离散数学-第七章二元关系课后练习习题及答案讲课教案

第七章作业评分要求：1. 合计100分2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由).3. 总得分在采分点1处正确设置.1 设R={<x,y>|x,y∈N且x+3y=12}.【本题合计10分】(1) 求R的集合表达式(列元素法);(2) 求domR, ranR;(3) 求R◦R;(4) 求R↾{2,3,4,6};(5) 求R[{3}];解(1) R={<0,4>,<3,3>,<6,2>,<9,1>,<12,0>}【2分】(2) domR={0,3,6,9,12}, ranR={0,1,2,3,4}【2分】(3) R◦R={<3,3>, <0,4>}【2分】(4) R↾{2,3,4,6}={<3,3>, <6,2>}【2分】(5) R[{3}]={3}【2分】2 设R,F,G为A上的二元关系. 证明:(1)R◦(F∪G)=R◦F∪R◦G(2)R◦(F∩G)⊆R◦F∩R◦G(3)R◦(F◦G)=(R◦F)◦G.【本题合计18分：每小题6分，证明格式正确得3分，错一步扣1分】证明(1)∀<x,y>,<x,y>∈R◦(F∪G)⇔∃t (xRt∧t(F∪G)y) 复合定义⇔∃t(xRt∧(tFy∨tGy) ∪定义⇔∃t((xRt∧tFy)∨(xRt∧tGy)) ∧对∨分配律⇔∃t(xRt∧tFy)∨∃t(xRt∧tGy) ∃对∨分配律⇔x(R◦F)y∨x(R◦G)y 复合定义⇔x(R◦F∪R◦G)y ∪定义得证(2)∀<x,y>,x(R◦(F∩G))y⇔∃t(xRt∧t(F∩G)y) 复合定义⇔∃t(xRt∧(tFy∧tGy)) ∩定义⇔∃t((xRt∧tFy)∧(xRt∧tGy)) ∧幂等律, ∧交换律, ∧结合律⇒∃t(xRt∧tFy)∧∃t(xRt∧tGy) 补充的量词推理定律⇔x(R◦F)y∧x(R◦G)y 复合定义⇔x(R◦F∪R◦G)y ∪定义得证(3)∀<x,y>,<x,y>∈R◦(F◦G)⇔∃s (<x,s>∈R∧<s,y>∈(F◦G)) ◦定义⇔∃s (<x,s>∈R∧∃t (<s,t>∈F∧<t,y>∈G))) ◦定义⇔∃s∃t(<x,s>∈R∧<s,t>∈F∧<t,y>∈G) 辖域扩张公式⇔∃t∃s((<x,s>∈R∧<s,t>∈F)∧<t,y>∈G) 存在量词交换⇔∃t(∃s(<x,s>∈R∧<s,t>∈F)∧<t,y>∈G) 辖域收缩公式⇔∃t(<x,t>∈(R◦F)∧<t,y>∈G) 复合定义⇔<x,y>∈(R◦F)◦G 复合定义得证3 设F={<x,y>|x－y+2>0∧x－y－2<0}是实数集R上的二元关系, 问F具有什么性质并说明理由.【本题合计10分：每种性质2分----答对得1分，正确说明理由得1分】解F={<x,y>|x－y+2>0∧x－y－2<0}={<x,y>|－2<x－y<2}自反性: ∀x∈R, <x,x>∈F显然.对称性: ∀<x,y>,<x,y>∈F⇔－2<x－y<2⇔－2<y－x<2⇔<y,x>∈F.不具有反自反性: 反例<2,2>∈F不具有反对称性: 反例<2,3>,<3,2>∈F, 显然2≠3不具有传递性: 反例<2,3.5>,<3.5,5>∈F, 但<2,5>不属于F.4 设A={a,b,c}, R={<a,b>,<a,c>},(1) 给出R的关系矩阵;(2) 说明R具有的性质(用关系矩阵的判定方法说明理由)【本题合计12分：第（1）小题2分；第（2）小题10分----答对性质得1分，说明理由得1分】解(1)R的关系矩阵M(R)为0 1 10 0 00 0 0(2)不具有自反性: M(R)的主对角线不是全为1是反自反的: M(R)的主对角线全为0不具有对称性: M(R)不是对称的是反对称的: M(R)对称的位置至多有一个1是传递的: M(R2)如下0 0 00 0 00 0 0显然满足: 如果M(R2)任意位置为1, 则M(R)对应位置也为15 设A≠ø, R⊆A×A, 证明(1) r(R)=R∪I A(2) s(R)=R∪R-1【本题合计12分，每小题6分----证明格式正确得2分，过程错误一步扣1分】证明(1) 只要证明r(R)⊆R∪I A和R∪I A⊆r(R)即可先证r(R)⊆R∪I A:I A⊆R∪I A⇒R∪I A自反(自反性的充要条件)⇒r(R)⊆R∪I A (自反闭包的最小性)再证R∪I A⊆r(R):R⊆r(R)∧I A⊆r(R) (自反闭包的性质及自反性的充要条件)⇒R∪I