第10章 结构动力计算

广西大学土木建筑工程学院
COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE
第10章 结构动力计算基础
1. 2.
单自由度体系的振动问题

自由振动； 自由振动；
强迫振动 强迫振动
1
多自由度体系的振动问题

§10.1 概述
一、动力计算的特点
• 动力计算研究结构在动力荷载作用下的变形和内力，即 研究结构的动力反应。
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强迫振动时的动力放大系数 1) 简谐动荷载作用在质点上，内力动力系数与位移 ymax 1 动力系数相同。 动力系数: 2
2 只须将干扰力幅值当作静荷载按静力方法计算出相应 的位移、内力，再乘以动力系数 即可。
yst 1
2) 简谐动荷载不作用在质点上，结构没有一个统一 的动力系数。
(a) Fsin θt m
(b)
F
FI
先算出质体上的惯性力，再将 惯性力及荷载幅值作用于结构 上（如左图所示），然后按静 力方法计算位移和内力。
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例3：图示梁l=4m，惯性矩I=7480 cm4 ，弹模E=2.1104KN/cm2 。 在跨中有电动机，重量Q=35KN，转速n=500r/min。电机转动的离心 力P=10KN，离心力的竖向分力为Psint。不计梁的质量，试求梁振动的 最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。
解：解题的依据
T
2

m I
l

刚度系数：使质点产生单位位移需要施加的力。
k 1/
柔度系数：质点在单位力作用下产生的位移。
1 1l 2l l
2
3
EI 2
3
3EI
1

k 1 3EI m m m l3
I
m l3 T 2 3EI
2
M图
l
l
例2：求图示结构的重量集中为柱顶，W=20KN，试计算结构 的自振周期。EI1=3.528107Nm2. I=∞
根据初始条件可解得： a y02 v
2 0 2

tg
1
y0 0 v
12
§10.2 单自由度体系的自由振动
三、结构的自振周期 从微分方程的解： y(t) a sin(t ) 位移是周期函数；
•
自振周期T：振动一周需要的时间；单位:“s（秒）” T 2 2 m 2 m k 自振频率f：单位时间的振动次数；单位:“Hz（赫兹）” f 1 T 2 圆频率或频率：2 时间内的振动次数,单位:“弧度/s” ； 2 2 2f k 1 T m m 自振周期的性质：
• 动力荷载：大小、方向、作用点随时间而变化的荷载。
• 结构的动力反应不但与动力荷载的性质有关，还与结构 本身的动力特性直接相关。
• 结构本身的动力特性是结构本身固有的，如自振频率及 振型。
• 动力计算的特点：动力计算不能忽略惯性力，这是动力 计算与静力计算的本质区别。内力和变形都是时间的函 数。
2
体系自由振动的频率： 3 1 1 1 l l 2 l 2 l k EI 2 2 4 3 4 48EI 动力系数： 5.93
4.
EI EI
M maxM 194.3kN.m 0.25l 1
EI
0.25l M M
最大动位移（振幅）：
yd max P 5.03mm
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§10.4 阻尼对振动的影响
1. 2.
单自由度体系有阻尼振动的微分方程： m cy ky P(t) y k 有阻尼自由振动： 2 m cy ky 0 y k m 微分方程的解为：
当外荷载的频率很小时（θ<<ω)，体系振动很慢， 因此惯性力和阻尼力都很小，动荷载主要与弹性 力平衡。 当外荷载的频率很大时 (θ>>ω)，体系振动很快， 因此惯性力很大，弹性力和阻尼力相对来说比较小， 动荷载主要与惯性力平衡。 当外荷载接近自振频率时(θ ≈ ω)，弹性力和惯性 力都接近于零，这时动荷载主要由阻尼力相平衡。
y(t) C1 cost C2 sin v 方程的解： (t ) 0 sin t y0 cos t y
C2 y0 v C1 v0 C1 0
自由振动的组成： 一部分由初始位移 y0引起的； 另一部分由初始速度 v0引起的。 方程的解也可以写成： y(t) a sin(t )
1.
体系自由振动的频率：
3
Psint
1 1 1 l l 2 l 2 l k EI 2 2 4 3 4 48EI 2 1 48EIg k 1 3 m m m Ql
48 2.1 10 73.48 10 9.8 57.43/ s 3 35 10 4
1. 自振周期仅与结构的质量和刚度有关；与外界的干扰力无关。 2. 质量越大，周期越大； 刚度越大，周期越小。 13 3. 自振周期是结构动力性能的一个重要指标。
例1：图示等截面竖直悬臂杆，长度为l，截面面积为A，惯性矩为I，弹性模量 为E。杆顶重物的质量为m。杆的质量忽略不计，计算水平振动的自振周期。
最大位移和最大内力的计算
• 振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和； • 振幅为动位移的幅值（最大动位移）； • 最大内力为最大动内力与静内力之和。 • 最大动位移和最大动内力要考虑动力系数的影响；
• 动位移和动内力有正负号的变化，在与静位移和内 力叠加时应予以注意。
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动荷载频率与结构受力特点的关系
3 3
A
12EI1 l3
24EI1 k= 3 l B 12EI1 l3
l=6m
• 结构的刚度系数即使柱顶发生单 位位移时，在柱顶需施加的力。
§10.3 单自由度体系的强迫振动
1.
单自由度体系的强迫振动的微分方程： y m ky P(t) y k P(t) 2 P(t) y 可写成： y m y 2. 当荷载为简谐荷载时： P(t) F sin t 2 m P(t) ky y F sin t y m 3. 微分方程的解为： m y y F 2 1 2 (sint sin t) yst (sint sin t) m受力图 m 1 2 1 2 为动力系数。 F yst 2 为静荷载F作用下的振幅。 1 2 m 时，振幅会趋近于无穷大，这种现象叫共振。
EI1 EI1


