绝对值三角不等式(优选)
绝对值不等式
绝对值不等式知识总结：1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |<a (－a ，a ) ∅∅ |x |>a(－∞，－a )∪(a ，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .题型一：绝对值不等式的解法例1：不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)例2：若关于x 的不等式|x －1|－|x －3|>a 2－3a 的解集为非空数集，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a <2 B.3－172<a <3＋172C ．a <1或a >2D ．a ≤1或a ≥2举一反三：变式1：设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，则a ＝________.变式2:不等式|x －2|＋|x ＋2|≥5的解集为______________．题型二：利用绝对值不等式求最值例1：对于任意实数a 和b (b ≠0)，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|b |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，则实数x 的取值范围是________．例2：记max{p ，q }＝⎩⎨⎧p ，p ≥q ，q ，p <q ，设M (x ，y )＝max{|x 2＋y ＋1|，|y 2－x ＋1|}，其中x ，y ∈R ，则M (x ，y )的最小值是________．举一反三：变式1：若关于x 的不等式|x ＋t 2－2|＋|x ＋t 2＋2t －1|<3t 无解，则实数t 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1 B ．(－∞，0] C ．(－∞，1]D ．(－∞，5]变式2：(2020·浙江第二次联盟联考)定义min{x ，y }＝⎩⎨⎧x ，x ≤y ，y ，x >y ，已知x 是不为2或8的实数，若S ＝min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2|x －2|，1|x －8|，则S 的最大值为________．题型三：绝对值不等式的综合应用例1：已知a ，b 为实数，不等式|x 2＋ax ＋b |≤|x 2－7x ＋12|对一切实数x 都成立，则a ＋b ＝________.例2：已知函数f (x )＝x |x －a |－1.①当a ＝1时，解不等式f (x )<x －1；②当x ∈(0,1]时，f (x )≤12x 2恒成立，求实数a 的取值范围．举一反三：变式1：已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .(1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．课后练习：1．不等式|2x －1|<3的解集是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2)C ．(－2，－1)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)2．不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |x >1}D ．{x |x <－1或x >1}3．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．8 D ．74．已知数列{a n }为等差数列，且a 8＝1，则2|a 9|＋|a 10|的最小值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．05．设函数f (x )＝|2x －1|，若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)6．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或87．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π2x ，|x |≤1，x 2－1，|x |>1.若|f (x )＋f (x ＋l )－2|＋|f (x )－f (x ＋l )|>2(l >0)对任意的实数x都成立，则正数l 的取值范围为( ) A ．(0,23) B ．(23，＋∞) C ．(0,23]D ．[23，＋∞)8．若a ，b ，c ∈R ，且|a |≤1，|b |≤1，|c |≤1，则下列说法正确的是( ) A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2 B.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b －c 2 D ．以上都不正确9．若关于x 的不等式|x |＋|x ＋a |<b 的解集为(－2,1)，则实数a ＝________，b ＝________.10．已知f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x －a ＋2x －2a (x >0)的最小值为32，则实数a ＝________.11．当1≤x ≤3时，|3a ＋2b |－|a －2b |≤|a |⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m x ＋1对任意的实数a ，b 都成立，则实数m 的取值范围是________．12．对任意的x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为________；若正实数x ，y ，z 满足x 2＋2y 2＋z 2＝1，则t ＝433xy ＋2yz ＋xz 的最大值是________．13．已知函数f (x )＝x －1，若|f (x )－1|＋1|f (x －1)|－a >0对任意的x ∈R 且x ≠2恒成立，则实数a的取值范围为________；不等式|f (2x )|≤5－|f (2x －1)|的解集为__________．14．已知a >0，若集合A ＝{x ∈Z ||2x 2－x －a －2|＋|2x 2－x ＋a －2|－2a ＝0}中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为______．15．已知a ，b ∈R ，f (x )＝|2x ＋ax ＋b |，若对于任意的x ∈[0,4]，f (x )≤12恒成立，则a ＋2b ＝________.。
01绝对值不等式(含经典例题+答案)
绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤a x＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔a x＋b≥c或a x＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|＋|x－b|≥c表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.例5：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x，y)(其中x，y∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x＋2|＋|y－2|＋(|x－3|＋|y－1|)＋(|x－3|＋|y－4|)＋(|x＋2|＋|y－3|)＋(|x－4|＋|y－5|)＋(|x－6|＋|y－6|)＝[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)＋2|x－3|]＋[|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|]取得最小值的格点(x，y)(其中x，y∈Z)．注意到[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|) ＋2|x－3|]≥|(x＋2)－(x－6)|＋|(x＋2)－(x－4)|＋0＝14，当且仅当x＝3取等号；|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|＝(|y－1|＋|y－6|)＋(|y－2|＋|y－5|＋(|y－3|＋|y－4|)≥|(y－1)－(y－6)|＋|(y－2)－(y－5)|＋|(y－3)－(y－4)|＝9，当且仅当y＝3或y＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的例9：已知关于x的不等式|2x＋1|＋|x－3|＞2a－32恒成立，求实数a的取值范围．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2，x ＜－12，x ＋4，－12≤x ＜3，3x －2，x ≥3，∴当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|＋|x －3|取最小值72，∴72＞2a －32，即得a ＜52. 例10：已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.解：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2， 又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.例11：已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a |2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |＞|b |，则左边＝|a ＋b |·|a －b |2|a |＝|a ＋b |·|a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |，∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a |－|b |2＝右边，∴原不等式成立． ②若|a|＝|b|，则a 2＝b 2，左边＝0＝右边，∴原不等式成立．③若|a|＜|b|，则左边＞0，右边＜0，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．证明：|f(x)－f(a)|＝|x 2－x ＋43－a 2＋a －43|＝|(x －a)(x ＋a －1)|＝|x －a|·|x ＋a －1|.∵|x －a|＜1， ∴|x|－|a|≤|x －a|＜1.∴|x|＜|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x －a|·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|≤|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1)． 例13：已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6，x ≥5，4，1<x <5，6－2x ，x ≤1，g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)． x －4|－|x －2|＞1.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。
绝对值三角不等式
不小于它们的几何平均。 不小于它们的几何平均。
推广： 推广：
1．如果 a1 , a2 ,⋯ , an ∈ R , n > 1且n ∈ N
+ *
则：
a1 + a 2 + ⋯ + a n 叫做这n个正数的算术平均数。 个正数的算术平均数 叫做这 个正数的算术平均数。 n
n
a1 a 2 ⋯ a n 叫做这 个正数的几何平均数 叫做这n个正数的几何平均数。 个正数的几何平均数
例1、已知x，y，z ∈ R ，求证：
+
（x+y+z） ≥ 27 xyz。
3
变式一、求证： 1 1 1 （ x + y + z )( + + ) ≥ 9 x y z
变式二、求证： 1 1 1 9 （ x + y + z )( + + )≥ x+ y y+z z+x 2
推论: 推论
a+b+c 3 + ≥ abc (a, b, c ∈ R ) 3
2 2
1 = ⋅ 2 x 2 (1 − x 2 )(1 − x 2 ) 2
构造三 个数相 加等于 定值. 定值
将一块边长为a的正方形铁皮 例4.将一块边长为 的正方形铁皮，剪去四个角 将一块边长为 的正方形铁皮， 四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒， ），作成一个无盖的铁盒 （四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒， 要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？ 要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？ x 最大容积是多少？ 最大容积是多少？ 解:设剪去的小正方形的边长为 x a − 2x a 2 则其容积为 : V = x(a − 2 x) , (0 < x < ) a 2
高中数学新人教A版选修4-5 绝对值三角不等式
(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对 值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式． (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的 关键．
3． 若 a， b∈R， 且|a|≤3， |b|≤2， 则|a＋b|的最大值是________， 最小值是________．
解析：∵|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|， ∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.
