迭代法的加速
§4迭代法的加速法
4.1 Aitken(埃特金)加速方法
设
假1)设x简k 单klxi迭m*,代kxxkk序10列x,x1*{*,xkc,}(线,若性0等收号c敛成 1于立x,*则, 即xk
(4.1)
x* ,是精确解)
2) xk2 2xk1 xk 0,k 0,1,. (若等号成立,则{ xk }不收敛.因为
x0 x1
x1 x* x3 x2 x0
从图中可以看出 x3
x
~x0
比 x2 更接近于 x*.
说明: (1)这里的 x3 并不是简单收敛列 {xk }k 0 中的 x3.
(2)对某些不收敛的情况,用埃特金方法“加速”也有可能收敛.
4.2 Steffenson迭代方法
在埃特金加速法中, 只要有三个相邻点就可以进行加速,把 简单迭代与埃特金加速方法结合起来可建立Steffenso迭代方法.
x* x*
0.
比x：*原klim简 x单xkk序1列xx*{*xk }c更, 快0 地c收敛1 于x*.
(4.3)
ek2 ek2 ek ek ek 1 ek＋1
分析: 该定理的证明用数学分析中证明极限的技巧.
证明: 记ek xk x* ,
由 (4.2) 得
x* x*
则有
lim ek1 c, lim ek2 c2.k xk
则
x~k x*
x* 2x*
x~k xk
x* x*
xk
x*
( xk1 xk )2 xk2 2xk1
( ek 1 1)2
xk
1
ek 2
ek 2 ek1
1
x*
1
ek
(ek1 ek ek2 2ek1
加速迭代法matlab
加速迭代法matlab什么是加速迭代法(matlab)？迭代法是一种解决数值计算问题的常用方法，它通过逐步逼近目标值来求解问题。
在一些复杂的问题中，迭代法的收敛速度可能较慢，使得求解过程变得缓慢和低效。
为了提高迭代法的收敛速度，加速迭代法在迭代过程中引入了一些技巧和方法。
在Matlab中，我们可以使用加速迭代法来加快问题的求解速度。
为了更好地理解加速迭代法的原理和应用，让我们从最简单的迭代法开始介绍。
假设我们要求解方程f(x)=0的根，其中f(x)是一个连续函数。
我们可以使用迭代法来逼近方程的根。
具体的迭代公式可以写为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)其中x_n是第n次迭代的逼近值，x_(n+1)是第n+1次迭代的逼近值，f'(x_n)是f(x)在x_n处的导数。
这个迭代公式的意义是，我们通过将函数f(x)在当前迭代点x_n的切线与x轴的交点作为下一次迭代点x_(n+1)，来逐渐逼近方程的根。
但是，这个简单的迭代法可能会收敛得很慢。
为了加快迭代的速度，我们可以使用加速迭代法。
这种方法通过在迭代公式中引入修正项，来提高收敛速度。
其中一种常用的加速迭代法是牛顿迭代法。
牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n) - f''(x_n)/2f'(x_n)^2在这个迭代公式中，我们引入了二阶导数f''(x_n)的影响，通过修正项来降低迭代过程中的误差。
在Matlab中，我们可以使用牛顿迭代法来求解方程的根。
具体的实现方法如下：1. 首先，我们需要定义连续函数f(x)以及它的一阶和二阶导数。
在Matlab 中，我们可以使用函数句柄来表示这些函数。
2. 其次，我们需要定义初始的逼近值x0。
3. 然后，我们可以使用一个循环来迭代计算逼近值。
在每次迭代中，我们使用牛顿迭代法的公式更新逼近值。
第四章 迭代法4.1 2迭代过程的收敛性 迭代加速
(x*) = x*
简证： f(a) = a - (a) 0 , f(b) = b - (b) 0 x* = (x*) y* = (y*)
x * y * ( x*) ( y*) | '( ) | x * y * L x * y * 矛盾！
收敛性分析
xk 1 '( xk ) xk x* 1 '( xk )
设： '( ) '( xk )
( k ) '( k ) x k x x k 1 x 1 '( k ) x
x 缺点：每次迭代需计算 '( k )
如何避免计算导数？
( x*) x*, '( x*) ''( x*) ( p 1) ( x*) 0, ( p ) ( x*) 0
ek 1 1 ( p) lim p ( x*) k e p! k 证明：充分性. 根据泰勒展开有 ( p ) ( k ) xk 1 ( xk ) ( x*) '( x*)( xk x*) ... ( xk x*) p
后验估计: 先验估计:
1 | xk x* | | xk 1 xk | 1 L Lk | xk x* | | x1 x0 | 1 L
可用| x k+1-xk | 来 控制收敛精 度, L 越小收敛越快.
