2007年河南专升本考试高等数学试卷及答案
2007年河南省专升本真题高数（及答案）
2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷题号一二三四五六总分核分人分数一. 单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分. 1.集合}5,4,3{的所有子集共有（）A. 5B. 6C. 7D. 8 2.函数x x x f 3)1arcsin()(的定义域为（）A. ]3,0[B. ]2,0[C.]3,2[ D. ]3,1[3. 当0x 时，与x不等价的无穷小量是( )A.x 2B.x sinC.1xeD.)1ln(x 4.当x是函数xx f 1arctan)(的（）A.连续点B. 可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点5. 设)(x f 在1x处可导，且1)1(f ，则hh f h f h)1()21(lim的值为（）A.-1B. -2C. -3D.-46.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形（）A ．单调递减且为凸的B ．单调递增且为凸的C ．单调递减且为凹的D ．单调递增且为凹的7.曲线31x y 的拐点是（）A.)1,0( B. )0,1( C. )0,0( D. )1,1(8.曲线2232)(xxx f 的水平渐近线是（）A. 32yB. 32yC. 31yD. 31y9. 42tan lim xtdt x x （）A. 0B. 21C.2D. 110.若函数)(x f 是)(x g 的原函数，则下列等式正确的是（）A.C x g dx x f )()(B. C x f dx x g )()(C.C x f dxx g )()( D.Cx g dxx f )()( 11.dx x)31cos(（）A.C x)31sin(31B. C x)31sin(31C. C x)31sin( D. Cx)31sin(312. 设x dt tt y)3)(1(，则)0(y （）A.-3B.-1C.1D.3 13. 下列广义积分收敛的是（）A.1x dxB. 1x dxC.1xx dxD.10xx dx 14. 对不定积分dx xx 22cos sin 1，下列计算结果错误是（） A.C xxcot tan B.Cxxtan 1tan C. C x x tan cot D.C x2cot 15. 函数2x y 在区间]3,1[的平均值为（）A.326 B.313 C. 8 D. 416. 过Oz 轴及点)4,2,3(的平面方程为（）A. 023y xB. 02zyC. 032yx D.2z x 17. 双曲线014322y z x 绕z 轴旋转所成的曲面方程为（）A. 143222zy xB.143222z yxC. 143)(22z y x D.14)(322z yx18.xy xy yx 93lim（）A. 61 B.61 C.0 D. 极限不存在19.若yx z，则)1,(e yz （）A.e1 B. 1 C.e D. 0 20. 方程132xzyz 所确定的隐函数为),(y x f z，则x z （）A.xzyz 322B.yxzz 232C. xzyz 32 D.yxzz 2321. 设C 为抛物线2x y上从)0,0(到)1,1(的一段弧，则Cdyx xydx 22（） A.-1 B.0 C.1 D.2 22.下列正项级数收敛的是（）A.2131n n B. 2ln 1n n n C.22)(ln 1n n n D.21n nnn 23.幂级数1)1(31n nn x的收敛区间为（）A.)1,1(B.)3,3(C.)4,2( D.)2,4(24. 微分x eyy y xcos 23特解形式应设为y（）A. x Ce xcos B.)sin cos (21x C xC e xC.)sin cos (21x C xC xe xD.)sin cos (212x C xC e x x25.设函数)(x f y 是微分方程xe yy2的解，且0)(0x f ，则)(x f 在0x 处（）A.取极小值B. 取极大值C.不取极值D.取最大值二、填空题（每题2分，共30分）26.设52)(xx f ，则]1)([x f f _________.27.!2limn nn____________.28.若函数02203)(4xa xx ex f x，，在0x 处连续，则a ____________.29.已知曲线22x x y 上点M 处的切线平行于直线15x y，则点M的坐标为 ________30.设12)(x e x f ，则)0()2007(f _________31.设12132t tyt x ，则1t dxdy __________ 32. 若函数bx axx f 2)(在1x处取得极值2，则a______，b _____得分评卷人33. dxx f x f )()( _________34．1021dx x _________35.向量k ji a 43的模||a ________ 36. 已知平面1：0752zyx与平面2：01334mz y x垂直，则m ______37.设22),(y xxy y x f ，则),(y x f ________38.已知I 2122),(yydx y x f dy ，交换积分次序后，则I_______39.若级数11n nu 收敛，则级数1111n nnu u 的和为 _______40.微分方程02yy y 的通解为________三、判断题（每小题2分，共10分）你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.41.若数列n x 单调，则n x 必收敛.( )42.若函数)(x f 在区间b a,上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f ，则一定不存在),(b a ，使)(f . ( )43.1sin sin limcos 1cos 1limsin sin limxx xx xxx x xxx由洛比达法则.( )44.2ln 23102ln 02dxe x. ( )45.函数),(y x f 在点),(y x P 处可微是),(y x f 在),(y x P 处连续的充分条件.( ) 四、计算题（每小题5分，共40分）46．求xxxsin 0lim .47.求函数3211xx xy 的导数dxdy .48.求不定积分dx x ex)]1ln([2.49.计算定积分dx x 02cos 22.50.设)3,sin (2y x y e f zx，且),(v u f 为可微函数，求dz.得分评卷人得分评卷人51．计算Ddxdy x 2，其中D 为圆环区域：4122yx.52．将242xx 展开为x 的幂级数，并写出收敛区间.53．求微分方程0)2(22dxx xy y dy x 的通解.五、应用题（每题7分，共计14分）54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容积为V 立方米，底面造价每平方米a 元，侧面造价每平方米b 元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？55. 设平面图形D 由曲线xe y ,直线e y 及y 轴所围成.求：（1）平面图形D 的面积;(2) 平面图形D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.六、证明题（6分）56.若)(x f 在],[b a 上连续，则存在两个常数m 与M ，对于满足b x x a21的任意两点21,x x ，证明恒有)()()()(121212x x M x f x f x x m .2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试(答案)一1解：子集个数D n 8223。
2007年河南省专升本考试高等数学试卷及答案
2007年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷一. 单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后 面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1.集合}5,4,3{的所有子集共有 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解：子集个数D n⇒==8223。
2.函数x x x f -+-=3)1arcsin()(的定义域为 （ ） A. ]3,0[ B. ]2,0[ C. ]3,2[ D. ]3,1[解： B x x x ⇒≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≤-≤-2003111。
3. 当0→x 时，与x 不等价的无穷小量是 ( )A.x 2B.x sinC.1-xe D.)1ln(x + 解：根据常用等价关系知，只有x 2与x 比较不是等价的。
应选A 。
4.当0=x 是函数xx f 1arctan )(= 的 （ ）A.连续点B. 可去间断点C.跳跃间断点D. 第二类间断点解：21arctan lim 0π=+→x x ；C x x ⇒π-=-→21arctan lim 0。
5. 设)(x f 在1=x 处可导，且1)1(='f ，则h h f h f h )1()21(lim 0+--→的值为（ ）A.-1B. -2C. -3D.-4解：C f h f h f h h f h f h h ⇒-='-=+'--'-=+--→→3)1(3)1()21(2[lim )1()21(lim 00 。
6.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(<''>'x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形 （ ）A ．单调递减且为凸的B ．单调递增且为凸的C ．单调递减且为凹的D ．单调递增且为凹的 解：⇒>'0)(x f 单调增加；⇒<''0)(x f 凸的。
2007年河南省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
2007年河南省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 判断题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．集合{3，4，5}的子集个数为( )A．5B．6C．7D．8正确答案：D解析：集合{3，4，5)的子集有：空集φ、{3｝、{4｝、{5｝、{3，4｝、{3，5｝、{4，5｝、{3，4，5｝，共8个．2．函数f(x)=aresin(x-1)+的定义域是( )A．[0，1]B．[0，2]C．[0，3]D．[1，3]正确答案：B解析：解不等式组，得0≤x≤2，B为正确选项．3．当x→0时，与x不等价的无穷小量是( )A．2xB．sinxC．ex-1D．ln(1+x)正确答案：A解析：因=2≠1，所以A为正确选项．4．x=0是函数f(x)=arctan的( )A．连续点B．可去间断点C．跳跃问断点D．第二类间断点正确答案：C解析：，左右极限均存在但不相等，故选C.5．f(x)在x=1处可导，且f’(1)=1，则= ( ) A．-1B．-2C．-3D．-4正确答案：C解析：6．f(x)在区间(a，b)内有f’(x)>0，f’(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内( )A．单调减少且凹B．单调增加且凸C．单调减少且凸D．单调增加且凹正确答案：B解析：在区间(a,b)内有f’(x)>0表示单调增加f’’(x)<0表示f(x)为凸的．7．曲线y=1+x3的拐点是( )A．(0，1)B．(1，0)C．(0，0)D．(1，1)正确答案：A解析：y=1+x3，则y’’=3x2，从而y’’=6x，当x>0时，y’’＞0；当x的水平渐近线是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：因，所以水平渐近线为y=9．= ( )A．0B．C．1D．2正确答案：B解析：10．f(x)是g(x)的原函数，则下列正确的是( )A．∫f(x)dx=g(x)+CB．∫g(x)dx=f(x)+CC．∫g’(x)dx=f(x)+CD．∫f’(x)dx=g(x)+C正确答案：B解析：由原函数的性质知B为正确选项．11．∫cos(1-3x)dx= ( )A．sin(1-3x)+CB．sin(1-3x)+CC．-sin(1-3x)+CD．3sin(1-3x)+C正确答案：A解析：∫coss(1-3x)dx=cos(1-3x)d(1-3x)=∫cosdt=sint+C=sin(1-3x)+C12．设y=(t-1)(t-3)dt，则y’(0)= ( )A．-3B．-1C．1D．3正确答案：D解析：y=(t-1)(t-3)dt，则y’=(x-1)(x-3)，所以y’(0)=(-1)×(-3)=3．13．下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：因广义积分(a>0)当k>1时收敛，当k≤1时发散，故选C.14．计算不定积分，下列结果错误的是( )A．tanx-cotx+CB．tanx-+CC．cotx-tanx+CD．-cot2x+C正确答案：C解析：对各选项直接求导，可发现c选项的导数为-csc2x-sec2x=，根据原函数的概念知C为正确选项．15．函数y=x2在区间[1，3]上的平均值为( )A．B．C．8D．4正确答案：B解析：根据函数y=f(x)在区问[a，b]上的平均值为的定义，知函数y=x2在区间[1，3]上的平均值为16．过Oz轴，且经过点(3，-2，4)的平面方程为( )A．3x+2y=0B．2y+z=0C．2x+3y=0D．2x+z=0正确答案：C解析：平面的一般式方程为Ax+By+Cz+D=0，当平面过Oz轴时，则系数C=D=0，故该平面方程可设为Ax+By=0，又因该平面过点(3，-2，4)，代入平面方程可得A=，再代入方程即得平面方程为2x+3y=0．17．双曲线绕z轴旋转所得的曲面方程为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：根据曲线，绕z轴旋转所得曲面方程为f(，x)=0，可得双曲线绕z轴旋转所得的曲面方程为18．= ( )A．B．C．0D．极限不存在正确答案：B解析：19．若z=xy，则( )A．B．1C．eD．0正确答案：C解析：因为f(e，y)=ey，则20．由方程z2y-xz3=1所确定的隐函数为z=f(x，y)，则=( )A．B．C．D．正确答案：A解析：令F(x，y，z)=z2y-xz2-1，得21．设L为抛物线y=x2上从点(0，0)到(1，1)的一段弧，则∫L2xydx+x2dy= ( )A．-1B．0C．1D．2正确答案：C解析：P(x，y)=2xy，Q(x，y)=x2，，则表明曲线积分与路径无关，取从A(0，0)到B(1，1)的直线段y=x(0≤x≤1)，则∫L2xydx+X2dy=x2dx=1．22．下列正项级数收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：对于选项A，可判定其通项与同阶无穷小，具有相同的敛散性，而是发散的，故发散；对于选项B和C，需要利用积分收敛法才可进行判断，可判断C为正确选项；对于选项D，因为也具有相同的敛散性，而为发散的，故选项D的级数也为发散的．23．幂级数(x+1)n的收敛区间为( )A．(-1，1)B．(-3，3)C．(-2，4)D．(-4，2)正确答案：D解析：令t=x+1，则级数可化为，由等比级数的敛散性可得级数的收敛区间为-1＜＜1，即-3(x+1)n的收敛区间为-3，得到f’’(x0)=＞0，故由极值存在的第二充分条件知A正确．填空题26．设f(x)=2x+5，则f[f(x)-1]=_______正确答案：4x+13解析：由f(x)=2x+5，知f(x)-1=2x+4，则f’[f(x)-1]=f(t)=2t+5=2[f(x)-1]+5=2[2x+4]+5=4x+13．27．=________正确答案：0解析：构造级数=0＜1，由比值收敛法知该级数收敛，再由收敛级数的必要条件知=028．函数f(x)=在x=0处连续，则a=________正确答案：6解析：由连续函数的充分必要条件知limf(x)=，要使f(x)在x=0处连续，则f(0+)=f(0-)=f(0)，从而可得=3，即a=6．29．曲线y=x2-2在点M处的切线平行于直线y=5x-1，则点M的坐标为________正确答案：(2，4)解析：直线y=5x-1的斜率为k=5，曲线y=x2+x-2在点M处的切线斜率为y’=2x+1，要使过点M的切线平行于直线y=5x-1，必有2x+1=5，得x=2，将x=2代入曲线方程y=x2+x-2，得y=4，则点M的坐标为(2，4)．30．已知f(x)=e2x-1，则f(2007)(0)=_______正确答案：解析：因为对于f(x)=e2x-1，有f(n)(x)=2ne2x-1，则f(2007)(0)=31．曲线=_________正确答案：1解析：因32．若函数f(x)=ax2+bx在x=1处取得极值2，则a=______，b=________正确答案：-2 4解析：f(x)=ax2+bx，则f’(x)=2ax+b，因为函数在x=1处取得极值2，且该函数在x=1处可导，所以必有f’(1)=2a+b=0，且f(1)=a+b=2，由2a+b=0，a+b=2，得a=-2，b=4．33．=_______正确答案：ln｜f(x)｜+C解析：=ln｜t｜+C=ln｜f(x)｜+C34．=________正确答案：解析：根据定积分的几何意义，知表示圆心在坐标原点，半径为1的圆落在第一象限内的面积，故有35．平面x+2y-5z+7=0与平面4x+3y+mz+13=0垂直，则m=________正确答案：2解析：两平面的法向量分别为={1，2，-5}，={4，3，m}，因为两平面垂直，故=0，即1×4+2×3+(-5)×m=0，解得m=2．36．向量3i+4j-k的模等于_______正确答案：解析：向量3i+4j-k的模等于37．函数f(x+y，xy)=x2+y2，则f(x，y)=_______正确答案：x2-2y解析：函数f(x+y，xy)=x2+y2=(x+y)2-2xy，令u=x+y，v=xy，f(u，v)=u2-2v，则f(x，y)=x2-2y．38．二重积分f(x，y)dx，交换积分次序后为_______正确答案：解析：二重积分的积分区域为D=｛(x,y)｜0≤y≤，y≤x ≤｝，该区域又可表示为D={(x，y)｜0≤x≤，0≤y≤x｝∪{(x，y)｜≤x≤1，0≤y≤，所以交换积分次序后得39．若级数收敛，则级数的和为_______正确答案：解析：级数的前n项和为Sn=因为级数收敛，故有=0，从而=0，故S=40．微分方程y’’-2y’+y=0的通解为______正确答案：y=(C1+C2x)ex解析：微分方程y’’-2y’+y=0对应的特征方程为r2-2r+1=0，得特征根为r1=r2=1，所以原方程的通解为y=(C1+C2x)ex判断题41．若数列{xn}单调，则数列{xn}收敛．( )A．正确B．错误正确答案：B解析：收敛数列未必单调，单调数列也未必收敛；如自然数列{n}，单调增加但不收敛．42．若f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)≠f(b)，则一定不存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．( )A．正确B．错误正确答案：B解析：反例如f(x)=x2在区间[-1，2]内连续，在(-1，2)内可导，且f(-1)≠f(2)，但显然在(-1，2)内存在ξ=0∈(-1，2)，使得f’(0)=0．43．( )A．正确B．错误正确答案：B解析：当x→∞时，显然(1+cosx)与(1-cosx)并不存在，故不符合洛必达法则的使用条件．44．( )A．正确B．错误正确答案：A解析：令f(x)=，则f’(x)=＞0，x∈(0，ln2)，所以当x∈(0，ln2)时，f(x)单调递增，从而有f(0)≤f(x)≤f(ln2)，即0≤，所以由定积分的性质可得45．f(x，y)在点P(x，y)处可微是f(x，y)在点P(x，y)处连续的充分条件．( )A．正确B．错误正确答案：A解析：f(x，y)在点p(x，y)处可微可得f(x，y)在点p(x，y)处连续，反之不成立．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2007级高等数学11-2B答案
