高一数学备课组复习必修1~4讲义19圆的方程、直线与圆的位置关系
2025届高中数学一轮复习课件《圆的方程及直线与圆的位置关系》ppt
解析 答案
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第14页
3．若直线 ax＋by＝1 与圆 x2＋y2＝1 相交，则点 P(a，b)与圆 x2＋y2＝1 的关系为( )
A．在圆上
B．在圆外
C．在圆内
D．以上都有可能
解析：∵|a×0＋a2b＋×b02－1|<1，∴a2＋b2>1，∴点 P(a，b)在圆外．
解析 答案
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1＋k2 过点 B(－2,0)时，直线 l 的斜率 k＝2－4－－02＝1，则直线 l 与半 圆有两个不同的交点时，实数 k 的取值范围为34，1.故选 A.
l 的倾斜角：相切逆―时―→针过 B 点．
第29页
l
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第30页
(3)已知圆 O：x2＋y2＝4 上到直线 l：x＋y＝a 的距离等于 1 的点至少有 2 个，则 a 的 即圆心 O 到 l 的距离 d＜3.
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方法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得2－－2a－2a＋2＋－3－－5b－2b＝2r＝2，r2，
a－2b－3＝0，
a＝－1， 解得b＝－2，
r2＝10， 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
第20页
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第21页
方法三：设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为－D2 ，－E2.
2．以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
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第10页
3．圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2； 切线：y－y0＝－xy00(x－x0)(y0≠0)， 即 y0y＋x0x＝x20＋y20＝r2， 即 x0x＋y0y＝r2(留一代一)． (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y －b)＝r2； (3)过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y ＝r2.
新教材高中数学第二章直线和圆的方程：直线与圆的位置关系pptx课件新人教A版选择性必修第一册
可知圆心坐标为(1，1)，半径为1，
直线和圆相切，则
3×1+4×1−b 32+42
＝1，解得b＝2或12.
(2)由直线y＝2x＋5上的点向圆x2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值
为( )
A． 5
B． 6
C．4
D．2
答案：D
解析：设P(x，y)为直线y＝2x＋5上任意一点，|OP|min＝
5 12+22
位置关系．
方法归纳
判断直线与圆位置关系的3种方法
巩固训练1 过三点A(0，0)，B(0，2)，C(2，0)的圆M与直线l：kx－
y＋2－2k＝0的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相交或相切 D．相切或相离
答案：C
题型 2 直线与圆相切问题 例2 (1)过点P(－2，4)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－2y－3＝0相切， 则直线l的方程为( ) A．x＝－2或2x－y＋8＝0 B．x＝－2或x＋2y－6＝0 C．2x－y＋8＝0或x＋2y－6＝0 D．x－2y＋10＝0或2x＋y＝0
共点，则r的取值范围为( )
A．r>2
B．r≥1
C．r≥2
D．0<r≤ 2
答案：C 解析：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝ 1+2 k2≤2，当且仅当k＝0时等号成 立，故只需r≥2即可．
基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线与圆最多有两个公共点．( √ ) (2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．( √ ) (3)若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离.( × ) (4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交.( √ )
直线圆的位置关系1直线与圆的位置关系
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法二：直线 l 的方程为 y=k（x-4），即 kx-y-4k=0.
圆心 O 到直线 l 的距离 d= | 4k | ，圆 O 的半径 r=2 2 . k2 1
（1）当 d= | 4k | <2 2 ,即-1<k<1 时，直线 l 与圆 O 相交. k2 1
（2）当 d= | 4k | =2 2 ,即 k=±1 时，直线 l 与圆 O 相切. k2 1
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1.直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定方法: (1)代数法:直线与圆的方程联立消去 y(或 x)得到关于 x(或 y)的一元二次方程,此方程的判别式为 Δ,则
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探究要点一:直线与圆相交 1.直线与圆相交求交点坐标,只需联立两方程求解二元二次方程组即可. 2.直线与圆相交时弦长的求法 (1)求出交点坐标,利用两点间距离公式,求出弦长; (2)利用弦长公式求:
d=|x1-x2| 1 k 2 = (1 k 2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
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变式训练 1-1：已知圆 O：x2+y2=8，过 P（4，0）的直线 l 的斜率 k 在什么范围内取值时，直线 l 与圆 O： （1）相交？（2）相切？（3）相离？
解：法一：设直线 l 的方程为 y=k（x-4），
y k(x 4)
直线与圆的位置关系ppt课件
新知讲解
想一想：自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外,则过此点可以作几条切线? 若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线. (2)若点在圆上,则过此点只能作几条切线? 若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点. (3)若点在圆内,则过此点能作几条切线? 若点在圆内,则过此点不能作圆的切线，即可以作0条. 问题：如何刻画直线与圆相切？ 公共点的个数只有1个; 圆心到直线的距离等于半径.
2
因此所求切线l的方程为y=-2x或y= 1 x.