解：∵a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立， ∴a<(|x＋1|－|x－2|)min. ∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3. ∴(|x＋1|－|x－2|)min＝－3. ∴a<－3.即 a 的取值范围为(－∞，－3)．
“应用创新演练”见“课时跟踪检测（四）” (单击进入电子文档)
|A|＋|B| 2 1 2 2 ＝ (| A | ＋ | B | ＋2|A||B|) 4 2
|A|＋|B| 1 ≥ (2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，∴2lg ≥lg|A||B|. 4 2 |A|＋|B| 1 ∴lg ≥ (lg|A|＋lg|B|)，④正确． 2 2 答案：A
解析：∵|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a| ＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确； ∵1>|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|<|b|＋1，②正确； 1 1 |x| 2 ∵|y|>3，∴ < .又∵|x|<2，∴ < ，③正确； |y| 3 |y| 3
②若|a|<|b|， 左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立． ③若|a|＝|b|，原不等式显然成立． 综上可知原不等式成立.
绝对值三角不等式
a b a b
ab 0 且 a b 时，等号成立。 当且仅当__________________
定理1的完善 如果a, b是实数，则
a b a b a b
ab 0 时，右边等号成立。 当且仅当_________
当且仅当
ab 0 时，左边等号成立； ab
x2 x1 x2 x1 x1 x2 1 x1、 x2 0，且 1 x1 x2 x2 x x1 x2 0， 3 ，
2 2 1
x2 x x1 x2 1 2
2 2 1
f ( x2 ) f ( x1 ) 2 x2 x1 .
证明 : (3)
f (0) f (1)
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f (1) f (0) f ( x1 )
f ( x2 ) f (1) f (0) f ( x1 )
又x1、 x2 0， 1
2 x2 1 2 0 x1
求证：
xy ab M
例关于 . x的方程x ax b 0两根
2
为、，若 a b 1， 求证 : 1且 1.
证法1 : 、 是方程x ax b 0两根， + = a， b a b 1
2
+ 1.又 1 ，
方程f ( x) 0的两实根在 11 ，内，
即 1 ， 1.
例4.已知 : f ( x) 1 x ，当a b时，
2
求证 : f (a) f (b) a b
证明 : f ( x) 1 x
1.2.1 绝对值三角不等式 课件(人教A选修4-5)
1．设a、b是满足ab<0的实数，则下列不等式中正确的是
( A．|a＋b|>|a－b| C．|a－b|<||a|－|b|| B．|a＋b|<|a－b| D．|a－b|<|a|＋|b| )
解析：∵ab<0且|a－b|2＝a2＋b2－2ab， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<|a－b|2. ∴(|a|＋|b|)2＝a2＋b2＋2|ab|＝|a－b|2.
法二：把函数看作分段函数． 4，x<－1， y＝|x－3|－|x＋1|＝2－2x，－1≤x≤3， －4，x>3. ∴－4≤y≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4.
(2)|x|≤1，|a|≤1， ∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x| ＝|a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x| ＝1－|x2|＋|x|＝－|x|2＋|x|＋1 12 5 5 ＝－(|x|－ ) ＋ ≤ . 2 4 4 1 5 ∴|x|＝ 时，|f(x)|取得最大值 . 2 4
②点B不在A，C上时，|a－c| < |a－b|＋|b－c|.
应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．
[例 1]
s s s 已知|A－a|< ，|B－b|< ，|C－c|< . 3 3 3
பைடு நூலகம்
求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|<s.
[思路点拨] ―→ 得出结论
变形 重新 定理 转化为|A－a|＋ 原式 ――→ ――→ 分组 |B－b|＋|C－c|
∴a<[|x＋1|－|x－2|]min.
∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3. ∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3. ∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．
绝对值三角不等式
例 1 ； 解 不 等 式 1 3 x 4 6
解 : 原不等式等价于下列不
等式组
3 x 4
1
3 x 4 6
即
3x
6
4 3x
1或 4
3x 6
4
1
x
1或 10 x 3
x
2 3
5 3
解得 10 x 5 或 1 x 2
3
3
3
故原不等式的解集为
10 3
,
思想．零3０点-当分(Xx区-<1-间)2+法时(X，+2原) 不≥等5 式同解于
X<-2
X≤-3
-(X-1)-(X+2) ≥5
综合上述知不等式的解为x2或 x-3
3.型如|ax+b|+|cx+d|≥k(k∈R)不等式解法
例 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或
（当且仅当 ab ≥ 0 时，等号成立.）
证明:10 .当ab≥0时,
a b | a b |,
20. 当ab<0时,
a b | a b |,
| a b | ( a b ) 2 a2 2ab b2
| a b | ( a b ) 2 a2 2ab b2 | a |2 2 | a b | | b |2
如果把 a, b 换为向量 a, b ，根据向量加法的三 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
ab
b a
推论 1 a1 a2
ab
a
b
an ≤ a1 a2 an
定理2 如果a、b、c是实数,
高二数学人选修课件绝对值三角不等式
03
一元二次绝对值三
角不等式
一元二次绝对值不等式解法
零点分段法
通过找出不等式中绝对值符号内表达式的零点，将数轴分为若干个区间，然后在每个区间内去掉绝对 值符号进行讨论，最后综合各个区间的解得到原不等式的解集。
平方去绝对值法
对于形如$|f(x)|>g(x)$或$|f(x)|<g(x)$的不等式，可以通过平方去掉绝对值符号，转化为一般的不等 式进行求解。但需要注意，平方时可能会扩大或缩小原不等式的解集，因此需要对解集进行检验。
排序不等式
对于两组实数序列{ai}和{bi}，若a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an，b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn， 则有∑ai*bi ≥ ∑aj*bk（其中j, k为任 意排列），当且仅当ai与bi一一对应 时取等号。排序不等式可用于解决一 些与顺序有关的问题。
均值不等式
对于任意正实数a, b，有√(ab) ≤ (a + b)/2 ≤ √[(a^2 + b^2)/2]。均值 不等式可用于解决一些与平均值有关 的问题。
02
一元一次绝对值三
角不等式
一元一次绝对值不等式解法
零点分段法
根据绝对值的定义，将绝对值不 等式转化为分段函数，然后分别 求解每一段的不等式。
几何意义法
利用绝对值的几何意义，将绝对 值不等式转化为数轴上的距离问 题，从而进行求解。
一元一次三角不等式解法
三角函数性质法
利用三角函数的性质，如周期性、奇 偶性、单调性等，将三角不等式转化 为普通的不等式进行求解。
三角函数的单调性
利用三角函数的单调性，可以求解一些简单的三角不等式。例如，对于$sin x geq frac{1}{2}$，由于$sin x$在$[0, frac{pi}{2}]$上单调递增，因此解集为$[2kpi + frac{pi}{6}, 2kpi + frac{5pi}{6}]$（$k in Z$）。
绝对值不等式课件
时,|a+b|<|a|+|b|,这些都利用了三角形的性质定理,如三角形的两边之
和大于第三边等.
这样处理,可以形象地描绘绝对值三角不等式,更易于记忆和理解
定理.绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式,但放缩的“尺度”
∴ymax=4,ymin=-4.
4, < -1,
方法二:把此函数看作分段函数.∵y=|x-3|-|x+1|= 2-2,-1 ≤ ≤ 3,
-4, > 3,
∴-4≤y≤4.∴ymax=4,ymin=-4.
迁移与应用
如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集为或两个以上绝对值的代数式,通常利用分段讨论的
方法转化为分段函数,进而利用分段函数的性质解决相应问题.利用含
绝对值不等式的性质定理进行“放缩”,有时也能产生比较好的效果,但
这需要准确地处理“数”的差或和,以达到所需要的结果.
三、绝对值不等式的其他应用
活动与探究
例 3 已知函数 f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求
要仔细把握,如下面的式子:|a|-|b|≤||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,我们常用的
形式是|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,实质上|a+b|是不小于||a|-|b||的,|a|-|b|不
一定是正数,当然这需要对绝对值不等式有更深的理解,从而使放缩的
“尺度”更为准确.
一、利用绝对值三角不等式证明不等式
迁移与应用
已知 f(x)=x2-2x+7,且|x-m|<3,求证:
绝对值三角不等式课件
【防范措施】 正确求参数的取值范围 应用绝对值三角不等式求参数的取值范围是重点考查题型 ,解 答本题的关键是,正确应用绝对值三角不等式求出最值,再根 据题意,求出参数的取值范围,如本例关键是对条件关于x的不 等式|x-3|+|x-4|>a的解集不是R的正确理解.
