定积分的概念和基本性质

b]上的定积分,记为
n
b
I = lim 0 i=1
f (ci )xi =
a
f (x)dx
其中f(x)称为被积函数,x称为积分变量,[a, b]称为
积分区间,a称为积分下限,b称为积分上限,和数σ
称为积分和.
11
定积分b的f 定(x)义dx式，：即 b
a
a
lim f
(x)dx
n
=lim
0 i0=1
22
4.3.2 定积分的基本性质
性质4：积分的可加性定理
交换积分上下限，积分值变号，即
b
a
a f (x)dx = b f (x)dx
特别地，若a=b，则
a
a
a
a f (x)dx = a f (x)dx a f (x)dx = 0
23
4.3.2 定积分的基本性质
性质5：
设f(x)和g(x)在[a, b]上皆可积，且满足条件f(x) ≦g(x)，则
定积分的定义 定积分的基本性质
1
4.3.1 引出定积分定义的例题
例: 求曲线 y=x2、直线 x=1和 x轴所围成的曲边三角形的面积。
y
y=x2
S
x
O
1
2
(1)分割
将区间[0,1]分成n个相等的小区间。 直线 x = i (i = 1,2,...,n 1)把曲边三角形分成n个小曲边梯形。
n
S = s1 s2 ... s i ... s n1 s n
取极限
得到整体量的精确值；
9
4.3.1 定积分的定义
定义 4.3.1:
将
区间任意分成 n 份,分点依次为
在每一个小区间[xi-1 , xi]上任取一点ci, 作乘积
f (ci )xi (xi = xi xi1) (i = 1,2,, n)
n
= f (ci )xi i =1
无论区间的分法如何, ci在[xi-1, xi]上的取法如何,如果 当最大区间长度 = m1iaxn {xi}
=
b
a f1(x)dx
b a
f2
(x)dx
b a
fn ( x)dx
20
4.3.2 定积分的基本性质
性质2：
一个可积函数乘以一个常数之后，仍可为可积函数，且 常数引资可以提到积分符号外面，即若 f(x)在[a, b]上可 积，则 cf(x)在[a, b]上也可积（c为常数），且满足
b
b
a cf (x)dx = a f (x)dx
b
b
b
a f (x) dx a f (x)dx a f (x) dx
26
4.3.2 定积分的基本性质
性质8：定积分中值定理
设f(x) 在区间[a, b]上连续，则在[a, b]内至少有一点ξ (a ≦ ξ ≦b), 使得下式成立：
b
a f (x)dx = f ( )(b a)
同时， 我们称下式为f(x)在[a, b]上的平均值
(2)近似 第 i个小曲边梯形面积:
si
1 n
(i
1)2 n
(i = 1,2, ... , n)
y
(3)求和 小矩形面积的总和：
y=x2
Sn
=
0
1 n
1 n
(1)2 n
1 n
(2)2 n
...
1 n
( n 1)2 n
1) = 1 (1 1 )(1 1 ) 。 3 n 2n
(i 1)2 n
f ( ) = 1
b
f (x)dx
(b a) a
27
课本例题： 例5：不计算积分，试比较下面两个积分的大小
/2 xdx与
/2
sin xdx
0
0
28
v(ti)ti近似替代物体在第i个时间段所走距离: siv(ti)ti 。
(3) 将物体在各时间段所走距离的近似值求和，并作为物体在区
间[a,
b]内所走距离
s
的近似值：S
n
v(t i ) ti
i =1
(4) 记=max{t1,t2,,tn}，取极限0，则物体在时间区间
[a,
b]内运动的距离：
S
SS== lliimm nn
SSnn==
lliimm
nn
11 33
((11
11))((11 nn
11 )) 22nn
===111。 。 333
5
例: 求曲线 y=x2、直线 x=1和 x轴所围成的曲边三角形的面积。
分割 近似 求和 取极限
把整体的问题分成局部的问题 在局部上“以直代曲”, 求出 局部的近似值； 得到整体的一个近似值；
...
