初中数学专题余角和补角
6.3.3 余角和补角 课件 人教版七年级数学上册
所以∠DOE= ∠BOD=75°.
所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+75°=165°.
②如图②所示,因为∠AOB=90°,∠COD=90°,
∠AOC=30°,
所以∠BOD=30°.
因为OE平分∠BOD,
所以∠DOE=15°.
所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+15°=105°.
故答案为165°或105°.
解:(1)因为∠BOC=40°,所以∠AOC=140°.
因为 OE 是∠AOC 的平分线,
所以∠AOE= ∠AOC=70°.
(2)题图中与∠COE互余的角有∠COD,∠BOD.
(3)∠COE有补角吗?若有,请把它找出来,并说明理由.
解:(3)∠COE有补角.理由如下:
因为∠AOE=∠COE,∠AOE+∠BOE=180°,
A.互余
B.互补
C.相等D.∠α=90°+∠γ
5.一副三角板按如图所示的方式摆放,则∠1补角的度数为( D )
A.45° B.135°
C.75° D.165°
6.如图所示,已知点O是直线AB上的一点,∠BOC=40°,OD,OE分别是
∠BOC,∠AOC的平分线.
(1)求∠AOE的度数.
(2)写出图中与∠COE互余的角.
B.59°50′
C.149°10′
D.60°10′
2.如果一个角的补角是120°,则这个角的余角是( D )
A.150°
B.90° C.60° D.30°
3.若一个角比它的余角大30°,则这个角等于( B)
A.30° B.60° C.105°
D.120°
人教版七年级数学上册《余角和补角》课件
因为∠1+∠2= 90° ，
°
∠3+∠4= 90 ，
且∠1=∠3，
所以∠2=∠4.
等角的余角相等.
探索新知
如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3,那
么∠2=∠4吗？
∠2=∠4.
如何证明？
探索新知
已知：∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3,
求证：∠2=∠4.
证明：因为∠1与∠2互补，
如果两个角的和等于180º（平角），就说这
两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
性质：同角（等角）的余角相等.
同角（等角）的补角相等.
作业：
1. 完成习题4.3中第8，
9题；
2.完成练习册本课时的
习题。
谢谢
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方向上，同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西
45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔
方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
D
西
北40° B
45°
O
●
东
60°
10°
●
A
巩固练习
练习1. 已知∠α＝53°27′, ∠α与∠β互为余角，求∠β的度数
.
解： 因为∠与∠互为余角（已知）,
所以∠ + ∠ = 90°（余角定义）,
所以∠ = 90°－∠.
因为∠＝53°27′,
′
所以∠ = 90°－∠＝90°－53°27
6.3.3 余角和补角 课件(共30张PPT)人教版(2024)数学七年级上册
(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
答案：∠A+∠B=90° ∠A+∠2=90°
∠1+∠B=90° ∠1+∠2=90°
答案：∠B=∠2
∠A=∠1
( 同角的余角相等 )
( 同角的余角相等 )
课堂小结
归纳总结
构建脉络
同角或等角的补角相等
同角或等角的余角相等
互余
互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
余角、补角理解要点： (1)互余和互补是指两个角的数量关系，而不是多个 角之间的关系． (2)互余、互补的两个角，只与它们的数量(和)有关， 与它们的位置无关．
Thanks
图中给出的各角o
75o
46.2o
43.8o
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ).
如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补.
图中给出的各角，哪些互为补角？
例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
解：设∠AOB=x，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180°-x．因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
解得x=50°，则180°-x=130°.
要点精析：(1)互余，互补必须是两个角之间的关系．(2)当互补的两个角有公共顶点和公共边时，又称这 两个角互为邻补角(简称邻补角)．如图 所示，∠AOC和∠BOC互为邻补角．(3)互补的角不一定互为邻补角，但互为邻补角的角 一定互为补角．(4)互余或互补的角只与数量有关，与位置无关．
人教版七年级数学上册4.余角和补角课件
5、如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线 ①∠AOD的补角是_____∠__B_O_D___ ②∠AOD的余角是____∠__C__O_D___ ③∠DOB的补角是_____∠__A_O__D__
2
13
3
3
3
4
∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2 与∠4相等吗？为什么？
x
∠α的余角
85°
58° 45° 13°
27°37′ 90° x
∠α的补角
175°
148°
135°
103°
117°37′ 180° x
从上面这张表格中,你还能得到什么信息?
