习题反常积分的收敛判别法

习 题 8.2 反常积分的收敛判别法⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，⎰∞+a dx x )(ϕ和⎰∞+adx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况.解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数.则当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时⎰∞+adx x )(ϕ也发散.证 当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，0>∀ε ，a A ≥∃0，0,A A A ≥'∀：K dx x A A εϕ<⎰')(.于是≤⎰'A Adx x f )(εϕ<⎰'A A dx x K )(，所以⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，00>∃ε，a A ≥∀0，0,A A A ≥'∃：εK dx x f A A ≥⎰')(.于是≥⎰'A A dx x )(ϕ0)(1ε≥⎰'A A dx x f K ，所以⎰∞+a dx x )(ϕ也发散.（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(lim=+∞→x x f x ϕ.则当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ也发散；但当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能收敛，也可能发散.例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p xx p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ.显然有 ⎰∞+1)(dx x f 收敛，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当21<<p 时收敛，当10≤<p 时发散.设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且+∞=+∞→)()(limx x f x ϕ.则当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ也收敛；但当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能发散，也可能收敛.例如xx f 1)(=，)21(1)(>=p xx p ϕ，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ϕ.显然有 ⎰∞+1)(dx x f 发散，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当121≤<p 时发散，当1>p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）.证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数.⑴ 若f x Kxp ()≤，且p >1，则⎰∞+a dx x f )(收敛；⑵ 若f x Kxp ()≥，且p ≤1，则⎰∞+a dx x f )(发散.推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有f x ()≥0，且lim ()x p x f x l →+∞=，则⑴ 若0≤<+∞l ，且p >1，则⎰∞+a dx x f )(收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≤1，则⎰∞+adx x f )(发散.证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x ϕ取为p x1. ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴11321x ex dx x-++-+∞⎰ln ; ⑵⎰∞++131tan arc dx x x;⑶110++∞⎰x x dx |sin |;⑷x xdx qp11++∞⎰（+∈R q p ,）. 解 （1）当+∞→x 时，1ln 123++--x ex x～231x ，所以积分11321x e x dx x -++-+∞⎰ln 收敛.（2）当+∞→x 时，31arctan xx +～32x π， 所以积分⎰∞++131tan arc dx x x收敛.（3）因为当0≥x 时有xx x +≥+11sin 11，而积分dx x⎰∞++011发散，所以积分110++∞⎰x x dx |sin |发散.