1 n
( n 1)2
n
(
i(nni 1)2)2
S
x
3 n 2n
... ... O 1 2
i 1 i
n 1 1
nn
nn
n
(4)取极限 取Sn的极限，得曲边三角形面积：
SS==lliimm nn
SSnn==
lliimm
nn
11 33
((11
11))((11 nn
11 )) 22nn
===111。 。 333
y=x2
(3)求和 小矩形面积的总和：
Sn
=
1 n
0
1 n
( 1 )2 n
1 n
( 2 )2 n
...
1 n
( n 1)2 n
n 1) = 1 (1 1 )(1 1 ) 。 3 n 2n
O
1
2 ...
i 1
S
x
i ... n 1 1
nn
nn
n
(4)取极限 取Sn的极限，得曲边三角形面积：
21
4.3.2 定积分的基本性质
性质3：积分的可加性定理
设f(x)在[a, b]内可积，若a<c<b, 则f(x)在[a, c]和[c, b]上可 积；反之，若f(x)在[a, c]和[c, b]上可积，则f(x)在[a, b]内 可积，且有
b
c
b
a f (x)dx = a f (x)dx c f (x)dx
b x
y = f(x)
17
函数f(x)在区间[a, b]上的定积分表示为直线x=a, x=b, y=0所围成的几个曲边梯形的面积代数和。
b
a f (x)dx = S1 S2 S3
S1
a
S2
S3
b
18
课本例题： 例3：利用定积分几何意义验证：
1 1 x2 dx =
1
2
例4：在区间[a, b]上，若f(x)>0, f’(x)>0, 利用定积分
函数，求此物体在时间区间 [a, b] 内运动所走距离 s 。
解：(1) 用分点 t=ti (ti1<ti , i=1, 2, , n1) 把[a, b]分割成 n 个小的 时间段，第i个时间段为 [ti1, ti]，长度记为ti =ti ti1。
(2) 在第 i ( i=1, 2, , n) 个时间段 [ti1, ti]上任取一时刻 ti，用
S
x
S Sn
... ... O 1 2
i 1 i
n 1 1
nn
nn
n
(4)取极限
取Sn的极限，得曲边三角形面积：
SS==lliimm nn
SSnn==
lliiFra Baidu bibliotekm
nn
11((11 33
11))((11 nn
11 )) 22nn
===111。。 333
3
(1)分割
将区间[0,1]分成n个相等的小区间。 直线 x = i (i = 1,2,..., n 1)把曲边三角形分成n个小曲边梯形。
几何意义验证：
b
f (a)(b a) a f (x)dx f (b)(b a)
19
4.3.2 定积分的基本性质
性质1：
有限个可积函数代数和的积分等于各函数积分的代数和， 即若fi(x) (i = 1, 2, …, n)在[a, b]内可积，则有
b
[
a
f1(x)
f2 ( x)
fn (x)]dx
n
f (f(ic)i)xxii。
i =1
定积分的相关名称：
积分号 积分上限
b
I = a f (x) dx
积分变量
积分下限 被积函数
f (x) dx —称为被积表达式. [a, b] —称为积分区间
12
注意: 定积分与不定积分的区别
定积分和不定积分是两个完全不同的概念. 不定积分是微分的逆运算 而定积分是一种特殊的和的极限
函数f(x)的不定积分是(无穷多个)函数,而f(x)在[a, b]上的 定积分是一个完全由被积函数f(x)的形式和积分区间[a, b] 所确定的值.