证: (a) 由压缩映像定理可知，不动点 x* 存在且唯一。
| xk x* | ( xk 1 ) ( x*) | '( ) | | xk 1 x* | L | xk 1 x* |
1 2.375 3 1904
数值分析迭代加速牛顿法及弦截法
以上两式相除得
xk1 xk1
C C
xk xk
C C
2 .
据此反复递推有
xk xk
C C
x0 x0
2k
C C
.
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(4.6)
记
q x0 C x0 C
整理(4.6)式，得
q2k xk C 2 C 1 q2k .
对任意初值x0>0，总有|q|<1，故由上式推知，当 k→∞时xk C ，即迭代过程恒收敛.
值x0, x1△，那么当邻域△充分小时，弦截法(5.2)将 按阶
p 1 5 1.618. 2
收敛到x*. 这里p是方程λ2-λ-1=0的正根. 定理证明可见P116.
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因为(5.2)式用到前两点xk-1和xk的值，故此方法又 称为双点割线法.
如果把(5.2)式中的xk-1改为x0，即迭代公式为
比较困难，为此可以利用已求函数值 f(xk),f(xk-1),来
回避导数值 f(xk)的计算. 这类方法是建立在插值原理
基础上的，下面介绍弦截法与抛物线法.
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3.5.1 弦截(割线)法
设 xk, xk-1是 f(x)=0的近似根，我们利用 f(xk), f(xk-1) 构造一次插值多项式 p1(x)，并用 p1(x)=0 的根作为方程 f(x)=0 的新的近似根 xk+1，由于
x*
x
(4.2)的计算结果.
y=f(x)
xk+2xk+1xk
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牛顿迭代法的收敛性
牛顿迭代法的迭代函数为
(x) x f (x)
f ( x)
设x*是 f(x) 的一个单根，即 f(x*)=0，f(x*)≠0, 有
数值计算中的迭代算法与加速技术研究
数值计算中的迭代算法与加速技术研究数值计算是数学的一个分支，涉及对数学问题的近似求解。
迭代算法是数值计算的一种基本方法，它通过代数运算的重复迭代来逐步逼近某种目标值。
本文将探讨数值计算中的迭代算法与加速技术所涉及的基本原理和算法，并介绍一些常见的数值计算问题和对应的解决方法。
一、迭代算法的基本原理迭代算法是数值计算中广泛使用的一种方法，它通过不断迭代、逐步逼近目标值的方式来解决数值计算问题。
在数值计算过程中，我们通常需要求解某个方程的解（或零点）、最小值或最大值等等问题，这些问题都可以通过迭代算法来解决。
迭代算法的基本原理是：从一个初值开始，利用某种函数关系式进行计算并更新当前值，直到满足一个预设的终止条件或达到一定的迭代次数为止。
迭代算法一般都是从一个初始值开始逐步逼近目标值，因此其结果不一定完全精确，但可以通过提高迭代次数和优化算法以达到更高的精度。
二、常见的迭代算法和加速技术1.二分法：二分法是一种简单而有效的迭代算法，用于求解方程的解或零点。
其基本思想是：根据中间值的大小关系和目标函数在该点的取值关系来缩小解集合的范围。
二分法每次将当前解集合划分为两个子集合，然后选择包含解的子集继续迭代，直到满足预设终止条件或达到一定的迭代次数为止。
2.牛顿法：牛顿法是一种求解非线性方程、最优化问题和函数拟合问题的经典迭代算法。
其基本思想是：通过对目标函数进行泰勒展开，在当前迭代点附近进行一次近似的线性求解，然后使用求解结果来更新当前迭代点，直到满足预设收敛条件或达到迭代次数为止。
3.雅可比迭代法：雅可比迭代法是线性代数中经典的迭代算法，用于求解线性方程组的解。
其基本思想是：将线性方程组的解集合分解为对角线部分和非对角线部分，然后对非对角线部分进行更新，直至满足预设终止条件或达到一定的迭代次数为止。
4.共轭梯度法：共轭梯度法是求解对称正定线性方程组的迭代算法，相比于一般的迭代算法具有更快的收敛速度。
其基本思想是：将解空间分解为不同的共轭方向，在每个方向上的更新都是独立进行的，因此可以同时处理多个方向的更新，从而提高算法的效率。
方程的加速迭代法
方程的加速迭代法2021-2021（1）专业课程实践论文题目：方程的加速迭代方法一、算法理论Aitken加速迭代算法基本原理：对于收敛的迭代过程，只要迭代足够多次，就可以使结果达到任意的精度。
但有时迭代过程收敛缓慢，从而使计算量变得很大，因此，迭代过程的加速是个重要的过程。
设x0是跟x*的某个预测值，只迭代公式校正一次x1?f(x0),而由微分中值定理有：x1?x*?f?。