若一个角的补角等于它的余角的3倍，求这 个角的度数。
1.
对应图形 数量关系 性质
互为余角
互为补角
1 2
21
∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
14
4
4
4
2
3
∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与 ∠4相等吗？为什么？
分析:由∠1与∠2互余,可得∠2=90°-_____ ∠1
由∠3与∠4互余,可得∠4=90°-_____ ∠3
答:因为∠1=∠3, 这就是∠2=∠4
所以90°-∠1= 90°-∠3,
等角的余角相等
分析:由∠1与∠2互补,可得∠2=180°-_____∠1
北
B
D
北
40°
东
西O 60°
A
东
西O 60°
A
南 C南
一艘渔船从O 点沿北偏东30°的方向以8千米/时的速度 行驶3小时到达A 处后，接到风浪警报，欲立即调头以16 千米/时的速度向正西方向行驶，争取1.5小时到达小岛B 处.A、B两处的距离是多少？B处在O点北偏西多少度？ O、B两点的距离是多少？
6.3.3 余角和补角 课件 人教版数学七年级上册
∵∠BOC∶∠AOE=3∶1,
∴∠BOC= ×90°=67.5°.
又∵∠BOD=90°,
∴∠COD=90°-67.5°=22.5°.
(2)图中有哪几对角互为余角?
(2)∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,
∠DOE与∠COD,∠DOE与∠AOE.
(3)图中有哪几对角互为补角?
3.若一个角的余角是它的补角的 ,则这个角的补角是
( D )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.(1)已知∠α=24°30',则它的余角等于
65°30' ;
(2)一个角的余角比这个角的补角的 还小10°,求这个
Байду номын сангаас
角的余角及这个角的补角.
解:设这个角为x°,则这个角的余角为(90-x)°,这
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.
因为∠1+∠2=90°,
∠3+∠2=90°,
所以∠1=∠3.
等角的补角相等:
因为∠1+∠2=180°,
∠3+∠4=180°,
∠1=∠3,
所以∠2=∠4.
注意:①互余、互补指的是两个角的数量关系,互余、
互补的两个角只与它们的和有关,而与它们的位置无
关.
②一般地,锐角α的余角可以表示为(90°-α),一个
(3)∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE,
∠AOE与∠BOE,∠DOC与∠BOE,
∠AOD与∠BOD,∠AOD与∠EOC,
∠BOD与∠EOC.
初中数学 什么是补角和余角
初中数学什么是补角和余角在初中数学中，补角和余角是描述角度关系的重要概念。
下面将详细介绍补角和余角的概念、性质和应用。
1. 补角（Complementary Angles）：补角是指两个角的度数之和等于90度的角。
在图形中，补角的两条射线是共线的，它们之间的度数之和是补角。
例如，图中∠ABC和∠CBD是补角。
补角的特点是，它们的度数之和等于90度。
也就是说，∠ABC的度数加上∠CBD的度数等于90度。
补角的性质在解决各种与角度相关的问题时非常重要。
2. 余角（Supplementary Angles）：余角是指两个角的度数之和等于180度的角。
在图形中，余角的两条射线是共线的，它们之间的度数之和是余角。
例如，图中∠ABC和∠CBD是余角。
余角的特点是，它们的度数之和等于180度。
也就是说，∠ABC的度数加上∠CBD的度数等于180度。
余角的性质在解决各种与角度相关的问题时也非常重要。
补角和余角的性质：1. 补角的度数之和等于90度：∠ABC + ∠CBD = 90度。
2. 余角的度数之和等于180度：∠ABC + ∠CBD = 180度。
3. 补角和余角的度数之和等于直角或平角：∠ABC + ∠CBD = 90度（直角），∠ABC + ∠CBD = 180度（平角）。
补角和余角的应用：1. 判断角度关系：通过计算角的补角或余角，可以确定角的性质和关系。
2. 求解未知角度：通过已知角的补角或余角，可以求解未知角度的大小。
3. 解决几何问题：补角和余角的概念可以应用于各种几何问题，如求解角度大小、证明图形特性等。
4. 证明定理和推导结论：补角和余角的性质是证明定理和推导结论的重要工具，可以帮助我们进行推理和论证。
综上所述，补角和余角是初中数学中的关键概念，它们在解决各种与角度相关的问题时起着重要的作用。
理解补角和余角的概念、性质和应用，对于初中数学的学习和应用都具有重要的意义。
人教版初中数学七年级上册第四章4.3.3余角和补角
O
60°
上发现了客轮B.仿照表示灯塔方位的方法，
A
画出表示客轮B方向的射线.并说出你是怎样画出的.
