小学数学《速算与巧算》练习题(含答案)

小学数学《速算与巧算》练习题（含答案）

知识点：一、等差数列.

二、定义新运算.

三、速算与巧算的方法.

等差数列

我们仔细观察以下两个数列：

可以发现它们有一个共同的特点，后一项减前一项的差都是一个定数，像上面这样一类数列，叫做等差数列，相邻两个数的差叫做公差，通常用字母d表示．如果有一个等差数列

其公差是d，那么数列的每一项依次可表示为：

例如：求15，25，35，45，55，65，75这一列数的和，利用公式计算就是：

(1575)7

315

2

s

+⨯

==

利用此求和公式以及通项a

n =a

1

+(n一1)d的表达式，将给计算带来很大的方便．

【例1】按规律填数.

（1）21，25，29，（ 33 ），（ 37 ），41，45，49，（ 53 ）

（2）3，9，27，（ 81 ），（ 243 ），729

【分析】（1）观察第一列数，这是一个等差数列，它的公差是4，所以括号里要添的数，都应该是前一个数加4.

（2）观察第二列数，这是一个等比数列，它的公比是3，所以括号里面要添的数，都应该是前一个数乘3.

【分析】根据定义x△y=6

2

x y

x y

⋅⋅

+

于是有

6298

295

22920

⨯⨯

∆==

+⨯

【巩固】设a△b=a×a-2×b，那么，5△6=______，(5△2) △ 3=_____.

【分析】(1)5△6=5×5-2×6=13

(2)5△2=5×5-2×2=21

21△3=21×21-6=435

【例6】规定其中a、b表示自然数.

（1）求的值；（2）已知，求.

【分析】观察新定义的运算，可知表示首项是a，末项是的连续自然数之和，项数是

b.所以，

（1）

（2）

即：

速算与巧算的方法

1、利用凑整法计算.

凑整法就是根据题中数据特点、借助数的组合、分解以及有关运算性质，把其凑成整十整百……的数，从而达到计算简便、迅速的一种方法.使用凑整法一般有以下几种情形：一、分组凑数 .二、拆数凑整 . 三、分解凑整.四、借数凑整 .五、性质凑整.

凑整法常用到的定律和公式有：

①加法交换律：a+b=b+a

②加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)

③乘法交换律：a×b=b×a

④乘法结合律：（a×b）×c=a×(b×c)

⑤乘法分配律：(a+b) ×c=a×c+b×c

⑥减法的性质：a-b-c=a-(b+c)

⑦商不变的性质：a÷b=(a×c)÷（b×c）；a÷b=(a÷c)÷（b÷c）

⑧除法的性质：a÷(b×c)=a÷b÷c

(a+b) ÷c=a÷c+b÷c

(a-b) ÷c=a÷c-b÷c

⑨和不变的规律：如果一个加数增加另一个加数减少同一个数，它们的和不变.

【例12】 （第七届华杯赛复赛试题）计算：19+199+1999+…+.______991999

1999=43

421Λ个

【分析】原式=20+200+2000+…+1999200019991-⨯L 14243

个0

=1199920222

1999⨯-43

421Λ个 =43421Λ2

199********个

【例13】 （北京市第六届“迎春杯”决赛试题）

1000+999-998-997+996+995-994-993+…+108+107-106-105+104+103-102-101= _____

【分析】原式=(1000+999-998-997)+…+(104+103-102-101) =4×900÷4 =900．

【例14】 2002年“我爱数学”夏令营计算竞赛试题

计算：2

22222221234979899100-+-++-+-Λ

【分析】这个题要利用平方差公式()()b a b a b a -+=-2

2

进行计算比较简单.

()()()()

()()()()()()()()12123434979897989910099100123497989910012349798991002

222222222222222-⨯++-⨯++-⨯++-⨯+=-+-++-+-=-+-++-+-K K K

()5050

210011001234979899100=÷⨯+=+++++++=K

【附1】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆

了28层．问最下面一层有多少根?

【分析】将每层圆木根数写出来，依次是：可以看出，这是一个等差数列，它的首项是

5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算．

故最下面的一层有32根．

【附2】计算下列每组数的和：

【分析】根据等差数列求和公式，必须知道首项、末项和项数，这里首项是105，末项是200，但项数不

知道．若利用a n =a 1+

据此可先求出项数，再求数列的和．

解：数列的项数

故数列的和是：

【附3】规定：③=2×3×4，④=3×4×5 ⑤=4×5×6，…， ⑩=9×10×11，…

如果⨯=-)8(1

)8(1)7(1□，那么框内应填的数是_____·

【分析】□=11111(8)7891(

)()(8)11.(7)(8)(8)(7)(8)(7)6782

⨯⨯-=-⨯=-=-=⨯⨯ 故框内应填的数是

2

1

【附4】（04全国小学奥林匹克）计算：55 555 × 666 667 + 44 445 × 666 666 – 155 555

【分析】原式=55 555 × 666 666 + 55 555 +44 445 × 666 666 -155 555

=（55 555+44 445）× 666 666-100 000 = 66 666 500 000

【附5】求{20073

333333...33...3++++个的末三位数字.

【分析】原式的末三位和每个数字的末三位有关系，有2007个3，2006个30，2005个300 ，

则2007×3+2006×30+2005×300=6021+60180+601500=667701 ，原式末三位数字为701