2007级高等数学Ⅱ-2B0809试卷参考答案一、填空题(每小题3分,共15分)1.设2cos z y x =,则z y∂=∂ 2c o s x 2.设arctan y z x =,则dz = 22ydx xdy x y-++ 3.微分方程440y y y '''-+=的通解为 212()x y e c c x =+4.幂级数211n n x n ∞=∑的收敛域为 []1,1- 5.交换二次积分100(,)y dy f x y dx ⎰⎰的积分次序为110(,)xdx f x y dy ⎰⎰ 二、计算题(每小题7分,共21分)1. 求过点(1,2,3)M -且垂直于直线3460:24310x y z L x y z -++=⎧⎨+--=⎩的平面方程. 解:平面的法向量为12134(7,11,10)243i j k n n n =⨯=-=--所求平面方程为7(1)11(2)10(3)0x y z -++-+-=,即71110590.x y z -++-=2. 设2(,32)z f x y x y =+-,f 具有二阶连续偏导数,求2,.z z x x y ∂∂∂∂∂ 解:12111221223,223(22).z z f f f y f f y f x y∂∂=+=⋅-+⋅-∂∂ 3. 求曲面22249x y z =+在点(6,12,5)处的切平面方程和法线方程. 解:令222(,,),49x y F x y z z =-+则2,,229x y z x y F F F z =-=-= 所以曲面在点(6,12,5)处的切平面的法向量为8(3,,10)3n =-- , 所以切平面方程为83(6)(12)10(5)0.3x y z ----+-=法线方程为6125.38310x y z ---==-- 三、计算题(每小题7分,共28分)1. 计算二重积分D xydxdy ⎰⎰,其中D 是由直线1,2y x ==及y x =所围成的平面区域. 解:22311119().28x D xydxdy dx xydy x x dx ==-=⎰⎰⎰⎰⎰ 2. 计算三重积分222()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰,其中2222:5.x y z Ω++≤ 解: 2522222000()sin 2500.xy z dxdydz d d r r dr ππθϕϕπΩ++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3. 计算曲线积分22()Lx y ds +⎰,其中Γ为圆周222(0).x y a a +=> 解:圆的参数方程为cos ,sin ,02,x a t y a t t ds adt π==≤≤=2222210()2.n n n L xy ds a adt a ππ++=⋅=⎰⎰4. 计算曲面积分122222()()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰,其中∑为下半球面z =的上侧,a 为大于零的常数.解:作辅助平面12220:z x y a=⎧∑⎨+≤⎩,取下侧.则 122222()1()()axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a x y z ∑∑++=++++⎰⎰⎰⎰ 112211()()axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a a ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰ 222211(22)x y a a z a dv a dxdy a a Ω+≤=-++-⎰⎰⎰⎰⎰ 2233001sin (32cos ).2a d d a r r dr a a a ππππθϕϕϕπ=-+-=-⎰⎰⎰四、计算题(每小题7分,共28分)1. 判断级数18!nn n ∞=∑的敛散性.解:118(1)!8lim lim lim 018!1n n n n n n na n a n n ρ++→∞→∞→∞+====<+,所以原级数收敛. 2. 将函数()ln f x x =展开成(3)x -的幂级数.解:3()ln ln(3(3))ln 3ln(1)3x f x x x -==+-=++ 111(3)ln 3(1),(0,6]3n n nn x x n ∞-=-=+-∈∑ 3. 求微分方程522(1)1dy y x dx x -=++的通解. 解:22532222(1)(1)(1)3dx dx y e C x e x C x -⎡⎤⎡⎤⎰⎰=++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰ 4. 求微分方程2x y y y xe '''--=的通解.解:原方程对应的齐次方程的特征方程为220r r --=,特征根为122, 1.r r ==- 所以对应的齐次方程的通解为212x x Y c e c e -=+又1λ=不是特征方程的根,所以原方程的特解可设为()x y ax b e *=+, 代入原方程可得11,24a b =-=-,即11().24x y x e *=-+ 故原方程的通解为21211().24x x x y c e c e x e -=+-+ 五、应用题(8分)求由方程22222880x y z xz z +++-+=所确定隐函数(,)z z x y =的极值.解:484,281281z x z z y x z x y z x ∂--∂-==∂+-∂+- 令0,0z z x y ∂∂==∂∂可解得2,0x z y =-=,代入原方程得2780z z +-=,从而解得1281,7z z ==-,于是驻点为16(2,0),(,0).7- 222(48)(281)8(2)(4)(281)z z x x z x x z z x z x ∂∂∂∂--+-+++∂=∂+- 2224(281)8(281)z y z x z y z x ∂∂-+-+∂=∂+-228(281)8(2)(281)z z y y z x x z z x y z x ∂∂∂∂-+-++∂=∂∂+- 在点(2,0)-处且1z =时,22222(,)(2,0)(,)(2,0)(,)(2,0)11144,0,,1515x y x y x y z z z z z z A B C x x y y =-=-=-===∂∂∂======∂∂∂∂且 20,0AC B A ->>,故(,)z z x y =在驻点(2,0)-处取得极小值 1.z = 同理可得(,)z z x y =在驻点16(,0)7处取得极大值87z =-.。
河南省专升本考试高等数学真题试卷
河南省专升本考试⾼等数学真题试卷2005年河南省普通⾼等学校选拔优秀专科毕业⽣进⼊本科阶段学习考试⾼等数学⼀、单项选择题1．已知xx y --=5)1ln(的定义域为（）A. x >1B. x <5C. 1D. 1A ．x x y cos = B. 13++=x x y C. 222x x y --= D 222xx y -+=3．当0→x 时，与12-x e 等价的⽆穷⼩量是（） A ．x B. x 2 C. 2x 2 D.2x4．极限=++∞→1)21(lim n n n（）A ．e B. 2e C . 3e D. 4e5．设函数=≠--=0,0,11)(x a x x xx f 在x =0处连续，则常数a= （） A ．1 B -1 C 0.5 D -0.5 6.设函数)(x f 在x =1处可导，且2 1)1()21(lim=-+→h f h f h ，则=')1(f ( )A 0.5B -0.5C 0.25D -0.25 7、由⽅程y x e xy += 确定的隐函数)(y x 的导函数=dydx（）A)1()1(x y y x -- B )1()1(y x x y -- C )1()1(-+y x x y D )1()1(-+x y y x8、设函数f (x )具有任意阶导数，且[]2)()(x f x f ='，则=)()(x f n（）A []1)(+n x f n B []1)(!+n x f n C []1)()1(++n x f n D []1)()!1(++n x f n9、下列函数在给定区间上满⾜罗尔定理条件的是（） A 、]1,1[,12--=x y B 、]1,1[,11 2--=xy C 、]1,1[,-=x xe y D 、]1,1[,-=x y 10、曲线xex f 1)(-= （）A 、只有垂直渐近线B 、只有⽔平渐近线C 、既有⽔平渐近线、⼜有垂直渐近线D 、⽆⽔平、垂直渐近线11、设参数⽅程为==t b y t a x sin cos ，则⼆阶导数22dx yd =（）A 、t a b 2sin B 、t a b 3sin 2- C 、t a b 2cos D 、tt a b12、函数),(),12)(1(+∞-∞∈+-='x x x y ，则在(0.5,1)内，f (x )单调（） A 、递增且图像是凹的 B 、递增且图像是凸的曲线 C 、递减且图像是凹的 D 、递减且图像是凸的曲线 13、若=+=??dx x f C e dx e x f xx)(,)(11则（）A 、x 1B 、21xC 、21x- D 、x 1-14、若=+=??dx x xf C x F dx x f )(sin cos ,)()(则（） A 、C x F +)(sin B 、C x F +-)(sin C 、C x F +)(cos D 、C x F +-)(cos15、导数=?-11dx x x （）A 、2/3B 、0C 、4/3D 、-2/3 16、下列⼴义积分收敛的是（） A 、dx e x ?+∞-0 B 、?+∞ex xdx ln C 、?+∞+021x dxD 、?-10211dx x17、设f (x )在[-a,a]上连续，则定积分=-?-aadx x f )(A 、0B 、?a dx x f 0)(2 C 、?--a adx x f )( D 、?-aadx x f )(18、若直线的关系是与平⾯0122113=+--+=-=-z y x z y x （） A 、垂直 B 、相交但不垂直 C 、平⾏ D 、直线在平⾯上 19、设函数)(x f 的⼀个原函数是sinx ,则A 、C x x +-2sin 2121B 、C x x +--2sin 4121 C 、x 2sin 21-D 、C x +-2sin 2120、设函数f (x )在区间[a,b]上连续，则不正确的是（）A 、?badx x f )(是f (x )的⼀个原函数 B 、?xadt t f )(是f (x )的⼀个原函数C 、?xadt t f )(是-f (x )的⼀个原函数 D 、f (x )在[a,b]上可积21、函数 ),(y x f z =在点(x 0,y 0)处的两个偏导数yzx z 和存在是它在该点处可微的（）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、⽆关条件 22、下列级数中，条件收敛的是（）A 、∑∞=+-11)1(n nn n B 、∑∞=-13/21)1(n n n C 、∑∞=-121)1(n n n D 、∑∞=+-1)1()1(n n n n 23、下列命题正确的是（）A 、若级数收敛）（收敛，则级数与2111∑∑∑∞=∞=∞=+n n n n n n n v u v uB 、若级数收敛收敛，则级数与)(11∑∑∑∞=∞=∞=+n n nn n n n v u v u C 、若正项级数收敛）（收敛，则级数与2 111∑∑∑∞=∞=∞=+n n n n n n n v u v uD 、若级数收敛，与收敛，则级数∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n n v u v u24、微分⽅程y x y y x -='-2)2(的通解为（）A 、C y x =+22B 、C y x =+ C 、1+=x yD 、222C y xy x =+-25、微分⽅程022=+x dtxd x β的通解为 ( )A 、t C t C x ββsin cos 21+=B 、t t eC e C x ββ-+=21 C 、 t t x ββsin cos +=D 、t t e e x ββ-+= 26、设==)2,1(,2ln dz yxz 则（）A 、dx x y 2 B 、dy dx 2121- C 、dy dx 21- D 、dy dx 21+ 27、设L ：y =x 2从O(0,0)到B(1,1)的⼀段弧，则=+?L dy x xydx 22（） A 、2 B 、1 C 、-1 D 、-228、交换积分次序dy y x f dx x ),(2的积分次序后可化为（）A 、dx y x f dy y),(240?B 、dx y x f dy y),(040?? C 、dx y x f dy x),(2402?? D 、dx y x f dy y),(24029、设D 由上半圆周22x ax y -=和x 轴围成的闭区域，则= Ddxdy y x f ),(（）A 、rdr r r f d a)sin ,cos (2020θθθπB 、dr r r f d a)sin ,cos (2020θθθπC 、rdr r r f d a )sin ,cos (cos 2020θθθθπD 、dr r r f d a )sin ,cos (cos 2020θθθθπ30、⼆元函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极⼩值点是（）A 、(1,-1)B 、(-1,1)C 、(-1,-1)D 、(1,1)⼆、填空题31、设函数2)1(2+=+x x f ，则f (x-2)=32、526lim22=--+→x ax x x ，则a= 33、曲线x y arctan =在)4,1(π处的切线⽅程为34、x e y =的拐点为35、设函数xxx e x f 1)(=，则dy =36、函数x x x f ln 2)(2-=的单调递增区间是37、设函数)(x f 连续，且x dt t f x =?3)(，则)27(f =38、向量a={1,0,-1}与b={0,1,2}为邻边构成的平⾏四边形的⾯积为39、=+-?dx xx xcos sin 140、函数dt te y x t ?-=0的极⼩值是 41、设y z z x ln =,则yz x z ??+??= 42、设=≥≥==-==??Ddxdy x y y x y x y x y y x D 2)(},0,0,0,,1),{(则 43、设3)2(,2)2(,1)0(='==f f f ，则=''?1)2(dx x f x44、将223)(x x x f -+=展开为x 的幂级数是45、⽤待定系数法求⽅程x e x y y y 2)12(44+=+'-''的特解时，特解应设为三、计算题46、求xx e x xx 2sin 1lim 3202-→-- 47、求函数x x x y 2sin 2)3(+=的导数dxdy48、计算不定积分?-dx xx 22449、计算定积分dx x x ?-+102)2()1ln(50、设函数),()2(xy x g y x f z ++=，其中),(),(v u g t f 为可微函数，求yz x z , 51、计算σd y x D2，其中D 由 1,2,===x x y x y 所围成的区域52、求微分⽅程0)12(2=+-+dx x xy dy x 的通解 53、将幂级数∑∞=--+1)1()3(1n nnx n 的收敛区间（不考虑端点的情况）四、应⽤题54、某公司的甲，⼄两⼚⽣产同⼀种产品，且⽉产量分别是x,y （千件），甲⼚的⽉⽣产成本是C 1=x 2-2x+5(千元)，⼄⼚的⽉⽣产成本是C 2=y 2-2y+3(千元)，若要求该产品每⽉总产量为8千件，并使总成本最⼩，求甲⼄两⼯⼚的最优产量和相应的最⼩成本。
2007年河南专升本高等数学真题+真题解析
2007河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、选择题 （每小题2 分，共50 分） 1．集合{}3,4,5的子集个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】n 元素集合的子集个数为2n 个，故已知集合的子集个数为328=．2．函数()arcsin(1)f x x =-+ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,3D ．[]1,3【答案】B【解析】要使arcsin(1)x -有意义，须使11x -≤，解得02x ≤≤有意义，须使30x -≥，解得3x ≤；综上，函数的定义域为[]0,2．3．当0x →时，与x 不等价的无穷小量是（ ）A ．2xB ．sin xC ．1x e -D ．ln(1)x +【答案】A【解析】显然2x 与x 在0x →时不等价．4．0x =是函数1()arctan f x x=的（ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点【答案】C【解析】因函数1()arctan f x x=在0x =处无定义，所以0x =为()f x 的间断点．又01lim ()lim arctan 2x x f x x π++→→==，001lim ()lim arctan 2x x f x x π--→→==-，故点0x =为()f x 的跳跃间断点．5．设()f x 在1x =处可导，且(1)1f '=，则0(12)(1)limh f h f h h→--+=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-【答案】C 【解析】00(12)(1)(12)(1)(1)(1)limlim (2)3(1)32h h f h f h f h f f h f f h h h →→--+--+-⎡⎤'=-⋅-=-=-⎢⎥-⎣⎦． 故选C ．6．设()f x 在区间(,)a b 内有()0f x '>，()0f x ''<，则()f x 在区间(,)a b 内（ ） A ．单调减少且凹的 B ．单调增加且凸的C ．单调减少且凸的D ．单调增加且凹的【答案】B【解析】由()0f x '>可知()f x 在区间(,)a b 上单调增加，由()0f x ''<可知函数是凸的，故选B ．7．曲线31y x =+的拐点为（ ）A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(1,1)【答案】A【解析】6y x ''=，令0y ''=得0x =，当0x <时，0y ''<，当0x >时，0y ''>，故点(0,1)是曲线的拐点．8．曲线2223x y x -=的水平渐近线为（ ） A ．23y = B ．23y =-C ．13y =D ．13y =-【答案】C【解析】2221lim 33x x x →∞-=，13y =为曲线的水平渐近线，故选C ．9．24tan limx x xdx x →=⎰（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】2220433000tan 2tan 21limlim lim 442x x x x xdx x x x x x x x →→→⋅===⎰．10．()f x 是()g x 的原函数，则下列正确的是（ ） A ．()()f x dx g x C =+⎰ B ．()()g x dx f x C =+⎰C ．()()g x dx f x C '=+⎰D ．()()f x dx g x C '=+⎰【答案】B【解析】根据不定积分与原函数的关系可知()()g x dx f x C =+⎰．11．cos(13)x dx -=⎰（ ） A ．1sin(13)3x C --+B ．1sin(13)3x C -+C ．sin(13)x C --+D ．3sin(13)x C -+【答案】A【解析】11cos(13)cos(13)(13)sin(13)33x dx x d x x C -=---=--+⎰⎰．12．设0(1)(3)xy t t dt =--⎰，则(0)y '=（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】D【解析】(1)(3)(0)3y x x y ''=--⇒=，故选D ．13．下列广义积分收敛的是（ ） A．1+∞⎰B ．11dx x+∞⎰C．1+∞⎰D．1⎰【答案】C【解析】由p积分的敛散性可知1+∞⎰收敛．14．关于不定积分221sin cos dx x x⎰，下列结果错误的是（ ）A ．tan cot x x C -+B ．1tan tan x C x-+C ．cot tan x x C -+D ．cot 2x C -+【答案】C【解析】C 选项中，()2222111cot tan sin cos sin cos x x C x x x x'-+=--=-，故选C ．15．函数2y x =在区间[]1,3的平均值为（ ）A ．263B ．133C ．8D ．4【答案】B【解析】3323111113()263b a x f x dx x dx b a ===-⎰⎰，故选B ．16．经过Oz 轴，且经过点(3,2,4)-的平面方程为（ ）A ．320x y +=B ．20y z +=C ．230x y +=D ．20x z +=【答案】C【解析】经过Oz 轴的平面可设为0Ax By +=，把点(3,2,4)-代入得230x y +=．