2
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例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
解法2：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，圆
心C(1,3)到直线l的距离为1≠ 5 ，不合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0,
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
思路1 直线与圆相切
直线的方程，
圆的方程
0
直线方程
思路2
d r
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例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
当堂检测
1.(1)直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关系为__相__切____ (2)直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为___相__离___ (3)直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系为__相__交____
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
高中数学圆与方程直线、圆的位置关系直线与圆的位置关系教材梳理素材
4。
2.1 直线与圆的位置关系疱丁巧解牛知识·巧学一、直线与圆的位置关系的判断方法一：代数法(或Δ法）将直线的方程与圆C 的方程联立，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程。
（1）当Δ＞0时,方程有两解，此时方程组也有两组实数解，说明直线l 与圆C 相交;(2)当Δ=0时,方程有唯一解,此时方程组也有唯一一组解,说明直线l 与圆C 相切；（3)当Δ＜0时，方程无实数解，从而方程组也无解，说明直线l 与圆C 相离.方法二：几何法判断圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系。
（1）如果d 〈r,直线l 与圆C 相交;(2）如果d=r ，直线l 与圆C 相切；（3）如果d>r ，直线l 与圆C 相离.方法点拨 以上两种方法都是针对直线与整个圆的位置而言的,研究直线与部分圆的关系时，除利用以上两种方法外,一般都用数形结合求出字母的取值范围。
二、直线与圆的位置关系中的三个基本问题1.判定直线与圆的位置关系问题,常规方法是比较d 与r 的大小.2。
求圆的切线方程问题,求切线有三种情况:（1)从圆上的已知点为切点求切线；（2)已知切线的斜率求切线；（3）已知圆外一点求切线.求切线的方法：（1)利用圆心到直线的距离等于圆的半径；(2）判别式法，一般地，过圆上一点的切线只有一条，过圆外一点的切线有两条；(3）切点坐标代换法，即如果圆的方程为x 2+y 2=r 2，则过圆上一点（x 0，y 0）的切线方程为x 0x+y 0y=r 2.3。
关于弦长问题,一般利用勾股定理与垂径定理，很少利用弦长公式，因其计算较繁.误区警示 在求与圆相切的直线方程时，首先要判断点与圆的位置关系。
当点在圆上时，切线只有一条，若点在圆外,则切线有两条,可以设出直线方程,用待定系数法求解，在设方程时一定要注意到直线斜率不存在的情况,避免漏解。
问题·探究问题1 旋转滴有雨水的伞，雨水将会沿着伞的各自什么位置飞出？探究：沿着一条直线的方向飞出，此直线是以伞的边缘点为切点的切线.问题2 给出一个已知圆C ：(x —2)2+(y —3)2=4，直线l:（m+2）x+(2m+1）y=7m+8,当m∈R 时，你能确定这条直线与圆的位置关系吗？与参数m 有关吗？探究：由已知直线l 的方程(m+2）x+（2m+1)y=7m+8变形可得（2x+y —8)+m （x+2y-7)=0，由直线系方程知识可知，此直线必过两直线2x+y —8=0和x+2y —7=0的交点，解之可得交点为(3,2），即无论m 为何值，直线l 恒过定点(3,2).而容易判断点（3,2）在已知圆内,所以直线与圆总相交,与参数m 无关.典题·热题例1 求经过点(1，-7）且与圆x 2+y 2=25相切的切线方程.思路解析：将点(1，—7）代入圆方程，有12+(-7)2=50〉25，可知点（1，-7）是圆外一点，故所求切线有两条,要求切线方程,只需求切线的斜率或再求切线上另一点.解：法一：设切线的斜率为k ，由点斜式有y+7=k(x —1)，即y=k （x —1）-7。
高中数学《圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用》课件
(4)过圆 O：x2＋y2＝r2 外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线， 切点为 A，B，则 O，P，A，B 四点共圆且直线 AB 的方程
是 x0x＋y0y＝r2.( √ )
11
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数学 ·必修2
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知两圆 x2＋y2＝10 和(x－1)2＋(y－3)2＝20 相交于 A，B 两点，则直线 AB 的方程是___x_＋___3_y＝___0___． (2)已知圆 O1 与圆 O2 的方程分别为(x－1)2＋y2＝1，(x ＋1)2＋y2＝r2(r>1)，若两圆相交，则 r 的取值范围是 ___(1_,_3_)__． (3)已知两圆的半径分别为 1 和 5，若两圆相交，则圆心 距 d 的取值范围是__4_<_d_<_6__．
9
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(2)过直线与圆交点的圆系方程：
设直线 l：Ax＋By＋C＝0 与圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ 0 相交，则方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0 表示 过直线 l 与圆 C 的两个交点的圆系方程．
10
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圆与圆的位置关系有五种，分别为 □1 外离、□2 外切、
□3 相交、□4 内切、□5 内含
．
3
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(2)圆与圆位置关系的判定 ①几何法：若两圆的半径分别为 r1、r2，两圆连心线的 长为 d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
4
高一数学 直线与圆的方程——直线与圆的位置关系(带答案)
专题二 直线与圆的位置关系教学目标：直线和圆的位置关系的判断 教学重难点：直线和圆的位置关系的应用 教学过程：第一部分 知识点回顾考点一：直线与圆的位置关系的判断：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。