②同时在它南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分 别发现了货轮C和海岛D.请再画出表示货轮C和海岛D方向的射 线.
如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东 60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船 在它的北偏东30°方向，你能从图中确定这艘船的位置吗？
练习 ： 看谁答得快:
∠α
∠α 的余角
∠α 的补角
30° 54° 90°
62°23′
ⅹ
60 °
150 °
36 °
126 °
00
另 比余外角：大同，（等并9）且0 °角大的90补°角
27 ° 37 ′
117 ° 37 ′
90 x
同一个角的余角和补角什么关系？
1、动手画一画:
1）已知∠α(如图)，请利用三角板画的∠α的余角
样的角称为方位角.
方位角的表示习惯上以正北、正南方向为基准来描述物体 的方向． 即用“北偏东多少度”“北偏西多少度” 或者“南偏东多少度”“南偏西多少度”来表示方向．
北 西北
西 O
西南 南
东北 东 东南
北
30°
西
东
O 60°
南
北例4：如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A
在它南偏东60°方向上. ①在它北偏东40°方向
性质3：等角的补角相等
如图,∠1与∠2互余， ∠3与∠4互余，并且∠1= ∠3，
2
1
3
4
请问：∠ 2与∠4相等吗?为什么？你还能得出什么结论？
答：相等。
∵∠1与∠2互余，可得∠2=90°- ∠1 ； 又∠3与∠4互余，可得∠4=90°- ∠3； 且∠1= ∠3，所以90°- ∠1=90°- ∠3 ； ∴∠2= ∠4
初中数学 什么是余角和补角
初中数学什么是余角和补角余角和补角是初中数学中关于角的重要概念。
它们在几何学中有着广泛的应用，用于描述和分析角度的性质和关系。
在本文中，我们将详细讨论余角和补角的概念、性质和应用。
一、余角余角是指两个角的和等于90度的情况。
具体来说，如果有一个角A，那么与角A 的余角B满足以下条件：角A的度数加上角B的度数等于90度。
余角具有以下几个重要的性质：1. 余角是对应角，即角A与角B是余角，角B与角A也是余角。
2. 余角的度数是互补的，即角A的度数加上角B的度数等于90度。
3. 余角之间的度数和是90度，即角A的度数加上角B的度数等于90度。
余角在几何学中有着广泛的应用。
它可以用来解决关于角度的问题，比如计算角度的度数、寻找角度的性质等。
此外，余角也可以用来解决关于直角的问题，比如判断一个角是否为直角、寻找直角的特性等。
二、补角补角是指两个角的和等于180度的情况。
具体来说，如果有一个角C，那么与角C的补角D满足以下条件：角C的度数加上角D的度数等于180度。
补角具有以下几个重要的性质：1. 补角是对应角，即角C与角D是补角，角D与角C也是补角。
2. 补角的度数是互补的，即角C的度数加上角D的度数等于180度。
3. 补角之间的度数和是180度，即角C的度数加上角D的度数等于180度。
补角在几何学中也有着广泛的应用。
它可以用来解决关于角度的问题，比如计算角度的度数、寻找角度的性质等。
此外，补角也可以用来解决关于直角和平行线的问题，比如判断一个角是否为直角、判断两条线是否平行等。
三、性质余角和补角具有一些重要的性质。
下面我们将分别讨论余角和补角的性质。
1. 余角的性质：a. 余角是对应角，即角A与角B是余角，角B与角A也是余角。
b. 余角的度数是互补的，即角A的度数加上角B的度数等于90度。
c. 余角之间的度数和是90度，即角A的度数加上角B的度数等于90度。
2. 补角的性质：a. 补角是对应角，即角C与角D是补角，角D与角C也是补角。
【初中数学++】余角和补角+课件+华东师大版数学七年级上册
与 简称互补,其中一个角是另一个角的补角;几何语言:如果
应 用
∠1+∠2=180° ,那么∠1与∠2互为补角.