17．双曲线221340x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转得曲面方程为（ ） A ．222134x y z +-=B ．222134x y z +-=C ．22()134x y z +-=D ．22()134x y z +-=【答案】A【解析】把22134x z -=中2x 换成22x y +得222134x y z +-=，故选A ．18．00x y →→ ）A ．16B ．16-C ．0D ．极限不存在【答案】B【解析】00016x x x y y y →→→→→→==-=-．19．设y z x =，则(,1)e zy∂=∂（ ）A ．1eB ．1C ．eD ．0【答案】C 【解析】(,1)(,1)ln ln y e e z x xe e e y∂===∂，故选C ．20．方程231z y xz -=所确定的隐函数(,)z f x y =，则zx∂=∂（ ）A ．223z y xz -B ．232z xz y-C ．23zy xz-D ．32zxz y-【答案】A【解析】令23(,,)1F x y z z y xz =--，则3x F z =-，223z F yz xz =-，故223x z F z z x F y xz∂=-=∂-．21．设C 为抛物线上从点(0,0)到点(1,1)之间的一段弧，则22Cxydx x dy +=⎰（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】C ：2x x y x=⎧⎨=⎩，x 从0变到1，1230241C xydx x dy x dx +==⎰⎰，故选C ．22．下列正项级数收敛的是（ ）A ．2131n n ∞=+∑B ．21ln n n n ∞=∑C ．221(ln )n n n ∞=∑ D．n ∞=【答案】C 【解析】21ln dx x x+∞⎰发散，221(ln )dx x x +∞⎰收敛，由积分判别法知B 发散，C 收敛；其余几个级数均与级数具有相同的发散性．故选C ．23．幂级数101(1)3n n n x ∞+=+∑的收敛区间为（ ）A ．(1,1)-B ．(3,3)-C ．(2,4)-D ．(4,2)-【答案】D【解析】令1x t +=，级数化为10011333nn n n n t t ∞∞+==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，级数收敛区间为(3,3)-，即1(3,3)x +∈-，故(4,2)x ∈-，选D ．24．微分方程32cos x y y y e x -'''++=利用待定系数求特解时，设*y =（ ） A ．cos x Ce xB ．12(cos sin )x eC x C x -+C ．12(cos sin )x xe C x C x -+D ．212(cos sin )x x e C x C x -+【答案】B【解析】特征方程为2320r r ++=，特征根为11r =-，22r =-，而1i -+不是特征方程的特征根，特解应设为*12(cos sin )x y e C x C x -=+．25．函数()y f x =满足微分方程2x y y e '''+=，且0()0f x '=，则()f x 在0x 处（ ）A ．有极小值B ．有极大值C ．无极值D ．有最大值【答案】A【解析】0022000()()()0x x f x f x e f x e '''''+=⇒=>，故选A ．二、填空题 （每小题 2分，共 30分）26．设()25f x x =+，则[]()1f f x -=________． 【答案】413x +【解析】[][]()12()152()32(25)3413f f x f x f x x x -=-+=+=++=+．27．2lim !nn n →∞=________．【答案】0【解析】构造级数02!nn n ∞=∑，利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条件可得2lim 0!nn n →∞=．28．设函数43,0()2,02x e x f x ax x ⎧<⎪=⎨+≥⎪⎩在0x =处连续，则a =________． 【答案】6【解析】0lim ()3x f x -→=，0lim ()2x a f x +→=，由题意可知32a=，故6a =．29．曲线22y x x =+-在点M 处的切线平行于直线51y x =-，则点M 的坐标为 ________． 【答案】(2,4)【解析】215y x '=+=，从而2x =，4y =，故点M 坐标为(2,4)．30．已知21()x f x e -=，则(2007)(0)f =________． 【答案】200712e -【解析】()21()2n n x f x e -=，故(2007)20071(0)2f e -=．31．曲线23121x t y t t =+⎧⎨=-+⎩，则1|t dydx ==________． 【答案】1【解析】114113||t t dy t dx ==-==．32．若函数2()f x ax bx =+在1x =处取得极值2，则a =________，b =________． 【答案】2-，4【解析】(1)2f a b =+=，(1)20f a b '=+=，联立解得2a =-，4b =． 33.()()f x dx f x '=⎰________． 【答案】ln ()f x C + 【解析】()()ln ()()()f x df x dx f x C f x f x '==+⎰⎰．34．=⎰________．【答案】4π【解析】21144ππ=⋅=⎰．35．向量34+-i j k 的模=a ________．【解析】a36．平面1:2570x y z π+-+=与平面2:43130x y mz π+++=垂直，则m =________． 【答案】2【解析】1(1,2,5)=-n ，2(4,3,)m =n ，1246502m m ⊥⇒+-=⇒=n n ．37．函数22(,)f x y xy x y +=+，则(,)f x y =________． 【答案】22x y -【解析】2222(,)()2(,)2f x y xy x y x y xy f x y x y +=+=+-⇒=-．38．二次积分0(,)yI f x y dx =交换积分次序后为________．【答案】1(,)(,)xf x y dy f x y dy +⎰【解析】(,)02D x y y y x ⎧⎪=≤≤≤≤⎨⎪⎩(,)0(,)1,0x y x y x x y x y ⎧⎫⎧⎪⎪⎪=≤≤≤≤+≤≤≤⎨⎬⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩，故积分次序交换后为1(,)(,)x f x y dy f x y dy +⎰．39．若级数11n nu ∞=∑收敛，则级数1111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的和为________．【答案】11u 【解析】122311*********n nn n S u u u u u u u u ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而11lim 0n n u →∞+=，故11lim n n S S u →∞==．40．微分方程20y y y '''-+=的通解为________． 【答案】12x x y C e C xe =+（12,C C 为任意常数）【解析】特征方程为2210r r -+=，特征根为121r r ==，故通解为12x x y C e C xe =+（12,C C 为任意常数）．四、计算题（每小题5 分，共40 分） 46．计算sin 0lim x x x +→． 【答案】1【解析】0000ln lim1lim sin ln lim ln lim sin sin ln 00lim lim 1x x x x xx xx xxxx xxx x x e eeeee +→+++→→→++-→→=======．47．已知y x =dydx．【答案】2113(1)3(1)x x x x ⎤+-⎢⎥-+⎦【解析】两边取自然对数得()1ln 2ln ln 1ln 13y x x x =+--+， 两边对x 求导得2111311y y x x x '-⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，故2113(1)3(1)dy x dx x x x ⎤=+-⎢⎥-+⎦．48．求 2ln(1)x e x dx ⎡⎤++⎣⎦⎰．【答案】21(1)ln(1)2x e x x x C +++-+【解析】22211ln(1)(2)ln(1)ln(1)221xx x xe x dx e d x x dx e x x dx x ⎡⎤++=++=++-⎣⎦+⎰⎰⎰⎰ 22111ln(1)1(1)ln(1)212x x e x x dx e x x x C x ⎛⎫=++--=+++-+ ⎪+⎝⎭⎰．49．计算0⎰．【答案】4【解析】2022cos 2cos 2cos x dx xdx xdx πππππ===-⎰⎰⎰⎰⎰222sin 2sin 4xxπππ=-=．50．设2(sin ,3)x z f e y x y =，且(,)f u v 是可微函数，求dz ． 【答案】21212(sin 6)(cos 3)x x e yf xyf dx e yf x f dy ''''+++【解析】1212sin 6sin 6x x zf e y f xy e yf xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂，221212cos 3cos 3x x zf e y f x e yf x f y∂''''=⋅+⋅=+∂， 故21212(sin 6)(cos 3)x x z zdz dx dy e yf xyf dx e yf x f dy x y∂∂''''=+=+++∂∂．51． 计算2Dx dxdy ⎰⎰，其中D ：2214x y ≤+≤．【答案】154π【解析】积分区域D 在极坐标系下为{}(,)02,12r r θθπ≤≤≤≤，故222222220100151515115cos cos (1cos2)sin 248824I d r rdr d d πππππθθθθθθθθ⎛⎫=⋅==+=+=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰．52．将函数22()4xf x x =-展开成x 的幂级数，并写出其收敛区间． 【答案】1201(1)()2n n n n f x x ∞++=⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦∑，(2,2)x ∈-．【解析】22114222414122x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪--+⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又01,(1,1)1nn x x x ∞==∈--∑， 从而01212n n x x ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭-∑，01212nn x x ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭+∑，(2,2)x ∈-， 故120001(1)()42422n nn n n n n n x x x x f x x ∞∞∞++===⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑，(2,2)x ∈-．53．求微分方程22(2)0x dy y xy x dx +--=的通解． 【答案】122xy Cx e x =+ 【解析】方程可化为2121x y y x -'+=，这是一阶线性非齐次微分方程，212()xP x x -=，()1Q x =，代入公式得通解为 11111()()222221()P x dxP x dx x x x x x y e Q x e dx C x e e dx C x e e C Cx e x x --⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎰⎰=+=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎰⎰．五、应用题 （每小题7 分，共 14 分）54．某工厂建一排污无盖的长方体，其体积V ，底面每平米造价为a （元），侧面每平米造价为b （元）．为使其造价最低，其长、宽、高各应为多少米？ 【答案】【解析】设长方体的长、宽分别为x ，y ，则高为Vxy，又设造价为z ，由题意可得 222()V bV bV z axy b x y axy xy y x =++=++，而22z bVay x x∂=-∂，22z bV ax y y ∂=-∂，令0zx∂=∂，0z y ∂=∂，得唯一驻点x y ==由题意可知造价一定在内部存在最小值，故x y ==最低．55．平面图形D 是由曲线x y e =，直线y e =及y 轴所围成的，求： （1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积． 【答案】（1）1 （2）(2)e π-【解析】（1）平面图形D 的面积为1100()()1x x S e e dx ex e =-=-=⎰．（2）平面图形D 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积为2211111(ln )(ln )2ln 2ln 2(2)eeee e y V y dy y y ydy e y y dy e πππππππ==-=-+=-⎰⎰⎰．五、证明题 （6 分）56．设()f x '在[],a b 上连续，存在m ，M 两个常数，且满足12a x x b ≤<≤，证明： 212121()()()()m x x f x f x M x x -≤-≤-．【解析】()f x '在[],a b 上连续，根据闭区间上连续函数的最值定理可知，()f x '在[],a b 上既有最大值又有最小值，即(,)x a b ∈时有()m f x M '≤≤．又因()f x '在[]12,x x 上有意义，从而()f x 在[]12,x x 上连续且可导，即()f x 在[]12,x x 上，满足拉格朗日中值定理，即存在12(,)x x ξ∈使得2121()()()f x f x f x x ξ-'=-，而()m f M ξ'≤≤，故恒有212121()()()()m x x f x f x M x x -≤-≤-．。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅱ.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)理科数学（必修+选修Ⅱ）注意事项：1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚 5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kn n P k C p p k n -=-=，，，…， 一、选择题1．sin 210=（ ）AB．-C ．12D ．12-2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭，3．设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i +4．下列四个数中最大的是（ ） A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2) C．D ．ln 25．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是（ ） A ．(21)-，B ．(2)+∞，C ．(21)(2)-+∞ ，， D ．(2)(1)-∞-+∞ ，， 7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（ ） A．4B．4C．2D．28．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．129．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．3e2x -+ B ．3e2x +- C ．2e3x -+ D ．2e3x +-10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ）ABCD12．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2lim nn S n ∞=→ ．全国卷Ⅱ理科数学（必修+选修Ⅱ）二．请把填空题答案写在下面相应位置处：13. 14 15． 16.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()yf x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小． 20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB的取值范围．AEBCFSD21．（本小题满分12分） 设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b a =1n n b b +<，其中n 为正整数．22．（本小题满分12分）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B二、填空题13．42- 14．0.815．2+16．52-三、解答题17．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3， 2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin cos sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5s i n 3x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值18．解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故 01()()P A P A A =+012122()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=- 于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）ξ的可能取值为012，，． 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故2802100C 316(0)C 495P ξ===． 1180202100C C 160(1)C 495P ξ===． 2202100C 19(2)C 495P ξ===． 所以ξ的分布列为19（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD∥，，又CD AB∥， 故FG AE AEFG∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等 腰直角三角形．取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥．又AB ⊥平面SAD，所以AB DH ⊥，而AB AG A = ， 所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥． 连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角tan 1DH DMH HM ∠=== 所以二面角A EF D --的大小为． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系xyz ．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ， 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，， 则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．EF 中点AEBCFSD H G M111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥ 又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，0EA EF EA EF =，⊥，所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角．cos MD EA MD EA MD EA <>==，． 所以二面角A EF D --的大小为20．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O到直线4x =的距离，即2r ==． 得圆O 的方程为224x y +=． （2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得(20)(20)A B -，，，．设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得22x y =+，即 222x y -=． (2)(2)PA PB x y x y =----- ，，22242(1).x y y =-+=-由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB 的取值范围为[20)-，． 21．解：（1）由132342n n a a n --==，，，，…， 整理得 111(1)2n n a a --=--．又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）方法一：由（1）可知302n a <<，故0n b >．那么，221n nb b +- 2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由（1）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，因此1n n b b n +<，为正整数．方法二：由（1）可知3012n n a a <<≠，，因为132n n a a +-=， 所以1n n b a ++==．由1n a ≠可得33(32)2n n n a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即 223(32)2n n n n a a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭两边开平方得32na a - 即 1n nb b n +<，为正整数．22．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为： ()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使 23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记 32()23g t t at a b =-++，则 2()66g t t at '=- 6()t t a =-． 当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．。