可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：由⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0r b y a x C By Ax ，消元得到一元二次方程，计算判别式∆， ①0∆>⇔相交；②0∆<⇔相离；③0∆=⇔相切； （2）几何方法如果直线l 和圆C 的方程分别为：0=++C By Ax ，222)()(r b y a x =-+-. 可以用圆心),(b a C 到直线的距离=d 22||Aa Bb C A B+++与圆C 的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系:①d r <⇔相交；②d r >⇔相离；③d r =⇔相切。
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
例1 直线x sin θ＋y cos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 B 解析 圆心到直线的距离d ＝|sin θ－2－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ所以直线与圆相切．例2 已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C ．(－24，24)D ．(－18，18)答案C 设l 的方程y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.圆心为(1,0)．由已知有|k ＋2k |k 2＋1<1，∴－24<k <24.例3 圆(x －3)2+(y －3)2=9上到直线3x +4y －11=0的距离为1的点有几个？解：圆(x －3)2+(y －3)2=9的圆心为O 1(3，3)，半径r =3， 设圆心O 1(3，3)到直线3x +4y －11=0的距离为d ，则d =22|334311|2334⨯+⨯-=<+如图1，在圆心O 1的同侧，与直线3x +4y －11=0平行且距离为1的直线l 1与圆有两个交点，这两个交点符合题意，又r －d =3－2=1，所以与直线3x +4y －11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. 所以符合题意的点共有3个。
2023版高考数学一轮总复习：圆的方程及直线圆的位置关系课件文
直线和圆的方程
第二讲 圆的方程及直线、圆的位置关系
要点提炼
考点1
圆的方程
1. 圆的定义与方程
定长
(a,b)
考点1
圆的方程
规律总结
(1)若没有给出r>0,则圆的半径为|r|.
2
2
2
2
(2)在圆的一般方程中:当D +E -4F=0时,方程x +y +Dx+Ey+F=0表示一个点(- ,- );
( ✕)
( √ )
(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.
( ✕)
(5)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.
( ✕)
(6)联立两相交圆的方程,并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的
直线方程.
( √ )
(7)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直
R-r<d <R+r
____________
___________
d_________
>R+r ___________
_____
4
_____
3
________
2
1
0
考点3
圆与圆的位置关系
2.两圆相交时,公共弦所在直线的方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0
(*),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0
y2=1,即x2+y2-2x=0.
高一数学圆的方程、直线和圆的位置关系苏教版知识精讲
高一数学圆的方程、直线和圆的位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：圆的方程、直线和圆的位置关系二. 教学目标1、掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程。
2、掌握圆的一般方程及一般方程的特点；能用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径;能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。
3、理解并掌握直线与圆的三种位置关系，并能用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系。
会求圆的切线方程和弦长。
［知识要点］ 一、圆的方程1. 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆2. 求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件P 的点M 的集合；（可以省略，直接列出曲线方程） （3）用坐标表示条件P （M ），列出方程0),(=y x f ; （4）化方程0),(=y x f 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（可以省略不写，如有特殊情况，可以适当予以说明。
）已知圆心为(,)C a b ，半径为r ，如何求圆的方程？ 设M （x ，y ）是圆上任意一点，根据定义，点M 到圆心C 的距离等于r ，所以圆C 就是集合P ＝{M| |MC|＝r}由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为：r b y a x =-+-22)()(把上式两边平方得：（x －a ）2＋ （y －b ）2 ＝ r2r MC(a,b)（一）圆的标准方程222()()x a y b r -+-=这个方程叫做圆的标准方程。
说明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系+课件-2025届高三数学一轮基础专项复习
联立直线与圆的方程，消元后得到关于 （或 ）的一元二次方程，利用 判断.
点与圆的位置关系法
若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法.
5.[人A选必一P86例4变式,2022全国乙卷（理）]过四点，，， 中的三点的一个圆的方程为_ ____________________________________________________________________________________________.
或或或
【解析】 若圆过,,三点,设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .若圆过,,三点,通解 设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .
第八章平面解析几何
2025年高考数学专项复习
第三节 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
目录
圆的方程
壹
直线与圆的位置关系
贰
圆与圆的位置关系
叁
与圆有关的最值问题
肆
圆的方程
壹
教材知识萃取
1.圆的定义与方程
教材知识萃取
规律总结（1）若没有给出 ，则圆的半径为 .（2）在圆的一般方程中：当 时，方程 表示一个点 ;当 时，方程 没有意义，不表示任何图形.（3）以 ， 为直径端点的圆的方程为 .