(t)?(x0?x*)（其中t介于x*与x0之间）假定f'?x?改变不大，近似的取某个近似值L，则由x1?x*?L?(x0?x*)得到x*?L?x0x1?1?L1?L,可以期望按上式右端求得x2?x?LL??x1?x0?x1是比x1更好的近似值，将每得到一次改进?0?x1?1?L1?L1?L?和xk分别表示第K步的校正值和改进值，则加速迭代计值算做一步，并用xk算方案可表述如下：??1?f?xk? 校正：xk??1?改进：xk?1?xk??1?xk?L??xk1?L然而上述加速公式有个缺点，由于其中含有倒数f??x?的有关信息L，实际使用不便。
仍设已知x*的某个猜测值为x0，将校正值x1?f?x0?,再校正一次，又得x2?f?x1?。
由于x2?x*?L??x1?x*?将它与式x*?L?x0x1联立，消去未知L，然后有 ?1?L1?Lx*?x2??x2?x1?2x0?2?x1?x2这样构造出的改进公式确定不再含有关于导数的信息，但是它需要用2次迭代值进行加工，如果将得到一次改进值作为一步，则计算公式如下：??1?f?xk? 校正：xk???1?f?xk??1?改进：xk?1?xk???1?再校正：xk?xk???1?xk??1?2???1?2?xk??1?xkxk上述处理过程称为Aitken方法。
如下用2个题说明：例题（1）用Aitken加速迭代算法通过编程计算x3?x?1?0在[1,2]内的近似根，要求精度达到0.0001。
迭代法的加速1
迭代法的加速1 问题的提出在实际问题中，常常遇到非线性方程的求解问题，我们可以采用不动点迭代法求解非线性方程的根。
迭代法（iterative method ）就是用某些收敛于所给问题的精确解的极限过程来采用逐步逼近的一种计算方法，其思想是构造不动点方程，然后得到迭代公式，反复用此公式算出近似值，使之逐步精确化。
使用迭代法的困难所在是计算量难以估计。
有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速度缓慢，使计算量变的很大而失去使用价值。
因此，迭代过程的加速具有重要意义。
迭代法加速，就是要寻找一种改进迭代法直接产生的序列的收敛速度的方法，使原来不收敛的序列变成收敛，使原来收敛较慢的序列变得收敛快。
2 迭代法的加速（Steffensen 加速迭代）2.1 将AitKen 加速技巧与不动点迭代相结合设是)*(*x x ϕ=是)(x ϕ的不动点，记，k k x x e -=*，利用中值定理有),('*)(*)(**11k kk k k k k x x x x x x x x e e ξϕϕϕ=--=--=++ k ξ在k x 与*x 之间。
通常)('k ξϕ依赖于k ，若)('x ϕ变化不大，设)('k ξϕC ≈,于是有 )*(*1k k x x C x x -≈-+)*(*12++-≈-k k x x C x x从上两式消去C ，则得kk k k x x x x x x x x --≈--+++****112 解得k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x +---≈+--=+++++++122112212)(2* 若记...,1,0,)(12211=+---=++++-k x x x x x x x k k k k k k k (2.3.1) 用序列}{k x -作为不动点*x 的新近似，一般说，它比不动点迭代法收敛更快。
其收敛性：0**lim =---x x x x k 推出其序列超收敛性；实际上迭代法(2.3.1)可改为....,1,0,2)(),(),(21=+---===+k x y z x y x x y z x y kk k k k k k k k k k ϕϕ(2.3.2) 称为Steffensen 迭代法，它是将原不动点迭代计算两次合并成一步得到，可改为另一种不动点迭代法),(1k k x x ψ=+(2.3.3)其中xx x x x x x +---=)(2))((])([)(2ϕϕϕϕψ(2.3.4) Steffensen 迭代具有比不动点迭代更高的收敛速度，若原迭代p 阶收敛的，则Steffensen 加速后p+1阶收敛。
5_6+迭代法的收敛阶和AitKen加速方法1
定义：对于方程 x = g ( x ) ，若迭代过程 xk +1 = g ( xk )（初 值为 x0 ）收敛于 x* ，且
| x* − xk +1 | =c≠0 lim * k →∞ | x − x | p k
其中 p ≥ 1 ，则称迭代过程 p 阶收敛。当 p = 1 （这时 要求 0 < c < 1 ）时称为线性收敛；当 p ≥ 1 时称为超线 。 性收敛；当 p = 2 时称为二次收敛（平方收敛）