2007年河南高考数学
2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）数学（理科）试卷（河北 河南 山西 广西）第Ⅰ卷本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率)2,1,0()1()(1n k p p C k P k n kn ，⋯=-=-球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π= 其中R 表示球的半径一、选择题1．a 是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α= A ．51 B ．51-C ．135 D ．135-2．设a 是实数，且211ii a +++是实数，则a ＝ A ．21B ．1C ．23 D ．23．已知向量a ＝（－5，6），b ＝（6，5），则a 与b A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为A ．112422=-y xB ．141222=-y x C ．161022=-y xD ．110622=-y x 5．设R ,∈b a ，集合{}=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+a b b a b a b a 则,,,0,,1 A ．1B ．－1C ． 2D ．－26．下面给出的四个点中，到直线x －y+1=0的距离为22，且位于x y 10,x y 10+-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是A ．（1，1）B ．（－1，1）C ．（－1，－1）D ．（1，－1）7．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为A ．51B ．52 C ．53 D ．54 8．设a>1，函数x x f log,)(=在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差为21，则a= A ．2B ．2C ．22D ．49．)(),(x g x f 是定义在R 上的函数，)()()(x g x f x h +=，则“)(),(x g x f 均为偶函数”是“)(x h 为偶函数”的A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件10．2n1(x )x-的展开式中，常数项为15，则n ＝ A ．3B ．4C ．5D ．611．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，,l AK ⊥垂足为K ，且△AKF 的面积是A ．4B ．33C ．43D ．812．函数2cos2cos )(22xx x f -=的一个单调增区间是 A ．（π2π,33） B ．（2,6ππ） C ．（π0,3） D ．（－ππ,66）第Ⅱ卷（非选择题 共95分）注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2007年河南专升本教育理论真题
2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试教育学、心理学试卷教育学部分一、填空题（每空1分，共25分）1.教育是___________的一种社会活动。
2.在欧洲封建社会里，出现了两种类型的教育：___________和___________。
3.教育的两大基本规律是：___________；___________。
4.马克思关于人的全面发展学说认为，实现人全面发展的唯一途径是___________。
5.不同的教育功能观和教育价值观形成不同的教育目的观，教育史上曾出现两种对立的教育目的观是___________和___________。
6.美育是运用艺术美、自然美和社会生活美培养受教育者正确的___________和感受美、___________、___________能力的教育。
7.制约课程的基本因素是___________、___________和学生。
8. ___________是学科课程标准的具体化。
9．教学过程中学生对知识的领会包括___________和___________两方面。
10.影响儿童身心发展的主导因素是___________。
11.___________是依照法律规定，适龄儿童和少年必须接受，国家、社会和家庭必须予以保证的国民教育。
12.教学过程的中心环节是___________。
13.以杜威为代表的现代教育强调___________在教育中的中心地位。
14.课外活动的组织形式主要有群众性活动、___________和___________等。
15.“揠苗助长”的教育方式，错误在于它违背了青少年身心发展的___________ 规律。
16．学校要卓有成效地实现培养目标、造就合格人才，就必须以___________为主。
二、单项选择题（每小题2分，共20分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。
不选、错选或多选者，该题无分。
2007河南 专升本 高数 试卷
2007年河南省专升本高数一. 单项选择题（每题2分，共计50分）1.集合}5,4,3{的所有子集共有 A. 5 B. 6 C. 7 D. 82.函数x x x f -+-=3)1arcsin()(的定义域为 A. ]3,0[ B. ]2,0[ C. ]3,2[ D. ]3,1[3. 当0→x时，与x 不等价的无穷小量是A.x 2B.x sinC.1-x eD.)1ln(x +4.当0=x是函数xx f 1arctan)(= 的 A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点 5. 设)(x f 在1=x 处可导，且1)1(='f ，则hh f h f h )1()21(lim+--→的值为A.-1B. -2C. -3D.-4 6.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(<''>'x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形A ．单调递减且为凸的B ．单调递增且为凸的C ．单调递减且为凹的D ．单调递增且为凹的 7.曲线31x y +=的拐点是 A. )1,0( B. )0,1( C. )0,0( D. )1,1(8.曲线2232)(x x x f -=的水平渐近线是 A.32=y B 32-=y C. 31=y D. 31-=y 9. =⎰→42tan limx tdt x xA. 0B. 21C.2D. 110.若函数)(x f 是)(x g 的原函数，则下列等式正确的是A.⎰+=C x g dx x f )()( B.⎰+=C x f dx x g )()( C.⎰+='C x f dx x g )()( D.⎰+='C x g dx x f )()(11.⎰=-dx x )31cos(A.C x +--)31sin(31 B. C x +-)31sin(31C. C x +--)31sin(D. C x +-)31sin(3 12. 设⎰--=x dt t t y 0)3)(1(，则=')0(y A.-3 B.-1 C.1 D.313. 下列广义积分收敛的是 A.⎰+∞1xdx B.⎰+∞1xdxC.⎰+∞1xx dx D.⎰1xx dx14. 对不定积分⎰dx x x 22cos sin 1，下列计算结果错误是A.C x x +-cot tanB. C xx +-tan 1tan C.C x x +-tan cot D.C x +-2cot 15. 函数2x y =在区间]3,1[的平均值为 A.326 B.313C. 8D. 4 16. 过Oz 轴及点)4,2,3(-的平面方程为 A. 023=+yx B. 02=+z y C. 032=+y x D. 02=+z x17. 双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-014322y z x 绕z 轴旋转所成的曲面方程为 A.143222=-+z y x B.143222=+-z y x C.143)(22=-+z y x D.14)(322=+-z y x 18.=+-→→xy xy y x 93limA.61 B. 61-C.0D. 极限不存在 19.若y x z=，则=∂∂)1,(e yz A.e1B. 1C. eD. 0 20. 方程 132=-xz y z所确定的隐函数为),(y x f z =，则=∂∂xzA.xzy z 322- B.yxz z 232- C.xzy z 32- D.yxz z 23-21. 设C 为抛物线2x y =上从)0,0(到)1,1( 的一段弧，则⎰=+Cdy x xydx 22A.-1B.0C.1D.2 22.下列正项级数收敛的是A. ∑∞=+2131n n B. ∑∞=2ln 1n n n C. ∑∞=22)(ln 1n n n D.∑∞=21n nnn23.幂级数∑∞=++01)1(31n nn x 的收敛区间为A.)1,1(-B.)3,3(-C. )4,2(-D.)2,4(-24. 微分x e y y y x cos 23-=+'+''特解形式应设为=*y （ ）A. x Ce xcos B. )sin cos (21x C x C e x +-C. )sin cos (21x C x C xex+- D. )sin cos (212x C x C e x x +-25.设函数)(x f y =是微分方程x e y y 2='+''的解，且0)(0='x f ，则)(x f 在0x 处（ ）A.取极小值B. 取极大值C.不取极值D. 取最大值 二、填空题（每题2分，共30分） 26.设52)(+=x x f ，则=-]1)([x f f _________.27.=∞→!2lim n nn ____________. 28.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=02203)(4x ax x e x f x ，，在0=x 处连续，则=a ____________. 29.已知曲线22-+=x x y 上点M处的切线平行于直线15-=x y ，则点M的坐标为 ________30.设12)(-=x e x f ，则 =)0()2007(f _________31.设⎩⎨⎧+-=+=12132t t y t x ，则==1t dx dy__________32. 若函数bx ax x f +=2)(在1=x 处取得极值2，则=a ______，=b _____33.='⎰dx x f x f )()( _________ 34．⎰=-121dx x _________ 35.向量k j i a-+=43的模=||a ________36. 已知平面1π：0752=+-+z y x 与平面2π：01334=+++mz y x 垂直，则=m ______37.设22),(y x xy y x f +=+，则=),(y x f ________38.已知=I⎰⎰-21220),(y ydx y x f dy ，交换积分次序后，则=I _______39.若级数∑∞=11n nu 收敛，则级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111n n nu u 的和为 _______ 40.微分方程02=+'-''y y y 的通解为________三、判断题（每小题2分，共10分）你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.41.若数列{}n x 单调，则{}n x 必收敛.42.若函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f ≠，则一定不存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξ'f .43.1sin sin lim cos 1cos 1lim sin sin lim-=-=+-======+-∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x 由洛比达法则 44.2ln 23102ln 02≤-≤⎰-dx e x .45.函数),(y x f 在点),(y x P 处可微是),(y x f 在),(y x P 处连续的充分条件.( )四、计算题（每小题5分，共40分） 46．求xx x sin 0lim +→.47.求函数3211xxx y +-⋅=的导数dxdy .48.求不定积分⎰++dx x ex)]1ln([2.49.计算定积分dx x ⎰π+02cos 22 .50.设)3,sin (2y x y e f z x =，且),(v u f 为可微函数，求dz .51．计算⎰⎰Ddxdy x 2，其中D 为圆环区域：4122≤+≤y x . 52．将242x x -展开为x 的幂级数，并写出收敛区间.53．求微分方程0)2(22=--+dx x xy y dy x 的通解五、应用题（每题7分，共计14分）54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容积为V 立方米，底面造价每平方米a 元，侧面造价每平方米b 元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？xy图07-155. 设平面图形D 由曲线x e y =,直线e y =及y 轴所围成.求：（1）平面图形D 的面积; (2) 平面图形D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.六、证明题（6分 56.若)(x f '在],[b a 上连续，则存在两个常数m 与M ，对于满足b x x a≤<≤21的任意两点21,x x ，证明恒有)()()()(121212x x M x f x f x x m -≤-≤-答案一. 单项选择题（每题2分，共计50分） 1.子集个数D n⇒==8223。
2001-2013年河南专升本高数真题及答案
2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。
不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 （ ）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 （ ）A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --= D. 222x x y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ）A. xB.2xC. x 2D. 22x 解： ⇒-x e x ~12~12x e x -,应选B.4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （ ） A. e B. 2e C. 3e D. 4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ）A. 1B. 21-C. 41D. 41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.由方程yx e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为（ ）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f n C. 1)]()[1(++n x f n D. 1)]([)!1(++n x f n 解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='', ⇒ΛΛ=)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x fC.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( )A.增加,曲线)(x f y =为凹的B.减少,曲线)(x f y =为凹的C.增加,曲线)(x f y =为凸的D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.11.曲线xe y 1-=（ ）A. 只有垂直渐近线B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线 解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C.12.设参数方程为⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （ ）A.t a b 2sinB.t a b 32sin - C.t a b 2cos D.tt a b22cos sin -解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22 ta bt a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx e x f xx 11)(，则=)(x f （ ）A. x 1-B. 21x- C. x 1 D. 21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是 （ ）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x （ ）A.0B.32 C.34 D.32- 解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aa dx x f )( （ ）A.0B.