注意 在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
高中数学_直线与圆的位置关系教学课件设计
y
l B
把x1 2代入方程, 得y1 0 把x2 1代入方程, 得y2 3
C. A
O
x
所以,直线l与圆有两个公共点,它 们的坐标分别是A(2,0)，B(1,3).
11
练习
1、判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0 的位置关系.
相切
Y
2、求以c(1、3）为圆心，并和直线
3x-4y-6=0相切的圆的方程.
x
2
y2
2x
4
0
消去y，得
x2 3x 2 0
l B
C. A
O
x
(3)2 41 2 1 0
直线l与圆相交,有两个公共点
10
例1、如图，已知直线l:3x+y-6和圆心为C的 圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系； 如果相交，求它们的交点坐标。
由x2 3x 2 0,得 x1 2 , x2 1
的切线 l ，求切线 l的方程
分析
根据题意画出图像，由图可知，切线斜率一定存在，并且 满足题意的切线有两条
解： 圆心（2,3），r 1, A1,4,则
1o 若k不存在，则 l : x 1,d 3 r,l与圆相离，舍去
20 若k存在，设 l : y 4 k(x 1),即kx y k 4 0
x0 a2 y0 b2 r 2，则点在圆内； x0 a2 y0 b2 r 2，则点在圆上； x0 a2 y0 b2 r 2，则点在圆外。
3
2020年5月13日星期三3时
4
14分58秒
5、“大漠孤烟直，长河落日圆” 是唐朝诗人王维的诗 句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。如果我们 把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线, 那你能想象一下，直线和圆的位置关系有几种？
直线与圆、圆与圆的位置关系-高中数学总复习课件
y 0 y ＝ r 2；
（2）过圆（ x － a ） 2 ＋（ y － b ） 2 ＝ r 2 上一点 P （ x 0 ， y 0 ）
的圆的切线方程为（ x 0 － a ）·（ x － a ）＋（ y 0 －
b ）·（ y － b ）＝ r 2 ；
（3）过圆 x 2＋ y 2＝ r 2外一点 P （ x 0， y 0）作圆的两条切线，则两
法二（几何法） 由题意知，圆心（0，1）到直线 l 的距离 d ＝
|−｜
2 +1
＜1＜ 5 ，故直线 l 与圆相交.
法三（点与圆的位置关系法） 直线 l ： mx － y ＋1－ m ＝0过定
点（1，1），因为点（1，1）在圆 x 2＋（ y －1）2＝5的内部，
所以直线 l 与圆相交.
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高中总复习·数学
2
−
2
1+2
，｜ AB ｜＝2
4｜｜
4｜｜
1
8
2
＝
，所以 S △ ABC ＝ × d ×｜ AB ｜＝
＝ ，解
2
2
2
1+
5
1+
1
1
得 m ＝2或 m ＝－2或 m ＝ 或 m ＝－ .填写任意一个均可.
2
2
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高中总复习·数学
解题技法
直线被圆截得的弦长的两种求法
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高中总复习·数学
点 P 作圆 O ： x 2＋ y 2＝2的两条切线，切点分别为 A ， B ，若直线 PA
与 PB 的夹角为α，当四边形 PAOB 的面积最小时， sin α＝
3
2
.
目录
高中总复习·数学
高中数学《圆的方程与直线、圆的位置关系》复习和习题课件PPT
知识清单
知识点二 直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.
（2）若直线y=kx+m与圆( − ) +( − ) = 相交于( , )，
( , )两点，则直线被圆截得的弦长为 =
+ − .
（3）以圆 + = 上一点( , )为切点的切线方程为 + =
.
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
巩固练习
过关练习
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解析几何
高中
数学
§第三节 圆的方程与直线、圆的位置关系
（复习+习题练习）
真题在线
知识清单
知识点一 圆的方程
1.圆的方程
圆的方程如表8-3所示.
知识清单
知识点一 圆的方程
2.点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系的常见方法有以下两种：
（1）几何法：比较点到圆心的距离d和圆的半径r的大小关系.
> ⟺点在圆内；
= ⟺点在圆上；
< ⟺点在圆外.
