插值法及程序

plot(x,y,'+k',x,z1,'-g',x,z2,'-r');
xlabel('X')
ylabel('Y')
title('lagrange插值')
%输出结果
b1 = 0.1196
b2 = 0.1198
2、利用牛顿插值法计算过程如下：
构造差分表如下：
0.1
0.2
0.3
0.4
0.09983
0.19867
plot(x0,y0,'*k',x,y,'-r')
xlabel('X')
ylabel('Y')
title('三次样条插值')
%输出结果
b = 0.1198
dn=6/H(n-1)*(Dn-(Y(n)-Y(n-1))/H(n-1));
d=zeros(1,n-2);
forj=2:n-1
d(j-1)=6*cs(X(j-1:j+1),Y(j-1:j+1));
end
d1=[d0,d,dn];
M=inv(A)*d1';
y=zeros(1,m);
fori=1:m
if(x(i)~=X(n))
数值计算方法
第2章大作业
题目： 插值逼近
********************************
学号： ************
专业：运筹学与控制论
插值逼近
一、插值问题
设 是区间 上的一个实函数, 是 上 个互异实数,已知 在 的值 , 求一个次数不超过 的多项式 使其满足 这就是多项式插值问题。
n=length(x0);m=length(x);
fori=1:m
z=x(i);
s=0.0;
fork=1:n
p=1.0;
forj=1:n
ifj~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end
%在命令行窗口输入
x=0.1:0.1:0.6;
end
End
%在命令行窗口输入
x=0.1:0.1:0.6;
y=sin(x);
x1=[0.1 0.2];
y1=sin(x1);
z1=newton(x1,y1,x);
x2=[0.1 0.2 0.3];
y2=sin(x2);
z2=newton(x2,y2,x);
a=0.12;
b1=newton(x1,y1,a)
forj=1:n-1
if(x(i)>=X(j)&&x(i)<X(j+1)) y(i)=((X(j+1)-x(i))^3*M(j)+(-X(j)+x(i))^3*M(j+1))/6/H(j)+((X(j+1)-x(i))*Y(j)+(x(i)-X(j))*Y(j+1))/H(j)-H(j)/6*((X(j+1)-x(i))*M(j)+(-X(j)+x(i))*M(j+1));
end
end
else
y(i)=Y(n);
end
end
End
%在命令行窗口输入
x0=0.1:0.1:0.4;
y0=[0.099830.198670.295520.38942];
x=0.1:0.001:0.4;
[y,M]=scyt(x0,y0,1.00000,0.99998,x);
a=0.12;
b=scyt(x,y,1.00000,0.99998,a)
在每个小区间 上是一个次数不超过 的多项式, 因此需确定四个待定常数, 一共有 个小区间,故应确定 个系数, 在 个内节点上具有二阶连续导数，应满足条件
即有 个连续条件，再加上 满足的插值条件 个，共计 个，因此还需要 个条件才能确定 ，通常可在区间 的端点 上各加一个条件（称为边界条件）。可根据实际问题的要求给定，常见有以下三种：
0.19867
0.29Байду номын сангаас52
0.38942
1.00000
0.99998
%建立M文件
function[y,M]=scyt(X,Y,D0,Dn,x)
n=length(X);
m=length(x);
S=-diag(ones(n,1))+diag(ones(n-1,1),-1);
h=X*S;
H=h(1:n-1);
又称一阶差分的差分 为二阶差分。
一般的，定义函数 在点 处的 阶差分为 。
在等距节点 情况下，可以利用差分表示牛顿插值多项式的系数。
四、三次样条插值
定义：给定区间 的一个划分 ,如果函数 满足：
(1) ;
(2)在每个小区间 上是次数不超过 的多项式;
(3)在每个内节点 上具有二阶连续导数,则称 为关于上述划分的一个三次多项式样条函数，简称三次样条。
0.38942
0.47943
0.56464
计算 的值。
1、利用拉格朗日插值法计算过程如下：
（1）利用线性插值法求近似值
因为0.12位于0.1与0.2之间，故取节点
（2）利用抛物插值所求的近似值为
因为0.12位于0.1，0.2与0.3之间，故取节点
%建立M文件
functiony=lagrange(x0,y0,x)
%建立M文件
functiony=newton(x0,y0,x)
n=length(x0);
m=length(x);
y1=zeros(m);
forj=1:m
fori=n:(-1):2
y1(j)=(x(j)-x0(i-1))*(cs(x0(1:i),y0(1:i))+y1(j));
end
y(j)=y1(j)+y0(1);
b2=newton(x2,y2,a)
plot(x,y,'+k',x,z1,'-g',x,z2,'-r');
xlabel('X')
ylabel('Y')
title('Newton插值')
%输出结果
b1 = 0.1196
b2 = 0.1198
3、利用三次样条插值法计算过程如下：
0.1
0.2
0.3
0.4
0.09983
0.29552
0.38942
0.09884
0.09685
0.09390
-0.00199
-0.00295
-0.00096
（1）利用线性插值所求的近似值为
（1）利用线性插值法求近似值
因为0.12位于0.1与0.2之间，故取节点
（2）利用抛物插值所求的近似值为
因为0.12位于0.1，0.2与0.3之间，故取节点
其中， 为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛顿插值多项式，记为 ，即
因此，牛顿插值多项式 是插值多项式 的另一种表示形式。
设函数 在等距节点 处的函数值 为已知，其中 是正常数，称步长。我们称两个相邻点 和 处函数之差 为函数 在点 处以 为步长的一阶向前差分，记作 ，即
于是，函数 在各节点处的一阶差分依次为
上式表明 个点 都是 次多项式 的零点，故可设
其中， 为待定系数。由条件 立即可得
故
由上式可以写出 个 次插值多项式 。我们称它们为在 个节点 上的 次基本插值多项式或 次插值基函数。
三、牛顿插值法
任何一个不高于 次多项式，都可以表示成函数
的线性组合。既可以把满足插值条件 的 次插值多项式写成如下形式
L=zeros(1,n-2);
fori=1:n-2
L(i)=H(i+1)/(H(i)+H(i+1));
end
mu=ones(1,n-2)-L;
L=[1,L];
mu1=[mu,1];
A=2*diag(ones(n,1))+diag(mu1,-1)+diag(L,1);
d0=6/H(1)*((Y(2)-Y(1))/H(1)-D0);
y=sin(x);
x1=[0.1 0.2];
y1=sin(x1);
z1=lagrange(x1,y1,x);
x2=[0.1 0.2 0.3];
y2=sin(x2);
z2=lagrange(x2,y2,x);
a=0.12;
b1=lagrange(x1,y1,a)
b2=lagrange(x2,y2,a)
(1)已知两端的一阶导数值，即 。
(2)两端的二阶导数已知，即 。
(3)当 是以 为周期函数时，则要求 也是周期函数。这是边界条件应满足
五、例题展示
分别用拉格朗日插值法，牛顿插值法和三次样条插值法算法计算
例 已知函数表如下：
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.09983
0.19867
0.29552
其中 称为 的 次插值多项式, 称为被插函数, 称为插值节点, 称为插值点, 称为插值区间, 式 称为插值条件。
从几何意义来看,上述问题就是要求一条多项式曲线 , 使它通过已知的 个点 ,并用 近似表示 .
即 其中 为实数，就称 为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。
二、拉格朗日插值法
在求满足插值条件 次插值多项式 之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点 中任一点 ，作一n次多项式 ，使它在该点上取值为1，而在其余点 上取值为零，即