高考试题分类解析(圆锥曲线方程

设 A x1, y1 , B x2, y2 ，由题意建立方程组
消去 y ，得 1 k 2 x2 2kx 2 0 又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B ，有
y kx 1 x2 y2 1
3 / 17
1 k2 0
2
2k
8 1 k2
0
2k x1 x2 1 k 2 0
2 x1x2 1 k2 0
又∵ AB 1 k 2 x1 x2
解析： 本小题主要考察双曲线的定义和性质、 直线与双曲线的关系、 点到直线的距离等知识
及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分
12 分。
解：由双曲线的定义可知，曲线 E 是以 F1 2,0 , F2 2,0 为焦点的双曲线的左支，
且 c 2, a 1 ，易知 b 1 故曲线 E 的方程为 x2 y2 1 x 0
4
6
5
故由前已证，知 S1＜ S2，且 Sn＜ Sn 1( n 3).
32．（ 2006 年上海春卷） 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验
. 设计方案如图：
1 / 17
航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为
x2 y 2 1 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆 100 25
变为抛物线）后返回的轨迹是以
焦点 .
（Ⅰ）试证： bn≤ 3 2
(n≥ 1);
（Ⅱ）取 bn＝ 2n 3 ，并用 SA 表示 PnFnGn 的面积，试 n2
证： S1＜ S1 且 Sn＜Sn+3 (n≥ 3). 图 (２２ )图
证：（ 1）由题设及椭圆的几何性质有
2d n | PnFn | | PnGn | 2, 故 d n 1.
2a1 | P' F1 '| | P' F2 '|
112 22
12 2 2 4 5 ，
∴ a1 2 5 ，
b12
c12
a
2 1
36 20 16 ，故所求双曲线的标准方程为
y2 x2
-
1。
20 16
点评： 本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、 标准方程、 几何性质等基础知识和基本运算
能力
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37. （ 2006 年湖北卷）设 A 、 B 分别为椭圆 x2 y2 1 a ,b 0 的左、右顶点，椭圆长半 a2 b2
轨指令？
解：（ 1）设曲线方程为 y
ax 2
64 ，
7
由题意可知， 0
a 64
64 .
7
1
a
. …… 4 分
7
曲线方程为 y
1 x2
64 . …… 6 分
7
7
（ 2）设变轨点为 C( x, y ) ，根据题意可知
x2 y2 1,
100 25
y
1 x2
64 ,
7
7
(1) 得 4 y2 7 y 36 0 ，
设 tn 1 bn2 , 则右准线方程为
1
ln x
.
ex
因此，由题意 d n 应满足
1
1
1 dn
1.
ex
ex
1 即 ex 1 1，解之得：1
2 0＜ en＜1
en＜1，
即 1 en＜1 , 2
从而对任意 n 1,bn
3.
2
（Ⅱ）设点 Pn的坐标为（ xn, fn）, 则出 d n
1及椭圆方程易知
xn 1 1, en
○1
4
又点 M 异于顶点 A 、 B，∴－ 2<x0< 2，由 P、 A 、 M 三点共线可以得
P（ 4， 6 y0 ）. 从而 BM ＝（ x0－ 2， y0）， BP ＝（ 2， 6 y0 ） .
x0 2
x0 2
∴ BM · BP ＝2x0－4＋ 6y0 2 ＝ 2 （ x02－ 4＋ 3y02） .
解得 2 k 1
1 k2
2
x1 x2
4x1x2
1 k2
2
2k
2
1 k2
4 1 k2
1 k2 2 k2
2
1 k2 2
依题意得
2
1 k2 2 k2 1 k2 2
63
整理后得 28k4 55k 2 25 0
∴ k2 5 或 k2 5 但 2 k 1 ∴ k
5
7
4
2
故直线 AB 的方程为
5 x y1 0
uuur u2uur uuur
令.
