求数列极限的几种典型方法

求数列极限的几种典型方法

首先我们要知道数列极限的概念:设{}a n

为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正

整数N ，使得当nN 时有ε<-a a

n

，则称数列

{}a n

收敛于，定数则称为数列{}a n

的极限，

并记作

a a a a

n n

n →=∞

→或lim （∞→n ）。

若数列没有极限，则称

{}a n

不收敛，或称{}a n

为发散数列。

下面我们来研究求数列极限的几种方法：

方法一：应用数列极限的定义 例一：证明

01

lim

=∞

→n

n α

，这里为正数。

证明：由于

n

n

α

α

1

01

=

-

故对任给的0>ε，只要取11

1+⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=εαN ，则当N n >时就有

εα

α

<<

N

n

1

1

这就证明了

01

lim

=∞

→n

n α

。

用定义求数列极限有几种模式： （1）0>∀ε，作差a a

n

-，

解方程ε<-a a n ，解出()εf n >，则取()εf N =或() ,1+=εf N

（2）将

a a

n

-适当放大，解出()εf n >；

（3）作适当变形，找出所需N 的要求。 方法二：（迫敛性）设收敛数列{}{}b a n

n

,都以为极限，数列{}c n

满足：存在正整数N

,

当N

n 0

>

时有：

b c a n

n

n

≤≤

则数列

{}c n

收敛，且a c

n

n =∞

→lim 。

例二：求数列{}n

n 的极限。

解：记h a

n n n

n +==1，这里0>h n （)1>n ，则有

h h n

n

n n n n 2

2

)1()

1(-⋅>

=

+ 由上式的12

0-<

<

n h n )1(>n ,从而有 1

2

111-+

≤+=≤

n h a n n 数列⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-+121n 是收敛于1的，

因为任给的0>ε，取ε

22

1+=N ，则当N n >时有ε<--+

112

1n ，于是上述不等式两边的极限全为1，故由迫敛性证得1lim =∞

→n n n 。 方法三：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。 例三：设

,2,1,1

1

1

13

2=+

++

+

=n n

a n α

α

α

其中实数2≥α，证明数列{}a n

收敛。

证明：显然数列

{}a n

是递增的，下证有上界，事实上，

n

a n 2

2

2

1

1

1

13

2++++

≤

2

1

2)

1

11()3121()211(1)1(1

3212111<-=--++-+-+=⋅-++⨯+⨯+

≤n n n n

n

于是由单调有界定理知

{}a n

收敛。

方法四：对于待定型

1

∞

利用

=+∞

→)

11(lim n

n

n e

例四：求

)

211(lim n

n

n +∞

→

解：因=+∞

→)

211(lim 2n n

n e ，而

)211(lim n n

n +∞

→.)211(lim n n

n +∞

→==+∞

→)

211(lim 2n

n

n e

即e n n n =∞→⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡+)211(lim 2

故e n

n

n =+∞

→)

211(lim

方法五：（柯西收敛准则）数列{}a n

收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数

N ，使得当n ，m N >时，有

ε≤-a

a m

n

例五：证明任一无限十进小数=0. b b b n

2

1

的n 位不足近似（n=1，2，

）所组成的数列

,10,,10,1010

1010

2212

2

1

1

n n b b b b b b ++++

满足柯西条件（从而收敛），其中为9,,2,1,0 中的一个数， ,2,1=k

证明：记

10

102

2110n n n

b b b a

+++= ，不妨设m n >，则有

10

10

10

2

21

1n

n

m m m m m n b b b a a +

++

=

-++++

m

m

m

n m

m n m 1

1

)

1

1(1)1

1011(9

10

10

101010

11<

<-=

+++≤---+