(3)∠α的余角= 90°-∠α ,∠α的补角= 180°-∠α .
探 细 琢磨 究 理解互余、互补的“三点注意”
与
应 (1)“互余”与“互补”是相互的,不能说哪一个角是余角或补角. 用 (2)“互余”与“互补”是指两个角之间的关系,若两个以上的角
探 究
例3 已知一个角的余角比它的补角的14还多15°,求这个角的
与
应 度数.
用 解:设这个角的度数为x°,则它的余角为90°-x°,补角为180°-x°.
依题意,得(90-x)-14(180-x)=15, 解得x=40.
答:这个角的度数是40°.
探
探究二 余角和补角的性质
究 与
[猜想说明]
应 1.如果∠1与∠2互余,∠3与∠4互余,∠2=∠4,那么∠1和∠3
堂
小 所以∠BOC=2∠BOD=46°,
结 与
所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-46°=134°.
检 因为OE是∠AOC的平分线,
测
所以∠AOE=∠EOC=12∠AOC=67°.
相关解析
例1 C [解析] (1)错误,比如一个30°的角的余角是60°;(2) 错误,大于或等于90°的角,找不到一个角与其的度数和是 90°,所以它们没有余角;(5)错误,比如90°角的补角是90°.故 选C. 例2 (1)19°21' (2)145° [解析] (1)90°-70°39'=19°21’.(2)180°-35°=145°.
例4 (1)C (2)∠1=∠2 同角的补角相等 [解析] (1)如图①,因为∠1+∠α=∠1+∠β=90°,所以∠α=∠β. (2)如图②,因为∠1+∠3=180°,∠2+∠3=180°,所以∠1=∠2.
初中数学 补角和余角
两个角的大小之比为7：3，它们的差为 72°，则这两个角的关系是 （ B ）
A 。相等 B。互补 C。互余
D。无法确定
1、一个角和它的补角的度数比为1：8，则这
个角的余角的度数为（ C ）
A、 10° B 、20° C 、70° D 、80°
2、一个角的余角和它的补角之比是3：7，则 这个角的度数为 22.5°
O
B
（2）∠1和∠2具有什么样的数量关系？ ∠1+∠2 = 180°
几何语言表示为：
如果∠1+∠2=180° 那么∠1与∠2互为补角
∠1 = 180° —∠2
考考你:
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
如图，有两堵墙，有人想测量地面上所形 成的∠ AOB度数，但人又不能进入围墙， 只能站在墙外，请问该如何测量？
几何语言 如果∠1+∠2=90° 表示为：
那么∠1与∠2互为余角
∠1 = 90°-∠2
考考你:
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
25o
44o
65o
46o
80o
比萨斜塔 2
倾斜了多 少度？
1
有人测出斜塔与地面的夹角约为84.5°， 你现在知道斜塔倾斜了多少度吗？
解：∵ ∠1与∠2互为余角
2
∴ ∠1+∠2 = 90°
1、一个角的余角等于它本身.求这个角。
45°
2、一个角的补角等于它本身.求这个角。
90°
3、一个角的余角和它的补角互补.求这个角。
45°
余角和补角(57张PPT)数学
14
15
16
17
9.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是________.