( xk +1 − xk +1 ) 2 ⇒ x * ≈ xk − xk + 2 − 2 xk +1 + xk ˆ ⇒ xk ( xk +1 − xk +1 ) 2 xk − xk + 2 − 2 xk +1 + xk
xk 收敛于 x* 的速度要快。 一般说来比
2． AitKen 加速方法
⎧迭代: yk = g ( xk ), zk = g ( xk ) ⎪ ( y k − xk ) 2 ⎨ ⎪加速: xk +1 = xk − z − 2 y + x k k k ⎩
k = 0,1, 2,
注： 1） p 是衡量迭代过程收敛快慢的指标， p 越大， 收敛越快， p 越小，收敛越慢；
g ′( x* ) ≠ 0 时，为线性收敛； 2）一般迭代法，当
3）牛顿法在单根附近为二次收敛。
二、 AitKen 加速方法 1． 推导 设
x* − xk +1 = c (0 < c < 1) lim xk = x* , 且 lim * k →∞ k →∞ x − x k x* − xk +1 ⇒ * ≈c x −ห้องสมุดไป่ตู้xk x* − xk + 2 x* − xk +1 ⇒ * ≈ * x − xk +1 x − xk
几何迭代法的加速
几何迭代法的加速一、引言介绍几何迭代法的基本思想和发展历程，阐述几何迭代法加速的重要性。
二、几何迭代法基础知识阐述几何迭代法的基本流程和算法原理，讲解几何迭代法的收敛性条件及其证明。
三、几何迭代法的加速方法介绍几何迭代法的常用加速方法，包括优化初始估计、迭代步长控制、全局算法和多尺度算法等。
四、实验结果和分析通过实验，验证几何迭代法加速方法的有效性，并分析各加速方法的优缺点及适用性。
五、结论与展望总结几何迭代法加速的研究现状和成果，并展望未来的研究方向和发展趋势。
几何迭代法是一种求解非线性方程组的迭代方法，其基本思想是利用仿射变换将原始问题转化为一个线性问题，然后通过线性求解的方式来逼近非线性的解。
几何迭代法的应用领域非常广泛，涉及到计算机视觉、计算机图形学、计算机辅助设计等许多领域。
几何迭代法最初由Levenberg和Marquardt分别在1963年和1963年提出，他们的方法都基于Gauss-Newton方法，但有些区别。
在1975年，Ikelheimer和Kaufman首先提出了仿射不变迭代法，他们的方法利用仿射变换来消除非线性性，并通过线性化的形式逼近非线性解。
此后，大量的研究工作对几何迭代法进行了深入探讨，更加完善和优化了这种迭代方法。
几何迭代法的基本思想是将非线性问题转化为等价的线性问题，然后通过求解线性问题来逼近非线性解。
在几何迭代法中，我们需要寻找一个映射关系，将非线性的问题映射到线性的问题中。
一般情况下，这个映射关系是基于仿射变换来实现的。
在迭代的过程中，我们会利用已知点的位置和求解出来的仿射变换来逼近未知点的位置。
当仿射变换逼近到一定的精度时，我们就可以认为已经得到了一个近似的解。
几何迭代法的算法步骤一般如下：（1）选取一个初始值（通常是一个较好的估计初值）；（2）进行仿射变换，将非线性问题转化为相应的线性问题；（3）求解线性系统，得到仿射变换的系数；（4）利用求解出来的仿射变换来逼近未知点的位置，更新估计的初值；（5）判断收敛条件是否达成，如果达成则得到了一个近似解；否则继续迭代。
解非线性方程牛顿迭代法的一种新的加速技巧
解非线性方程牛顿迭代法的一种新的加速技巧
网络上最近火起来的新的加速技巧——牛顿迭代法，在非线性方程求解问题上已经得到了广泛的应用以及发展。
它能够以极快的速度解决非线性方程，从而节省宝贵的人力物力。
牛顿迭代法采用了一种独特的“逐步搜索技术”，可以在较小的时间内找到一个解决复杂非线性方程的近似最优解。
牛顿迭代法利用历史数据和技术运算，估算方程组在某个参数位置的近似梯度幅值，并预计方程组在这个参数位置，从而推导出新的参数的位置。
然而，牛顿迭代法最大的缺点之一在于：在求解过程中，数值计算费时费力，以至于某些历史数据无法获得或取得时间过长。
所以，为了进一步提高牛顿迭代法的运算速度，一种新的加速技巧突然焕发出了新的活力。
这种新的加速技巧就是“夹持函数法”，用一个正则化的夹持函数和具有更强的收敛能力的调节因子，来保证牛顿迭代法的精确性和收敛速度。
通过该方法，牛顿迭代法的收敛性和收敛速度有了明显的提高，有助于更快得出满意的结果。
归纳起来，牛顿迭代法以其高效的计算速度来解决复杂非线性方程，是一个很有前景的解决技术。
而新的加速技巧——“夹持函数法”，进一步提高了牛顿迭代法的收敛性和收敛速率。
在未来，希望不断地探索出新的求解方法，努力让牛顿迭代法变得更加强大，为更多复杂网络给出有效解决方案。
子空间迭代法的两种Rayleigh商加速技术
南京航空航天大学硕士学位论文摘要本文研究求解大型对称矩阵特征值问题的子空间迭代法。