13
定积分b的f 定(x)义dx式，：即 b
a
a
nn
f (x)dx =lilmim f (f(ic)i)xxii。 0 i0=1 i=1
按定积分的定义，有
得到整体量的精确值；
6
一般地，求由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及 x轴所围成的曲边梯形的面积的方法是：
(1) 用直线 x = xi (i = 1, 2,..., n 1) 把曲边梯形分割为 n 个小曲边梯形。 每个小曲边梯形的底的宽度记为 xi = xi xi1 (i = 1, 2,..., n)。
4
(1)分割
将区间[0,1]分成n个相等的小区间。 直线 x = i (i = 1,2,..., n 1)把曲边三角形分成n个小曲边梯形。
n
S = s1 s2 ... s i ... s n1 s n
(2)近似 第 i个小曲边梯形面积:
y
si
1 n
(i
1)2 n
(i = 1, 2, ... , n)
b
当a = b时,
b
f (x)dx = 0.
a
15
当
f(x)0
时，积分
b
f
(x)dx
a
在几何上表示由 y=f (x)、
x = a, x = b及 x 轴所围成的曲边梯形的面积。
lim b f (x)dyx，S即= b
a
a
nn
f
(x)dx
=lim
0 i0=1
f (f(ic)i)xxii。
曲边梯形面积可取极限：
f (i )
y=f(x)
n
S
= lim 0 i=1
f (i ) xi
O a=x0 x1 x2 ... xi-1i xi ...
x
b xn1 xn=
7
引出定义的实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程
例2．设物体沿直线作变速运动，速度为 v =v (t), 假定v (t)是 t 的连续
有
b
b
a f (x)dx a g(x)dx
24
4.3.2 定积分的基本性质
性质6：
b
b
a 1dx = a dx = b a
25
4.3.2 定积分的基本性质
性质7：
若函数f(x)在[a, b]上可积，且最大值与最小值分别为M和
m，则
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
推论：若函数f(x)在[a, b]上可积，则
10
在每一个小区间[xi-1 , xi]上任取一点ci, 作乘积
n
f (ci )xi
=
f (ci )xi
i =1
无论区间的分法如何, ci在[xi-1, xi]上的取法如何,如果 当最大区间长度 = max{ xi}
（续上页）
趋于零时和数σ的极限存在,那么我们就称函数f(x)在
区间[a, b]上可积,并称这个极限I为函数f(x)在区间[a,
n
S = s1 s2 ... s i ... s n1 s n
(2)近似 第 i个小曲边梯形面积:
y
si
1 n
(i
1)2 n
(i = 1, 2, ... , n)
y=x2
(3)求和 小矩形面积的总和：
n
Sn 1)
= =
0 1 1 (1)2 1 (2)2 nnn nn
1 (1 1 )(1 1 ) 。
=
lim
0
n i =1
v(ti ) ti
O
... ... a =t0 t1
ti1 ti ti
tn1 tn= b t
8
实例一：求曲边梯形的面积 实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程
分割 近似替代
求和
把整体的问题分成局部的问题
在局部上“以直代曲”或以 “不变代变”求出局部的近似 值； 得到整体的一个近似值；
i =1
y=f (x)
Oa
b
a f (x)d x
x
b
16
f (x) 0时, f (x) 0,设以y = f (x)为曲边的曲边
梯形面积为S , 则
n
n
S
= lim 0
[ f
i =1
(ci )]xi
=
lim 0
[ f
i =1
(ci )]xi
b
y
= a f (x)dx
a
从而有
O
S
b
a f (x)dx = S
(2) 在第i个小区间[xi1, xi]上任取一点i ,用第i个小矩形的面积近似替代
第i个小曲边梯形的面积：Ai f ( i ) xi (i = 1, 2, , n)
(3) 将全部小矩形面积求和后作为
y
曲边梯形面积 S 的近似值。即有
n
S f(i)xi。
i =1
(4) 记=maxx1, x2, xn,为得到
(1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x
轴所围成的曲边梯形的面积为
b
S=
f (x)dx；
a
(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区
间[a, b]内运动的距离s为
b
s=
v(t)dt。
a
14
规定:
当a b时,
b
f (x)dx =
a
f (x)dx;
a