24°28′
解析 设这个角为x°，则它的余角为90°－x°，补角为180°－x°，根据题意，得180°－x°＋10°＝3×(90°－x°)，解得x＝40，40°－15°32′＝24°28′.
14
15
16
17
解析 ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
17
∴∠MOC与∠NOC互余，∠MOA与∠NOC互余，∠MOC与∠NOB互余，∠MOA与∠NOB互余，故选A.
14.如图，∠AOB与∠COD都是直角，∠AOD＝140°21′，则∠COB＝________°.若∠AOD＝α，则∠COB＝__________.
解 如图所示，∠BOC与∠BOC′即为所求；
(2)在(1)的条件下，若OP是∠AOC的角平分线，直接写出∠AOP的度数(不需要计算过程).
解 ∵∠AON＝45°，∠BON＝30°，∴∠AOB＝75°，∵∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC＝15°，∴∠AOC＝90°或60°，∵OP是∠AOC的角平分线，∴∠AOP＝45°或30°.
解 当∠AOD＝α时，∠DOE＝90°.
解
归纳总结 本题考查了余角和补角以及角平分线的定义；熟练掌握两个角的互余和互补关系是解决问题的关键.
例2 (教材例2变式训练)一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少120°，则这个角的度数为________.
人教版七年级上册数学4.余角和补角的概念与性质课件
41 5 ∠4= ∠ 5
理由:∵∠1与∠4互补 ∴∠4=180o-∠1 ∵∠1与∠5互补 ∴∠5=90o-∠1 ∴∠4=∠5
延伸 1与2互余，3与4互余，如果2=4， 那么1与3相等吗？为什么？
1 2
理由:∵∠1与∠2互余 ∴∠1=90o-∠2 ∵∠3与∠4互余 ∴∠3=90o-∠4
又∵∠2=∠4 ∴∠1=∠3
∠1 、∠2、 ∠3 互余（互补）吗？
不能，互余或互补是两个角之间的数量关系。
练习：
1、帮 找朋友： 的余角 的补角
80
10
100
45
70 39'
45
19 21'
90
135
109 21'
180
练习：
2、一个角的补角是它的余角的4倍，求这个 角的余角是多少度？
解：设这个角的余角的度数为 x ，
一定互余.
（×）
（5）如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么 ∠1、∠2、∠3这三个角互为余角. （ ×）
巩固练习
2、如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，
则与∠AOC互余的角为__B_O__C_和____A_O__D.
AC
解： AOC+BOC AOB=90
AOC与BOC互余
∠A=∠1 （同角的余角相等）
性质的应用
例3 如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线
OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为A，O，B在同一直线上, 所以∠AOC和∠BOC互Байду номын сангаас补角.
又因为射线OD和射线OE
分别平分∠AOC∠BOC，
1
6.3.3 余角和补角 课件人教版(2024)数学七年级上册
证明：因为 OC ⊥ AB ，所以∠ COA ＝∠ COB ＝90°.
因为 OC 平分∠ DOE ，所以∠ COD ＝∠ COE .
因为∠ AOC ＋∠ COD ＝90°，∠ BOE ＋∠ COE ＝90°，
所以∠ AOD ＝∠ BOE .
4． 如图，∠ AOC ＝∠ COB ＝90°，∠ DOE ＝90°， A ， O ， B 三
∠ BOC ，则图中互余的角共有(
A． 1对
B． 2对
C． 3对
D． 4对
D
)
7． 几何直观【人教七上P188复习题T11改编】按如图所示的方法折
纸，然后回答问题：
(1)∠1与∠ AEC ，∠3和∠ BEF 分别有何关系？
解：(1)因为∠1＋∠ AEC ＝180°，所以∠1与∠ AEC 互补．
因为∠3＋∠ BEF ＝180°，所以∠3与∠ BEF 互补．
因为 OD 平分∠ BOC ，所以∠ COD ＝∠ DOB .