（4）当+∞→x 时，pqxx +1～q p x -1， 所以在1>-q p 时，积分x x dx qp11++∞⎰收敛，在其余情况下积分 x x dx qp11++∞⎰发散. ⒋ 证明：对非负函数f x ()，)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛与f x dx ()-∞+∞⎰收敛是等价的. 证 显然，由f x dx ()-∞+∞⎰收敛可推出)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛，现证明当0)(≥x f 时可由)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛推出f x dx ()-∞+∞⎰收敛.由于)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛，可知极限+∞→A lim =)(A F +∞→A lim⎰-AA dx x f )(存在而且有限，由Cauchy 收敛原理，0>∀ε，00A ∃>，0,A A A ≥'∀：ε<-)'()(A F A F ，于是0,A A A ≥'∀与0',A B B ≥∀，成立≤⎰'A Adx x f )(ε<-)'()(A F A F与≤⎰--BB dx x f ')(ε<-)'()(B F B F ，这说明积分⎰∞+0)(dx x f 与⎰∞-0)(dx x f 都收敛，所以积分f x dx ()-∞+∞⎰收敛. ⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：⑴ln ln ln sin x x xdx 2+∞⎰; ⑵ sin xx dx p 1+∞⎰（+∈R p ）;⑶ ⎰∞+1tan arc sin dx xx x p（+∈R p ）; ⑷ sin()x dx 20+∞⎰; ⑸ ⎰∞+a n mxdx x q x p sin )()( （p x m ()和q x n ()分别是m 和n 次多项式，q x n ()在),[+∞∈a x 范围无零点.）解 （1）因为⎰=Axdx A F 2sin )(有界，x x ln ln ln 在),2[+∞单调，且0ln ln ln lim=+∞→xxx ，由Dirichlet 判别法，积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞⎰收敛； 由于≥x x x sin ln ln ln x x x 2sin ln ln ln )2cos 1(ln ln ln 21x xx-=，而积分 ⎰∞+2ln ln ln dx x x 发散，⎰∞+22cos ln ln ln xdx x x 收敛，所以积分⎰∞+2sin ln ln ln dx x xx 发散，即积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞⎰条件收敛. （2）当1>p 时，p pxx x 1sin ≤，而⎰∞+11dx x p 收敛，所以当1>p 时积分 sin xx dx p1+∞⎰绝对收敛； 当10≤<p 时，因为⎰=Ax d x A F 1s i n)(有界，px 1在),1[+∞单调，且01lim=+∞→px x ，由Dirichlet 判别法，积分sin x x dx p 1+∞⎰收敛；但因为当10≤<p 时积分⎰∞+1|sin |dx x x p发散，所以当10≤<p 时积分sin xx dx p1+∞⎰条件收敛. （3）当1>p 时，≤px xx arctan sin px 2π，而⎰∞+11dx xp 收敛，所以当1>p 时积分⎰∞+1tan arc sin dx x xx p绝对收敛；当10≤<p 时，因为⎰=Ax d x A F 1si n )(有界，pxx a r c t a n在),1[+∞单调，且0arctan lim=+∞→p x x x ，由Dirichlet 判别法，积分⎰∞+1arctan sin dx x xx p 收敛；但因为当10≤<p 时积分⎰∞+1sin arctan dx x xxp发散，所以当10≤<p 时积分 ⎰∞+1arctan sin dx xxx p条件收敛. （4）令2x t =，=⎰∞+02)sin(dx x ⎰∞+02sin dt tt ，由于⎰∞+02sin dt tt 条件收敛，可知积分sin()x dx 20+∞⎰条件收敛.（5）当1+>m n 且x 充分大时，有x x q x p n m sin )()(2xK≤，可知当1+>m n 时积分⎰∞+an m xdx x q x p sin )()(绝对收敛. 当1+=m n 时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，且当x 充分大时，)()(x q x p n m 单调且0)()(lim =+∞→x q x p nm x ，由Dirichlet 判别法可知⎰∞+a n mxdx x q x p sin )()(收敛；但由于当+∞→x 时，)()(x q x p n m ～x a ，易知⎰∞+1sin )()(dx x x q x p n m 发散，所以当1+=m n 时，积分⎰∞+an m xdx x q x p sin )()(条件收敛. 