（2）根据点的坐标 0 , 0 与圆的方程 −
0 −
2
+ 0 −
2
> 2 ⟺点在圆外；
0 −
2
+ 0 −
高一数学备课组复习必修1~4讲义19圆的方程直线与圆的位置关系
2009~2010年高一数学备课组复习必修1~4讲义第十九节 圆的方程、直线与圆的位置关系一、内容提示： 1. 圆的方程：圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= （圆心(,)a b ，半径为r ）圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=（其中2240D E F +->），圆心为点)2,2(ED --，半径2422FE D r -+=（Ⅰ）当2240D E F +-=时，方程表示一个点，这个点的坐标为(,)22D E -- （Ⅱ）当2240D E F +-<时，方程不表示任何图形。
2. 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 （Ⅰ）若22BA C Bb Aa d +++=，d r >⇔相离，即直线与圆没有公共点；（Ⅱ）d r =⇔相切，即直线与圆只有一个公共点； （Ⅲ）d r <⇔相交，即直线与圆有两个公共点。
3. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，d O O =21。
12d r r >+⇔外离； 12d r r =+⇔外切；1212r r d r r -<<+⇔相交； 12d r r =-⇔内切； 120d r r <<-⇔内含。
二、例题分析：【例1】求经过原点，且过圆0216822=+-++y x y x 和直线50x y -+=的两个交点的圆的方程。
【例2】已知直线l :052=+-y x 与圆C :36)1()7(22=-+-y x . （1）判断直线l 圆的位置关系;（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长.三、典题精练：1. 圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为( )A. 22(2)5x y -+=B. 22(2)5x y +-=C. 22(2)(2)5x y +++=D. 22(2)5x y ++= 2. 若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x 3. 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( )A. 2B. 1+C. 221+D. 221+ 4. 圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( )A. 023=-+y xB. 043=-+y xC. 043=+-y xD. 023=+-y x5. 圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程 为____________.6. 从点4,5P （）向圆（x －2）2＋y 2＝4引切线，求切线方程。
2019高中数学第四章圆与方程4.2直线圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系讲义含解析新人教A版必修2
第课时直线与圆的位置关系[核心必知]．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材～，回答下列问题．()怎样用几何法判断直线与圆的位置关系？利用圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断它们之间的位置关系，若提示：>，直线<与圆相离；若＝，直线与圆相切；若，直线与圆相交．()如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？提示：①如果直线和圆的方程分别为：＋＋＝，(－)＋(－)＝.可以用圆心(，)到直线的距离＝与圆的半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系；②把直线与圆的交点个数问题转化为直线与圆的对应方程组成的方程组(\\(＋＋＝，＋＋＋＋＝))的解的个数问题，这样当方程组无解时，直线与圆相离；方程组有一组解时，直线与圆相切；方程组有两组解时，直线与圆相交．()过平面一点可作几条圆的切线？提示：当点在圆内时，切线不存在；当点在圆上时，只能作一条圆的切线；当点在圆外时，可作两条圆的切线．．归纳总结，核心必记直线＋＋＝与圆(－)＋(－)＝的位置关系及判断代数法：由(\\(＋＋＝，－(＋－(＝))消元得到一元二次方程的判别式Δ用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？几何法”“提示：代数法与判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思”“更多地侧重于”路来判断的．“几何法“代数法形“””，更多地结合了图形的几何性质；，它倾向于”““则侧重于数“”．方程与”坐标[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．()直线与圆有哪些位置关系？怎样判断？；()怎样解决直线与圆相切及弦长问题？.“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．[思考] 图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？提示：()相离；()相切；()相交．[思考] 结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？提示：种，分别是相交、相切、相离．[思考] 如何判断直线与圆的位置关系？提示：可利用圆心到直线的距离与半径的大小关系．讲一讲．已知直线方程－－－＝，圆的方程＋－－＋＝.当为何值时，圆与直线：()有两个公共点；()只有一个公共点；()没有公共点．[尝试解答] 法一：将直线－－－＝代入圆的方程化简整理得，(＋)－(＋＋)＋＋＋＝.则Δ＝(＋)．当Δ>，即>或<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝，即＝或＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<，即－<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(－)＋(－)＝，即圆心为()，半径＝.