因为∠ COE ＋∠ COD ＝∠ DOE ＝90°，
所以∠ AOE ＝∠ COE .
所以 OE 平分∠ AOC .
2. 如图，点 O 在直线 AB 上，∠ AOC 与∠ COD 互补， OE 平分
∠ AOC ，∠ DOE ＝48°，求∠ BOD 的度数．
(2)∠1与∠3有何关系？
(2)由翻折的性质，得∠1＋∠3＝ ×180°
6． (2023·北京)如图，∠ AOC ＝∠ BOD ＝90°，∠ AOD ＝126°，
则∠ BOC 的大小为(
A． 36°
B． 44°
C． 54°
D． 63°
C
)
7． 如图，若将一副三角尺折叠放在一起，使直角的顶点重合于点
七年级数学余角和补角
七年级数学余角和补角知识点总结一、余角和补角的基本概念余角：如果两个角的和等于90°，那么称这两个角互为余角。
也可以说其中一个角是另一个角的余角。
例如，如果∠A = 30°，那么∠B = 60°是∠A的余角，因为30°+ 60°= 90°。
补角：如果两个角的和等于180°，那么称这两个角互为补角。
也可以说其中一个角是另一个角的补角。
例如，如果∠A = 60°，那么∠B = 120°是∠A的补角，因为60°+ 120°= 180°。
二、余角和补角的性质同角的余角相等：如果∠A和∠B都是∠C的余角，那么∠A = ∠B。
例如，如果∠C = 45°，那么∠A和∠B都是45°。
同角的补角相等：如果∠A和∠B都是∠C的补角，那么∠A = ∠B。
例如，如果∠C = 30°，那么∠A和∠B都是150°。
余角的补角是原角：如果一个角的余角的补角等于这个角，那么这个角的度数为90°。
例如，如果∠A = 60°，那么∠B = 30°是∠A的余角，而∠C = 150°是∠B的补角，但∠C ≠∠A。
然而，如果∠A = 90°，那么∠B = 90°既是∠A的余角也是∠A的补角。
三、余角和补角的判断方法通过角度和判断：如果两个角的和等于90°，则它们是余角；如果两个角的和等于180°，则它们是补角。
通过角度差判断：如果两个角的差等于90°，且它们都不是90°的角，那么它们互为余角；如果两个角的差等于180°，且它们都不是180°的角，那么它们互为补角。
四、余角和补角的实际应用余角和补角在几何、三角学和日常生活中都有广泛的应用。
例如，在建筑施工中，工人经常利用余角和补角的关系来确保墙面的垂直和平整。
6.3.3余角和补角 课件-人教版数学七年级上册
感悟新知
解题秘方：从图中找互余或互补的角，可从两个方 面进行：一个方面是从角的度数入手，和为9 0 °的 两个角互余，和为180 °的两个角互补；另一个方面 是从整体入手，将直角分成两个角，则这两个角互 余，将平角分成两个角，则这两个角互补.
感悟新知
知1－练
(1)图中互余的角有几对？分别是哪些？
所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－72°＝108°.
因为 OE 平分∠AOC，所以∠COE＝12∠AOC＝12×108°＝54°. 所以∠BOE＝∠COE＋∠BOC＝54°＋72°＝126°.
感悟新知
知1－练
例 2 如图6.3－23，O 为直线AB 上一点， ∠AOC= ∠DOE=90°.
感悟新知
知识点 2 余角、补角的性质
知2－讲
内容
几何语言
余角的
同角的余角相等
因为∠1＋ ∠2=90°，∠1＋ ∠3=90°， 所以∠2= ∠3
性质
等角的余角相等
因为∠1＋ ∠2=90°，∠3＋ ∠4=90°， 且∠1= ∠3，所以∠2= ∠4
补角的
同角的补角相等
因为∠1＋ ∠2=180°，∠1＋ ∠3=180°，所以∠2= ∠3
感悟新知
(3)写出∠COD 的补角. 解：∠COD的补角为∠AOE.
