语文人教版一年级上册弧度制
5.1.2 弧度制-(新教材人教版必修第一册)(41张PPT)
心角
任意角的弧度 正角的弧度数是一个_正__数__，负角的弧度数是一
数与实数的对 个_负__数__，零角的弧度数是__0_
应关系
计算公式
如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l， l
那么，角 α 的弧度数的绝对值是|α|＝__r_
2．角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的换算
(2)一些特殊角与弧度制的对应关系
集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z
中的角所表示的范围(阴影部
分)是( C )
类型三：弧长公式与扇形面积公式的应用
典例示范
探究题 1 若扇形的中心角为 120°，半径为 3，则此扇形的面 积是多少？
解：因为 120°＝23π，所以由扇形的面积公式可得此扇形的面积 是 S＝12αR2＝12×23π×3＝π.
数学（人教版）
必修第一册
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
第一 阶段
பைடு நூலகம்课前自学质疑
必备知识 深化预习
1．弧度制的定义
角度制
①定义：用_度__作为单位来度量角的单位制． 1
②1 度的角：周角的__3_6_0___作为一个单位
①定义：以_弧__度__作为单位来度量角的单位制．
弧度制 ②1 弧度的角：长度等于_半__径__长__的圆弧所对的圆
课堂检测 基础达标
1．已知扇形的周长为 4，面积为 1，则该扇形的圆心角是( )
A．1
B．2
C．π2
D．π
B 解析：设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 l＋2r＝4，①
S＝21lr＝1，即 lr＝2，②
得 r＝1，l＝2，则扇形圆心角的弧度数为rl＝21＝2.故选 B.
人教版弧度制_课件
探究二
弧AB的长
OB的旋转方 向
r 逆时针
2r 逆时针
r
逆时针
2r
顺时针
0
r r
2r
未做旋转
顺时针 逆时针 逆时针
角AOB的弧度数 角AOB的度数
2
1
-2
0
2
1 8 00
3600
18
00
8 00
3 6 00
2
例1 把45化成弧度
解 45= ×45rad= rad
180
4
3
例2 把 rad化成度
5
解 3 rad = 3×180 =108
5
5
练习
1）用弧度制写出与300同终边的角的集合；
S { | 2k k z}
6 2）指出下列用弧度制表示的角是第几象限角？
1 2 4 8
课堂小结
180
l
3、扇形的面积公式：
S扇形
n
360
R2
n° l
r
l OS
R
讲授新课
弧度制定义
我们规定，长度等于半径的弧所
对的圆心角叫做1弧度的角；用符号rad表
示，读作弧度。 用弧度来度量角的 单位制叫做弧度制． 1弧度记做1rad.
L α
r
B
r
1rad
O
rA
l 2r
CC
2rad
A
A
r
O
o
AOB=1rad AOC=2rad
180
把弧度换成角度
1rad
180
57.30
5718'
1.1.2弧度制课件人教新课标
CONTENTS
1 • PART 01学习目标 2 • PART 02问题导学
3 • PART 03题型探究
4 • PART 04达标检测
学习目标
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关 系 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大
为100 cm2.
反思及感悟
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关 键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形 面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.
探究点三 利用弧度制表示终边相同的角
60° 90°
弧度 0
度 120° 135° 150°
弧度
π
270° 360° 2π
3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别 α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝
l＝
扇形的面积
S＝
S＝ ＝
题型探究
思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大 小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？ 答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半 径无关.如图所示，∠AOB就是1弧度的角.
D.－1π2 rad
解析 时针经过一小时，转过－30°，
又－30°＝－π6 rad，故选 B.