当1+<m n 时，由A x q x p n m x =+∞→)()(lim，A 为非零常数、∞+或∞-，易知积分⎰∞+an m xdx x q x p sin )()(发散. ⒍ 设f x ()在[,]a b 只有一个奇点x b =，证明定理8.2.'3和定理8.2.'5. 定理8.2.'3（Cauchy 判别法） 设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，若当x 属于b 的某个左邻域[,)b b -η0时，存在正常数K ，使得⑴ f x K b x p()()≤-，且p <1，则f x dx a b()⎰收敛； ⑵ f x K b x p()()≥-，且p ≥1，则f x dx a b()⎰发散.证 （1）当p <1时，积分⎰-bapdx x b )(1收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>∀ε，0>∃δ，),0(',δηη∈∀：K dx x b b b pεηη<-⎰--')(1. 由于≤⎰--')(ηηb b dx x f εηη<-⎰--')(b b pdx x b K，所以f x dx a b ()⎰收敛. （2）当1≥p 时，积分⎰-bapdx x b )(1发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理， 00>∃ε，0>∀δ，),0(',δηη∈∃：K dx x b b b p0')(1εηη≥-⎰--. 由于≥⎰--')(ηηb b dx x f 0')(εηη≥-⎰--b b pdx x b K，所以f x dx a b ()⎰发散. 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，且lim ()()x b p b x f x l →--=，则⑴ 若0≤<+∞l ，且p <1，则f x dx a b()⎰收敛；⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≥1，则f x dx a b ()⎰发散. 证 （1）由lim ()()x b p b x f x l →--= （+∞<≤<l p 0,1），可知0>∃δ，),(b b x δ-∈∀：px b l x f )(1)(-+<， 再应用定理8.2.'3的（1）.（2）由lim ()()x b p b x f x l →--= （+∞≤<≥l p 0,1），可知0>∃δ，),(b b x δ-∈∀：px b lx f )(2)(->，再应用定理8.2.'3的（2）.定理8.2.'5 若下列两个条件之一满足，则f x g x dx a b()()⎰收敛： ⑴（Abel 判别法）f x dx ab()⎰收敛，g x ()在[,)a b 上单调有界；⑵（Dirichlet 判别法）⎰-=ηηb adx x f F )()(在],0(a b -上有界，g x ()在[,)a b 上单调且0)(lim =-→x g b x .证 （1）设G x g ≤|)(|，因为f x dx a b()⎰收敛，由Cauchy 收敛原理，0>∀ε，0>∃δ，),(,b b A A δ-∈'∀：Gdx x f A A2)(ε<⎰'.由积分第二中值定理，⎰'A Adx x g x f )()(⎰⎰'⋅'+⋅≤A Adx x f A g dx x f A g ξξ)()()()(⎰⎰'+≤A A dx x f G dx x f G ξξ)()(εεε=+<22.（2）设M F ≤|)(|η，于是),[,b a A A ∈'∀，有M dx x f A A2)(<⎰'.因为0)(lim =-→x g b x ，0>∀ε，0>∃δ，),(b b x δ-∈∀，有Mx g 4)(ε<.由积分第二中值定理，⎰'A Adx x g x f )()(⎰⎰'⋅'+⋅≤A Adx x f A g dx x f A g ξξ)()()()(|)(|2|)(|2A g M A g M '+≤εεε=+<22.所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy 收敛原理，都有⎰∞+adx x g x f )()(收敛的结论.⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴ 112301x x dx ()-⎰;⑵ ln xx dx 2011-⎰;⑶ 12202cos sin x xdx π⎰;⑷ 102-⎰cos xx dx pπ; ⑸ |ln |x dx p 01⎰;⑹x x dx p q ---⎰11011();⑺⎰---1011|ln |)1(dx x x xq p .