知2－练
感悟新知
知2－练
例 4 如图6.3－25，已知O 是直线AB 上的一点，OC是一 条射线，OD平分∠AOC，∠DOE=90 °，OE 平分 ∠BOC 吗？为什么？
解题秘方：先紧扣角平分线的定 义，利用余角的性质说明两个角 相等.
感悟新知
(1)求∠BOC 的度数； 解：因为∠BOC 与∠BOD 互为余角， 所以∠BOC＋∠BOD＝90°. 因为∠BOC＝4∠BOD， 所以∠BOC＝45×90°＝72°.
6.3.3 余角和补角(1) 课件 人教版(2024)数学七年级上册
余角和补角(1)
分层检测
17. 如图，两块直角三角尺的直角顶点 C 叠放在一起，其中∠ ACD ＝
∠ BCE ＝90°.
(1)若∠ DCE ＝25°，则∠ ACB ＝
155°
(2)若∠ ACB ＝150°，则∠ DCE ＝
30°
；
；
(3)试说明：∠ ACB 与∠ DCE 互补.
解：∵∠ ACD ＝∠ BCE ＝90°，
知识点2：余角与补角的应用
5. 【例】如图，已知∠ ABP 与∠ CBP 互余，∠ CBD ＝32°， BP 平分
∠ ABD . 求∠ ABP 的度数.
解：∵∠ ABP 与∠ CBP 互余，
∴∠ ABC ＝∠ ABP ＋∠ CBP ＝90°，
∵∠ CBD ＝32°，
∴∠ ABD ＝∠ ABC ＋∠ CBD ＝122°，
6.3.3 余角和补角(1)
1
课前预习
2
3
分层检测
课堂学练
6.3.3
余角和补角(1)
课前预习
1. 若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互为 余角
角
，∠2是∠1的
余角
.
2. 若∠α＋∠β＝180°，则∠α与∠β互为
3. 同角(等角)的余角 相等
，其中∠1是∠2的
补角
，同角(等角)的补角
.
相等
.
余
∠ BON ＝64°
(1)求∠ COM 的大小；
解：∵ ON 平分∠ BOC ，∠ BON ＝64°，
∴∠ BOC ＝2∠ BON ＝128°，
∴∠ AOC ＝180°－∠ BOC ＝52°，
∵ OM 平分∠ AOC ，
初中数学课件 4.10余角和补角
C 如图，∠1与∠BOC 的补角，
1
A
O2
∠2是∠BOC 的补角。 B 那么∠1与∠2相等吗?
D 解： ∠1与∠2相等。 ∵ ∠1+ ∠BOC = 180 ° ∠2+ ∠BOC = 180 ° ∴ ∠1=180 °－ ∠BOC ∠2= 180 ° －∠BOC ∴ ∠1 = ∠2
同角的 补角相等
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， 如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
B O A
C D
思考：若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数。 解： 设这个角是x °，则它的补角是 （ 180°-x°）,余角是(90°-x°) 。
根据题意得： （180°-x°）= 4 (90°-x°) 解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
性质 余角相等
补角相等
练习：
D E
C
A
OB
1. ∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则 ∠3= 30 °.
2.O为直线AB上的一点，OD 平分∠AOB，
∠COE = 90 °
则∠BOC = ∠DOE， ∠COD = ∠AOE。
想一想：
要测量两堵墙所成的角的度数，但人不能进入 围墙，如何测量?