为了加速子空间迭代法的收敛性，我们应用Ｒａｙｌｅｉｇｈ商最小化技术得到两种新的改进算法。
第一种改进算法是用Ｒａｙｌｅｉｇｈ商加速子空间迭代法。
它用每次迭代得到的Ｒｉｔｚ矩阵和将Ｒｉｔｚ反迭代得到的矩阵，二者构造一个带参数矩阵的线性组合，适当选取参数矩阵，使组合后的矩阵的列向量的Ｒａｙｌｅｉｇｈ商达到最小，从而更接近最小特征向量。
第二个改进算法是用带位移的Ｒａｙｌｅｉｇｈ商加速子空间迭代法。
与第一个改进算法类似，都是构造了一个带参数矩阵的线性组合，不过它选用的矩阵不同，是用Ｒｉｔｚ矩阵和将Ｒｉｔｚ矩阵带位移反迭代后得到的矩阵构造的，同样通过选取适当的参数矩阵，使其Ｒａｙｌｅｉｇｈ商达到最小，从而加速子空ｆＤ】的收敛性。
本文分析了这两个改进算法中参数矩阵的选取及其性质，数值稳定性和算法的收敛性，并给出了数值实验，将新方法和原始子空间方法进行比较，数值实验表明新改进的两个算法比子空间方法更优越。
关键词：对称正定矩阵，特征值，特征向量，子空间迭代法，Ｒａｙｌｅｉｇｈ商反迭代，带位移的反迭代。
子空间迭代的两种Ｒａｙｌｅｉｇｈ商加速技术ＡＢＳＴＲＡＣＴＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｓｕｂｓｐａｃｅｉｔｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｌａｒｇｅｓｙｍｍｅｔｒｉｃｅｉｇｅｎｐｒｏｂｌｅｍｓ，Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏａｃｃｅｌｅｒａｔｅｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｒａｔｅ，ｗｅｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｍｅｔｈｏｄｗｉｔｈａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ａｎｄｐｒｅｓｅｎｔｔｗｏｎｅｗａｌｇｏｒｉｔｈｍｓＩｎｍｙｔｈｅｆｉｒｓｔｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＡｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｌａｔｅｓｔｍａｔｒｉｘｒｅｃｅｉｖｅｄｂｙｉｎｖｅｒｓｅｉｔｅｒａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅＲｉｔｚｍａｔｒｉｘｉｓｆｏｒｍｅｄｉｎｖｏｌｖｉｎｇａｎｕｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｐａｒａｍｅｔｅｒｍａｔｒｉｘ，ｗｈｉｃｈｉｓｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｂｙｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇｔｈｅＲａｙｌｅｉｇｈｑｕｏｔｉｅｎｔ，ｔｈｅｎｉｔｗｉｌｌｎｅａｒｔｈｅｍｉｎｉｍａｌｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒ．Ｉｎｍｙｔｈｅｓｅｃｏｎｄｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍ，Ｗｅｃｒｅａｔｅａｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎａｓｔｈｅｓａｍｅａｓｔｈｅｆｉｒｓｔｏｎｅ，ｂｕｔｉｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｎｅｔｈｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｉｎｖｏｌｖｉｎｇａｎｕｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｐａｒａｍｅｔｅｒｍａｔｒｉｘ，ｗｈｉｃｈｉｓｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｂｙｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇｔｈｅＲａｙｌｅｉｇｈｑｕｏｔｉｅｎｔｉｓｆｏｒｍｅｄｂｙｔｈｅｌａｔｅｓｔｍａｔｒｉｘｒｅｃｅｉｖｅｄｂｙａｓｈｉｆｔｅｄｉｎｖｅｒｓｅｉｔｅｒａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅＲｉｔｚｍａｔｒｉｘ，ｔｈｅｎａｃｃｅｌｅｒａｔｅｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｒａｔｅｏｆｓｕｂｓｐａｃｅ．