…… 14 分
33．（ 2006 年全国卷 II ）已知抛物线 x2＝ 4y 的焦点为 F， A、B 是抛物线上的两动点，且
→ AF
＝λ→FB （ λ＞ 0）．过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为
Ｍ．
（Ⅰ）证明
→ FM
→ ·AB
为定值；
（Ⅱ）设△ ABM 的面积为 S，写出 S＝ f(λ)的表达式，并求 S 的最小值．
x2 y2
+
1；
45 9
（II ）点 P（ 5， 2）、 F1 （－ 6， 0）、 F2 （ 6，0）关于直线 y＝ x 的对称点分别为：
P (2,5) 、 F1' （ 0，-6）、 F 2 ' （ 0， 6）
设所求双曲线的标准方程为
x2 y2 a12 - b12 1 (a1 0, b1 0) ，由题意知半焦距 c1 6 ，
将点 C 的坐标代入曲线 得 m 4 ，但当 m
E 的方程，得
80 m2
64 m2
1
4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴ m 4 ， C 点的坐标为
5, 2
5
C 到 AB 的距离为 2
5 21 1
2
3
5
2
1
2
∴ ABC 的面积 S 1 6 3 1 3
2
3
35．（ 2006 年全国卷 I ）在平面直角坐标系 xOy 中，有一个以 F1 0,
解： (Ⅰ )由已知条件，得 F(0， 1)， λ＞ 0．
Hale Waihona Puke Baidu
→→ 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)．由 AF ＝ λFB ，
即得
(－ x1， 1－ y)＝ λ(x2， y2－ 1)，
－x1＝ λx2 ①
1－y1＝ λ(y2－ 1) ②
2 / 17
将①式两边平方并把
y1＝
1 4
x12，
y2＝
轴的长等于焦距，且 x 4 为它的右准线 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设 P 为右准线上不同于点（ 4， 0）的任意一点，若直线 AP 、 BP 分别与椭圆相 交于异于 A 、 B 的点 M 、 N ，证明点 B 在以 MN 为直径的圆内 .
（此题不要求在答题卡上画图）
解析： 本小题主要考查直线、 圆和椭圆等平面解析几何的基础知识， 进行推理运算的能力和解决问题的能力。
2(
1 4x2
2－
14x12)＝
0
所以
→FM
→ ·AB
为定值，其值为
0．
…… 7 分
1 (Ⅱ )由 (Ⅰ )知在△ ABM 中， FM ⊥ AB，因而 S＝ 2|AB ||FM |．
|FM |＝
x1＋ (2
x2)2
＋
(－
2)
2＝
14x12＋ 14x22＋ 12x1x2＋ 4
＝ y1＋ y2＋ 12× (－ 4)＋ 4
uuuur OM
min
2 ）的最小值
4
tan2
59
g min
3 。
36．（ 2006 年江苏卷）已知三点 P（ 5，2）、 F1 （－ 6， 0）、 F 2 （ 6，0）。
（Ⅰ）求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点
P、 F1 、 F2 关于直线 y＝ x 的对称点分别为
1 4
x22
代入得
y1＝ λ2y2 ③
解②、③式得 y1＝λ， y2＝ 1λ，且有 x1x2 ＝－ λx22＝－ 4λy2＝－ 4，
抛物线方程为 y＝ 14x2，求导得 y′＝12x． 所以过抛物线上 A、 B 两点的切线方程分别是
1
1
y＝ 2x1 (x－ x1)＋ y1， y＝ 2x2(x－ x2)＋ y2，
y 轴为对称轴、
M
64 0,
为顶点的抛物线的实线部分，
7
降落点为 D( 8, 0 ) . 观测点 A( 4, 0)、 B( 6, 0) 同时跟踪航天器 .
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问： 当航天器在 x 轴上方时， 观测点 A、B 测 得离航天器的距离分别为多少时， 应向航天器发出变
P
、
F1'
、
F
' 2
，求以
F1'
、
F
' 2
为焦点
且过点 P 的双曲线的标准方程。
解：（ I ）由题意，可设所求椭圆的标准方程为
x2 y2 a 2 + b 2 1 (a b 0) ，其半焦距 c 6 。
2a | PF1 | | PF2 | 112 2 2 12 22 6 5 ， ∴ a 3 5 ，
b 2 a 2 c2 45 36 9 ，故所求椭圆的标准方程为
设 C xc , yc ，由已知 OA OB mOC ，得 x1, y1
x2 , y2
∴ mxc ,myc
x1 x2 , y1 y2 ， m 0
m
m
又 x1 x2
2k k2 1
4 5 ， y1 y2 k x1 x2
2k 2 2 k2 1 2
∴点 C
45 8 ,
mm
mxc , myc 2 k2 1 8
uuuur uuur
34．（ 2006 年四川卷） 已知两定点 F1 2,0 , F2 2,0 ，满足条件 PF2 PF1 2 的点 P
的轨迹是曲线 E ，直线 y kx 1 与曲线 E 交于 A, B 两点，如果 AB 6 3 ，且曲线 E 上 uuur uuur uuur
存在点 C ，使 OA OB mOC ，求 m 的值和 ABC 的面积 S
3 和 F2 0, 3 为焦
点、离心率为 3 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线
2
uuuur uuur
的切线与 x、y 轴的交点分别为 A、 B，且向量 OM OA
C，动点 P 在 C 上， C 在点 P 处
uuur OB 。求：
（Ⅰ）点 M的轨迹方程；
uuuur （Ⅱ） OM 的最小值。
4 / 17
解：（ I ）根据题意，椭圆半焦距长为
x2 圆的方程为
2
y 1
4。
c
3 ，半长轴长为 a
e
2 ，半短轴长 b
1，即椭
0 设点 P 坐标为（ cos ， 2sin ）（其中
2 ），则
y
x cos sin 1
切线 C 的方程为：
2
1
2
点 A 坐标为：（ cos ， 0），点 B 坐标为（ 0， sin ）
1
2
点 M 坐标为：（ cos ， sin ）
2
2
1
2
1
所以点 M 的轨迹方程为： x
y
（ x 0且 y 0）
f
（ II ）等价于求函数
2
2
1
2
g
cos
sin
2
1 cos
1 tan2
2
2
sin
0 （其中
4 1 cot 2
tan2
tan2 当
4 tan2 时等号成立，此时即 tan
2。
因此，点 M 坐标为（ 3 ， 6 ）时，所求最小值为
○2
x0 2 x0 2
将 ○1 代入 ○2 ，化简得 BM · BP ＝ 5 （ 2－ x0） .