2.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角
的弧度数是( C )
人教A版必修 第一册 2 5.1.2 弧度制 课件
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1 rad 的角比 1°的角要大．( √ ) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( × ) (3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( √ ) (4)1°的角是周角的3610，1 rad 的角是周角的21π.(√ )
问题导学 预习教材 P172－P175，并思考以下问题： 1．1 弧度的角是如何定义的？ 2．如何进行弧度与角度的换算？ 3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
栏目 导引
第五章 三角函数
1．度量角的两种制度
定义
用度作为单位来度量角的单位制
角度
1度 制
1
的角 1 度的角等于周角的__3_6_0____，记作 1°
栏目 导引
第五章 三角函数
1．已知一个扇形的弧所对的圆心角为 54°，半径 r＝20 cm，则 该扇形的周长为________cm. 解析：因为 1°＝1π80rad，所以 54°＝1π80×54＝31π0，则扇形的弧 长 l＝31π0×20＝6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm. 答案：(40＋6π)
第五章 三角函数
栏目 导引
第五章 三角函数
用弧度制表示终边相同的角 把－1 480°写成 2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π，并判 断它是第几象限角？ 【解】 －1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π，其中 0≤169π<2π，因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
A.430π cm
B.230π cm
C.2030π cm
D.4300π cm
解析：选 A.根据弧长公式，得 l＝53π×8＝403π (cm)．
语文人教版一年级上册弧度制
（1）36°=rad；（2）－105°=r角的概念推广后,在弧度制下,与之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即)与它对应;反过来,每一个实数也都有(即)与它对应.
（3）37°30′=rad；
对应关系
角的概念推广后,在弧度制下,与之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即)与它对应;反过来,每一个实数也都有(即)与它对应
2、正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是。如果半径为r的圆心角所对的弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是。这里，α的正负由决定。
知识点2、角度制与弧度制的关系
180°＝rad 1°＝rad≈rad 1 rad＝°≈°
练习1、将下列弧度转化为角度：
（1） =°；（2）－ =°′；（3） =°；
5.若α是第四象限的角，则π－α是第______象限的角.
6.在直径为20 cm的圆中，求下列各圆心角所对的弧长：
(1) (2)165°
教师精选编制内容
合
作
探
究
问题1：什么叫角度制？
问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？
问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？
问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？
问题5：角的集合与实数集R之间建立了________
对应关系。
问题6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.
问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导
过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公
（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
※典型例题
例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法）
新教材人教A版5.1.2弧度制课件(36张)
(3)∵25π＝25×180°＝72°， ∴与25π终边相同的角为 θ＝72°＋k·360°(k∈Z)． 当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°. ∴在 0°～720°中与25π终边相同的角为 72°，432°.
1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式 π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数
[解析] (1)α1＝－171π＝－171×180°≈－282.86 °； α2＝5611π＝5611×180°＝15 330°； α3＝9＝9×1π80°≈515.66°； α4＝－855°＝－855×1π80＝－149π. (2)163π＝4π＋43π； －315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4； －117π＝－2π＋37π.
l 的绝对值是|α|＝_____r___.这里，α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定．
(3)弧度制与角度制的换算公式 角度化弧度
360°＝____2_π___ rad 180°＝____π____ rad
π 1°＝_1_8_0_ rad≈0.017 45 rad
弧度化角度 2π rad＝__3_6_0_°___ π rad＝__1_8_0_°___
课时·跟踪训练
α2kπ＋π6＜α≤2kπ＋π2，k∈Z ∪
α2kπ＋π＋π6＜α≤2kπ＋π＋π2，k∈Z
＝αkπ＋π6＜α≤kπ＋π2，k∈Z
.
首先写出终边所在的角的形式，再根据旋转方向写出所在区域的角的集合，注意单位 要统一，注意虚实边．
用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判 断 2 014°是不是这个集合的元素．
探究二 用弧度制表示角 [例 2] 用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
数学人教A版必修第一册5.1.2弧度制课件
144 6
l
,
120 5
r
96
6 180
(
) ( )
5
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
知识点:(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系.
(4)扇形的弧长与面积的计算.
方法归纳：由特殊到一般、数学运算.
易错点：弧度与角度混用.
（2）1弧度的角：____________________________；
（3）记法：弧度的单位符号是rad，读作弧度
注：弧度单位可省略，角度单位不能省略.
半径为1的圆
（4）单位圆：____________；
∠AOB 即为1弧度的角
概念生成
（5）弧度的计算：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，
第五章
三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
学习目标
学习
目标
一
理解弧度制
二
理解1弧度的角及弧度的定义
三
掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度
与弧度的换算，熟记特殊角的度数对应的
弧度数.