解 （1）因为32)1(1x x -～321x )0(+→x ，32)1(1x x -～31)1(1x -)1(-→x ，所以积分11231x x dx ()-⎰收敛. （2）因为1ln lim 21--→x x x 21=，且对任意10<<δ，01ln lim 20=-+→x x x x δ，即当0>x 充分小时，有δxx x 11ln 2<-，所以积分ln x x dx 2011-⎰收敛. （3）因为x x 22sin cos 1～21x )0(+→x ，x x 22sin cos 1～2)2(1x -π)2(-→πx ，所以积分12202cos sin x xdx π⎰发散.（4）因为p x x cos 1-～221-p x)0(+→x ，所以当3<p 时积分102-⎰cos x x dx p π收敛，当3≥p 时积分102-⎰cos xx dx pπ发散. （5）首先对任意的10<<δ与任意的p ，有0]|ln |[lim 0=+→p x x x δ，即当0>x 充分小时，有δx xp1ln <；且 px ln ～px --)1(1)1(-→x .所以当1->p 时，积分|ln |x dx p 01⎰收敛，当1-≤p 时，积分|ln |x dx p 01⎰发散.（6）11)1(---q p x x ～px -11)0(+→x ，11)1(---q p x x ～qx --1)1(1)1(-→x ，所以在0,0>>q p 时积分x x dx p q ---⎰11011()收敛，在其余情况下积分x x dx p q ---⎰11011()发散.（7）|ln |)1(11x x x q p ---～qx --)1(1)1(-→x ，且 0|)]ln |)1(([lim 11210=----+→x x x xq p p x ，即当0>x 充分小时，有21111ln )1(p q p xx x x ---<-，所以当1,0->>q p 时积分⎰---1011|ln |)1(dx x x x q p 收敛，在其余情况下积分⎰---1011|ln |)1(dx x x x q p 发散.⒏ 讨论下列反常积分的敛散性：⑴ x x x dx p q ---⎰1101ln (+∈R q p ,); ⑵11223x x x dx ()()--+∞⎰; ⑶ ln()10++∞⎰x x dx p; ⑷ ⎰∞+0tan arc dx xxp; ⑸⎰2/0tan πdx x x p;⑹x dx p x --+∞⎰10e ;⑺1x x dx p q++∞⎰;⑻⎰∞+2ln 1dx xx qp . 解（1）x x x dx p q ---⎰1101ln ⎰-=2101ln dx x x p ⎰--2101ln dx x x q ⎰---+12111ln dx x x xq p . 当0>p ，0>q 时积分⎰-211ln dx x x p 与积分⎰-2101ln dx xxq 显然收敛，且当-→1x 时，=---x x x q p ln 11()[]()[]())1(1ln 1)1(11)1(111-+--+---+--x x x q p ～q p x x q p -=---1)1)((， 即⎰---12111ln dx xx x q p 不是反常积分，所以积分x x x dx p q ---⎰1101ln 收敛. （2）=--⎰∞+032)2()1(1dx x x x ⎰--1032)2()1(1dx x x x ⎰--+2132)2()1(1dx x x x⎰∞+--+232)2()1(1dx x x x .因为32)2()1(1--x x x ～313121x ⋅-)0(+→x ，32)2()1(1--x x x ～32)1(1--x)1(-→x ，所以积分⎰--1032)2()1(1dx x x x 收敛；因为32)2()1(1--x x x ～32)1(1--x)1(+→x ，32)2()1(1--x x x ～313)2(121-⋅x)2(-→x ，所以积分⎰--2132)2()1(1dx x x x 收敛；因为32)2()1(1--x x x ～313)2(121-⋅x)2(+→x ，32)2()1(1--x x x ～341x )(+∞→x ，所以积分⎰∞+--232)2()1(1dx x x x 收敛.由此可知积分11223x x x dx ()()--+∞⎰收敛. （3）=+⎰∞+0)1ln(dx xx p++⎰10)1ln(dx x x p⎰∞++1)1ln(dx xx p. 由px x )1ln(+～11-p x )0(+→x ，可知当2<p 时，积分⎰+10)1ln(dx x x p 收敛，当2≥p 时，积分⎰+10)1ln(dx xx p发散；当1>p 时，0)1ln(lim 213=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅-+∞→p p x x x x ，即当0>x 充分大时，有 2131)1ln(-<+p px xx ，其中1213>-p ，可知当1>p 时，积分⎰∞++1)1ln(dx xx p 收敛，当1≤p 时，积分⎰∞++1)1ln(dx xx p发散； 综上所述，当21<<p 时，积分⎰∞++0)1ln(dx x x p收敛，在其余情况下积分⎰∞++0)1ln(dx xx p发散.