圆心()到直线－－－＝的距离＝＝ .当<，即>或<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当＝，即＝或＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当>，即－<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．判断直线与圆位置关系的三种方法()几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断．()代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．()直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．练一练．已知圆: ＋－＝，是过点()的直线，则( )．与相交．与相切．与相离．以上三个选项均有可能解析：选将点()的坐标代入圆的方程，得＋－×＝－＝－<，∴点()在圆内．∴过点的直线必与圆相交.讲一讲．过点(，－)作圆：(－)＋(－)＝的切线，求此切线的方程．[思路点拨] 用待定系数法求解，但千万不要忽视斜率不存在的情况．[尝试解答] ∵(－)＋(－－)＝>，∴点在圆外．()若所求直线的斜率存在，设切线斜率为，则切线方程为＋＝(－)．因为圆心()到切线的距离等于半径，所以＝，解得＝－.所以切线方程为＋＝－(－)，即＋－＝.()若切线斜率不存在，圆心()到直线＝的距离也为，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是＝，综上，所求切线方程为＋－＝或＝.圆的切线的求法()点在圆上时求过圆上一点(，)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程＝或＝.()点在圆外时①几何法：设切线方程为－＝(－)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为－＝(－)，与圆的方程联立，消去后得到关于的一元二次方程，由Δ＝求出，可得切线方程．特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．练一练．求过点(，－)且与圆＋＝相切的直线方程．解：由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为，则切线方程为＋＝(－)，即－－－＝.∴＝.解得＝或＝－.∴所求切线方程为＋＝(－)或＋＝－·(－)，即－－＝或＋＋＝.讲一讲．直线经过点()并且与圆: ＋＝相交截得的弦长为，求的方程．(链接教材—例)[思路点拨] 设出点斜式方程，利用、弦心距及弦长的一半构成三角形可求．[尝试解答] 据题意知直线的斜率存在，设直线的方程为－＝(－)，与圆相交于(，)，(，)，法一：联立方程组(\\(－＝－，＋＝.))消去，得(＋)＋(－)＋(－)＝.由Δ＝[(－)]－(＋)·(－)>，解得>.又＋＝－，＝，由斜率公式，得－＝(－)．∴＝＝＝＝＝.两边平方，整理得－＋＝，解得＝或＝符合题意．故直线的方程为－＋＝或－－＝.法二：如图所示，是圆心到直线的距离，是圆的半径，是弦长的一半．在△中，＝，＝＝×＝，则＝＝.∴＝，解得＝或＝.∴直线的方程为－＋＝或－－＝.求直线与圆相交的弦长的两种方法()几何法：如图，直线与圆交于，两点，设弦心距为，圆的半径为，弦长为，则有＋＝，即＝.()代数法：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是(，)，(，)，则＝＝－＝－(直线的斜率存在)．练一练．求直线：＋－＝被圆: ＋－－＝截得的弦长．解：法一：由直线与圆的方程，得(\\(＋－＝，＋－－＝，))消去，得－＋＝.设两交点，的坐标分别为(，)，(，)，由根与系数的关系有＋＝，·＝，＝＝＝＝＝＝.∴弦的长为.法二：圆: ＋－－＝可化为＋(－)＝.其圆心坐标为()，半径＝，点()到直线的距离为＝＝，所以半弦长＝＝＝.所以弦长＝.————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．．本节课要重点掌握的规律方法()直线与圆位置关系的判断方法，见讲.()求圆的切线的方法，见讲.()求直线与圆相交时弦长的方法，见讲.．本节课的易错点是在解决直线与圆位置关系问题时易漏掉斜率不存在的情况，如讲、讲.课下能力提升(二十四)[学业水平达标练]题组直线与圆的位置关系．直线＋＋＝与圆(－)＋(＋)＝的位置关系是( )．过圆心．相切．相离．相交但不过圆心解析：选圆心(，－)到直线＋＋＝的距离＝＝，<<，所以相交但不过圆心．．(·洛阳高一检测)直线: －＝(－)和圆＋－＝的关系是( )．相离．相切或相交．相交．相切解析：选过定点()，∵＋－×＝，∴点在圆上，∵直线＝过点且为圆的切线，又斜率存在，∴与圆一定相交，故选.．求实数的取值范围，使直线－＋＝与圆＋－＋＝分别满足：()相交；()相切；()相离．解：圆的方程化为标准式为(－)＋＝，故圆心()到直线－＋＝的距离＝，圆的半径＝.()若相交，则<，即<，所以∈(－∞，－)∪(，＋∞)．()若相切，则＝，即＝，所以＝±.()若相离，则>，即>，所以∈(－，)．题组圆的切线问题．若直线＝＋与圆＋＝相切，则的值为( )．±．．±解析：选由题意得＝，所以＝±，故选.．圆心为()且与直线＋＝相切的圆的方程为( )．(－)＋＝．(－)＋＝．(－)＋＝．(－)＋＝解析：选由题意知所求圆的半径＝＝，故所求圆的方程为(－)＋＝，故选.．(·重庆高考)若点()在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点处的切线方程为．解析：设切线斜率为，则由已知得：·＝－.∴＝－.∴切线方程为＋－＝.答案：＋－＝．已知圆：(－)＋(－)＝，过点(，－)作圆的切线，切点为，.求直线，的方程．解：切线的斜率存在，设切线方程为＋＝(－)，即－－－＝.圆心到直线的距离等于，即＝，∴－－＝，解得＝或＝－，故所求的切线方程为＋＝(－)或＋＝－(－)，即－－＝或＋－＝.题组圆的弦长问题．设、为直线＝与圆＋＝的两个交点，则＝( )．．解析：选直线＝过圆＋＝的圆心()，则＝.．过点(－，－)的直线被圆＋－－＋＝截得的弦长为，求直线的方程．