2
∵ 2－ x0>0，∴ BM · BP >0，则∠ MBP 为锐角，从而∠ MBN 为钝角，
故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 2：由（Ⅰ）得 A （－ 2， 0）， B（ 2， 0）.设 M （ x1，y1），N （ x2，y2），
(2)
y 4或 y y 4.
9 （不合题意，舍去） .
4
…… 9 分
得 ( 6, 4) ，
x 6或 x
6 （ 不合题意，舍 去）. …… 11 分
C 点 的坐 标为
| AC | 2 5 , | BC | 4 .
答：当观测点 A、 B 测得 AC、 BC 距离分别为 2 5、 4 时，应向航天器发出变轨指
yn2
bn2 (1 xn2 )
(1
cn2 )(1
1 (
1)2 )
cn
得两极 1
1）内是减函数 .
13 ，从而易知 6
f(c)在（ 1 ， 1 2
13 ）内是增函 6
数，而在（ 1 13 ， 6
又易知
现在由题设取 bn
2n 3 n 2 ,则cn
1 bn2
n1 1
1 , c, 是增数列 .
n2
n2
c2 3＜ 1 13 ＜ 4 cn.
2006 年高考试题分类解析（圆锥曲线方程 2）
31． ( 2006 年重庆卷 )已知一列椭圆
Cn:x2+
y2 bn2
=1.
0＜ bn＜ 1,n=1,2.
.若椭圆 C 上有一点 Pn
使 Pn 到右准线 ln 的距离 d.是｜ PnFn｜与｜ PnCn｜的等差中项，其中 Fn、Cn 分别是 Cn 的左、右
即
y＝
1 2x1x－
1 4
x12
，
y＝
1 2x2x－
14x22．
x1＋x2 x1x2 x1＋ x2 解出两条切线的交点 M 的坐标为 ( 2 ， 4 )＝ ( 2 ，－ 1)．
…… 4 分
所以
→FM
→ ·AB
x1＋ x2 ＝ ( 2 ，－
2)
·( x2
－
x1
，
y2－
y1
)＝
1 2
(
x22－
x12)
－
考查综合运用数学知识
解：（Ⅰ）依题意得
a＝2c， a 2 ＝4，解得 a＝2， c＝ 1，从而 b c
2 M
1
＝ 3 .故椭圆的方程为 x2 y 2 1 . 43
-4
A -2
-1
2B
4
N -2
（Ⅱ）解法 1：由（Ⅰ）得 A（－ 2，0）， B（ 2， 0）.设 M -3
（ x0，y0） .
∵M 点在椭圆上，∴ y0＝ 3 （ 4－ x02） .
＝
λ＋ 1λ＋ 2＝
λ＋ 1 ． λ
因为 |AF |、 |BF |分别等于 A、 B 到抛物线准线 y＝－ 1 的距离，所以
|AB|＝
|AF
|＋
|BF
|＝
y1＋
y2＋
2＝
λ＋
1＋ λ
2＝
(
λ＋ 1 )2． λ
于是
S＝12|AB||FM |＝ (
λ＋ 1 )3 ， λ
由 λ＋ 1 ≥ 2 知 S≥ 4，且当 λ＝1 时， S 取得最小值 4． λ