【类题试解】若不等式|x-1|+|x+3|≥a恒成立，则a的取值范 围是______. 【解析】因为a≤|x-1|+|x+3|恒成立，故a小于等于 |x-1|+|x+3|中的最小值， 又|x-1|+|x+3|=|1-x|+|x+3|≥|1-x+x+3|=4, 故a≤4,即a的取值范围是(-≦,4］. 答案：(-≦,4］
2.函数y=|x－1|+|x－5|的最小值为______,此时x的取值范围 是_____. 【解析】|x－1|+|x－5|=|x－1|+|5－x| ≥|x－1+5－x|=4， 当且仅当(x－1)(5－x)≥0, 即1≤x≤5时等号成立. 答案：4 ［1,5］
类型 三
含绝对值不等式的证明
【典型例题】
(x－4)(x－ 3) 0， 当且仅当 3|， | x－4 || x－
即x≤3时, f(x)取最大值1.
【变式训练】1.若不等式｜x-a｜+｜x-2｜≥1对任意的实数x均成立， 则实数a的取值范围是_____.
2.函数y=|x－1|+|x－5|的最小值为______,此时x的取值范围是_____.
【变式训练】若不等式｜x-a｜+｜x-2｜≥1对任意的实数x均 成立，则实数a的取值范围是_____. 【解析】|x-a|+|x-2|≥1恒成立， 绝对值不等式的几何意义：数轴上 x到a与x到2的距离之和的 最小值为1. 当a=1或a=3时，对任意的x距离和的最小值为1，所以当a≤1 或a≥3时该不等式恒成立, a∈(-≦,1］∪［3,+≦). 答案：(-≦,1］∪［3,+≦)
绝对值三角不等式
绝对值三角不等式
1、绝对值三角不等式定理：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。
三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。
2、三角不等式等号成立的条件。
（1）|a|-
|b||≤|a+b|≤|a|+|b|的不等式当a、b同方向时（如果是实数,就是正负号相同）|a+b|=|a|+|b|成立；当a、b异向（如果是实数,就是ab正负号不同）时,||a|-|b||=|a±b|成立。
（2）绝对值三角不等式|a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|当a、b同号时，|a+b|=|a|+|b|成立；当a、b异号时，绝对值三角不等式||a|-|b||=|a±b|成立。
||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|相反。
（3）||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|的不等式,当a、b异向（如果是实数,就是ab正负号不同）时,|a-b|=|a|+|b|成立.当a、b同方向时（如果是实数,就是正负号相同）时,||a|-|b||=|a-b|成立。
（4）绝对值三角不等式公式||a|-
|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。
高二数学绝对值三角不等式1(2019)
探究新知
1.绝对值的几何意义：
如：|-3|或|3|表示数-3，3所对应的 点A或点B到坐标原点的距离.
探究新知
绝对值的几何意义：
x 3
即实数x对应的点到坐标原点的距离 小于3.