⎰a dx x f 0)(2 C.⎰--a a dx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （ ）A.C x x +-2sin 2121B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B.19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 （ ）A.⎰ba dx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数C.⎰axdt t f )(是)(x f -的一个原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积解: ⎰b adx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 （ ） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行 解：n s n s ρρρρ⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数x z ∂∂和yz∂∂存在是它在该点处可微的 （ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件 解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln = ，则=)2,1(dz （ ）A.dx x y 2B.dy dx 2121- C.dy dx 21- D.dy dx 21+解：dy ydx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C.23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 （ ） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1(解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.二次积分⎰⎰202),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 （ ）A. ⎰⎰402),(ydx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dy C. ⎰⎰4022),(xdx y x f dy D. ⎰⎰402),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A.25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (a rdr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f d C.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d解：积分区域在极坐标下可表示为：}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，=+⎰Ldy x xydx 22（ ）A. -1B.1C. 2D. -1解：L ：,2⎩⎨⎧==xy xx x 从0变到1 , 142221041031332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是 （ ）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n n nC ．∑∞=-121)1(n nn D ．∑∞=+-1)1()1(n n n n解：∑∞=+-11)1(n n n n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n n n是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n n n条件收敛，应选B.28. 下列命题正确的是 （ ） A ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛B ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数)(212n n n v u +∑∞=收敛C ．若正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛D ．若级数∑∞=1n n n v u 收敛，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛解：正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛⇒ ∑∞=12n nu 与∑∞=12n n v 收敛，而)(2)(222n nn n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛 ，应选C 。
(完整版)年河南专升本高等数学考试真题
2010年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
本试卷的试题答案必须答在答题卡上,答在试卷上无效。
一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
1．设函数)(x f 的定义域为区间(1,1]-，则函数(1)e f x -的定义域为A ．[2,2]-B ．(1, 1]-C ．(2, 0]-D ．(0, 2]2．若()f x ()x R ∈为奇函数，则下列函数为偶函数的是A ．()y x =，[1, 1]x ∈-B ．3()tan y xf x x =+，(π, π)x ∈-C ．3sin ()y x x f x =-，[1, 1]x ∈-D ．25()e sin x y f x x =,[π, π]x ∈- 3．当0→x 时,2e 1x -是sin3x 的A ．低阶无穷小B ．高阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶非等价无穷小4．设函数2511sin , 0()e , 0xx x x f x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，则0x =是)(x f 的 A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．连续点D ．第二类间断点5．下列方程在区间(0, 1)内至少有一个实根的为A ．220x +=B ．sin 1πx =-C ．32520x x +-=D ．21arctan 0x x ++=6．函数)(x f 在点0x x =处可导，且1)(0-='x f ，则000()(3)lim 2h f x f x h h →-+=A ．23B ．23-C ．32-D ．327．曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是A ．1-=x yB ．)1(+-=x yC ．1y x =-+D ．)1)(1(ln -+=x x y 8．设函数π2sin 5y =，则='y A．π2cos 5-B．CD．2πcos 55-9．若函数()f x 满足2d ()2sin d f x x x x =-，则()f x =A ．2cos xB ．2cos xC +C ．2sin x C +D ．2cos x C -+10．d e sin(12)d d b xa x x x--=⎰ A ．e sin(12)x x -- B ．e sin(12)d x x x -- C ．e sin(12)x x C --+D ．011．若()()f x f x -=，在区间(0, )+∞内,()0f x '>，()0f x ''>,则()f x 在区间(, 0)-∞内A ．()0f x '<，()0f x ''<B ．()0f x '>，()0f x ''>C ．()0f x '>，()0f x ''<D ．()0f x '<，()0f x ''>12．若函数()f x 在区间(, )a b 内连续,在点0x 处不可导，0(, )x a b ∈,则A ．0x 是()f x 的极大值点B ．0x 是()f x 的极小值点C ．0x 不是()f x 的极值点D ．0x 可能是()f x 的极值点13．曲线e x y x -=的拐点为A ．1x =B ．2x =C ．222, e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11, e ⎛⎫ ⎪⎝⎭14．曲线2arctan 35xy x=+ A ．仅有水平渐近线 B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线,又无垂直渐近线 15．若x cos 是)(x f 的一个原函数，则=⎰)(d x fA ．sin x C -+B ．sin xC +C ．cos x C -+D ．cos x C +16．设曲线()y f x =过点(0, 1)，且在该曲线上任意一点(, )x y 处切线的斜率为e x x +，则=)(xf A ．2e 2x x -B ．2e 2x x +C ．2e x x +D ．2e x x -17．2 π4πsin d 1x xx x -=+⎰ A ．2B ．0C ．1D ．1-18．设)(x f 是连续函数，则2 ()d x af t t ⎰是A ．)(x f 的一个原函数B ．)(x f 的全体原函数C ．)(22x xf 的一个原函数D ．)(22x xf 的全体原函数19．下列广义积分收敛的是A． 1x +∞⎰B ．2e ln d x x x +∞⎰C ． 2e1d ln x x x+∞⎰D ． 21d 1xx x+∞+⎰20．微分方程0)(224=-'+''y x y y x 的阶数是A ．1B ．2C ．3D ．421．已知向量{5, , 2}a x =-和{, 6, 4}b y =平行,则x 和y 的值分别为A ．4-,5B ．3-，10-C ．4-，10-D ．10-，3-22．平面1x y z ++=与平面2=-+z y x 的位置关系是A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直23．下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是A ．221y z +=B ．22z x y =+C ．222z x y =+D ．22z x y =-24．关于函数222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩下列表述错误的是A ．(, )f x y 在点(0, 0)处连续B ．(0, 0)0x f =C ．(0, 0)0y f =D ．(, )f x y 在点(0, 0)处不可微25．设函数)ln(y x y x z -=，则=∂∂yz A ．)(y x y x - B ．2ln()x x y y -- C ．ln()()x y xy y x y -+- D ．2ln()()x x y xy y x y ---- 26．累次积分 2d (, )d x f x y y ⎰⎰写成另一种次序的积分是A ． 1 0 d (, )d yyy f x y x -⎰⎰B． 20 d (, )d y f x y x ⎰⎰C． 11d (,)d y f x y x -⎰⎰D． 1 1 11d (, )d y f x y x -⎰⎰27．设{(, )|D x y x =≤2, y ≤2}，则⎰⎰=Dy x d dA ．2B ．16C ．12D ．428．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则幂级数∑∞=-02)2(n n n x a 的收敛区间为A．( B ．(2, 2)R R -+C ．(, )R R -D．(2 229．下列级数绝对收敛的是A ．∑∞=-11)1(n nnB ．∑∞=-1223)1(n n nnC ．∑∞=-+-1121)1(n n n nD ．∑∞=--1212)1(n nn n30．若幂级数0(3)n n n a x ∞=-∑在点1x =处发散，在点5x =处收敛,则在点0x =，2x =，4x =，6x =中使该级数发散的点的个数有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题(每空2分，共20分)31．设(32)f x -的定义域为(3, 4]-，则)(x f 的定义域为________． 32．极限limx =________．33．设函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =++--，则(4)()f x =________．34．设参数方程22 1 31x t y t =+⎧⎨=-⎩所确定的函数为()y y x =，则22d d yx =________． 35．(ln 1)d x x +=⎰________．36．点(3, 2, 1)-到平面10x y z ++-=的距离是________． 37．函数(1)x z y =+在点(1, 1)处的全微分d z =________．38．设L 为三个顶点分别为(0, 0)，(1, 0)和(0, 1)的三角形边界，L 的方向为逆时针方向，则2322()d (3)d Lxy y x x y xy y -+-=⎰________．39．已知微分方程x ay y e =+'的一个特解为x x y e =,则a =________．40．级数03!nn n ∞=∑的和为________．三、计算题（每小题5分,共45分）41．求极限2040sin d (e 1)sin lim 1cos x x x t t x x x →⎛⎫- ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰．42．设由方程22e e y xy -=确定的函数为)(x y y =,求d d x yx=．43．求不定积分2xx ． 44．求定积分( 2d x x ⎰．45．求过点(1, 2, 5)-且与直线213 3 x y z x y -+=⎧⎨-=⎩平行的直线方程．46．求函数x xy y x y x f 823),(22+-+=的极值． 47．将23()21xf x x x =+-展开成x 的幂级数． 48．计算二重积分Dσ,其中D 是由圆223x y +=所围成的闭区域． 49．求微分方程069=+'-''y y y 的通解． 四、应用题（每小题8分，共16分）50．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时用料最省？ 51．平面图形D 由曲线2x y =,直线x y -=2及x 轴所围成．求：（1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积．五、证明题（9分）52．设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且(0)0f =，(1)2f =．证明:在)1,0(内至少存在一点ξ,使得()21f ξξ'=+成立．新起点专升本提供。
河南专升本2008年《高等数学》试题及答案
2008年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷一. 单项选择题（每题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.1. 函数2)1ln()(++-=x x x f 的定义域为 （ ） A. ]1,2[-- B. ]1,2[- C. )1,2[- D. )1,2(-解：C x x x ⇒<≤-⇒⎩⎨⎧≥+>-120201.2. =⎪⎭⎫ ⎝⎛π--π→3sin cos 21lim 3x xx （ ）A.1B. 0C. 2D.3解：0033sin cos 21lim ===⎪⎭⎫ ⎝⎛π--π→x x x D x x x ⇒=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-π→312323cos sin 2lim 3. 3. 点0=x 是函数131311+-=xxy 的 ( )A.连续点B. 跳跃间断点C.可去间断点D. 第二类间断点解: ,1111313lim110-=-=+--→x x x B x xx x xx ⇒===+-++→→13ln 33ln 3lim 1313lim 11000110. 4.下列极限存在的为 （ ）A.xx e +∞→lim B. x x x 2sin lim 0→ C.x x 1cos lim 0+→ D.32lim 2-++∞→x x x 解:显然只有22sin lim0=→xxx ,其他三个都不存在,应选B.5. 当0→x 时，)1ln(2x +是比x cos 1-的（ ）A ．低阶无穷小B ．高阶无穷小C ．等阶无穷小 D.同阶但不等价无穷小解: 22~)1ln(x x +,D x x x ⇒=-2~2sin2cos 122. 6.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<+++=0,arctan 01,11,11sin )1(1)(x x x x x x x f ，则)(x f （ ）A ．在1-=x 处连续，在0=x 处不连续B ．在0=x 处连续，在1-=x 处不连续C ．在1-=x ，0，处均连续D ．在1-=x ，0，处均不连续 解:⇒=-==+--→-→1)1(,1)(lim ,1)(lim 111f x f x f x x )(x f 在1-=x 处连续;⇒===+-→→1)0(,0)(lim ,1)(lim 001f x f x f x x )(x f 在0=x 处不连续;应选A. 7.过曲线x e x y +=arctan 上的点(0,1)处的法线方程为 （ ） A. 012=+-y x B. 022=+-y x C. 012=--y x D. 022=-+y x 解: D k f e xy x⇒-=⇒='⇒++='212)0(112法. 8.设函数)(x f 在0=x 处可导，)(3)0()(x x f x f α+-=且0)(lim0=α→xx x ，则=')0(f （ ）A. -1B.1C. -3D. 3 解：3)(lim 3)(3lim 0)0()(lim)0(000-=α+-=α+-=--='→→→xx x x x x f x f f x x x ,应选C. 9.若函数)1()(ln )(>=x x x f x，则=')(x f （ ）A. 1)(ln -x xB. )ln(ln )(ln )(ln 1x x x x x +-C. )ln(ln )(ln x x xD. x x x )(ln解：='='⇒==])ln(ln [)(ln )(ln )()ln(ln x x x y e x x f x x x x )ln(ln )(ln )(ln 1x x x x x +-,应选B.10.设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 33sin cos 确定，则=π=422x dx y d （ ）A.-2B.-1C.234-D. 234解：⇒⨯=⇒-=tt t dx y d t t dx dy sin cos 31cos 1cos sin 2222 =π=422x dx y d 234,应选D. 11.下列函数中，在区间[-1,1]上满足罗尔中值定理条件的是 （ ）A.x e y =B.||ln x y =C.21x y -=D.21x y = 解：验证罗尔中值定理的条件,只有21x y -=满足,应选C.12. 曲线253-+=x x y 的拐点是 （ ） A.0=x B.)2,0(- C.无拐点 D. 2,0-==y x 解: ⇒=⇒==''006x x y )2,0(-,应选B.13. 曲线|1|1-=x y （ ）A. 只有水平渐进线B. 既有水平渐进线又有垂直渐进线C. 只有垂直渐进线D. 既无水平渐进线又无垂直渐进线解：,0|1|1lim=-∞→x x B x x ⇒∞=-→|1|1lim 1. 14.如果)(x f 的一个原函数是x x ln ,那么=''⎰dx x f x )(2（ ） A. C x +ln B. C x +2C. C x x +ln 3D. x C -解：⇒-=''⇒+='=21)(ln 1)ln ()(xx f x x x x f C x dx dx x f x +-=-=''⎰⎰)(2,应选D.15.