解：由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为.设直线的方程为＋＝(＋)．又圆的方程为(－)＋(－)＝，圆心为()，半径为，所以圆心到直线的距离＝＝＝.解得＝或.所以直线的方程为＋＝＋或＋＝(＋)，即－－＝或－＋＝.[能力提升综合练]．已知，∈，＋≠，则直线: ＋＝与圆＋＋＋＝的位置关系是( )．相交．相切．相离．不能确定解析：选联立(\\(＋＋＋＝，＋＝，))化简得＋＝，则(\\(＝，＝.))即直线与圆只有一个公共点()，因此它们相切，故选.．(·安徽高考)直线＋＝与圆＋－－＋＝相切，则的值是( )．－或－．或解析：选因为直线＋＝与圆心为()，半径为的圆相切，所以＝⇒＝或，故选.．(·浙江高考)已知圆＋＋－＋＝截直线＋＋＝所得弦的长度为，则实数的值是( )．－．－．－．－解析：选圆的标准方程为(＋)＋(－)＝－，＝－，则圆心(－)到直线＋＋＝的距离为＝.由＋()＝－，得＝－.．若点(，－)为圆：(－)＋＝的弦的中点，则直线的方程为( )．＋－＝．＋－＝．－－＝．－－＝解析：选圆心是点()，由⊥，得＝，又直线过点，所以直线的方程为－－＝.．过点(－)且与圆(＋)＋(－)＝相切的直线方程是．解析：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为－＝(＋)，则＝＝，解得＝，此时，直线方程为：－－＝；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为＝－，验证可知，符合题意．答案：－－＝或＝－．直线: ＝＋与曲线: ＝有两个公共点，则的取值范围是．解析：如图所示，＝是一个以原点为圆心，长度为半径的半圆，＝＋是一个斜率为的直线，要使两图有两个交点，连接(－)和()，直线必在以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线的值，当直线与重合时，＝；当直线与半圆相切时，＝.所以的取值范围是[，)．答案：[，)．()圆与直线＋－＝切于点()，且与直线＋＋＝也相切，求圆的方程；()已知圆和轴相切，圆心在直线－＝上，且被直线＝截得的弦长为，求圆的方程．解：()设圆的方程为(－)＋(－)＝.∵两切线＋－＝与＋＋＝平行，∴＝＝，∴＝，∴＝＝，即＋＋＝，①＝＝，又∵过圆心和切点的直线与切线垂直，∴＝，③由①②③解得(\\(＝－，＝－.))∴所求圆的方程为(＋)＋(＋)＝.()设圆心坐标为(，)．∵圆和轴相切，得圆的半径为，∴圆心到直线＝的距离为＝.由半径、弦心距、半弦长的关系得＝＋，∴＝±，∴所求圆的方程为(－)＋(－)＝或(＋)＋(＋)＝.．已知是直线＋＋＝上的动点，、是圆: ＋－－＋＝的两条切线，、是切点．()求四边形面积的最小值；()直线上是否存在点，使∠＝°，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．解：()如图，连接，由点在直线＋＋＝上，可设点坐标为.所以四边形＝△＝×××＝.因为＝－＝－，所以当最小时，最小．因为＝(－)＋＝＋.所以当＝－时，＝.所以＝＝.即四边形面积的最小值为. ()由()知圆心到点距离为到直线上点的最小值，若∠＝°易得需＝，这是不可能的，所以这样的点是不存在的．。
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2009~2010年高一数学备课组复习必修1~4讲义
第十九节 圆的方程、直线与圆的位置关系
一、内容提示：
1. 圆的方程：
圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= （圆心(,)a b ，半径为r ）
圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=（其中22
40D E F +->）， 圆心为点)2
,2(E D --，半径2422F E D r -+= （Ⅰ）当2240D E F +-=时，方程表示一个点，这个点的坐标为(,)22D E -
- （Ⅱ）当22
40D E F +-<时，方程不表示任何图形。
2. 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 （Ⅰ）若22B A C
Bb Aa d +++=，d r >⇔相离，即直线与圆没有公共点；
（Ⅱ）d r =⇔相切，即直线与圆只有一个公共点；
（Ⅲ）d r <⇔相交，即直线与圆有两个公共点。
3. 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，d O O =21。
12d r r >+⇔外离；
12d r r =+⇔外切；
1212r r d r r -<<+⇔相交；
12d r r =-⇔内切；
120d r r <<-⇔内含。
二、例题分析：
【例1】求经过原点，且过圆0216822=+-++y x y x 和直线50x y -+=的两个交点的圆的方程。
【例2】已知直线l :052=+-y x 与圆C :36)1()7(2
2=-+-y x .
（1）判断直线l 圆的位置关系;
（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长.
三、典题精练：
1. 圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为( )
A. 22(2)5x y -+=
B. 22(2)5x y +-=
C. 22(2)(2)5x y +++=
D. 22(2)5x y ++=
2. 若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )
A. 03=--y x
B. 032=-+y x
C. 01=-+y x
D. 052=--y x
3. 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( )
A. 2
B. 1+
C. 2
21+ D. 221+ 4. 圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( ) A. 023=-+y x B. 043=-+y x C. 043=+-y x D. 023=+-y x
5. 圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程
为____________.