Ｉｎｔｈｅｐａｐｅｒ．Ｗｅａｎａｌｙｓｉｓｔｈｅｃｈｏｏｓｉｎｇｍｅｔｈｏｄｏｆｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｍａｔｒｉｘａｎｄｉｔｓｓｏｍｅｐｒｏｐｅｒｔｙ，ｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ．Ｏｕｒｎｕｍｅｒｉｃａｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｔｗｏｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｓａｒｅｓｕｐｅｒｉｏｒｔｏｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｓｕｂｓｐａｃｅｉｔｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｙｍｍｅｔｒｉｃｍａｔｉｘ，ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ，ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒ，ｓｕｂｓｐａｃｅｉｍｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ’Ｒａｙｌｅｉｇｈｑｕｏｔｉｅｎｔ，ｉｎｖｅｒｓｅｉｔｅｒａｔｉｏｎ，ｔｈｅｓｈｉｆｔｅｄｉｎｖｅｒｓｅｉｔｅｒａｔｉｏｎ。
加速迭代法的原理
加速迭代法的原理加速迭代法（Accelerated Iterative Methods）是一种用于解决线性方程组的迭代算法，在大规模问题和稀疏矩阵中具有优越的性能。
加速迭代法最早由Hestenes和Stiefel于1952年提出，随后经过多年的发展和改进，已成为求解线性方程组的重要工具。
加速迭代法的原理是结合了正交投影和加速策略，将向量序列进行迭代逼近，以达到求解线性方程组的目的。
该方法的核心思想是基于Krylov子空间的生成与迭代求解，通过构造与当前解向量正交的置换矩阵来加速求解过程，从而有效地提高迭代速度和收敛性。
具体来说，加速迭代法通常包含以下几个步骤：1. 初始猜测：选择一个初始解向量x0。
2. 生成Krylov子空间：假设线性方程组的系数矩阵为A，选择一个非零向量b，通过A的幂次迭代生成一个Krylov子空间。
Krylov子空间的定义如下：K(A, b, m) = span{b, Ab, A^2b, ..., A^(m-1)b}其中m为子空间的维数。
3. 加速策略：选择一个加速策略，一般情况下有以下几种常用的加速方法。
a. Arnoldi过程：Arnoldi过程是一种迭代方法，用于计算A在Krylov子空间中的正交基。
具体做法是通过Gram-Schmidt正交化方法和单位化处理，将向量序列正交化，并构造Hesseberg矩阵H。
b. 伪Hesseberg矩阵：伪Hesseberg矩阵是一种用来加速迭代过程的技术。
通过正向和反向Arnoldi过程生成伪Hesseberg矩阵，并将其与原始Hesseberg矩阵H相结合，构造一个扩展的Hesseberg矩阵。
c. Lanczos迭代：Lanczos迭代是一种对称矩阵的加速方法，通过正交投影技术生成一个对称三对角矩阵，并利用该矩阵进行迭代计算。
4. 解线性方程组：将加速策略中得到的扩展Hesseberg矩阵或对称三对角矩阵与Krylov子空间对应的向量进行迭代计算，得到一个近似解向量。
迭代的加速收敛方法
§
k 1,2 ,3,
使用两个迭代值的组合方法
对于迭代法 x ( x), 两边同减 x得
1 x ( x) x
1 当 0和 1时，有 x= [ x x] 1- 1 相应的迭代公式为 xk 1 [ xk xk ] 1 k 0,1,
从以上3种结果可见,迭代法加速技术效果比较明显
(3)如果将初值改为x0 1.5
3 xk 1 3
迭代格式 xk 1
华长生制作
显然不收敛
9
对迭代格式进行Altken加速 迭代4次,得到满足精度的解
x0 = 1.5 x1 = 1.5350706 x2 = 1.5321124 x3 = 1.5320889 x4 = 1.5320889
x 1.532089
可见加速技术可能将不收敛的迭代法加速为收敛
华长生制作 10
定理 设不动点迭代的迭代函数 x 在其 x 不动点 的某邻域内具有二阶连续导 x A 1且A 0, 则斯蒂芬森的迭代 数， 技术是二阶收敛的，且极限仍为 x .