=+-⎰342x x dx( )A .C x x +--13ln 21 B.C x x +--31ln 21 C. C x x +---)1ln()3ln( D. C x x +---)3ln()1ln(解:C x x dx x x x x dx x x dx +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--=+-⎰⎰⎰13ln 21113121)1)(3(342,应选A. 16.设⎰+=1041x dxI ，则I 的取值范围为 ( )A .10≤≤I B.121≤≤I C. 40π≤≤I D.121<<I解:此题有问题,定积分是一个常数,有111214≤+≤x,根据定积分的估值性质,有121≤≤I ,但这个常数也在其它三个区间,都应该正确,但真题中答案是B. 17. 下列广义积分收敛的是 （ ） A.dx x ⎰+∞13B. ⎰+∞1ln dx xxC.⎰+∞1dx xD. dx e x ⎰+∞-0解:显然应选D. 18.=-⎰-33|1|dx x （ ）A.⎰-30|1|2dx x B.⎰⎰-+--3113)1()1(dx x dx xC. ⎰⎰----3113)1()1(dx x dx x D. ⎰⎰-+--3113)1()1(dx x dx x解：=-⎰-33|1|dx x =-+-⎰⎰-3113|1||1|dx x dx x ⎰⎰-+--3113)1()1(dx x dx x ,应选D.19.若)(x f 可导函数，0)(>x f ，且满足⎰+-=xdt ttt f x f 022cos 1sin )(22ln )(，则=)(x f（ ）A. )cos 1ln(x +B. C x ++-)cos 1ln(C. )cos 1ln(x +-D. C x ++)cos 1ln(解：对⎰+-=xdt t t t f x f 022cos 1sin )(22ln )(两边求导有:xxx f x f x f cos 1sin )(2)()(2+-=', 即有 ⎰⎰++=+-=⇒+-='xx d dx x x x f x x x f cos 1)cos 1(cos 1sin )(cos 1sin )( C x ++=)cos 1ln(,还初始条件2ln )0(=f ,代入得0=C ,应选A.20. 若函数)(x f 满足⎰--+=11)(211)(dx x f x x f ，则=)(x f （ ） A. 31-x B. 21-x C. 21+x D. 31+x解：令⎰-=11)(dx x f a ,则a x x f 211)(-+=,故有⎰⎰--⇒=⇒-=-+==111112)211()(a a dx a x dx x f a =)(x f 21+x ,应选C.21. 若⎰=edx x f x I 023)( 则=I ( )Adx x f )(0⎰2e x B dx xf )(0⎰e xC dx x f )(210⎰2e xD dx x f )(210⎰ex解: ⎰⎰⎰======22200222)()(21)()(21)()(21e e t x e x d x xf t d t tf x d x f x I ,应选C.22.直线19452zy x =+=+与平面5734=+-z y x 的位置关系为 A. 直线与平面斜交 B. 直线与平面垂直C. 直线在平面内D. 直线与平面平行解：n s n s⊥⇒-==}7,3,4{},1,9,5{ ,而点(-2,-4,0)不在平面内,为平行,应选D.23.=-+++→→11lim222200y x y x y x （ ）A. 2B.3C. 1D.不存在 解: 2222220022220)11)((lim11limy x y x y x y x y x y x y x +++++=-+++→→→→2)11(lim 220=+++=→→y x y x ,应选A.24.曲面22y x z +=在点（1，2，5）处切平面方程（ ） A ．542=-+z y x B ．524=-+z y x C ．542=-+z y x D ．542=+-z y x解:令z y x z y x F -+=22),,(,⇒-='='='1)5,2,1(,4)5,2,1(,2)5,2,1(z yx F F F ⇒=---+-0)5()2(4)1(2z y x 542=-+z y x ,也可以把点（1，2，5）代入方程验证,应选A.25.设函数33xy y x z -=，则=∂∂∂xy z2 （ ）A. xy 6B. 2233y x -C. xy 6-D. 2233x y -解: ⇒-=∂∂233xy x y z =∂∂∂xy z 22233y x -,应选B.26.如果区域D 被分成两个子区域1D 和2D 且5),(1=⎰⎰dxdy y x f D ，1),(2=⎰⎰dxdy y x f D ,则=⎰⎰dxdy y x f D),( ( )A. 5B. 4C. 6D.1 解:根据二重积分的可加性,6),(=⎰⎰dxdy y x f D,应选C.27.如果L 是摆线⎩⎨⎧-=-=ty tt x cos 1sin 从点)0,2(πA 到点)0,0(B 的一段弧，则=-++⎰dy y y x dx xe y x xL)sin 31()3(32 ( ) A.1)21(2-π-πe B. ]1)21([22-π-πe C.]1)21([32-π-πe D. ]1)21([42-π-πe解:有⇒=∂∂=∂∂2x x Qy P 此积分与路径无关,取直线段x y x x ,0⎩⎨⎧==从π2变到0,则 02020232)(333)sin 31()3(πππ-===-++⎰⎰⎰x x x x x L e xe xde dx xe dy y y x dx xe y x ]1)21([32-π-=πe ,应选C.28.以通解为x Ce y =（C 为任意常数）的微分方程为 ( ) A. 0=+'y y B. 0=-'y y C. 1='y y D. 01=+'-y y 解: 0=-'⇒='⇒=y y Ce y Ce y xx,应选B.29. 微分方程x xe y y -='+''的特解形式应设为=*y （ ）A .xeb ax x -+)( B.b ax + C.x e b ax -+)( D.xeb ax x -+)(2解:-1是单特征方程的根,x 是一次多项式,应设x e b ax x y -+=*)(,应选A. 30．下列四个级数中，发散的级数是 （ ） A.∑∞=1!1n n B. ∑∞=-1100032n n n C. ∑∞=12n n n D. ∑∞=121n n解:级数∑∞=-1100032n n n 的一般项n n 100032-的极限为05001≠,是发散的,应选B.二、填空题（每题2分，共30分）31．A x f x x =→)(lim 0的____________条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0. 解：显然为充要(充分且必要).32. 函数x x y sin -=在区间)2,0(π单调 ，其曲线在区间⎪⎭⎫⎝⎛π2,0内的凹凸性为 的.解：⇒>-='0cos 1x y 在)2,0(π内单调增加,x y sin =''在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内大于零,应为凹的.33.设方程a a z y x (23222=++为常数)所确定的隐函数),(y x f z = ,则=∂∂xz_____. 解：⇒='='⇒-++=x F z F a z y x F x z 6,223222zx F F x z z x 3-=''-=∂∂. 34.=+⎰xdx 1 .解:⎰⎰⎰++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+==+=C t t dt t t tdt xdx tx )1ln(221112121 C x x ++-=)1ln(22.35.⎰ππ⋅-=+33________cos 1dx xx.解：函数x x cos 1+在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-3,3是奇函数，所以⎰ππ⋅-=+330cos 1dx x x . 36. 在空间直角坐标系中,以)042()131()140(，，，，，，，，----C B A 为顶点的ABC ∆的面积为__ .解：}2,1,1{102011}1,0,2{},0,1,1{---=--=⨯⇒-=-=kj i AC AB AC AB ，所以ABC ∆的面积为26=. 37. 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==+214922x yx 在空间直角坐标下的图形为__________. 解:是椭圆柱面与平面2-=x 的交线,为两条平行直线. 38.函数xy y x y x f 3),(33-+=的驻点为 .解: )1,1(),0,0(03303322⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-=∂∂x y yz y x xz. 39.若x y xy ey x z xtan2312++=-，则=∂∂)0,1(x z .解:⇒=∂∂⇒=00)0,(x zx f 0)0,1(=∂∂xz .40.⎰⎰ππ=440___________cos xdy yydx 解:22sin cos cos 1cos 14040040440====πππππ⎰⎰⎰⎰⎰x ydy ydx y dy ydy y dx y x. 41.直角坐标系下的二重积分⎰⎰D dxdy y x f ),((其中D 为环域9122≤+≤y x)化为极坐标形式为___________________________.解：⎰⎰⎰⎰θθθ=π3120)sin ,cos (),(rdr r r f d dxdy y x f D.42.以x xxe C eC y 3231--+=为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为 .解:由x x xe C e C y 3231--+=为通解知,有二重特征根-3,从而9,6==q p ,微分方程为096=+'+''y y y .43.等比级数)0(0≠∑∞=a aqn n,当_______时级数收敛,当_______时级数发散.解: 级数∑∞=0n naq是等比级数, 当1||<q 时,级数收敛,当1||≥q 时,级数发散.44.函数21)(2--=x x x f 展开为x 的幂级数为__________________解: 21161113121113121)(2x x x x x x x f -⨯-+⨯-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=--=1100011(1)1(1),(11)362332n n n nn n n n n n x x x x +∞∞∞+===⎡⎤-=---=--<<⎢⎥⋅⎣⎦∑∑∑. 45.∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-12n nn n 的敛散性为________的级数.解:021lim 2lim lim 2)2(2≠=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=--⨯-∞→∞→∞→e n n n u nn nn n n ,级数发散.三、计算题（每小题5分，共40分）46．求2522232lim +∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x .解：252)23(32252222522252231312121lim3121lim 32lim 2222⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-⨯-∞→+∞→+∞→x x x x x x x x x x x x x x x2523252)23(32252223131lim 2121lim 22e eex x x x x x x x ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--⨯-∞→∞→.47. 求⎰+→23241limx x dtt t x .解：212lim214lim1lim3403423003242=+=⨯+===+→→→⎰x xx x x dtt t x x x x x .48.已知)21sin(ln x y -=,求dxdy . 解：[][])21sin()21cos(221)21sin()21cos()21sin()21sin(1x x x x x x x dx dy ---='---='--=)21cot(2x --=. 49. 计算不定积分⎰xdx x arctan .解：⎰⎰⎰+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx x x x x x xd xdx x 2222112arctan 22arctan arctan ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=dx x x x 2211121arctan 2 C x x x x ++-=arctan 2121arctan 22. 50.求函数)cos(y x e z x +=的全微分. 解：利用微分的不变性,x x x de y x y x d e y x e d dz )cos()cos()]cos([+++=+= dx e y x y x d y x e x x )cos()()sin(++++-= dx e y x dy dx y x e x x )cos(])[sin(++++-=dy y x e dx y x y x e x x )sin()]sin()[cos(+-+-+=.51．计算⎰⎰σDd yx2，其中D 是由1,,2===xy x y y 所围成的闭区域. 解：积分区域D 如图所示:把区域看作Y 型,则有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=y x y y y x D 1,21|),(,故 ⎰⎰⎰⎰=y y D dx y x dy dxdy yx12212yyy yx dy y xdx dy y 122121212211⨯==⎰⎰⎰481731211121213214=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰y y dy y . 52．求微分方程x e x y y sin cos -=+'满足初始条件1)0(-=y 的特解.解:这是一阶线性非齐次微分方程,它对应的齐次微分方程0cos =+'x y y 的通解为x Ce y sin -=,设x e x C y sin )(-=是原方程解,代入方程有x x e e x C sin sin )(--=',即有1)(='x C ,所以C x x C +=)(,故原方程的通解为x x xe Ce y sin sin --+=, 把初始条件1)0(-=y 代入得:1-=C ,故所求的特解为x e x y sin )1(--=.53．求级数∑∞=+013n nn x n 的收敛半径及收敛区间(考虑区间端点).解：这是标准的不缺项的幂级数,收敛半径ρ=1R ,而321lim 33123lim lim11=++=+⨯+==ρ∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n nn n , 故收敛半径31=R .当31=x 时,级数化为∑∞=+011n n ,这是调和级数,发散的;y x =→yx 11=→ 1当31-=x 时,级数化为∑∞=+-01)1(n nn ,这是交错级数,满足莱布尼兹定理的条件,收敛的;所以级数的收敛域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-31,31.四、应用题（每题7分，共计14分）54. 过曲线2x y =上一点)1,1(M 作切线L ，D 是由曲线2x y =，切线L 及x 轴所围成的平面图形，求（1）平面图形D 的面积;（2）该平面图形D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积. 解：平面图形D 如图所示：因x y 2=',所以切线L 的斜率2)1(='=y k , 切线L 的方程为)1(21-=-x y ,即12-=x y取x 为积分变量，且]1,0[∈x . （1）平面图形D 的面积为)(3)12(121213121102=--=--=⎰⎰x x xdx x dx x S （2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所生成旋转体的体积为302345)12(12123151212104π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-π-π=-π-π=⎰⎰x x x x dx x dx x V x .55.一块铁皮宽为24厘米,把它的两边折上去,做成一正截面为等腰梯形的槽(如下图),要使梯形的面积A 最大,求腰长x 和它对底边的倾斜角α.解: 梯形截面的下底长为x 224-,上底长为α+-cos 2224x x ,高为αsin x ,所以截面面积为α⋅-+α+-=sin )224cos 2224(21x x x x A ,)20,120(π<α<<<x即αα+α-α=cos sin sin 2sin 2422x x x A ,令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=α-α+α-α=α∂∂=αα+α-α=∂∂0)sin (cos cos 2cos 240cos sin 2sin 4sin 242222x x x A x x x A得唯一驻点⎪⎩⎪⎨⎧π=α=38x .根据题意可知,截面的面积最大值一定存在,且在20,120:π<α<<<x D 内取得,又函数在D 内只有一个可能的最值点,因此可以断定3,8π=α=x 时,截面的面积最大.五、证明题（6分）56. 证明方程⎰π--=2cos 1ln dx x e xx 在区间),(3e e 内仅有一个实根. 证明：构造函数 ⎰π-+-=02cos 1ln )(dx x e xx x f ,即有22ln sin 2ln )(0+-=+-=⎰πexx xdx e x x x f ,显然函数)(x f 在区间],[3e e 连续,且有06223)(,022)(223<-<+-=>=e e e f e f ,由连续函数的零点定理知方程0)(=x f 即⎰π--=02cos 1ln dx x e xx 在区间),(3e e 有至少有一实数根. 另一方面, ex x f 11)(-='在区间),(3e e 内恒小于零,有方程0)(=x f ,即⎰π--=02cos 1ln dx x e xx 在区间),(3e e 有至多有一实数根.综上所述, 方程⎰π--=02cos 1ln dx x e xx 在区间),(3e e 内仅有一个实根.xy x =→2x 224-x α。
河南省专升本高等数学真题(带答案详解)
2009年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考生号涂写在答题卡上。
本试卷的试卷答案在答题卡上，答试卷上无效。