6. 从点4,5P （）向圆（x －2）2＋y 2＝4引切线，求切线方程。
7. 自33A -（，）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆C ：224470x y x y +--+=
相切，求光线l 所在直线方程。
8. 求经过直线l ：240x y ++=及圆C ：222410x y x y ++-+=的交点，且面积最小的圆的方程。
9. 已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为72，求圆C 的方程。
四、方法反馈：
1、在求解有关直线与圆的位置关系的问题时，要充分利用圆的几何性质，从而达到简化运算的目的：
(1)当圆与直线l 相离时，圆心到l 的距离大于半径；过圆心且垂直于l 的直线与圆的两个交点，分别是圆上的点中到l 的距离的最大、最小的点。
(2)当圆与直线l 相切时，圆心到l 的距离等于半径；圆心与切点的连线垂直于l ；过圆外一点可作两条圆的切线，且此两切线长相等。
(3)当圆与直线l 相交时，圆心到l 的距离小于半径，过圆心且垂直于l 的直线平分l 被圆截得的弦；连结圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的弦是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的弦是过这点的直径。
2、求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点在圆上还是在圆外，再设切线方程为点斜式，用圆心到直线的距离等于半径或利用∆=0求出切线的斜率，从而求得切线的方程，但要注意有时在求过圆外一点的切线方程时，其两条切线中往往有一条切线的斜率不存在，由此而产生漏解。
3、已知圆的切线的斜率求圆的切线方程，可设切线方程为斜截式，具体操作方法同上。
但此种情形的圆的切线应有两条。
五、答案参考：
【例1】解法一：由⎩⎨⎧=+-=+-++0
50216822y x y x y x ，求得交点()2,3-或()4,1-
设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=．
∵(00)(23)(41)--，，
，，，三点在圆上， ∴⎪⎩
⎪⎨⎧=++-+=++-+=0411*******F E D F E D F ，解得199,,055D E F ==-= ∴所求圆的方程为：22199055x y x y ++
-= 解法二：设所求圆的方程为()228-621-50x y x y x y λ+++++=．
将原点(0,0)代入上述方程得215λ=-，所求圆的方程为：22199055
x y x y ++-= 【例2】（1）解法一:由方程组⎩⎨⎧=+-=-+-0
5236)1()7(22y x y x (Ⅰ)
消去y 后整理，得 0615052=+-x x ,
∵012806154)50(2>=⨯⨯--=∆,
∴方程组(Ⅰ)有两组不同的实数解,即直线l 与圆C 相交.
解法二:圆心(7,1)到直线l 的距离为
52)
2(15127122=-++⨯-⨯=d , 因6=<r d ，故直线l 与圆C 相交.
（2）解法一:由方程组⎩⎨⎧=+-=-+-0
5236)1()7(22y x y x ，得0615052=+-x x ，
设直线l 与圆C 的两交点为),(11y x A 、),(22y x B ， 则5
61,102121==+x x x x
∴12||AB x x =-
8== ∴直线l 被圆C 所截得的弦长为8。
解法二: ∵圆心(7,1)到直线l 的距离为52)
2(15127122=-++⨯-⨯=d , 又圆的半径r =6，
∴直线l 被圆C 所截得的弦长为
8=
三、典题精练：
1. A 解析：(,)x y 关于原点(0,0)P 得(,)x y --，则得22(2)()5x y -++-=，即22(2)5x y -+=。
2. A 解析：设圆心为(1,0)C ，则,1,1,12CP AB AB CP k k y x ⊥=-=+=-,即03=--y x 。
3. B 解析：圆心为(1,1),1,C r =max 1d ∴=
4. D 解析：圆2224x y -+=（）的圆心为(2,0)C ，则PC k =1l PC k k =-=
所以切线方程为：1)y x =-，即 023=+-y x 。
5. 22(2)(3)5x y -++= 解析：圆心既在线段AB 的垂直平分线即3y =-，又在
270x y --=上，即圆心为(2,3)-，r =22(2)(3)5x y -++=。
6. 解：当切线的斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为5(4)y k x －＝－
即540kx y k －＋－＝，又圆心坐标为(2,02r ）,＝ 因为圆心到切线的距离等于半径，即20
21,21|
4502|2==+-+-k k k k 所以切线方程为2120160x y －＋
＝ 当切线的斜率不存在时，也符合条件，所以还有一条切线是4x =。
所以，所求的切线方程为：2120160x y －＋
＝或4x =。
7. 解：圆C 的方程为：1)2()2(22=-+-y x ，它关于x 轴对称圆C '的方程为：1)2()2(22=++-y x ，
设光线l 所在的直线方程为：()33y k x -=+，则光线l 所在的直线必与圆C '相切， 故11|
55|2=++k k ，即01225122=++k k ，解得4
334-=-=k k 或， ∴光线l 所在直线方程为0334=++y x 或0343=-+y x
8. 解：设所求圆的方程为0)42(14222=++++-++y x y x y x λ，
即041)4()22(22=++--+++λλλy x y x ，则所求圆的圆心为)22,1(λλ-
--。
∴04)22()1(2=+-+--λ
λ，解得58=
λ， ∴所求圆的方程为0371*******=+-++y x y x
.
9. 解：设圆心为(3,),t t 由于圆C 和y 轴相切，∴半径为3r t =，
令圆心到直线的距离为d ，则d ==，而22222,927,1r d t t t =--==±
22(3)(1)9x y ∴-+-=或22(3)(1)9x y +++=。