（4）⎰∞+0tan arc dx x x p ⎰=10tan arc dx x x p ⎰∞++1tan arc dx xxp . 由p x x arctan ～11-p x )0(+→x ,可知当2<p 时积分⎰10tan arc dx x xp 收敛； 由p x x arctan ～p x 2π)(+∞→x ，可知当1>p 时积分⎰∞+1tan arc dx x xp收敛. 所以当21<<p 时积分⎰∞+0tan arc dx xxp收敛，在其余情况下积分 ⎰∞+0tan arc dx x xp发散. （5）⎰2/0tan πdx xx p⎰=4/0tan πdx xx p⎰+2/4/tan ππdx xx p.由pxxtan ～211-p x )0(+→x ，可知当23<p 时积分⎰4/0t an πdx xx p收敛，当23≥p 时积分⎰4/0tan πdx xx p发散；由pxx tan ～122()2pp x ππ-)2(-→πx ，可知积分⎰2/4/tan ππdx xx p收敛.所以当23<p 时积分⎰2/0tan πdx x x p收敛，当23≥p 时积分 ⎰2/0tan πdx xx p发散.（6）x dx p x --+∞⎰10e ⎰--=101e dx x x p ⎰∞+--+11e dx x x p .由于积分⎰∞+--11e dx x x p 收敛，及x p e x --1～px-11)0(+→x ，所以当0>p 时积分x dx p x --+∞⎰10e 收敛，当0≤p 时积分x dx p x --+∞⎰10e 发散. （7）10x x dx p q++∞⎰⎰+=101dx x x q p ⎰∞+++11dx x x q p . 当q p =时，显然积分1x x dx p q++∞⎰发散；当q p ≠时，由于q p x x +1～),min(1q p x )0(+→x ，q p x x +1～),max(1q p x)(+∞→x ， 所以当1),min(<q p ，且1),max(>q p 时积分10x x dx p q++∞⎰收敛，其余情况下积分1x x dx p q++∞⎰发散.（8）设1>p ，则对任意的q ，当x 充分大时，有211ln 1+<p qp xxx ，因为121>+p ，可知积分⎰∞+2ln 1dx xx q p 收敛.设1<p ，则对任意的q ，当x 充分大时，有211ln 1+>p qp xxx ，因为121<+p ，可知积分⎰∞+2ln 1dx xx qp 发散. 设1=p ，令t x =ln ，则⎰∞+2ln 1dx x x q p ⎰∞+=2ln qtdt，由此可知当1>p 或 1,1>=q p 时积分⎰∞+2ln 1dx x x q p 收敛，在其余情况下积分⎰∞+2ln 1dx xx q p 发散. ⒐ 讨论下列反常积分的敛散性：⑴ xx dx p -+∞+⎰121; ⑵ x xx dx q psin 11++∞⎰ (p ≥0);⑶⎰∞+0sin cos e dx x xpx ; ⑷⎰∞+0sin 2sin edx x xpx; (5) ⎰1021cos 1dx xx p ； (6) ⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx xx x p(0>p ). 解（1）x x dx p -+∞+⎰1201⎰+=-10211dx x x p ⎰∞+-++1211dx xxp . 由211x x p +-～p x -11)0(+→x ，211xx p +-～p x -31)(+∞→x ，可知当20<<p 时积分x x dx p -+∞+⎰1201收敛，在其余情况下积分xx dx p -+∞+⎰1201发散. （2）当1-<p q 时，由q p p q xx x x -<+11|sin |，可知积分x x x dx qp sin 11++∞⎰绝对收 敛.当p q p <≤-1时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，当x 充分大时pqxx +1单 调减少，且01lim =++∞→p q x x x ，由Dirichlet 判别法，积分⎰∞++11sin dx xxx p q收敛； 但因为积分⎰∞++11|sin |dx xx x pq 发散，所以当p q p <≤-1时积分sin x x dx p 1+∞⎰条 件收敛.当p q ≥时，由于n →∞时22sin 1q n pn x xdx x πππ++⎰不趋于零，可知积分 x xx dx q psin 11++∞⎰发散.（3）⎰∞+0sin cos e dx x x p x ⎰=10sin cos e dx x x p x ⎰∞++1sin cos edx xx p x. 