一、选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，有铅笔把答题卡上对应的题目的标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.1.下列函数相等的是 （ ）A.2x y x=，y x = B. y =y x =C.x y =，2y =D. y x =，y =【答案】D.解：注意函数的定义范围、解读式，应选D.2.下列函数中为奇函数的是 （ ）A.e e ()2x xf x -+= B. ()tan f x x x =C. ()ln(f x x =D. ()1x f x x=- 【答案】C.解:()ln(f x x -=-，()()ln(ln(ln10f x f x x x +-=-+==()()f x f x -=-，选C.3．极限11lim1x x x →--的值是( ) A.1B.1- C.0 D.不存在 【答案】D. 解：11lim 11x x x +→-=-，11lim 11x x x -→-=--，应选D.4.当0x →时，下列无穷小量中与x 等价是（ ）A.22x x - C. ln(1)x + D.2sin x【答案】C.解:由等价无穷小量公式，应选C.5.设e 1()x f x x-=，则0=x 是()f x 的 （ ）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点 【答案】B.解:00e 1lim ()lim1x x x f x x→→-==⇒0=x 是)(x f 的可去间断点,应选B. 6. 已知函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '= （ ）A. 2B. -1C.1D.-2 【答案】D. 解：0(1)(1)1lim(1)1(1)222x f f x f f x →--''==-⇒=-，应选D.7.设()f x 具有四阶导数且()f x ''=(4)()f x = （）AB C ．1 D ．3214x --【答案】D. 解：1(3)21()2fx x -=，(4)()f x =3214x --，应选D.8.曲线sin 2cos y t x t=⎧⎨=⎩在π4t =对应点处的法线方程（ ）A.2x =B.1y =C.1y x =+D.1y x =- 【答案】A.解：0d 2cos 20d sin 2y t k x x x t =⇒=⇒==切，应选A. 9.已知d e ()e d x xf x x -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则()f x =（ ） A ．2e e x x + B. 2e e x x - C. 2e e x x -+ D. 2e e x x -- 【答案】B.解:由d e ()e d x x f x x -⎡⎤=⎣⎦得 2d e ()d(e )e ()e ()e e x x x x x x f x f x C f x C --⎡⎤=⇒=+⇒=+⎣⎦， 把(0)0f =代入得1C =-,所以2()e e x x f x =-,应选B. 10.函数在某点处连续是其在该点处可导的（ ）A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 无关条件 【答案】A.解:根据可导与连续的关系知，应选A.11.曲线42246y x x x =-+的凸区间为 （ ） A.(2,2)- B.(,0)-∞ C.(0,)+∞ D. (,)-∞+∞ 【答案】A.解:34486y x x '=-+，212480(2,2)y x x ''=-<⇒∈-，应选A.12.设e xy x=（ ）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线 【答案】B.解:e lim0x x x →-∞=，0e lim xx x→=∞，应选B. 13.下列说法正确的是 （ ）A. 函数的极值点一定是函数的驻点B. 函数的驻点一定是函数的极值点C. 二阶导数非零的驻点一定是极值点D. 以上说法都不对 【 答案】D.解:根据极值点与驻点的关系和第二充分条件，应选D.14. 设函数()f x 在[,]a b 连续，且不是常数函数,若()()f a f b =，则在(,)a b 内 （ ）A. 必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点ξ，使()0f ξ'= 【答案】A.解:根据连续函数在闭区间上的性质及()()f a f b =的条件,在对应的开区间内至少有一个最值,应选A.15.若()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ）A. 1xB.21x- C.ln x D.ln x x【答案】B.解:()1()ln f x x x '==⇒21()f x x'=-,应选B.16.若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ ） A. 222(1)x C --+ B. 222(1)x C -+C. 221(1)2x C --+D. 221(1)2x C -+【答案】C. 解:2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰=221(1)2x C --+,应选C. 17.下列不等式不成立的是（ ）A. 22211ln (ln )xdx x dx >⎰⎰ B. 220sin xdx xdx ππ<⎰⎰C. 220ln(1)x dx xdx +<⎰⎰ D.22(1)x e dx x dx <+⎰⎰【答案】D.解:根据定积分的保序性定理，应有22(1)x e dx x dx ≥+⎰⎰，应选D.18.1ln eex dx ⎰= （ ）A.111ln ln e exdx xdx +⎰⎰ B.111ln ln eexdx xdx -⎰⎰C. 111ln ln e exdx xdx -+⎰⎰ D.111ln ln eexdx xdx --⎰⎰【答案】C.解:因1ln ,1|ln |ln ,1x x x ex x e⎧-≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩,考察积分的可加性有 1111ln ln ln eeeexdx xdx xdx =-+⎰⎰⎰，应选C.19．下列广义积分收敛的是（ ）A.ln ex dx x +∞⎰B.1ln e dx x x +∞⎰ C.21(ln )e dx x x +∞⎰D.e +∞⎰ 【答案】C.解:由广义积分性质和结论可知:21(ln )edx x x +∞⎰是2p =的积分,收敛的,应选C. 20.方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的曲面是 （ ） A.球面 B.圆锥面C. 旋转抛物面D.圆柱面 【答案】C.解:根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,应选C.21. 设{}1,1,2a =-，{}2,0,1b =，则a 与b 的夹角为 （ ） A ．0 B ．6π C ．4π D ．2π 【答案】D.解:0(,)2a b a b a b π=⇒⊥⇒=,应选D.22.直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的位置关系是 ( ) A.平行但直线不在平面内 B.直线在平面内 C. 垂直 D.相交但不垂直 【答案】A.解:因{}2,7,3s =--,{}4,2,20n s n s n =--⇒⋅=⇒⊥⇒直线在平面内或平行但直线不在平面内.又直线上点(3,4,0)--不在平面内.故直线与平面的位置关系是平行但直线不在平面内,应选A.23.设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h→+--=（ )A.0B.2(,)x f a b 'C.(,)x f a b 'D.(,)y f a b ' 【答案】B. 解:原式00(,)(,)(,)(,)limlimh h f a h b f a b f a h b f a b h h→→+---=- 00(,)(,)(,)(,)limlim 2(,)x h h f a h b f a b f a h b f a b f a b h h→-→+---'=+=- 应选B. 24．函数x yz x y+=-的全微dz =（） A ．22()()xdx ydy x y -- B ．22()()ydy xdx x y -- C ．22()()ydx xdy x y --D ．22()()xdy ydx x y --【答案】D 解：22()()()()2()()()x y x y d x y x y d x y xdy ydx z dz x y x y x y +-+-+--=⇒==---，应选D25．0(,)ady f x y dx ⎰化为极坐标形式为（ ）A ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰B ．2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰C ．sin 20(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰D ．20(cos ,sin )ad f r r rdrπθθθ⎰⎰【答案】D.解:积分区域{(,)|0,0(,)|0,02x y y a x r r a πθθ⎧⎫≤≤≤≤=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭有(,)ady f x y dx ⎰2(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ=⎰⎰,应选D.26.设L 是以A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA,则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰A.-8B.0 C 8 D.20 【答案】A.解:由格林公式知,(3)(2)228LDx y dx x y dy d S σ∆-+-=-=-=-⎰⎰⎰，应选A.27.下列微分方程中，可分离变量的是 （ ） A ．tan dy y ydx x x=+ B ．22()20x y dx xydy +-= C ．220x y x dx e dy y ++=D ． 2x dyy e dx+= 【答案】C.解:根据可分离变量微分的特点,220x y x dx e dy y++=可化为 22y x ye dy xe dx -=-知,应选C.28.若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数收敛的是（ ）A ．110nn u ∞=∑ B ．1(10)n n u ∞=+∑C ．110n n u ∞=∑D ． 1(10)n n u ∞=-∑【答案】A.解:由级数收敛的性质知,110nn u ∞=∑收敛,其他三个一定发散,应选A. 29.函数()ln(1)f x x =-的幂级数展开为（ ）A ．23,1123x x x x +++-<≤ B ．23,1123x x x x -+--<≤C ．23,1123x x x x -----≤< D ． 23,1123x x x x -+-+-≤<【答案】C.解:根据23ln(1),1123x x x x x +=-+--<≤可知,23ln(1),1123x x x x x -=-----≤<,应选C.30.级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处 （ ）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定 【答案】B.解:令1x t -=,级数1(1)nn n a x ∞=-∑化为1n n n a t ∞=∑,问题转化为:2t =-处收敛,确定1t =处是否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛的,故应选B.二、填空题（每小题2分，共30分）31.已知()1xf x x=-，则[()]______f f x =. 解：()1[()](1,)1()122f x x f f x x x f x x ==≠≠--.32.当0x →时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim_______sin x f x x x→=. 解：2211cos ()1cos 2220sin 00()1cos 12lim lim lim sin 2x x f x x x x x x x x f x x x x x x --→→→-==============. 33.若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则_______a =. 解：因2223()221lim 12lim lim 1lim 1x xa axa x a x x a x x a a x a a x a e x x e x a e a a x x ⋅→∞-→∞→∞⋅--→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭==== ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭，所以有 38a e =ln 2a ⇒=.34.设函数sin ,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内处处连续，则_______a =.解：函数在(,)-∞+∞内处处连续，当然在0x =处一定连续，又因为0sin lim ()lim1;(0)x x x f x f a x→→===，所以0lim ()(0)1x f x f a →=⇒=.35.曲线31xy x=+在（2，2）点处的切线方程为___________. 解：因2231340(1)3x y k y x y x =''=⇒==⇒-+=+. 36.函数2()2f x x x =--在区间[0，2]上使用拉格朗日中值定理结论中____ξ=. 解：(2)(0)()2121120f f f x x ξξ-'=-⇒-=⇒=-.37.函数()f x x =的单调减少区间是 _________.解：1()100,4f x x ⎛⎫'=<⇒∈ ⎪⎝⎭,应填10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦或10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭或10,4⎛⎤⎥⎝⎦. 38.已知(0)2,(2)3,(2)4,f f f '===则20()______xf x dx ''=⎰.解：222200()()()()2(2)(2)(0)7xf x dx xdf x xf x f x dx f f f ''''''==-=-+=⎰⎰⎰.39.设向量b 与}{1,2,3a =-共线，且56a b ⋅=,则b =_________. 解：因向量b 与a 共线,b 可设为{},2,3k k k -，5649564a b k k k k ⋅=⇒++=⇒=,所以{}4,8,12b =-.40.设22x y z e +=，则22zx∂=∂_______.解：22222222222(12)x y x y x y z z z exe x e x x+++∂∂=⇒=⇒=+∂∂. 41．函数22(,)22f x y x xy y =+-的驻点为________.解：40(,)(0,0)40fx y x x y f x y y∂⎧=+=⎪∂⎪⇒=⎨∂⎪=-=∂⎪⎩.42．区域D 为229x y +≤，则2______Dx yd σ=⎰⎰.解：利用对称性知其值为0或232420cos sin 0Dx yd d r dr πσθθθ==⎰⎰⎰⎰.43.交换积分次序后,1(,)_____________xdx f x y dy =⎰.解：积分区域{{}2(,)|01,(,)|01,D x y x x y x y y y x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤,则有21100(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰.44.14x y xe -=-是23x y y y e -'''--=的特解，则该方程的通解为_________.解：230y y y '''--=的通解为312x x y C e C e -=+，根据方程解的结构,原方程的通解为31214x x x y C e C e xe --=+-.45.已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时，_______n u =.解：当2n ≥时,3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+.三、计算题（每小题5分，共40分）46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭.解：20001111lim lim lim 1(1)x x x x x x x e x e x x e x e x →→→----⎛⎫-== ⎪--⎝⎭0011lim lim 222x x x e x x x →→-===. 47.设()y y x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定的隐函数，求dxdy . 解：方程两边对x 求导得()ln 2cos 2xy ye xy y x x x''++= 即()ln 2cos 2xy e x y xy y y x x x x ''+++=2(ln )2cos 2xy xy x e x x y x x e xy y'+=--所以dydx=22cos 2ln xy xy x x e xy y y x e x x --'=+.48.已知2()x xf x dx e C -=+⎰，求1()dx f x ⎰. 解：方程2()x xf x dx e C -=+⎰两边对x 求导得2()2xxf x e-=-，即22()xe f x x--=，所以211()2x xe f x =-. 故22111()24x x dx xe dx xde f x =-=-⎰⎰⎰ 222211114448x x x x xe e dx xe e C =-+=-++⎰.49.求定积分44|(1)|x x dx --⎰.解：4014441|(1)||(1)||(1)||(1)|x x dx x x dx x x dx x x dx ---=-+-+-⎰⎰⎰⎰01441(1)(1)(1)x x dx x x dx x x dx -=-+-+-⎰⎰⎰14322332401322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 641164118843323332=++-+--+=. 50.已知22x xy y z e +-= 求全微分dz .解：因222222()(2)x xy y x xy y x ze x xy y e x y x+-+-∂'=+-=+∂, 222222()(2)x xy y x xy y y ze x xy y e x y y+-+-∂'=+-=-∂, 且它们在定义域都连续，从而函数22xxy y z e +-=可微，并有z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂22[(2)(2)]x xy y e x y dx x y dy +-=++-. 51.求(2)Dx y d σ+⎰⎰，其中区域D 由直线,2,2y x y x y ===围成.yx =解：积分区域D 如图所示： 把D 看作Y 型区域，且有(,)|02,2y D x y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故有202(2)(2)yy Dx y d dy x y dx σ+=+⎰⎰⎰⎰2222025()4yy x xy dy y dy =+=⎰⎰230510123y ==. 52.求微分方程22x y xy xe -'-=的通解. 解：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次微分方程20y xy '-=的通解为2x y Ce =， 设原方程的解为2()x y C x e =代入方程得22()x x C x e xe -'=, 即有22()x C x xe -'=，所以222222211()(2)44x x x C x xe dx e d x e C ---==--=-+⎰⎰, 故原方程的通解为2214x x y e Ce -=-+.53.求幂级数212nnn n x ∞=∑的收敛区间（考虑区间端点）. 解：这是规范缺项的幂级数，考察正项级数212nnn n x ∞=∑， 因221112lim lim 22n n n n n nu n x l x u n ++→∞→∞+==⨯=,当212x l =<，即||x <212n n n nx ∞=∑是绝对收敛的； 当212x l =>，即||x >212n n n nx ∞=∑是发散的； 当212x l ==，即x =212nn n n x ∞=∑化为1n n ∞=∑，显然是发散的。
2012年河南省“专升本”高等数学试卷及答案
解： lim
x2 2 1 1 y C 。 x 3 x 2 3 3
( D. ln(1 x)
)
9. lim
x 0
x2
0
tan tdt x4
B.
（
）
解：根据常用等价关系知，只有 2 x 与 x 比较不是等价的。应选 A。 4.当 x 0 是函数 f ( x) arctan A.连续点 解： lim arctan
x 0
A. 0 （ ） 解： lim
x 0
1 的 x
C.跳跃间断点
1 2
C.2
D. 1
Байду номын сангаас
x2
0
tan xdx x4
B. 可去间断点
D. 第二类间断点
lim
2 x tan x 2 1 B 。 x 0 2 4x 3
（ ）
1 1 ； lim arctan C 。 x 0 x 2 x 2
29.已知曲线 y x x 2 上点 M 处的切线平行于直线 y 5 x 1 ， 则点 M 的坐标 为 ________ 解： y 2 x 1 5 x 2 y 4 M (2,4) 。 30.设 f ( x) e 解： f
( n) 2 x 1 n
1
1
dx x
x 2 ( y z) 2 1 3 4
解：把
C.
1
D.