复习回顾
请说说角的概念是怎样扩大的？
角的概念
(0°～360°)
放在坐标系中
看终边的位置
0°～360°
的角不够用
心角对对弧的长度。
n R 60
( mm )
简析： 角度制下： 60 n 60, l
180
180
3
弧度制下： 60
3
, l R
新教材人教A版5.1.2弧度制课件(49张)
写才是规范的？
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第五章 三角函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
提示：(1)在弧度制下，角的集合与实数 R 之间建立起一一对应的关 系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来， 每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
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5.1.2 弧度制
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第五章 三角函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
必备知识·探新知
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第五章 三角函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
基础知识
知识点1
度量角的两种制度
(1)角度制．
①定义：用___度___作为单位来度量角的单位制．
(2)与(1)类似可写出终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为 {α|2kπ＋π6<α<2kπ＋π2，k∈Z}∪{α|2kπ＋π＋π6<α<2kπ＋π＋π2，k∈Z}＝{α|kπ ＋π6<α<kπ＋π2，k∈Z}．
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第五章 三角函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[归纳提升] 解答本题时常犯以下三种错误． (1)弧度与角度混用． (2)终边在同一条直线上的角未合并． (3)将图①中所求的角的集合错误地写成{α|43π＋2kπ<α<π3＋2kπ，k∈ Z}，这是一个空集．对于区域角的书写，一定要看其区间是否跨越 x 轴 的正半轴，若区间跨越 x 轴的正半轴，则在“前面”的角用负角表示， “后面”的角用正角表示；若区间不跨越 x 轴的正半轴，则无须这样写．
人教A版必修第一册5.1.2弧度制课件
特殊角的度数与弧度数的对应表：
度数 0 30 45 60 90 120
弧度 0
6
4
3
2 23
135 150 180 270 360
3 5 46
3 2
2
正角的弧度数是正数，
角的概念推广后，
弧度数的概念也随之推广： 负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是零．
正角 零角 负角
任意角的集合
正实数 0
2、 终边与X轴负半轴重合；
| 2 ( )
3、 终边与X轴重合； | ( )
4、
终边与Y轴正半轴重合；
|
2
2
( )
5、 终边与Y轴负半轴重合；
|
2
3
2
( )
6、 终边与Y轴重合；
|
2
( )
7、第一象限内的角；
|
2
2
2
( )
8、第二象限内的角；
|
2
2
2
( )
y
450
0
x
(1)
y
450
0
x
(2)
提炼总结：
1.180= 弧度；
2.“角化弧”时，将n乘以
180
；
“弧化角”时，将乘以180 ；
3.弧长公式: l = r
4.扇形面积公式：S
1 2
lR
思考题：试证：扇形周长一定时，当圆心角 =2时，扇形面积最大.
l
r
解 : 设扇形半径为R,弧长为L,则由
2R L 8
1 LR 4 2
解得 R 2 L 4
故该扇形的圆心角的弧度数为
L 4
No Image
R2
新教材人教A版5.1.2弧度制课件(43张)
AB为长度的线段构成一个直角三角形，AF为2，其所对的圆心角∠ABF=1，故半
径|AB|= 2 .这个圆心角所对的弧长为2× 2 = 4 .
sin 1
sin 1 sin 1
3.已知扇形中60°的圆心角所对的弦长是2，则这个圆心角所对的弓形面积是
A.
3
－
3
C.
3
B. 2
3
D. 2 － 3
3
()
2
A. 2 rad
B. 3 rad
C. 2 rad
D. 3 rad
3
2
【解析】选B.由α= l
r
3
，得α= 2
r
r
3
=3
2
2
，因此圆弧所对的圆心角是
3 2
rad.
2.如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为 ( )
A.2
B. 2
C.2sin 1
D. 4
sin 1
sin 1
【解析】选D.连接圆心B与弦AC的中点F，则以弦心距BF、弦AC的一半AF、半径
(3) 1弧度的角是周角的 1 .
()
360
提示：(1)×.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角.
(2)×.“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，当半径变大时，
弧也变大，弧长与半径比值是一个定值，所以与所在圆的半径大小无关.
(3)×.1弧度的角是周角的 1 .
2
2.(教材二次开发：例题改编)将角1 080°化为弧度制等于
(1)5 1 1 =_______；(2)- 7 =_______；
6
12
(3)10°=_______；(4)-855°= _______.
