f ( t )( t ) 0 t 0 t 0

1
2
g t
0
f (t )
门函数：
其他函数只要乘以门函数 就只剩下门内的部分
g t t t 2 2
2
t
2
例 f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
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小结：
• • • 单位阶跃信号的定义 单位冲激信号的定义、性质 西电精品课程视频（来源于网络）
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冲激信号尺度变换的证明 从 ( t ) 定义看：
pt 1
pat 1




2 t

2
O



2a
O

a

2a
t
t 强度为1 p(t)面积为1，
(t 2) 2 (t ) d t
板书：例1.4-1，例1.4-2，
d [(t 2) 2 ] t 0 2(t 2) t 0 4 dt
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练习
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练习答案
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5.复合函数形式的冲激函数 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函 数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根 ti ( i=1，2，…，n)
o (a)
t
o (b)
t
o
t1
t2 (c)
t
• 积分

t

( ) d t (t )
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3.单位冲激函数的定义 单位冲激函数是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理 想化模型。它由如下特殊的方式定义。 • 极限定义γ (t)
n
(t )
1
t

• 狄拉克(Dirac)定义
r(t)
0 t

t

(t )dt ( t )，
t 0，t 0时没有意义
r( t ) 求↓ ↑积
(t )
0 t
(t )
通过波形图解释阶跃和冲激之间的关系 总结一下单位斜变信号、单位阶跃信号、 单位冲激信号之间的关系
导↓ ↑分 (t)
(t)
0
f '(t)
引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。 f (t ) 例

t0 t0
(t )
(t t0 )
时移
(1) t
o

强度 为a
(1)

(a )
t
o
t0
t
o
若面积为a，则强度为a，a>0。
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数取0极 限，都可以认为是冲激函数。
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5.冲激信号与阶跃信号的关系
d (t ) (t ) dt
因为 在t=0时不连续 （由狄拉克最早提出）
t
1 1/2 -1/n 0 1/n
O
t
(t ) d t 1 ( t ) 0 t 0

0

(t ) d t、 (t ) d t 无意义
pn(t)
0
n→∞
(1)
(t )

t


o 1 2 t
符号函数：
sgn(t ) 1 1

t 0 t0
-1
sgn t
sgn(t ) (t ) (t ) 2 (t ) 1
1 (t ) [sgn(t ) 1] 2
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O
t
3
• 用阶跃函数表示信号的作用区间
f (t) f(t)ε (t) f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]

④
(t ) f (t ) d t f (0)

时移：
(t t ) f (t ) d t f (t 对 t 的k阶导数：
0
0
)

例


( k ) t f t d t 1 f ( k ) 0
k



1, k 0 (k ) 0, k 0
def
ε (k)
1 -1 o1 2 3 … k
3.ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1)
(k )
或
i
(i)
j 0
k
ε(k) = δ(k)+ δ(k – 1)+…
(k ) (k j )
2
t
求导
-1 o 1 t
(2) -1 o
1
t (-2)
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
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二、冲激函数的性质
1.与普通函数f(t)的乘积——抽样性、筛选性
f (t )
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则:


0
3
sin( t

4
) (t 1) d t ?
0
2 2

9
1
sin(t ) (t ) d t ? 4


1
1
2 ( t ) d ? ( 1) 2 ( ) d ?
2t , 1 t 1 其它 0,

t
1
ε( t )
f (t)
4 -2 o 2
求导，得g(t)
t
(4) -2
g(t) = f '(t)
2
o -1
t
压缩，得g(2t)
g(2t)
1
(4) -1 o -1
t
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4.冲激偶
s( t )
1
(t )

(1)



o
s(t )
t
O
t
0
( t )
1
2
O 1