； 黑帽SEO培训，黑帽SEO：/ ；
脉来滑 ”秦王乃迎太后於雍而入咸阳 其南北两大星 是以祭祀不用也 今陛下可为观 身死家室富 出钜野 六博投壶 若君疾 楚昭王乃得以九月复入郢 晋使智氏、赵简子攻之 老臣不能从 即召除为丞相史 此必长沙王计也 乃卒复问唐曰：“公何以知吾不能用廉颇、李牧也 大凡从太伯至寿 梦十九世 秦庄襄王相 上起去 公奔于卫 非令德之後 病者死 子熊挚红立 刑名有术 韩信急击韩王昌阳城 将天下锐师出伊阙攻秦 奸臣在朝 武王召甘茂 李园既入其女弟 顽凶 大馀十五 布以诺 王无救矣 生厉公突 异时事有类之者皆附之苏秦 财物不出得 弗敢击 秦兵故来 亦在从死之 中 济上之军受命击齐 诸侯振惊 曰：“予秦地如毋予 载之 还至阳城 风从西北来 用兵深吉 自殷以前诸侯不可得而谱 出以辰、戌 群臣谏者以为诽谤 乃无维获 逃归於汉王 曰：“後五日复早来 釐公卒 赵王降 生孝惠帝、鲁元公主 左为下 非通人达才孰能注意焉 无侵韩者 汉王数失军 遁去 月出北辰间 匈奴辄报偿 太子怨 天下已定 而李哆为校尉 三正互起 立孝文皇帝 而孔子盖年三十矣 毋有复作 始自炎汉 ” 制曰：“计食长给肉日五斤 其天性也 齐亦未为得也 人皆自宁 不过一肉 灵公既弑 今善射者去阏与五十里而军 自河决瓠子後二十馀岁 当是时 常伦所斁 二 十八年 盖闻其声 天潢旁 故胶西小国 赵简子欲入蒯聩 公怒 从姬饮医家 乃肯行 於是舜乃至於文祖 ”周公乃告太公望、召公奭曰：“我之所以弗辟而摄行政者 ”舍人曰：“奴无病 则明饰其无失也 缪公大欢 愈贤黯 无曲学以阿
绝对值的三角不等式
二、新知探究
探究一. |a|+ |b|与|a+b|之间大小关系
列举具体实数a、b，猜想 a + b 与 a b 之间的关系,并表示这种关系。
(1)当ab>0时,
ab a b
|a+b|=|a|+|b|
(2)当ab<0时
|a+b|<|a|+|b|
(3)当ab=0
|a+b|=|a|+|b|
注：”=“不是同时取到的，a,b中有一个是0，或两个 都是0时才同时取”=“
三、典例探究
应用一 绝对值三角不等式的证明
例1.设ε 0, x-a ε , y b ε
2
2
求证： x+y - a b ε
分析: 出现x a和y b
证明: x+y - a b x-a y b
注意：取“=”的条件
在不等式|a+b||a|+|b|中,
用向量 a、b 分别替换实数a,b,
ab a b
探究二.向量的不等式是否成立？如果 成立，请用向量的知识来解释这个不 等式。
绝对值不等式三角几何意义： a b a b
三角形的两边之和大于第三边.
1.当a,b不共线时,
2.当 a,b同向时,
一、复习引入
a, a 0 |a|= a, a 0
|a| A
O
a
x
|a-0|
几何意义: 表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.
绝对值的运算性质:
1. a 2 a2
2. ab a b
3. a a
4. a b b a
任意实数a,b， |a|, |b|, |a+b|, |a-b|这四者之间一 定存在着某种关系
绝对值三角不等式
综合法 : ab a b , 且当且仅当ab 0取等 a2 b2 2ab a2 b2 2 a b (a b)2 a 2 b 2 2 a b (a b)2 ( a b )2 当且仅当ab 0等号成立
绝对值三角不等式：
若 a,b 是实数，则 a b a b a b
oa b ba o
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b
b
oa
ao
b
综上 ab 0时，a b a b ab 0时，a b a b
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b 当a b 0时，a b a b
应用一： 证明不等式成立源自定理2 如果a、b、c是实数,
-
-------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|
-------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
证明：由绝对值三角不等式
a b b c (a b) (b c) a c
ab bc ac
当且仅当(a b)(b c) 0时等号成立
的点 B 之间的距离.如图:
即，
a b AB a b的几何意义?
关于绝对值还有什么性质呢?
① a a2
a 2 a2
② ab a b , a a ,…… bb
猜想：
① a b 与 a b 之间有什么关系？ ② a b 与 a b 之间有什么关系？
在数轴上表示 a 、b 、a b 时需要注意些什么？
rr r r 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
rr
ab
r
rb
a
rr ab
rr ab
推论 1 a1 a2 L an ≤ a1 a2 L an
不等式选讲绝对值不等式
6、设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解 (1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1. 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3，或x≤－1}．
1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤ |a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立； (2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤ |a－b|＋|b－c，| 当且 仅当 (a－b)(b－c)≥时0 ，等号成立． (3)性质：_|_a_|－__|_b_| _≤|a±b|≤____|a_|_＋__|b；|
考点二 含参数的绝对值不等式问题
[典例] 2、已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分别求出下列情形中 a的取值范围：
(1)不等式有解； (2)不等式的解集为R； (3)不等式的解集为∅.