新教材人教A版必修第一册 5.1.2弧度制 课件(54张)
B．－130π rad 化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－76π rad
π D.12
rad 化成度是 15°
C [对于 A,60°＝60×1π80 rad＝π3 rad；对于 B，－130π rad＝－130 ×180°＝－600°；对于 C，－150°＝－150×1π80 rad＝－56π rad；对于 D，1π2 rad＝112×180°＝15°.故选 C.]
2r＋l＝60， (2)设扇形的弧长为 l，半径为 r，则12lr＝20，
r＝15＋ 205， r＝15－ 205，
∴l＝15＋40 205
或l＝15－40
， 205
∴扇形的圆心角的弧度数为
rl＝43－3 205或 43＋3 205.
1．(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为 “4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．
①定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的
1 360
.
(2)弧度制： ①定义：以 弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长 的圆弧所对的圆心角．
2．弧度数的计算
思考：比值rl与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确 定的，与半径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算
4．一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° ___6_0_°_ 90° 120°135°150°_1_8_0_°_ 270°360°
弧 _0__
π
π
度
64
π 3
π 2π 3π 5π 2 3 46
π
3π 2
_2_π__
弧度制与任意角的三角函数知识点与例题.doc
弧度制与任意角的三角函数知识梳理与典例剖析淤知识梳理1.任意角的概念设角的顶点在坐标原点，始边与工轴重合，终边在坐标平面内.终边绕顶点旋转即可产生.2.象限角的概念若角a的终边在第&个象限，则称a是第k象限角.象限角及其集合表示3.终边相同的角所有与角a的终边相同的角连同角a在内构成的集合为4.弧度制的概念与半径等长的圆孤所对的圆心角称为1 rad（弧度）的角.1 QA°角度与弧度的互化：1囱（弧度）=（——）«57.3°=57°18/； 1° = rad（弧度）. 715.扇形的弧度、面积在弧度制下：孤长公式：l=\a\R（a 一•扇形中心角的弧度数，/?—扇形所在圆的半径）1 1 .扇形面积公式：5,.4；=-lR = -\a\R2.n 2 2在角度制下：弧长公式：1 = 域扇形中心角的角度数，R•—扇形所在圆的半径）180扇形面积公式：=崩形3606.任意角的三角函数的定义在伯。
的终边上任取点P",y）,设它与原点。
的距离IOP l=r （r > 0）,贝0 sina -, cosa =, tancr =.7 .三角函数在各象限的符号sincz ：上正下负横轴零cos。
：左负右正纵轴零tana：交叉正负横轴零8.典例剖析一、角的概念问题1.终边相同的角的表示例1若角a是第三象限的角，答案：二.解析：因为a是第三象限的角，则角-。
的终边在第象限. A=1 故-k -360° -270° <-a<-k-360° -180°,^ G Z,则S360°,tan(2成 + a)=分别表示：正弦线，余弦线，正切线.9.终边相同的角的同一三角函数的值相等sin(2A〃 + a) =, cos(2k/r + a)=10 .三角函数线如图有向线段MF, OM,-270°<-a<k-360° -180°,A：G Z,故-a的终边在第二象限.练习：与610°角终边相同的角可表示为. 【答案：A・360°+250°(A E Z)】2.象限角的表示例2已知角a是第二象限角，问(1)角巳是第儿象限的角？(2)角2a终边的位置.2思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论k值来确定象限角.解析(1)因为a 是第二象限的角，故k - 360° + 90°<a<k-360° +180°(Z: G Z),故4180°Of CC (I+45° v —vA・18(T+90°(AcZ).当R为偶数时，一在第一象限；当k为奇数时，一在第三象限，2 2 2 CC故兰为第一或第三象限角.2(2)由S360°+90° vavk・360° + 180°(SZ),得2如360°+ 180° v2a v2如360° + 360°(Jt G Z),故角2Q终边在下半平面.点评：已知a所在象限，求-(neN*)所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论. n结论：a 第一象限第二象限第三象限第四象限a第一、三象限第一、三象限第二、四象限第二、四象限练习：二、弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的互化例3 (1)设6Z = 750° ,用孤度制表示。
2019-2020学年人教A版必修第一册5.1 5.1.2 弧 度 制课件
D.203π和1292π
解析：在弧度制下，终边相同的角相差 2π 的整数倍．
答案：C
3．某扇形的半径为 1 cm，它的周长为 4 cm，那么该扇形的 圆心角为________．
解析：由题意可得扇形的弧长为 4－2×1＝2(cm)，则扇 形的圆心角为21＝2. 答案：2
4．－135°化为弧度为________，113π化为角度为________． 解析：－135°＝－135×1π80＝－34π；113π＝131×180°＝660°. 答案：－34π 660°
.
