1.2 圆周运动及其描述

讨论：已知物体作曲线运动，运动方程 r (t) x(t)i y(t) j
如何求切向加速度和法向加速度？
第1章 质点运动学
1.2 圆周运动及其描述
2 x 2 t , y 4 t 例 已知质点的运动方程为
式中时间以s计，距离以m计：试求： （1）质点的轨迹方程； （2）任意时刻质点运动的速度和加速度； （3）任意时刻质点运动速度的大小； （4）任意时刻质点运动的切向加速度和法向加速度。 2 消去 t x 解: (1)由 x 2t 轨迹方程 y 4 (m) 2 4 y 4t dy dx 2 m s vy 2t m s v 2i 2tj m (2) v x dt dt dv dv y 2 2 x ax 0 ay 2 m s a 2 j m s dt dt 2 2 (3) v vx vy 2 1 t2 m s 2 2 2 2 dv 2t 2 a a a m s n t ms (4) at 2 2 1 t dt 1t
第1章 质点运动学
1.2 圆周运动及其描述
2 角加速度 角加速度 :角速度 (t )随时间的变化率 平均角加速度 瞬时角加速度 角加速度 注:（1） （2）
y
B

A
＝lim
t 0
＝ t
d ＝ t dt
r
o


x
d ( t ) d 2 ( t ) (t ) dt dt 2
v 2 r r
2
an
en
a
an tg at
o
2 an at2
方向： 与切向正向夹角
第1章 质点运动学
a 与 e t 夹角 （2）
1.2 圆周运动及其描述
取值
π 0, 0 , v 增大 en 2 a a n , v常量 a t 0, π o 2 0, π π, v 减小 2 都为常量 . (3) 匀速率圆周运动 速率 v 和角速度 a t 0 a anen t 0 匀变速率圆周运动 常量
小结： 线量
1 2 s s0 v0t at t 2 2 v2 v0 2at (s s0 )
联系：
角量
s
v2 an r

ds v dt

d dt
d d 2 2 2 dv d s dt dt at dt dt 2
s r v r 2 an r at r
求 导 求 导 求 导 求 导 s v at 积 分 积 分 积 分 积 分
第1章 质点运动学
1.2 圆周运动及其描述 讨论
对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种 是正确的： （A）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）； （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零；
其方向与切向的夹角 为 (2) 由题意，an
，可得 t 2 =1s2 此时质点的角坐标是
an 2 arctan arctan t at
at
1 2 1 t 2 = 1+ 2 = 2.5 rad 2 2
即此处质点的切向加速度和法向加速度的大小相等。
第1章 质点运动学
1.2 圆周运动及其描述
如
0 π
at v e
t
t 0 时,
0 , 0
2 2 02 2 ( 0 )
第1章 质点运动学
0 0t 1 t 2
at
如
常量
1.2 圆周运动及其描述 v v0 at t
0 0
t 0 时, s s , v v
1.2 圆周运动及其描述
四 一般曲线运动的加速度
a at an atet anen
v2
a

其中
a t d v an dt ：轨迹某点处曲率圆的曲率半径
a 与切向正向夹角

an
wk.baidu.comt
2 a an at2
an tg at
d s r r 线速度v: v lim lim t t 0 dt t 0 t ds v r dt
r
第1章 质点运动学
1.2 圆周运动及其描述
三 圆周运动的切向加速度和法向加速度(自然坐标描述)
质点作任意的变速圆周运动时
v v (t )et dv dv d e et v t a dt dt dt 切向单位矢量的时间变化率 d et lim et 当 t 0 时, dt t0 t et 大小 et 1 et 即沿着法向 方向 垂直于
2 a at2 an t 时刻, 总加速大小：
ds 解 (1) v v0 bt dt
dv at b dt
an
v2 R
质点运行的圈数
v0 0 b 0 2 v s b 2 b 0 N 2 R 2 R 4 Rb 第1章 质点运动学
s
第1章 质点运动学
二、圆周运动的角量表示 角速度和角加速度
1 角速度 角坐标
y
B
(t )
＝ t
角速度 :角坐标 (t )随时间的变化率 平均角速度 瞬时角速度
r
o