由p x x x e cos sin ～p x 1)0(+→x ，可知当1<p 时积分⎰10sin cos edx xx p x收敛，在其余情况下积分⎰10sin cos e dx xxpx发散.当1<p 时，易知积分⎰∞+1sin |cos |e dx x x px 发散；当0≤p 时，易知积分⎰∞+1sin cos e dx x xpx 发散. 当10<<p 时，因为1cos 1sin -<⎰e xdx e A x ，p x 1单调减少，且01lim =+∞→p x x，由Dirichlet 判别法；可知积分⎰∞+1sin cos e dx xxpx 收敛. 综上所述，当10<<p 时，积分⎰∞+0sin cos e dx xxpx 条件收敛，在其余情况下积分⎰∞+0sin cos e dx xxpx 发散. （4）⎰∞+0sin 2sin edx x x p x⎰=10sin 2sin e dx x x p x ⎰∞++1sin 2sin edx xx p x. 由p x xx e 2sin sin ～12-p x )0(+→x ，可知当2<p 时积分⎰10sin 2sin edx x x p x收敛，在其余情况下积分⎰10sin 2sin e dx xxpx发散. 当21<<p 时，显然积分⎰∞+1sin |2sin |e dx xx px 收敛；当1≤p 时，易知积分⎰∞+1sin |2sin |e dx xx p x 发散；当0≤p 时，易知积分⎰∞+1sin 2sin edx x x p x发散. 当10≤<p 时，因为⎰+=ππ)1(sin 02sin k k x xdx e ，可知⎰A x xdx e 0sin 2sin 有界，且p x 1单调减少，01lim =+∞→p x x，由Dirichlet 判别法，可知积分 ⎰∞+1sin 2sin edx xxpx收敛. 综上所述，当21<<p 时积分⎰∞+0sin 2sin edx xxpx绝对收敛，当10≤<p 时积分⎰∞+0sin 2sin edx x x p x条件收敛，在其余情况下积分⎰∞+0sin 2sin edx xx p x发散. （5）令21x t =，则 ⎰=1021cos 1dx xx p tdt t p cos 121123⎰∞+-. 于是可知当1<p 时积分⎰1021c o s 1dx xx p 绝对收敛；当31<≤p 时积分⎰1021cos 1dx x x p 条件收敛，当3≥p 时积分⎰1021cos 1dx xx p发散.（6）当1>p 时，因为pp xx x x 11sin ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+，可知积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx x x x p 绝对收敛. 当10≤<p 时，因为⎰++⎪⎭⎫ ⎝⎛+261sin ππππn n p dx x x x pn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅>2321πππ，而级数 ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n pn ππ发散，所以积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx xx x p发散；又因为 =+⎰∞+dx x x x p 1)1sin(dx x xx x x p⎰∞++1sin 1cos cos 1sin ，注意到当x 充分大时，p x x 1sin 与p x x 1cos都是单调减少的，由Dirichlet 判别法可知积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx xx x p 收敛，所以积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx xx x p 条件收敛. 10．证明反常积分⎰∞+04sin sin xdx x x 收敛. 证 对任意A A A >>'"，由分部积分法，⎰="'4sin sin A A xdx x x ⎰-"'42)(cos 4sinA A x d x x"'244cos sin A A x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰-+"'244cos cos A A dx x x x ⎰"'342sin cos A A dx x xx . 显然，当+∞→A 时，等式右端的三项都趋于零，由Cauchy 收敛原理，可知反常积分⎰∞+04sin sin xdx x x 收敛.11．设f x ()单调，且当x →+0时f x ()→+∞，证明：f x dx ()01⎰ 收敛的必要条件是lim ()x xf x →+=00.证 首先由f x ()的单调性，对于充分小的10<<x ，有⎰≤≤xx dt t f x f x 2)()(20. 