华长生制作
华长生制作
4
使用三个迭代值的组合方法
假设方程x ( x)的精确解为 x*, 初值为x0
x1 ( x0 ) x2 ( x1 )
x* x2 x * x2 x2 ( x*) ( x1 )
x2 ( )( x * x1 )
x2
中值定理
[ ( xk ) xk ]2 xk 1 xk ( ( xk )) 2 ( xk ) xk
或写成Steffensen迭代法
yk xk , zk yk , 2 yk xk , k 0,1, 2, xk 1 xk zk 2 yk xk
迭代法的加速
迭代法的加速第一篇：迭代法的加速6.5迭代法的加速一、教学目标及基本要求通过对本节的学习，使学生掌握方程求根迭代法的加速。
二、教学内容及学时分配本章主要介绍线性方程求根的迭代法的加速方法。
要求1．了解数值分析的研究对象、掌握误差及有关概念。
2．正确理解使用数值方法求方程的解的基本思想、数学原理、算法设计。
3．了解插值是数值逼近的重要方法之一，正确理解每一种算法的基本思想、计算公式、算法设计、程序框图设计和源程序。
4．掌握数值积分的数学原理和程序设计方法。
5．能够使用数值方法解决一阶常微分方程的初值问题。
6．理解和掌握使用数值方法对线性方程组求解的算法设计。
三、教学重点难点1．教学重点：非线性方程迭代收敛性与迭代加速、牛顿法。
2.教学难点：迭代的收敛性。
四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。
适当提问，加深学生对概念的理解，迭代加速的算法实现。
五、教案正文6.1 迭代公式的加工迭代过程收敛缓慢，计算量将很大，需要进行加速。
设xk是根x*的某个近似值，用迭代公式校正一次得xk+1=ϕ(xk)，假设ϕ'(x)在所考察得范围内变化不大，其估计值为L，则有：x*-xk+1≈L(x*-xk)⇒x*≈1Lxk+1-xk 1-L1-L1L=xk+1-xk，是比xk+1更好的近似根。
这样加工后1-L1-L有迭代公式xk+1的计算过程为：迭代xk+1=ϕ(xk)1Lxk+1-xk 1-L1-L1[ϕ(xk)-Lxk] 合并的xk+1=1-L改进xk+1=例3 P1336.2 埃特金算法上述加速方法含有导数ϕ'(x)，不便于计算。
设将迭代值xk+1=ϕ(xk)再迭代一次，又得~xk+1=ϕxk+1，由于x*-~xk+1≈L(x*-xk+1)又x*-xk+1≈L(x*-xk)，消去L得()x*-xk+1x*-xk(~xk+1-xk+1)2*~≈*⇒x≈xk+1-~*~x-xk+1x-xk+1xk+1-2xk+1+xk计算过程如下：迭代xk+1=ϕ(xk)迭代~xk+1=ϕxk+1 改进xk+1()(~xk+1-xk+1)2~ =xk+1-~xk+1-2xk+1+xk小结：这节课我们主要介绍了线性方程组迭代法加速的基本思想及其常用的几种迭代方法。
3.4迭代法加速
yk ( xk ), zk ( yk ),
Steffensen 迭代法
( z k yk ) 2 ( ( ( xk )) ( xk ))2 ( ( xk )) 再加速 xk 1 zk zk 2 yk xk ( ( xk )) 2 ( xk ) xk
xk 1 xk xk xk 1
( xk )2 ( xk 1 )(xk 1 )
xk 2xk 2 xk 1xk 1 ( xk 1 xk 1 ) 2
2
xk 1 xk 1 xk ( xk 1 xk ) 2 xk 1 xk 1 2 xk xk 1 xk 1 2 xk xk 1
( D L) x ( k 1) [(1 ) D U ] x ( k ) b
x(k 1) (D L)1[(1 ) D U ]x(k ) (D L)1b
令 则
L ( D L)1[(1 ) D U ], f ( D L)1 b x ( k 1) L x ( k ) f
( xk 1 xk ) 2 xk xk 1 xk 1 2 xk xk 1
x0 ,
x1 , x2 , x3 , , xk 1 , xk , xk 1 , x1 ,
x2 , x2 ,
, ,
xk , xk ,
2.对于有显示迭代格式的数列 令
xk 1 ( xk )
则SOR迭代法收敛。 使SOR法收敛最快的松弛因子称为最优松弛因子
1、使得 ( L ) 最小。 2、实际计算中，最优松弛因子较难事先确定 3、一般可用试算法取近似最优值。
3.4.2 Aitken加速 设数列{xk}为线性收敛，即 lim
几何迭代法的加速
关键词 ： 几何迭代法 ; L-BFGS 算法 ; 插值 ; 逼近 中图法分类号 ： TP391.41
Accelerated Geometric Iteration Method
Liu Chao1), Xin Shiqing1), Shu Zhenyu2), Chen Shuangmin1)*, Zhang Rong1), and Zhao Jieyu1)
Abstract: Considering that the conventional geometric iteration method (GIM) has only 1-order convergence, this paper proposes an energy function with second-order smoothness that characterizes the difference between the up-to-date curve and the given data points. In numerical implementation, we initialize the spline curve according to the initial control points and the associated basis functions, then compute the difference function as well as the gradients with regard to the moveable control points, and finally use the L-BFGS technique to find the optimal interpolation/approximation curve. Experimental results show that our accelerated algorithm has a super-linear rate of convergence. With the same accuracy requirement, the improved GIM outperforms the original version by tens to hundreds of times in terms of efficiency. It can be used to both the interpolation problem and the approximation problem, and even to the case where the input data points have variable parameters. Key words: geometric iteration method; L-BFGS algorithm; interpolation; approximation 几何迭代法 (geometric iteration method, GIM) 的思想最早可追溯到我国 CAGD 领域的前辈齐东 旭教授 [1]于 1975 年提出的针对均匀三次 B 样条曲 线的盈亏修正算法 . 给定一个数据点列 , 其中每个
迭代法的加速
xk1 x xk2 x
xk x xk1 x
所以
x
xk xk1 ( xk2 )2 xk2 2xk1 k1 xk )2 xk2 2xk1 xk
➢ Aitken 加速：
y y = g(x)
y=x
一般地，有：
xˆ K
迭代法的加速73迭代法的加速二aitken加速法一待定参数法acceleratingconvergencekgkx求k使得一待定参数法如果用进行迭代则在1上可取任意例如k05则对应即产生收敛序假设在所考虑范围内改变不大其估计值为l则有aitken加速
7.3 迭代法的加速
/* accelerating convergence */
xk1 g( xk )
假设 在所考虑范围内改变不大，其估计值为L，则有
g( x)
xk1 x g(xk ) g(x )
xk1 x g( xk ) g( x ) L( xk x )
x 将 再校正一次，
k 1
相
xk2 g( xk1)
除
xk2 x L( xk1 x )
xk
( yk xk )2 zk 2 yk xk
具体的计算公式为：
迭代
yk g(xk )
迭代
zk g( yk )
改进
xk 1
xk
( zk
yk xk )2 2 yk xk
这就是Steffensen加速法
➢ Steffensen 加速：
x0, x1 g( x0 ), x2 g(x1), xˆ0, x1 g(xˆ0 ), x2 g(x1), xˆˆ0, ... ...