考虑梁AB的平衡可得： 24EI1 k 3 l 结构的自振频率和周期：
k 2 24EI1 g m Wl 3 2 2 Wl 3 T 24 EI1 g
EI1
1
1
EI1
T 2
20 10 6 0.1434 s 7 24 3.528 10 9.8
11 5
EI
0.5l
1 EI
0.5l
荷载频率： 2n 2 500 52.36 / s M M1 60 60 1 1 2 2 5.93 3. 动力系数： 为动力位移和动力应 52.36
2.
1
0.25l
4.
最大动位移（振幅）： 43 yd max P 10 5.93 5.03mm 8 5 48 2.110 7.48 10
t
3
三、动力计算中体系的自由度
• 质点的位移就是动力计算的基本未知数。确定运动过程中 任一时刻所有质量的位置所需的独立几何参数的数目，称 为该体系的自由度。
基本假定：忽略轴向变形，认为杆不可伸长（压缩）的。 结构动力计算模型的简化方法 一、 集中质量法。把连续分布的质量集中为几个质点， 转化为有限自由度问题。

2
1
57.43
2
力的放大倍数。
例3：图示梁l=4m，惯性矩I=7480 cm4 ，弹模E=2.1104KN/cm2 。 在跨中有电动机，重量Q=35KN，转速n=500r/min。电机转动的离心 力P=10KN，离心力的竖向分力为Psint。不计梁的质量，试求梁振动的 1 最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。 1
0.25l 59.3kN.m
M d max
M
最大位移：等于静荷载和动荷载作用下的最大位移之和。 43 ymax W P 35 10 5.93 8.0mm 8 5 48 2.110 7.48 10 5. 最大动弯矩： M d max PM1 10 l 5.93 59.3kN .m 4 最大弯矩： M max WM1 PM1 35 10 5.93 l 94.3kN .m 4
2个自由度
1个自由度
2个自由度
4个自由度
2个自由度
6
三、动力计算中体系的自由度

铰接体系法：将所有质点、刚结点及固定端支座变为铰结点 后，使铰接体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为 自由度数。当体系有斜杆时可考虑采用。
4个自由度
7
三、动力计算中体系的自由度
• 注意：体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度， 自由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次 数无关。
10
重点掌握！
§10.2 单自由度体系的自由振动
一、自由振动微分方程的建立 1. 刚度法：根据力的平衡条件 质点m受力： 弹性力：-ky，与位移方向相反； y 惯性力： m，与加速度方向相反； y 根据达朗伯原理： m ky 0
y ky
m
y k
m
m y
2. 柔度法：根据体系变形协调条件 y 体系受惯性力： fI m y fI m y m的位移：
其中：k— 刚度系数；使m产生单位位移需要施加的力； — 柔度系数；单位力作用下m产生的位移： 1 k
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§10.2 单自由度体系的自由振动
二、自由振动微分方程的解 2 微分方程： m ky 0 令： k 方程改为： y m 2 y 0 y y(t) C1 sin t C2 cost 方程通解： 根据初始条件：t=0时，y=y0, v=v0可确定 C1 , C2
一、 附加链杆法。使质点不发生线位移所施加的附加链 杆数即为体系动力计算的自由度。 二、铰接体系法。将所有质点、刚结点及固定端支座变为 铰结点，铰接体系的自由度数也就是动力计算的自由度。
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三、动力计算中体系的自由度
• 附加链杆法：对质点施加链杆约束，限制所有质点的位移， 所施加的链杆数就是体系的自由度数。
尼力的大小与质点的运动速度成正比，这一假定称为粘滞阻 尼理论。即 ：
dy R cv c cy dt
R——阻尼力；方向与运动速度的方向相反。 c——阻尼系数； v——质点运动的速度；
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单自由度体系的振动
• 研究单自由度体系的 自振频率及在简谐荷 载作用下的动力响应 1. 动力微分方程的建立 2. 单自由度体系的自由振动 3. 单自由度体系的强迫振动 2008年广西人才小高地申报 4. 阻尼对振动的影响
二、广义坐标法。用有限个广义坐标参数及给定函数组 n 合来描述无限自由度问题。 y ( x) a sin k x

k 1
k
l
三、有限元法。把结构离散为若干单元和自由度计算。 4
三、动力计算中体系的自由度 • 集中质量法——
简化为若干质点计算。忽略杆的轴向变形和质点的转动。
• 质点体系的振动自由度确定方法：
二、动力荷载的分类 （1）简谐性周期荷载 （要掌握）
– 规律通常为正弦或余弦函数形式： p(t ) P sin t
P
p(t)
（2）冲击荷载

t p(t)
P
荷载强度很大，但作用时间很短， p(t)Fra Baidu bibliotek如打桩、爆炸荷载。
P
（3）随机荷载

td
a
t
td
t
变化规律带有一定偶然性的 非确定性荷载，如地震荷载 和风荷载。
(b) (a)
m2. EI= ∞ m1.
m3.
α (t)
三个集中质量，一个自由度 一个集中质量，两个自由度
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四、阻尼
• 阻尼对结构的作用 ：
一类是材料的非弹性变形，使变形能损失。 一类是阻尼力，包括介质阻力和摩擦阻力。
• 阻尼是振动的一个重要因素，而且很复杂，需化简;
• 把各种阻尼综合作用假定为受一个阻尼力作用。并且假定阻