[方法技巧] 根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形； (2)写出区域边界作为终边时角的表示； (3)用不等式表示区域角． 用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否 能够合并，能合并的要合并．
[对点练清]
1．与94π角的终边相同的角的表达式中，正确的是
(
)
A．2kπ＋45°，k∈Z
[对点练清] 1．[利用公式求圆心角的弧度数]已知扇形的周长为 10 cm，
面积为 4 cm2，则扇形的圆心角 α 的弧度数为________．
解析：设扇形的半径为 r cm，圆心角 α 所对的弧长为 l cm.
l＋2r＝10， 由题意得12lr＝4.
解得lr＝＝81， 或lr＝＝24，， ∴α＝
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. ( )
(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关． ( )
(3)1°的角是周角的3160，1 rad 的角是周角的21π. (4)1 rad 的角比 1°的角要大．
() ()
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
弧度制ppt9 人教课标版
课堂小结
① 什么叫 1 弧度角? ② 任意角的弧度的定义.
③ “角度制” 与 “弧度制” 的联系与区别．
课后作业
①阅读教材 P6—P8； ②教材 P9 练习第 1、2、3、6 题； ③教材 P10 面 7、8 题及 B2、3 题．
•
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：
1 360 2 ； 180 ；
180
n n rad ． 180
0.01745 rad ；
②将弧度化为角度：
2 360 ； 180 ；
角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：
1 360 2 ； 180 ；
角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：
1 360 2 ； 180 ； Nhomakorabea
180
0.01745 rad ；
角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：
1 360 2 ； 180 ；
180
n n rad ． 180
0.01745 rad ；
弧度制的性质：
r . ①半圆所对的圆心角为 r
弧度制的性质：
r . ①半圆所对的圆心角为 r 2 r ②整圆所对的圆心角为 2 . r
弧度制的性质：
r . ①半圆所对的圆心角为 r 2 r ②整圆所对的圆心角为 2 . r ③正角的弧度数是一个正数．
弧度制的性质：
180
n n rad ． 180
0.01745 rad ；
新教材人教A版5.1.2弧度制课件(34张)
rad,
×112.5) rad=
②-315°=-315×
=- .
rad.
数学
(2)将下列各弧度化为角度:
①-
rad;② π.
解:(2)①因为 1 rad=(
② π= π×(
)°,所以-
)°=1 140°.
rad=- ×(
)°=-75°.
数学
[例2] 已知角α=2 010°.
(1)将α改写成θ+2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
解:(1)2 010°=2 010×
又π< < ,
角α与角 的终边相同,
故α是第三象限角.
=
=5×2π+ .
所以α=-2 rad=-(
)°,
)°≈-114.6°,
故角α的终边在第三象限.选 C.