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| ( x ) | | 1 K Kg ( x ) | 1
3 f ( x ) x 3 x 1 0 在 (1, 2) 的实根。 例：求
如果用 中有
1 3 x ( x 1) g ( x )进行迭代，则在(1, 3
2)
| g ( x ) | | x 2 | 1
0
注
用Steffensen方法加速有个有趣的 现象：能使发散的迭代公式收敛！
下面用图形说明这一作用
y
y=x
~ g( x ) x 1 0 ~) x1 g ( x 1
2 ~ ( x1 x0 ) x1 x0 ~ x x1 2 x 1 0
y = g (x )
o
~ x* x x x 1 0 1
0.5，则对应
3 3 1 3 x x ( x 1) 2 6
即产生收敛序
列。
二、Aitken加速法
设 xk 是根 x* 的某个预测值，用迭代公
式校正一次得： 假设 g ( x ) 在所考虑范围内改变不大，
其估计值为L，则有
xk 1 g( xk )
xk 1 x g( xk ) g( x )
再校正一次，
相 除
zk x
L( yk x )
yk x xk x zk x yk x
所以
2
xk yk ( z k ) ( yk xk ) x xk z k 2 yk xk z k 2 yk xk
2
具体的计算公式为：
迭代
迭代 改进
yk g( xk )
z k g( yk )
xk 1 ( yk xk ) xk z k 2 yk xk
2
这就是Steffensen加速法
Steffensen 加速：
x0 , x1 g( x0 ), x2 g( x1 ), ˆ 0 , x1 g( x ˆ 0 ), x2 g( x1 ), x ˆ ˆ , ... ... x
xk xk 1 ( xk 2 ) ( xk 1 xk ) 所以 x xk xk 2 2 xk 1 xk xk 2 2 xk 1 xk
2 2
Aitken 加速：
y y = g(x)
一般地，有：
ˆK x ( x K 1 x K )2 xK x K 2 x K 1 x K 2 x0 , x1 g( x0 ), x 2 g( x1 ),
K 3 现令 ( x ) (1 K ) x Kg ( x ) (1 K ) x ( x 1) 3
希望 | ( x ) | | 1 K Kx | 1 ，即 2 在 (1, 2) 上可取任意 K 0 ，例如K =
2
2 K 0 2 x 1
xk 1 x g( xk ) g( x ) L( x k x )
将
xk 1再校正一次，
xk 2 g( xk 1 )
相 除
xk 2 x L( xk 1 x )
xk 1 x xk x xk 2 x xk 1 x
设 xk 是根 x* 的某个预测值，用迭代公
式校正一次得：
yk g( xk )
假设 g ( x ) 在所考虑范围内改变不大， 其估计值为L，则有
yk x g( xk ) g( x )
yk x g( xk ) g( x ) L( x k x )
将
yk
z k g( yk )
x1
x
y=x
P(x1, x2)
ˆ 0 , x 3 g( x 2 ), x ˆ 1 , x4 g( x 3 ), x
P(x0, x1)
ˆ K 比x K 收敛 x
... ...
x1
x*
x
2
ˆ x
( x1 x0 ) 2 ˆ x0 x x0 2 x1 x 2
x0
x
得略快。
三、Steffensen加速法
7.3 迭代法的加速
/* accelerating convergence */
一、待定参数法 二、Aitken加速法
三、Steffense’(x) | 1，则将 x = g(x) 等价地改造为
x x Kx Kg ( x ) (1 K ) x Kg ( x ) ( x )