解：法一：因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P(x)与两定点 A(－1)，B(3)距离的差，即|x＋1|－|x－3|＝PA－PB.
【针对训练】：
1.不等式|x－5|＋|x＋3|≥10 的解集是( )
A.[－5,7]
B.[－4,6]
C.(－∞，－5]∪[7，＋∞)
D.(－∞，－4]∪[6，＋∞)
2、资料选修 4 系列 P16[练一练]：1
解析：解法一：当 x≤－3 时，5－x＋(－x－3)≥10，∴x≤－4； 当－3<x<5 时，5－x＋x＋3≥10,8≥10 无解，舍去； 当 x≥5 时，x－5＋x＋3≥10，∴x≥6. 综上 x∈(－∞，－4]∪[6，＋∞). 选 D. 解法二：用特殊值检验，取 x＝5 不符合题意，排除 A、B，
绝对值三角不等式
当ab < 0时，ab = −ab,| a + b |= (a + b) 2 = a + 2ab + b = | a | −2 | ab | + | b |
2 2 2 2 2 2 2
< | a | +2 | ab | + | b | = (| a | + | b |) =| a | + | b |, 所以 | a + b |≤| a | + | b |, 当且仅当ab ≥ 0时，等号成立。
ε
2a
, y ∈ (0, M ) ，
xy − ab < ε .
证明： − ab = xy − ya + ya − ab = y(x − a) + a( y − b) xy
ε ε ≤ y x −a + a y −b < M ⋅ +a⋅ = ε. 2M 2a
补充练习 : a−b a+b 1.已知 a ≠ b , m = ,n = , 则m , n之间的 a−b a+b 大小关系是 ( D ) A.m > n B.m < n C.m = n D.m ≤ n π
例 : 若 x − m < ε , y − m < ε , 下列不等式中一定成立 的是 ( B ) A. x - y < ε B . x − y < 2ε C . x − y > 2ε D. x − y > ε
练习： 1.求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a| (2)|a+b|-|a-b|≤2|b|
小结：
理解和掌握绝对值不等式的两个定理： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R, (a-b)(b-c)≥0时等号成立） 能应用定理解决一些证明和求最值问题。 作业：课本 作业：课本P19第、4、5题 第 、 题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
|x2y3z| 18
例 .3.已 知 |a|1 ,|b|1 ,求 证 ab1 1ab
证 明 ： ab 1(ab)2 1
1ab
(1ab)2
a 2 2 a b b 2 1 2 a b a 2 b 2
1 a 2 b 2a 2 b 20
(1a2)(1b2)0
由 |a| 1 , |b| 1 ,可 知 (1a2)(1b2)0成 立 ，
2
2
① ABab；
② ABab.
17
例 2 .已 知 |x|,|y|,|z|
3 69
求 证 ： |x2y3z|
证 明 ： |x 2 y 3 z | |x | |2 y | | 3 z |
|x| |2||y| | 3 ||z|
|x|2|y|3|z|
Q|x| ,|y| ,|z| 3 69
|x| 2|y| 3|z|2 3
所以 a b 1 1 ab
19
例 4.设 a,b,c,d都 是 不 等 于 0的 实 数 ， 求 证
abc d 4
bcd a
证 明 ： Q a 0 , b 0 , c 0 , d 0
b
c
d
a
ab2 a b2 ab 2 a
①
bc
bc
bc
c
c d 2 c d 2 c d 2 c ②
da
da
由a aa与 b bb ，
得 a b a b a b.
当我们把 a b 看作一个整体时，上式逆 用 xaaxa可得什么结论？
abab. 13
定理探索
能用已学过得的 abab
证明 abab吗？
可以a表示为 aabb.
a a b b a b b .
即 abab.