)
数学
2.终边落在第二象限的角组成的集合为(
C )
(A){α|2kπ<α< +2kπ,k∈Z}
(B){α|kπ<α< +kπ,k∈Z}
(C){α| +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}
(D){α| +kπ<α<π+kπ,k∈Z}
任意角与弧度制
一.任意角1.在0~360︒内找到与下列各角终边相同的角⑴.-15°⑵.585°⑶.750°⑷.-950°⑸.-450︒15′30″2.写出与15°角终边相同角的集合,并求出该集合中适合不等式-1080︒≤β≤720︒的元素β.2.终边在坐标轴上的角用集合怎样表示呢?3.每个象限内的角用集合的形式怎样表示呢?4.当α为第二象限角时,?5.写出终边分别在y=x,y=-x上的角的集合.6.若α是第一象限的角,则下列各角属于第四象限的是( )A.90°-αB.-90°-αC.180°+αD.360°-α7.若集合M={α|α=±30°+k·180°,k∈Z}, N={α|α=(−1)k+k·180°,k∈Z},则( )A.M=NB.N⊆MC.M⊆ND.无法确定8.下列命题正确的是( )A.三角形的内角的三角函数值都是正的B.小于90°的角是锐角C.不相等的角终边一定不相同D.三角形的内角必定是第一第二象限的角9.若角α与β的终边相同,那么α−β的终边在＿＿＿＿＿._上.10.角α与180°+α的终边关于＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.对称.11.已知角α的终边与-120°的终边关于x轴对称,且-360°<α<360°,求α的值.二.弧度制1.若α=1.2,那么α为第＿＿＿＿＿.象限的角.2.若α=-11.5,那么α为第＿＿＿＿＿.象限的角.3.下列四个命题中不正确的是( ) A.半圆所对的圆心角是π B.圆周角的大小为2 πC.1rad 的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.不论是用角度制还是弧度制度量角,它们都与圆的半径长短有关.4.在一个扇形中,如果弧所对弦的长度等于半径,那么该扇形的圆心角是＿＿＿＿＿.5一条弧所对的圆心角是-2rad,它所对的弦长为 2,则这条弧长是( ) A.1sin1 B. 1sin2 C. 2sin1 D. 2sin26.已知集合A= {α|2k π≤α≤(2k +1)π,k ∈Z };B={α|−4≤α≤4 },则A ∩B =_＿＿＿＿＿.7.已知扇形AOB 的面积是9,周长是20,则扇形圆心角为＿＿＿＿＿.8.一圆内切于圆心角为π3,半径为R 的扇形,该圆的面积与扇形的面积之比为( ) A.3:4 B.2:3 C.1:2 D.1:39.已知一个半径为R的扇形,它的周长等于所在圆的周长,那么扇形圆心角是多少弧度?面积是多少?10.一个半径为R的扇形,它的周长是4R,则这个扇形所含弓形的面积是?11.已知一扇形圆心角为α,所在圆半径是R,弧长是l.⑴若α=60°,R=10,求弧长.⑵若扇形周长为20,圆心角α为多少时扇形面积最大.⑶若α=60︒,R=2,求扇形所在弓形面积.三.角函数定义1.求下列各值⑴.sin 120︒° ⑵.sin 150° ⑶.sin 60︒°⑷.cos 120° ⑸.cos 30° ⑹.cos 150︒°⑺.tan 135︒° ⑻.tan 45° ⑼.tan 30︒°⑽.sin90° ⑾.cos 90° ⑿. tan 90°⒀.sin0° ⒁.cos 0° ⒂. tan 0°⒃.sin180° ⒄.cos 180° ⒅. tan 180°2.判断下列角在第几象限.⑴ sin α >0,且 cos α <0,则α是第＿＿＿＿象限角. ⑵ tan α>0,且 cos α <0,则α是第＿＿＿＿象限角. ⑶ sin α<0,且 tan α<0,则α是第＿＿＿＿象限角. ⑷cos α>0,且 sin α<0,则α是第＿＿＿＿象限角.3.已知α经过(3a-9 , a+2) 且sin α >0, cos α <0 求a 取值范围＿＿＿＿＿.6.点P (sin α﹒cos α , 2cos α)位于第三象限,则α是第＿＿＿＿＿.象限角.7.三角形两个内角α,β满足 sin α﹒cos β< 0,则此三角形必为＿＿＿＿＿.三角形.8.若α为第三象限的角;则 sin 2α,,cos 2α,sin α2,cos α2,中一定为正值的是＿＿＿＿＿.9.角A 是三角形的一个内角,它正弦,余弦,正切那些可能是负值＿＿＿＿＿.10.下面说法正确的是( )A.正角的三角函数值是正的,负角的三角函数值是负的,零角的三角函数值是0.B.角α 的终边上一点为(x,y ),则sin α的值随着y 的增大而增大.C.对任意角α,若角α的终边上一点为(x,y ),那么肯定存在tan α=yx.D.对任意角α(α≠12kπ),都有|tan α+cotα|=|tan α|+|cotα|11.