高中数学空间角专题

空间角专题

求空间角的步骤：(1)找出或作出有关的图形；(2)证明它符合定义；(3)计算

一、线线角：异面直线所成的角.

(1)范围是(0º，90º]；

(2)求解的一般方法有：

①平移法：在异面直线中的一条直线上选择一“特殊点”，作另一直线的平行线（单移法）；

或平移两直线至同一图形中（双移法）。

②补形法.把空间图形补成熟悉的可完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，

其目的在于容易发现两条异面直线间的关系。

二、线面角：直线与平面所成的角.

(1)范围是[0º，90º]；

（2）常用结论：

①最小值定理：平面的斜线和平面所成的角是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.

即平面外的一条直线与平面内所有直线所成的角中，与其射影所成的角最小。

②“三余弦”定理：如图所示，AB和平面 M所成的角是α， B

AC在平面M内，AC和AB在平面M内的射影AB1所成的角是β， A B1

设∠BAC=θ，则α，β，θ满足关系cosθ=cosα·cosβ. M D C

③从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线。(数学第二册下第29页)

④如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在的直线上。(同上26页)

（3）求解的方法：

①作出射影线段，在直角三角形中求解；

②先利用等体积法求出斜线段上某一点P到平面的距离h，在直角三解形中利用三角函数

sin h l

α=（l 为P 到斜足的距离）可求。 三、二面角.二面角的大小是用它的平面角θ来度量的.当两个半平面相交时0θπ<<. 当二面角的两个面重合时，规定二面角的大小为0，当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为π。

二面角的平面角的常见作法

(1)定义法：二面角α-l -β，O 是l 上任一点， β B

在面α、β内作：OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 是二面 图1 l O

角α-l -β的平面角.且有l ⊥平面AOB 。(图1所示 ) α A

(2)垂面法：自二面角一点分别向这个二面角的两个面引垂线，则它们所成的角与这个二面角的平面角互补。(数学第二册下第39页)(图2所示)

(3)三垂线法：

(4)对称法：二面角的两个平面是由两个有公共底的等腰三角形组成的，或有公共底的等腰梯形；或者一个是等腰三角形，另一个是等腰梯形且有公共底。在作二面角的平面角时，通常是取底边的中点，连结顶点，利用等腰三角形(或梯形)的对称性可以得出垂直。

(5)全等三角形(全等图形)法：在正棱锥或特殊的斜三棱柱中，研究相邻两侧面所组成 的二面角的大小时，经常在一个侧面上过一个顶点作侧棱的垂线，连结相关顶点则可以利用全等三角形的方法证明所连结的线也垂直该棱。

(6)利用射影面积求二面角：在缺棱的前提下，研究一个平面图形γ在另一个平面内的射影的平面图形γ¹，设γ的面积为S ，γ¹的面积为影S ,所成的二面角大小为θ，则S cos 影

S =θ。注意：一定要指出线面垂直，然后设角写公式。

1、（2007湖北部分重点中学联考）二面角l αβ--的平面角为

56π，直线a ⊥平面α，直线b ⊂平面β，则直线a 与直线b 所成的角的范围为（C ）

A 、[0,]2π

B 、[,]62ππ

C 、[,]32ππ

D 、[0,]3

π

解析：当b 与l 平行或重合时，a b ⊥，a 与b 所成的角为2π，故D 错；当b 与l 相交时，则

b l ⊥时，a 与b 所成的角最小，为

3

π，故选C 。（最小角定理） 2、（2007武汉四月调研）若一条直线和平面所成的角为3π，则此直线与该平面内任意一条直线所成的角的取值范围是（A ）

A 、[

,]32ππ B 、2[,]33ππ C 、[,]3ππ D 、[0,]3

π 解析：直线与平面所成的角3

π是直线与该平面内任意一条直线所成的角中最小的角，而最大角为2π，故选A 。 3、（2007湖北八校第一次联考）已知二面角l αβ--的大小为50︒，b 、c 是两条异面直线，则下面的四条件中，一定能使b 和c 所成的角为50︒的是（C ）

A 、//,//b c αβ

B 、//,b c αβ⊥

C 、,b c αβ⊥⊥

D 、,//b c αβ⊥ 解析：若B 对，则D 也对，故排除B 、D 。由A 不一定推出b 和c 所成的角为50︒。事实上，在二面角内任取一点O ，过O 点作//,//b b c c ''，则b α'⊥，垂足为A ，c β'⊥，垂足为B ，设过b '、c '的平面与棱l 交于点P ，易证APB ∠就是二面角l αβ--的平面角，50APB ∠=︒，在平面四边形OAPB 中，130AOB ∠=︒，∴b '与c '的夹角为50︒，即b 和c 所成的角为50︒，故选C 。

4、在一个45︒的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成45︒角，则此直线与二面角的另一个面所成的角为（A ）

A 、30︒

B 、45︒

C 、60︒

D 、90︒

解析：法一：由于45︒的二面角内的一平面内一条直线与二面角的棱成45︒，根据最小角定理，则此直线与二面角的另一个面所成的角小于45︒，故选A 。

法二：设二面角为l αβ--，直线AB 在β内，A 为AB 与l 的交点，

45,45BAC BCO ∠=︒∠=︒

为二面角的平面角，BO α⊥，设1OB OC ==，则BC =，AO =。

tan ,303

BO BAO BAO AO ∠==∠=︒，故选A 。