A⊆r(R)得证(2) 只要证明s(R)⊆R∪R-1及R∪R-1⊆s(R)即可先证s(R)⊆R∪R-1:(R∪R-1)-1=R∪R-1 (理由如下: ∀<x,y>,<x,y>∈(R∪R-1)-1⇔<y,x>∈R∪R-1 (逆运算定义)⇔<y,x>∈R∨<y,x>∈R-1 (∪定义)⇔<x,y>∈R-1∨<x,y>∈R (逆运算定义)⇔<x,y>∈R∪R-1 (∪定义, ∪交换律)所以(R∪R-1)-1=R∪R-1 )⇔R∪R-1是对称的(对称性的充要条件)⇒s(R)⊆R∪R-1 (对称闭包的最小性)再证R∪R-1⊆s(R):R⊆s(R) (闭包定义) ∧R-1⊆s(R) (后者理由如下:∀<x,y>,<x,y>∈R-1⇔<y,x>∈R (逆运算定义)⇒<y,x>∈s(R)⇒<x,y>∈s(R) (s(R)是对称的)所以R-1⊆s(R) )⇒R∪R-1⊆s(R)得证6 设A={a,b,c,d}, R={<a,d>,<b,a>,<b,c>,<c,a>,<c,d>,<d,c>}, 用Warshall算法求t(R). 【本题合计8分】解依次求出W0,W1,W2,W3,W4=t(R)【2分】W0=M(R)= 0 0 0 11 0 1 01 0 0 10 0 1 0【1分】W1= 0 0 0 11 0 1 11 0 0 10 0 1 0【1分】W2= 0 0 0 11 0 1 11 0 0 10 0 1 0【1分】W3= 0 0 0 11 0 1 11 0 0 11 0 1 1【1分】W4= 1 0 1 11 0 1 11 0 1 11 0 1 1【1分】即t(R)={<a,a>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<c,a>,<c,c>,<c,d>,<d,a>,<d,c>,<d,d>}.【1分】7 设R为A上的自反和传递的关系, 证明R∩R-1是A上的等价关系.【本题合计10分】证明自反性: ∀x∈A,xRx∧xR-1x⇒x(R∩R-1)x【3分】对称性: ∀x,y∈A,x(R∩R-1)y⇔xRy∧xR-1y⇔yR-1x∧yRx⇒y(R∩R-1)x【3分】传递性: ∀x,y,z∈A,x(R∩R-1)y∧y(R∩R-1)z⇔xRy∧xR-1y∧yRz∧yR-1z⇔(xRy∧yRz)∧(xR-1y∧yR-1z)⇒xRz∧xR-1z⇔x(R∩R-1)z【4分】得证.8 设A={1,2,3,4}, 在A×A上定义二元关系R,∀<u,v>,<x,y>∈A×A, <u,v>R<x,y>⇔u+y=v+x(1)证明R是A×A上的等价关系;(2)确定由R引起的对A×A的划分.【本题合计10分】解(1)自反性: ∀<x,y>∈A×A, <x,y>R<x,y>显然成立.【2分】对称性: ∀<x,y>,<u,v>∈A×A,<x,y>R<u,v>⇔x+v=y+u⇔u+y=v+x⇔<u,v>R<x,y>【2分】传递性: ∀<x,y>,<u,v>,<s,t>∈A×A,<x,y>R<u,v>∧<u,v>R<s,t>⇔x+v=y+u ∧u+t=v+s ⇒x+t=y+s ⇔<x,y>R<s,t>【2分】因此R 是A×A 上的等价关系.(2)根据R 的定义, <x,y>R<u,v>⇔x+v=y+u ⇔x －y=u －v, 因此[<x,y>]R={<u,v>|<u,v>∈A×A ∧u －v=x －y},【2分】 所以R 引起的划分如下:{ { <1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>},{<1,2>,<2,3>,<3,4>},{<2,1>,<3,2>,<4,3>},{<1,3>,<2,4>},{<3,1>,<4,2>},{<1, 4>},{<4,1>} }【2分】9 设R, S 是A={1,2,3,4}上的等价关系, 其关系矩阵分别为 【本题合计5分】1100110000100001R M ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1000011001100001S M ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.求包含R 与S 的最小的等价关系.分析: 设包含R 与S 的最小等价关系为T ，则R ⊆T, S ⊆T, 所以R ⋃S ⊆T. 而T 是等价关系，根据等价关系的定义，T 应该具有自反性、对称性和传递性。