若α终边经过点P(7,-24),sin α + cos α + tan α=＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.12.若角β的终边经过点(-3,-2),则sin α ( cos α + tan α)=＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.13.若P 点(2m,-3m )(m<0)在角α的终边上,则 sin α−cos α+tanα=＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.14.设α终边经过(-3t,-3√3t ) (t ≠0),则 sin α−cos α =＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.13已知α终边经过P(a,√5),且 cos α =√2 a4, 则 sin α＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.15.已知角α终边经过(-b,4),且 cos α =−45,b=_＿＿＿＿＿.16.已知α终边在y=2x 上,则 sin α,. cos α, tan α分别为( ) A.±2√55,±√55,2 B. 2√55,√55,-2 C. 2√55,√55,2 D.−2√55,−√55,-217.若角α终边与y 轴重合,则角α的6个三角函数中,函数值不存在的是( )A.sinα与 cos αB.tanα与 cot αC.tanα与 sec αD.cotα与 csc α18.已知| cos α|= cos α, | tan α|=−tan α,则α2的终边在( ) A.二,四象限 B.一,三象限 C.一,四象限 D.二,三象限19.函数y=sinx|sinx|+cosx|cosx|+tanx|tanx|的值域是_＿＿＿＿＿. 20.已知(12)sin2θ<1,则角θ为第几＿＿＿＿＿.象限的角21.已知角α为第三象限的角,判定sin(cos α)和cos(sin α)的正负.22.已知角α的终边落在直线3x+y=0上,证明tan=sinαcosα成立.四.三角函数线1.在下列所给的坐标系里,画出以下四个角的三角函数线.2.已知角α的终边和单位圆的交点为P,则P 点的坐标可表示为( ) A.(sinα, cos α) B.(tanα, cos α) C.(cosα, sin α) D.(tanα, sin α)3.设a=sin 5π7,b=cos 2π7,c=tan 2π7, 则下列选项正确的是( )A.c >a >bB.a >c >bC.c >b >aD. b >a >c4.下列不等式成立的是( )A.sin1>sin2B.tan1>tan2C.cos1<cos2D.sin1=sin25.已知α是第三象限的角,则下列等式中不可能成立的是( )A.sinα+cos α=1.2B.sinα+cos α=−0.8C.sinαcos α=√3D.sinα+cos α=−1.26.若tan θ≥0,则θ的取值范围是＿＿＿＿＿.7.下列命题正确的是( )A.设α,β均为第一象限的角,若cos α>cos β,则sin α>sin β;B.设α,β均为第二象限的角,若sin α>sin β,则tan α>tan β;C.设α,β均为第三象限的角,若cos α>cos β,则tan α>tan β;D.设α,β均为第四象限的角,若tan α>tan β,则sin α>sin β;8.如果π4<θ<π2,那么下列各个式子正确的是( ) A.tanθ<cos θ<sin θ B.sinθ<cos θ<tan θ C.cosθ<tan θ<sin θ D.cosθ<sin θ<tan θ9.已知α的正余弦线相等,那么α值为＿＿＿＿＿.10. 写出满足sin x > cos x的x的集合＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿._＿＿＿＿＿.11.求出下列各角的取值范围( )⑴.12≤sinα≤√32⑵.12≤cos(α+π3)≤√32⑶. 1≤tan(α+π4)≤√3五.同角三角函数的基本关系式基础题1.已知cos α=-35,其中α为第二象限的角,求求sin α和tan α.2.已知sin α=45,求tan α和cos α.3.已知tan α=724,求sin α和cos α.4.已知sin α=-45,tan α>0,则cos α=_＿＿＿＿＿.5.已知cos(α+π4)=13,0<α<π2,则sin(α+π4)=_＿＿＿＿＿.6.若sinA=45,且A 是三角形的一个内角,则5sinA+815cosA−7=_＿＿＿＿＿.7.在△ABC 中,√2sinA=√3cosA ,则角A=＿＿＿＿＿.8.