1
dx x x
18. lim
x2 z2 x2 y2 z2 1 中 x 2 换成 x 2 y 2 得 1 ，应选 A。 3 4 3 4
2007年专升本高等数学(二)A参考答案及评分标准
(A）当 p < 1 时，发散 (C) 当 p > 1 时，条件收敛
5. 若 y = x sin x ， y = sin x 分 别 为 非 齐 次 线 性 方 程 y + py + qy = f ( x ) 的 解 ， 则
y = ( x + 1) sin x 为下列方程中（ B ）的解：
9. 求
x2 - x + 3 dx . x( x 2 + 1)
（3 分）
x 2 - x + 3 3 2x + 1 解： = x( x 2 + 1) x x 2 + 1 x2 - x + 3 dx = 3 ln x - ln( x 2 + 1) - arctan x + C 2 x( x + 1)
10. 求解微分方程 y + y cos x = e 解： 1) y + y cos x = 0
(1) 确定 a 的值，使 f ( x ) 在 x = 0 处连续； (2) 求 f ( x ) . 解： （1） lim- f ( x ) = 1 + a
x 0
（1 分）
x
lim+ f ( x ) = lim+
0 x 0
j ( x ) - 1 + 1 - cos x x
= lim+
x 0
j ( x ) - j (0) 1 - cos x + = j (0) + 0 = 0 ， x x
(A） y + py + qy = 0 (C) y + py + qy = f ( x ) （B） y + py + qy = 2 f ( x ) (D) y + py + qy = xf ( x )
河南省01、02、03、05年专升本高数真题及答案
2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。
不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 （ ）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 （ ） A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D. 222xx y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ） A. x B.2x C. x 2 D. 22x 解： ⇒-x e x ~12~12x e x -,应选B.4.=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→121lim n n n （ ）A. eB. 2eC. 3eD. 4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim 0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ）A. 1B. 21-C. 41D. 41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为 （ ）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++,dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f nC. 1)]()[1(++n x f nD. 1)]([)!1(++n x f n解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='', ⇒ΛΛ=)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ）A.]1,1[,1)(2--=x x fB.]1,1[,)(-=-x xe x fC.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( )A.增加,曲线)(x f y =为凹的B.减少,曲线)(x f y =为凹的C.增加,曲线)(x f y =为凸的D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B. 11.曲线xey 1-= （ ）A. 只有垂直渐近线B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线 解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C.12.设参数方程为⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （ ）A.t a b 2sinB.t a b 32sin -C.t a b 2cosD.t t a b 22cos sin - 解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22t a b t a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx e x f xx11)(，则=)(x f （ ）A. x 1-B. 21x -C. x 1D. 21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是 （ ）A.⎰+∞+0211dx xB.⎰-10211dx xC.⎰+∞e dx x x lnD.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰x xedx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x （ ）B.32 C.34 D.32- 解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A.17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aadx x f )( （ ）B.⎰a dx x f 0)(2 C.⎰--a a dx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （ ）A.C x x +-2sin 2121B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B.19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 （ ）A.⎰b adx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数C.⎰ax dt t f )(是)(x f -的一个原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积解: ⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 （ ） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行 解：n s n s ρρρρ⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数xz∂∂和y z ∂∂存在是它在该点处可微的 （ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln= ，则=)2,1(dz （ ） A.dx x y 2 B.dy dx 2121- C.dy dx 21- D.dy dx 21+ 解：dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 （ ） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1( 解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.二次积分⎰⎰202),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 （ ）A. ⎰⎰402),(y dx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dy C. ⎰⎰4022),(xdx y x f dy D. ⎰⎰42),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A. 25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（ ）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (a rdr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f dC.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d 解：积分区域在极坐标下可表示为：}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，=+⎰Ldy x xydx 22（ ）A. -1B.1C. 2D. -1解：L ：,2⎩⎨⎧==xy xx x 从0变到1 , 1422210410310332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是 （ ）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n n nC ．∑∞=-121)1(n nn D ．∑∞=+-1)1()1(n n n n解：∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n nn 是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n n n条件收敛，应选B.28. 下列命题正确的是 （ ） A ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛B ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数)(212n n nv u +∑∞=收敛 C ．若正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛D ．若级数∑∞=1n n n v u 收敛，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛解：正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛⇒ ∑∞=12n nu 与∑∞=12n n v 收敛，而)(2)(222nnn n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛 ，应选C 。
[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]河南省专升本考试高等数学真题2007年
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(1)平面图形D的面积为
(2)平面图形D绕y轴旋转一周所生成旋转体的体积为
六、证明题
(6分)
问题:1. 若f'(x)在[a，b]上连续，则存在两个常数m，M，对于满足a≤x1＜x2≤b的任意两，点x1，x2，证明恒有
m(x2-x1)≤f(x2)-f(x1)≤M(x2-x1)．
A.2x
B.sinx
C.ex-1
D.ln(1+x)
答案:A[解析] 根据常用的等价关系知：x→0时，x～sinx，x～ex-1，x～ln(x+1)，故2x与x在x→0时不等价．
问题:4. x=0是函数的______
A.连续点
B.可去间断点
C.跳跃间断点
D.第二类间断点
答案:C[解析] 首先，因x=0时，函数无定义，所以x=0为f(x)的一个间断点，不是连续点．
由题可知造价一定在内部存在最小值，故就是使造价最小的取值，此时高为
所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为时，工程造价最低．
问题:2. 设平面图形D由曲线y=ex，直线y=e及y轴所围成的，求：
(1)平面图形D的面积；
(2)平面图形D绕Y轴旋转一周所成的旋转体的体积．
答案:[解析] 平面图形D如图所示：
答案:6[解析]
问题:4. 已知曲线y=x2+x-2上点M处的切线平行于直线y=5x-1，则点M的坐标为______.
答案:(2，4)[解析]
问题:5. 设f(x)=e2x-1，则f(2007)(0)=______．
答案:22007e-1[解析]
问题:6.
答案:1[解析]
问题:7. 若函数f(x)=ax2+bx在x=1处取得极值2，则a=______，b=______．
2001-2013年河南专升本高数真题及答案
2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。
不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 （ ）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 （ ） A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D. 222xx y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ）A. xB.2xC. x 2D. 22x 解： ⇒-x e x ~12~12x e x -,应选B.4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （ ） A. e B. 2e C. 3e D. 4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim 0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ）A. 1B. 21-C. 41D. 41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.由方程yx e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为（ ）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f n C. 1)]()[1(++n x f n D. 1)]([)!1(++n x f n解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='', ⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x fC.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( )A.增加,曲线)(x f y =为凹的B.减少,曲线)(x f y =为凹的C.增加,曲线)(x f y =为凸的D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.11.曲线xe y 1-=（ ）A. 只有垂直渐近线B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线 解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C.12.设参数方程为⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （ ）A.t a b 2sinB.t a b32sin - C.t a b 2cos D.tt a b22cos sin -解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22t a bt a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx e x f xx11)(，则=)(x f （ ）A. x 1-B. 21x -C. x 1D. 21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是 （ ）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x （ ）A.0B.32 C.34 D.32- 解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aa dx x f )( （ ）A.0B.⎰a dx x f 0)(2 C.⎰--a adx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （ ）A.C x x +-2sin 2121B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 （ ）A.⎰ba dx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数C.⎰axdt t f )(是)(x f -的一个原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积解: ⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 （ ） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行 解：n s n s ⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数xz∂∂和y z ∂∂存在是它在该点处可微的 （ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件 解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln = ，则=)2,1(dz （ ）A.dx x y 2B.dy dx 2121-C.dy dx 21-D.dy dx 21+ 解：dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 （ ） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1(解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.二次积分⎰⎰202),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 （ ）A. ⎰⎰402),(y dx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dy C. ⎰⎰4022),(xdx y x f dy D. ⎰⎰42),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A.25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (a rdr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f dC.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d 解：积分区域在极坐标下可表示为：}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，=+⎰Ldy x xydx 22（ ）A. -1B.1C. 2D. -1解：L ：,2⎩⎨⎧==xy xx x 从0变到1 , 142221041031332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是 （ ）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n n nC ．∑∞=-121)1(n nn D ．∑∞=+-1)1()1(n n n n解：∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n n n是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n n n条件收敛，应选B.28. 下列命题正确的是 （ ） A ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛B ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数)(212n n nv u +∑∞=收敛 C ．若正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛D ．若级数∑∞=1n n n v u 收敛，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛解：正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛⇒ ∑∞=12n nu 与∑∞=12n n v 收敛，而)(2)(222nnn n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛 ，应选C 。
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2n ____________. n n! 2n 解：构造级数 ，利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条件 n 0 n!
27. lim
m ______ 解： n1 {1,2,5}; n2 {4,3, m} 4 6 5m 0 m 2 。 2 2 37.设 f ( x y, xy ) x y ，则 f ( x, y) ________ 2 2 2 2 解： f ( x y, xy ) x y ( x y) 2 xy f ( x, y) x 2 y 。
A.-1 B. -2 C. -3 D.-4
）
1 1 sin(1 3x) C B. sin(1 3x) C 3 3 C. sin(1 3x) C D. 3 sin(1 3x) C 1 1 解： cos(1 3x)dx cos(1 3x)d (1 3x) sin(1 3x) C A 。 3 3
2
x 1 (3,3) x (4,2) D 。 x 24. 微分 y 3 y 2 y e cos x 特解形式应设为 y （ ） x x A. Ce cos x B. e (C1 cos x C2 sin x) x 2 x C. xe (C1 cos x C2 sin x) D. x e (C1 cos x C2 sin x) x 解： 1 i 不是特征方程的特征根，特解应设为 e (C1 cos x C2 sin x) 。应选 B。 2x 25. 设函数 y f ( x) 是微分方程 y y e 的解，且 f ( x0 ) 0 ，则 f ( x) 在 x 0 处
A.取极小值 B. 取极大值
2 x0
解： f ( x) 2ax b 0 2a b 0 ； a b 2 a 2; b 4 。 33. 解： 34． 解：
1 0
f ( x) dx _________ f ( x) f ( x) df ( x) dx ln | f ( x) | C 。 f ( x) f ( x)
12. 设 y
x
0
(t 1)(t 3)dt ，则 y (0)
D.3
（
）
f (1 2h) f (1 h) lim[2 f (1 2h) f (1 h) 3 f (1) 3 C 。 解：lim h 0 h 0 h 6.若函数 f ( x) 在区间 (a, b) 内有 f ( x) 0, f ( x) 0 ，则在区间 (a, b) 内， f ( x) 图形
2 2 2
2 2
A.
3n 1
1
n ln n
n
n2
1
1 C. 2 n 2 n(ln n)
解：对级数
n2
1
n
n
n ln n 、 n(ln n)
n2
n2
1
1
2
需要利用积分判别法，超出大纲范围。级数
）
A.
1 6
B.
1 6
C.0
D. 极限不存在
解： lim
B.
解：根据不定积分与原函数的关系知， g ( x)dx f ( x) C 。应选 B。 11. cos(1 3x)dx （ ） A.
g ( x)dx f ( x) C D. f ( x)dx g ( x) C
（ ）
D. 第二类间断点
1 1 解： lim arctan ； lim arctan C 。 x 0 x 0 x 2 x 2 f (1 2h) f (1 h) 5. 设 f ( x) 在 x 1处可导， 且 f (1) 1 ， 则 lim 的值为 （ h 0 h
A. 20. 方程 z y xz 1 所确定的隐函数为 z f ( x, y) ，则
2 3
D. 0
z x
D.
（
）
A.
26 3
B.
13 3
3
1 b 1 3 2 x3 13 f ( x ) dx 解： x dx B。 ba a 2 1 6 1 3 16. 过 Oz 轴及点 (3,2,4) 的平面方程为 （ ） A. 3x 2 y 0 B. 2 y z 0 C. 2 x 3 y 0 D. 2 x z 0 解：经过 Oz 轴的平面可设为 Ax By 0 ，把点 (3,2,4) 代入得 2 x 3 y 0 应选 C。 也可以把点 (3,2,4) 代入所给的方程验证，且不含 z 。
（ ） A．单调递减且为凸的 B．单调递增且为凸的 C．单调递减且为凹的 D．单调递增且为凹的 解： f ( x) 0 单调增加； f ( x) 0 凸的。应选 B。
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A.-3 B.-1 C.1 解： y ( x 1)( x 3) y (0) 3 D 。 13. 下列广义积分收敛的是 A. C.
3 xy 9 xy 1 1 lim lim B 。 x 0 x 0 x 0 xy 6 xy 9 ) xy 9 y 0 y 0 xy (3 y 0 3
1 1 1 p 1 p 1 有结论：当 时收敛，当 时发散。级数 、 与级 p n n 2 3n 1 n2 n n n 2 n(ln n) 1 数 利用比较判别法的极限形式来确定---发散的，应选 C。 n2 n 1 n 23.幂级数 n 1 ( x 1) 的收敛区间为 （ ） 3 n 0 A. (1, 1) B. (3, 3) C. (2, 4) D. (4, 2)
1 x 2 dx _________
C.不取极值
（ D. 取最大值
）
解：有 f ( x0 ) f ( x0 ) e 得分 评卷人
f ( x0 ) e 2 x0 0 A 。
二、填空题（每题 2 分，共 30 分） 26.设 f ( x) 2 x 5 ，则 f [ f ( x) 1] _________. 解： f [ f ( x) 1] 2( f ( x) 1) 5 2 f ( x) 3 2(2 x 5) 3 4 x 13 。
《高等数学》试卷
题号 分数 一 二 三 四 五 六 总分 核分人
x2 2 的水平渐近线是 3x 2 2 2 1 A. y B. y C. y 3 3 3 2 x 2 1 1 y C 。 解： lim 2 x 3 x 3 3
8.曲线 f ( x) 9. lim
A. B. C. 应选 A。 21. 设 C 为抛物线 y x 上从 (0,0) 到 (1,1) 的一段弧，则
2
z2 2 y 3xz
z2 3xz 2 y
z 2 y 3xz
2 xydx x
C
2
dy
）
（ A.-1 解： C ：
B.0
C.1
1 C 0
D.2
x x y x
, x 从 0 变到 1， 2 xydx x 2 dy 4 x 3 dx 1 C 。 2
（ B. D. ）
（
2
）
22.下列正项级数收敛的是 A.
n2
x y z x y z 1 B. 1 3 4 3 4 ( x y) 2 z 2 x 2 ( y z) 2 C. D. 1 1 3 4 3 4 x2 z2 x2 y2 z2 解：把 1 中 x 2 换成 x 2 y 2 得 1 ，应选 A。 3 4 3 4 3 xy 9 18. lim （ x 0 xy y 0
x 0
（ D. y
）
1 3
得分
一. 单项选择题（每题 2 分，共计 50 分） 在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后 面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分. 1.集合 {3,4,5} 的所有子集共有 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 评卷人 解：子集个数 2 2 8 D 。
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7.曲线 y 1 x 的拐点是
3
2007 年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
（ C. (0,0) D. (1,1)
）
A. (0,1)
B. (1,0)
解： y 6 x 0 x 0 (0,1) ，应选 A 。
n 3
x2
0
tan tdt x4
B.
（
）
A. 0
1 2
C.2
D. 1
2.函数 f ( x) arcsin( x 1) 3 x 的定义域为 A. [0,3] 解： B. [0,2] C. [2,3] D. [1,3]
（
）
1 x 1 1 0 x 2 B。 3 x 0 3. 当 x 0 时，与 x 不等价的无穷小量是 x A. 2 x B. sin x C. e 1 D. ln(1 x) 解：根据常用等价关系知，只有 2 x 与 x 比较不是等价的。应选 A。 1 4.当 x 0 是函数 f ( x) arctan 的 x
A. tan x cot x C C. cot x tan x C 解：分析结果，就能知道选择 C。 15. 函数 y x 在区间 [1,3] 的平均值为
2
B.
1 C tan x D. cot 2 x C tan x
（ C. 8 D. 4 ）
1 B. 1 C. e e z 解： x y ln x e ln e e C 。 ( e ,1) y ( e,1)