绝对值三角不等式(优选)

即 ababab.
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例题
例 1 已 知 ε>0,x-aε, ybε,
求 2x+3y-2a-3b5ε
例2 已知 xa,0yb,y 0,M ，
2M
2a
求证 xyab.
证明：x a y x b y y y a a a y b x a a y b
yx aay bM a .
2 M 2a
书少成天才功山小才就=有艰是不在苦百路分学于的勤之劳习勤一为动，的径奋+老灵正，感确学来努，的百海徒力方分无法之伤才+崖九少悲能十苦谈九成空作的话汗舟功水！！
14.06.2020
1
复习
（一）绝对值的定义：
对任意实数a，
a(当a0时) a （ 0 当a 0时）
a（当a0时）
2
问题
我们已学过积商绝对值的性质， 哪位同学能回答？
即： |a | |b | |a b | |a | |b | 11
定理探索
当 a b 0 时，显然成立，
当 a b 0时，要证 abab. 只要证 a2 2ab b 2a22 a b b 2，
即证 ab ab.
而 ab ab显然成立．
从而证得 ababab.
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定理探索
还有别的证法吗？
当且仅当ab≥0时，等号成立。
绝对值三角 不等式
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探究？
r r 如果把定理1中的实数a,b分别换为向量
a , b ，能得出什么结论？你能解释其几何意
义吗？ r r
(1) 当 a , b 不共线时有
rr r r abab
rr (2) 当 a , b 共线且同向时有
绝对值三角 不等式
rr r r abab
2
2
① ABab；
② ABab.
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例 2 .已 知 |x|,|y|,|z|
3 69
求 证 ： |x2y3z|
证 明 ： |x 2 y 3 z | |x | |2 y | | 3 z |
|x| |2||y| | 3 ||z|
|x|2|y|3|z|
Q|x| ,|y| ,|z| 3 69
|x| 2|y| 3|z|2 3
36 9
|x2y3z| 18
例 .3.已 知 |a|1 ,|b|1 ,求 证 ab1 1ab
证 明 ： ab 1(ab)2 1
1ab
(1ab)2
a 2 2 a b b 2 1 2 a b a 2 b 2
1 a 2 b 2a 2 b 20
(1a2)(1b2)0
由 |a| 1 , |b| 1 ,可 知 (1a2)(1b2)0成 立 ，
如何证明定理2? 你能给出定理2的几何解释吗?
推论:
|a 1 a 2 a 3 | |a 1 | |a 2 | |a 3 | 22
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da
a
又 a c 2 ca
a c
c a
24
ac 2 ca
③
由①，②，③得， abcd2 a2 c
2
a c
c b c d a
a 4
c
a
20
课堂练习：
1 .( 1 ) 已 知 | h | <,|k |( 0 ) ,求 证 |h k |
解 ： Q 0 |h |,0 |k |,
0|h||k|
即| hk |
(2 )已 知 |h | c ,|x| c(c 0 , 0 ),求 证 h
解 ： 由 0c|x|可 知 011
x
|x| c
且0| h|c
1 | h| 1 c 即 h
| x|
c
x
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定理2 如果a,b,c是实数,那么
acabbc
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立
9
如何证明定理1?
探究
你能根据定理1的研究思路,探究一下|a| ， |b| ，|a+b|, |a-b|之间的其它关系吗?
结论:
|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|
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注意：1 左边可以“加强”同样成立，即 |a||b| |ab| |a||b|
2 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
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例题
ab a b
例3
求证
1ab 1a 1b
.
证明：在 a b 0 时，显然成立.
当 a b 0时，左边
1 1 1
ab
1
ab
ab
1
1 1 a b
. 1 a 1 b
ab
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练习
1．①已知
1
xr0,a0，求证 ax
1 ar.
②已知 an l 1, 求证 an l 1 .
2．已知 Aa,Bb，求证：
abab， a ab0.
bb
当 a0 时，有：xa x2a2 xa
或 xa.
3
（二）绝对值的几何意义：
实数a的绝对值 |a|，表示数轴上坐标为 a的点A到原点的距离（图1）。
|a|
O
A
x
如：|-3|或|3|在数轴上分别等于点A或点B 到坐标原点的距离。
4
由绝对值的几何意义可知，A、B之间的点 与坐标原点的距离小于3，可表示为：
由a aa与 b bb ，
得 a b a b a b.
当我们把 a b 看作一个整体时，上式逆 用 xaaxa可得什么结论？
abab. 13
定理探索
能用已学过得的 abab
证明 abab吗？
可以a表示为 aabb.
a a b b a b b .
即 abab.
就是含有绝对值不等式的重要定理，
x 3
即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3
5
同理，与原点距离大于3的点对应的实数 可表示为：
如图
x 3
6
设a,b是任意两个实数，那么|a-b| 的几 何意义是什么？
A
|a-b|
B
a
b
x
7
探究
用恰当的方法在数轴上把|a| ， |b| ，|a+b| 表示出来，你能发现它们之间有何关系？
定理1 如果a,b是实数，则 |a+b| ≤|a| +|b| ，
所以 a b 1 1 ab
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例 4.设 a,b,c,d都 是 不 等 于 0的 实 数 ， 求 证
abc d 4
bcd a
证 明 ： Q a 0 , b 0 , c 0 , d 0
b
c
d
a
ab2 a b2 ab 2 a
①
bc
bc
bc
c
c d 2 c d 2 c d 2 c ②
da
da
3 a , b 同号时右边取“=”a，, b 异号时左边取“=” 推论1：|a 1 a 2 a 3 | |a 1 | |a 2 | |a 3 |
a 1 a 2 a n a 1 a 2 a nnnN
推论2： |a | |b | |a b | |a | |b |
证明：在定理中以b代b,得：|a | | b | |a ( b ) | |a | | b |