A

x
d ＝lim ＝ dt t 0 t
角速度
d (t ) (t ) dt
注:（1） 单位： rad s （2）ω= const 匀速圆周运动 ω≠const 变速圆周运动
单位： rad
s
2
α= const 匀变速圆周运动 α≠const 非匀变速圆周运动
第1章 质点运动学
1.2 圆周运动及其描述
3．角量与线量的关系 角量(极坐标描述)： 角坐标 角速度
y
B

s
A

角加速度

r
o

线量(自然坐标描述)： 路程 联系:
x
s
线速度（速率）v 加速度 a
s r
t
1.2 圆周运动及其描述
dt
dt
法向加速度（速度方向变化引起）
（向心加速度）
讨论 （1）圆周运动加速度的计算 a a t a n a t et a n en
其中 a t d v r dt 总加速度 大小： a
2 v an 2r r
an v
例1-9 设有一个质点作半径为 R 的圆周运动. 质点沿 圆周运动所经历的路程与时间的关系为 s = v0t-bt2/2, 并设 b 为一常量, 求（1）t 时刻质点的加速度；（2）总加速 度大小达到b值时，质点沿圆周运行的圈数。
1 R 2b 2 (v0 bt ) 4 R (v0 bt)2 an (v0 bt ) 2 actg 方向：与切向正向的夹角 tg at Rb Rb v0 1 2 2 4 求得 t (2) 令 a R R b (v0 bt ) b b 2 v 1 v
d et lim et lim en d t t 0 t t 0 t
v2 et 2 v1 et1 o
r
故
et e t1 et 2

第1章 质点运动学
d en en dt
dv a et v en at an atet anen dt 切向加速度（速度大小变化引起） v r at v d v a et r d r
1.2 圆周运动及其描述
圆周运动：质点运动轨迹为圆周的运动。
y
一 平面极坐标 自然坐标
1 平面极坐标 以( r , ) 为坐标
与直角坐标系之间的变换关系为
2 自然坐标
x r cos y r sin
o

r
A
x
选择质点A所在的位置为坐标原点， 速度方向为切向坐标方向， 垂直切向指向曲率中心的方向为法向坐标方向。
y
A
an
en et
e t ——切向单位矢量 ； e n
例如:
——法向单位矢量
at v
A
某一矢量可用在两个坐标方向上的分量表示,
v vet
a an at anen at et
o
a
x
第1章 质点运动学
1.2 圆周运动及其描述
dv d(2t ) at 2 m/s 2 dt dt
v 2 (2t ) 2 an 2t 2 (m/s 2 ) R 2
第1章 质点运动学
所以，质点加速度的大小为
1.2 圆周运动及其描述
a at 2 an 2 22 (4t 2 )2 2 1 t 4 (m/s2 )
第1章 质点运动学
1.2 圆周运动及其描述
例1-8 一质点作半径 R 2 m的圆周运动，其角坐标 1 2 随时间的变化关系为 t 2 (rad)，t以秒计。（1）求 2 质点的速度和加速度；（2）问 多大时，该质点的切 向加速度与法向加速度大小相等? 解（1）速度的大小即速率为 d 2t (m/s) vR dt 速度的方向沿圆周的切向。 切向加速度和法向加速度的大小分别为
速率运动 .
（E）若物体的加速度 a 为恒矢量，它一定作匀变
第1章 质点运动学
（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
1.2 圆周运动及其描述 讨论 例 质点作半径为R的变速圆周运动的加 速度大小为：
dv （1） dt
2 v v d （3） dt R
（2）
v2 R
dv 2 v 2 2 （4） ( ) ( ) dt R