直线与圆位置关系知识点与经典例题

直线与圆位置关系

一．课标要求

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

二．知识框架

相离 几何法 弦长 直线与圆的位置关系 相交 代数法 切割线定理

相切

直线与圆 代数法 求切线的方法

几何法 圆的切线方程

过圆上一点的切线方程 圆的切线方程 切点弦 过圆外一点的切线方程 方程

三．直线与圆的位置关系及其判定方法

1.利用圆心0),(=++C By Ax b a O 到直线的距离2

2

B

A C Bb Aa d +++=

与半径r 的大小来判

定。

（1）⇔r d 直线与圆相离

2.联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定。 （1）有两个公共解（交点），即⇔>∆0直线与圆相交 （2）有且仅有一个解（交点），也称之为有两个相同实根，即0=∆⇔直线与圆相切 （3）无解（交点），即⇔<∆0直线与圆相离

3.等价关系

相交0>∆⇔<⇔r d 相切0=∆⇔=⇔r d 相离0<∆⇔>⇔r d 练习

（位置关系）1.已知动直线5:+=kx y l 和圆1)1(:2

2

=+-y x C ，试问k 为何值时，直线与圆相切、相离、相交？

（位置关系）2.已知点),(b a M 在圆1:2

2

=+y x O 外，则直线1=+by ax 与圆O 的位置关

系是（）

A.相切

B.相交

C.相离

D.不确定

（最值问题）3.已知实数x 、y 满足方程0142

2

=+-+x y x ，

（1）求

x

y

的最大值和最小值； （2）求y x -的最大值和最小值；

（3）求2

2y x +的最大值和最小值。

〖分析〗考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法，直观的理解。①转化为求斜率的最值；②转化为求直线b x y +=截距的最大值；③转化为求与原点的距离的最值问题。

（位置关系）4.设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(2

2=-+-y x 相切，则n m +的取值范围是（）

（位置关系）5.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线 1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是

6．直线0323=-+y x 截圆x 2

+y 2

=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C )

A 、

6π B 、4π C 、3π D 、2

π

（位置关系）7．圆01222

2

=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）

A ．2

B ．21+

C ．2

2

1+

D ．221+ （最值问题）8.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______.

9．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆

C 的方程为（ ） A ．0322

2

=--+x y x B ．042

2=++x y x

C ．0322

2

=-++x y x

D ．042

2

=-+x y x

10.若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有两个交点，则b 的取值范围是__________. （对称问题）11.圆4)1()3(:2

2

1=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( )

A. 4)1()3(22=-++y x

B. 4)3()1(2

2=-++y x C. 4)3()1(22=++-y x D. 4)1()3(2

2=++-y x

12. 直线3y kx =+与圆22

(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点，若≥||MN 3

则k 的取值范围是( ) A ．3[,0]4

-

B ．33

[] C ．[3,3]-

D ．2[,0]3

-

13.圆C ：(x －1)2

＋(y －2)2

＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4 (m ∈R)．

(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒相交于两点； (2)求⊙C 与直线l 相交弦长的最小值．

[解析] (1)将方程(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4，变形为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0. 直线l 恒过两直线2x ＋y －7＝0和x ＋y －4＝0的交点， 由⎩

⎪⎨⎪⎧

2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0得交点M (3,1)． 又∵(3－1)2＋(1－2)2

＝5<25，∴点M (3,1)在圆C 内，∴直线l 与圆C 恒有两个交点． (2)由圆的性质可知，当l ⊥CM 时，弦长最短．

又|CM |＝(3－1)2＋(1－2)2

＝5，

∴弦长为l ＝2r 2－|CM |2

＝225－5＝4 5.

四．计算直线被圆所截得的弦长的方法

1.几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的∆Rt 计算，即2

2

2d r AB -= 2.代数法：运用根与系数关系（韦达定理），即

[]

B A B A B A x x x x k x x k AB 4)()1(1222-++=-+=

（注：①当直线AB 斜率不存在时，请自行探索与总结；

②弦中点坐标为

）（2

,2B

A B A y y x x ++，求解弦中点轨迹方程。） 练习

1.直线32+=x y 被圆0862

2

=--+y x y x 所截得的弦长等于（） 2.过点)1,2(的直线中被圆0422

2

=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程

是( )

A.053=--y x

B. 073=-+y x

C. 053=-+y x

D. 053=+-y x

3.已知圆C 过点)0,1(，且圆心在x 轴的正半轴上，直线1:-=x y l 被圆C 所截得的弦长为