1
2
4 3
解： ∠2与∠4相等 ∵ ∠1﹢∠2 = 180°， ∠3﹢∠4 = 180° ∴ ∠2 = 180°─∠1， ∠4 = 180°─∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴ ∠2 =∠4
等角的补角相等
两角间的 数量关系
互余
∠1+∠2 = 90。
互补
∠1+∠2 = 180。
对应 图形
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7.6 余角和补角
一．教学目标：
1、使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念，
2、使学生理解互余与互补的角的性质
3、学会运用类比联想的思维方法思考，并初步学会用代数方法，(主要是列
方程)解决几何问题．
4、培养学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力。
二．教学重点和难点：
使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念，和使学生学会用设未知数的方法解决几何中的计算题是重点，余角和补角的性质是难点。
三．教学设计：
合作学习
先观察如图，∠1+∠2与Rt ∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？
再观察如图，∠α+∠β与∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？
（让学生说出自己的方法：可以测量，也可以剪下来拼等等，学生的方法只要合理就应鼓励）
教师用多媒体演示∠1+∠2与Rt ∠AOB 重合，再移动一角，问∠1+∠2与Rt ∠AOB 相等吗？
同样∠α+∠β与∠AOB 重合，再移动一角，问∠α+∠β与∠AOB 相等吗？ 通过上面的演示，我们看到有时两个角的和是90°，有时两个角的和是180°，也就是两个角之和正好成一直角，或两个角之和正好成一平角，在这种情况下，我们给出两个新的概念：
1．互为余角定义：如果两个锐角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．简称互余．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=90°，所以∠1与∠2互余．反之，因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°．
2．互为补角定义：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．简称互补．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=180°，所以∠1与∠2互补．反之，因为∠1与∠2互补，所以∠1+∠2=180°．
1 2 A O B α β A O B
做一做 （ 及时巩固 ）
（1)试举出互余、互补角的例子．
(2)30°与60°是互余的两角，能说30°是余角吗？
(要特别向学生指出：互余与互补角是研究两个角的关系，单独一个角不能说是余角或补角，就像称呼两兄弟一样，而且不会随位置的改变)
（3)若一个角为35°35′35″，写出它的余角和补角．
解：35°35′35″的余角为90°-35°35′35″=54°24′25″．
(在计算过程中将90°写为89°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便)
35°35′35″的补角为180°-35°35′35″=144°24′25″．
(在计算过程中将180°写为179°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便，也可以将35°35′35″的余角再加上90°就是35°35′35″的补角．)
(4) 如图，点O 为直线AB 上一点，∠AOC = Rt ∠,OD 是∠BOC 内的一条射线。
图中有哪些角互补？有哪些角互余？说明你的理由。
画一画 想一想
如图:已知∠AOC ，作出它的余角和补角．
（只要满足条件的角都可以）
问：从中发现了什么？（进行小组讨论）
A O
B C
D
O C
A O C A
师生共同总结出：同角的余角相等．同理可推出：同角的补角相等
再问：如果两个角相等，那么它们的余角和补角有什么关系？
由此得到补角和余角的性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．
注意：学生往往对“同角”、“等角”的认识不太清楚，在“同角”的情况时说“等角”，在“等角”的情况时说“同角”，因此要对学生强调指出：“等角是相等的角”，而“同角是同一个角”．另外，这个性质在目前的应用还不太多，但今后的应用是非常广泛的
应用举例——运用代数方法(列方程)解决几何问题．
例：已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。
解：设这个角为x°，则它的余角为(90-x)°，它的补角为(180-x)°．
由题意，得 180 – x = 4( 90 – x ) ,
解方程，得 x= 60º
答：这个角的度数为60°．
追问：求这个角的余角的度数。
1．直接求出：90°— 60°= 30°
2．还可以怎样设未知数？(此题也可以设这个角的余角为x°，它的补角为(90+x)°，列出方程为：
90 + x = 4x
x = 30°
3. 这两种设未知数的方法各有什么好处？(第一种方法是习惯方法，先求
出这个角，然后再求出它的余角．第二种方法是，问什么设什么，直接求出此题的结果．第一种方法是间接假设，第二种方法是直接假设．)
小结：(1)这例题是利用代数方法解决几何问题，关键是正确设出未知数，正确列出方程，求出未知数的值．在设未知数的过程中，可以有不只
一种设法．
(2)注意题目中的隐含条件，若一个角为x时，它的余角为90-x，它的补角
为180-x．
(3)在设未知数的过程中，要注意写单位，但在列方程时，可以不带单位．
课内练习（课本第184页）
谈谈收获
布置作业：1．课本上的作业题 2．作业本。