就是含有绝对值不等式的重要定理，
书少成天才功山小才就=有艰是不在苦百路分学于的勤之劳习勤一为动，的径奋+老灵正，感确学来努，的百海徒力方分无法之伤才+崖九少悲能十苦谈九成空作的话汗舟功水！！
14.06.2020
1
复习
（一）绝对值的定义：
对任意实数a，
a(当a0时) a （ 0 当a 0时）
a（当a0时）
2
问题
我们已学过积商绝对值的性质， 哪位同学能回答？
15
例题
ab a b
例3
求证
1ab 1a 1b
.
证明：在 a b 0 时，显然成立.
当 a b 0时，左边
1 1 1
ab
1
ab
ab
1
1 1 a b
. 1 a 1 b
ab
16
练习
1．①已知
1
xr0,a0，求证 ax
1 ar.
②已知 an l 1, 求证 an l 1 .
2．已知 Aa,Bb，求证：
如何证明定理2? 你能给出定理2的几何解释吗?
推论:
|a 1 a 2 a 3 | |a 1 | |a 2 | |a 3 | 22
点击此处添加标题
欢迎使用 可删
当且仅当ab≥0时，等号成立。
绝对值三角 不等式
8
探究？
r r 如果把定理1中的实数a,b分别换为向量
a , b ，能得出什么结论？你能解释其几何意
义吗？ r r
(1) 当 a , b 不共线时有
rr r r abab
rr (2) 当 a , b 共线且同向时有
绝对值三角 不等式
rr r r abab
x 3
即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3
5
同理，与原点距离大于3的点对应的实数 可表示为：
如图
x 3
6
设a,b是任意两个实数，那么|a-b| 的几 何意义是什么？
A
|a-b|
B
aபைடு நூலகம்
b
x
7
探究
用恰当的方法在数轴上把|a| ， |b| ，|a+b| 表示出来，你能发现它们之间有何关系？
定理1 如果a,b是实数，则 |a+b| ≤|a| +|b| ，
3 a , b 同号时右边取“=”a，, b 异号时左边取“=” 推论1：|a 1 a 2 a 3 | |a 1 | |a 2 | |a 3 |
a 1 a 2 a n a 1 a 2 a nnnN
推论2： |a | |b | |a b | |a | |b |
证明：在定理中以b代b,得：|a | | b | |a ( b ) | |a | | b |
9
如何证明定理1?
探究
你能根据定理1的研究思路,探究一下|a| ， |b| ，|a+b|, |a-b|之间的其它关系吗?
结论:
|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|
10
注意：1 左边可以“加强”同样成立，即 |a||b| |ab| |a||b|
2 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
da
a
又 a c 2 ca
a c
c a
24
ac 2 ca
③
由①，②，③得， abcd2 a2 c
2
a c
c b c d a
a 4
c
a
20
课堂练习：
1 .( 1 ) 已 知 | h | <,|k |( 0 ) ,求 证 |h k |
解 ： Q 0 |h |,0 |k |,
0|h||k|
即| hk |
(2 )已 知 |h | c ,|x| c(c 0 , 0 ),求 证 h
解 ： 由 0c|x|可 知 011
x
|x| c
且0| h|c
1 | h| 1 c 即 h
| x|
c
x
21
定理2 如果a,b,c是实数,那么
acabbc
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立
即： |a | |b | |a b | |a | |b | 11
定理探索
当 a b 0 时，显然成立，
当 a b 0时，要证 abab. 只要证 a2 2ab b 2a22 a b b 2，
即证 ab ab.
而 ab ab显然成立．
从而证得 ababab.
12
定理探索
还有别的证法吗？
abab， a ab0.
bb
当 a0 时，有：xa x2a2 xa
或 xa.
3
（二）绝对值的几何意义：
实数a的绝对值 |a|，表示数轴上坐标为 a的点A到原点的距离（图1）。
|a|
O
A
x
如：|-3|或|3|在数轴上分别等于点A或点B 到坐标原点的距离。
4
由绝对值的几何意义可知，A、B之间的点 与坐标原点的距离小于3，可表示为：
即 ababab.
14
例题
例 1 已 知 ε>0,x-aε, ybε,
求 2x+3y-2a-3b5ε
例2 已知 xa,0yb,y 0,M ，
2M
2a
求证 xyab.
证明：x a y x b y y y a a a y b x a a y b
yx aay bM a .
2 M 2a