由Cauchy 收敛原理，⎰=+→x xx dt t f 200)(lim，于是得到0)(lim 0=+→x xf x .12．设⎰∞+adx x f )(收敛，且)(x xf 在),[+∞a 上单调减少，证明:0)()(ln lim =+∞→x f x x x .证 首先容易知道当+∞→x 时，)(x xf 单调减少趋于0，于是有0)(≥x xf ，且⎰=⋅≤≤xx dt tt tf x f x x 1)()()(ln 210⎰xx dt t f )(.然后由Cauchy 收敛原理，0)(lim=⎰+∞→x xx dt t f ，于是得到0)()(ln lim =+∞→x f x x x .13．设f x ()单调下降，且lim ()x f x →+∞=0，证明：若'f x ()在[,)0+∞上连续，则反常积分'+∞⎰f x x dx ()sin 20收敛. 证 首先由分部积分法，⎰∞+=2sin )('xdx x f ⎰∞+02)(sin x xdf ⎰∞+-=02sin )(xdx x f .由于⎰=Axdx A F 02sin )(有界，f x ()单调下降，且lim ()x f x →+∞=0，由 Dirichlet 判别法，可知积分⎰∞+02sin )(xdx x f 收敛，从而积分'+∞⎰f x x dx ()sin 20收敛. 14. 设⎰∞+adx x f )(绝对收敛，且lim ()x f x →+∞=0，证明f x dx a 2()+∞⎰收敛.证 首先由lim ()x f x →+∞=0，可知a A >∃，A x >∀，有1)(<x f ，即当A x >时， 成立)()(2x f x f ≤.因为积分⎰∞+adx x f )(绝对收敛，于是由比较判别法，积分f x dx a 2()+∞⎰收敛.15． 若f x dx a 2()+∞⎰收敛，则称f x ()在[,)a +∞上平方可积（类似可定义无界函数在[,]a b 上平方可积的概念）.⑴ 对两种反常积分分别探讨f x ()平方可积与f x ()的反常积分收敛之间的关系；⑵ 对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含； ⑶ 对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立. 解 （1）⎰∞+a dx x f )(收敛不能保证f x dx a 2()+∞⎰收敛，例如：xx x f sin )(=，则⎰∞+1)(dx x f 收敛，但⎰∞+12)(dx x f 发散；f x dx a 2()+∞⎰收敛不能保证⎰∞+a dx x f )(收敛，例如：xx f 1)(=，则 ⎰∞+12)(dx x f 收敛，但⎰∞+1)(dx x f 发散.（2）f x dx a 2()+∞⎰收敛不能保证⎰∞+a dx x f )(绝对收敛，例如：xxx f sin )(=，则⎰∞+12)(dx x f 收敛，但⎰∞+1)(dx x f 不是绝对收敛的；⎰∞+adx x f )(绝对收敛不能保证f x dx a 2()+∞⎰收敛，例如：⎪⎩⎪⎨⎧+∈=∞=其他0]1,[)(23n n n n x n x f ，则⎰∞+1)(dx x f 绝对收敛，但⎰∞+12)(dx x f 发散.（3）由)](1[21)(2x f x f +≤，可知⎰b a dx x f )(2收敛保证⎰ba dx x f )(绝对收敛；但⎰b a dx x f )(绝对收敛不能保证⎰ba dx x f )(2收敛，例如：xx f 1)(=，则⎰1)(dx x f 绝对收敛，但⎰102)(dx x f 发散.16. 证明反常积分sin sin xx x dx p ++∞⎰1当p ≤12时发散，当121<≤p 时条件收敛，当p >1时绝对收敛.证 当p >1时，对充分大的x ，有x x x p sin sin +px 2≤，由于积分⎰∞+12dx x p收敛，可知积分sin sin xx xdx p ++∞⎰1绝对收敛.当10≤<p 时，利用等式)sin (sin sin sin sin 2x x x xx x x x x pp p p+-=+. 这时积分⎰∞+1sin dx x x p 收敛；积分⎰∞++12)sin (sin dx x x x x p p 当121<≤p 时收敛，当210≤<p 发散. 当121<≤p 时，由于⎰+++434sin sin ππππn n p dx x x x 1)1(122++⋅≥pp n ππ，因为级数1)1(11++∑∞=p p n n π发散，所以积分⎰∞++1sin sin dx xx xp发散. 综上所述，当121<≤p 时，积分sin sin x x x dx p ++∞⎰1条件收敛；当210≤<p 时，积分sin sin xx xdx p ++∞⎰1发散.当0≤p 时，因为有⎰+++2242sin sin ππππn n p dx x x x 2224sin 2n n x dx ππππ++>⎰π162>，由 Cauchy 收敛原理，可知积分sin sin xx xdx p ++∞⎰1发散.。