已知sin α=√55,则sin 4α-cos 4α的值为＿＿＿＿＿. 9. sin α=m−3m+5; cos α=4−2m m+5且α∈(−π2,0); 则m=＿＿＿＿＿.弦化切的齐次式子求值1.已知tan α=1,求下列各式子的值. ⑴. 2sin α−cos α5sin α−2cos α⑵. 2sin αcos α⑶. sin 2α-cos 2α ⑷. sin 2α-cos 2α+3 sin α· cos α +12.已知sin α=-2cos α, 求下列各式子的值 ⑴. 4sin α−2cos α5sin α+3cos α ⑵. sin 2α-3 sin α· cos α -13. sin α−2cos αsin α+3cos α=23,则tan α的值为 ＿＿＿＿＿.4.已知 sin α+cos αcos α−sin α =2,则 sin 2α− sin α· cos α =＿＿＿＿＿.sin α±cosα=a(a 为常数)的求值问题1. 已知sin α + cos α=12且α∈(0,π)求下列各式子的值.⑴. sin α cos α ⑵. cos α−sinα ⑶. sin α , cos α , tan α2.已知sin α + cos α=√3−12, α为三角形的内角,则tan α=＿＿＿＿＿.A.-√3或−√33B. −√33C.-√3D. −√325.已知 sin α cos α=18,且π4<α<π2则cos α−sinα= _＿＿＿＿＿.4. 已知A 为三角形的内角,且满足sin A + cos A =23,那么这个三角形形状为( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D. 等腰直角三角形6.已知sin α ,cos α是关于方程4x 2+2mx+m=0的两个根,m 的值为_＿＿＿＿＿.3.已知sin α ,cos α是关于方程3x 2-2x+a=0的两个根,a 的值为_＿＿＿＿＿.7. 已知sin α + cos α=√2, 则tan α+cotα=_＿＿＿＿＿.化简类问题1.已知α∈(0,π2),√cot 2α+1-√1+tan 2α=−12,则α=＿＿＿＿＿.2.(sinθ−cosθtanθ−1)2+(tanθ·cosθ)2=＿＿＿＿＿.3.已知角αϵ(−π2,0),则cos α·csc α·√sec 2α−1的值为＿＿＿＿＿.4.已知sin α -cos α=−√52,则tan α+1tanα=＿＿＿＿＿.5.求证下列各式成立; ⑴.(1sinα+1tanα)(1-cos α)=sin α; ⑵.sin α(1+tan α)+cos α(1+1tanα)=1sinα+1cosα⑶.cos 2αcot α+sin 2αtan α+2sin αcos α=tan α+cot α ⑷.tan α1−sinα1+cosα=cot α1−cosα1+sinα⑸.1+tan 4αtan 2α+cot 2α=tan 2α6.求证下列等式成立⑴.sin 4α−cos 4α =2sin 2α−1; ⑵. tan 2α−sin 2α =tan 2α·sin 2α⑶.sin 4α+sin 2α·cos 2α+cos 2α=17.化简下列各个式子.⑴.√1−2sin125°cos125° ⑵.2cos 2α−11−2sin 2α ⑶. √1−2sin10°cos10°sin10°−√1−sin 210°⑷.√sin 2α(1+cotα)+cos 2α(1+tanα)⑸.√1−cosα1+cosα +√1+cosα1−cosα (α∈(−π2,0)) ⑹.√1−sinα1+sinα +√1+sinα1−sinα (α∈(π2,π))8.化简 √1−sin 2160°的结果是( )A.cos 160°B.- cos 160°C.±cos160°D.±|cos160°|9.若α∈(π,3π2),则√1−sin 2α+√1−cos 2α=＿＿＿＿＿.10.化简 √1−2sin2·cos2的结果是＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿._11.已知α的终边落在直线x+y=0上,则tanα|tanα|+√1−cos 2α的值为( )A.2或-2B.-2C.0或2D.212.若 sin 2θ+4cosθ+1=2,则(cosθ+3)(sinθ+1)=＿＿＿＿＿. 13.已知1+sinx cosx =-12,则cosx1−sinx 的值是＿＿＿＿＿.14.已知sin ϑ-cos ϑ=12;则sin 3ϑ-cos 3ϑ的值为＿＿＿＿＿.15.已知sin ϑ,cos ϑ是关于方程x 2-kx+k+1=0的两个根,且0<ϑ<2π,求k 和ϑ的 值.六.诱导公式练习题1.求下列各三角函数的值(“用奇变偶不变符号看象限”化简)⑴.sin13π2⑵.cos3π⑶.cos16π3⑷. sin−10π3⑸.tan−10π3⑹.tan−10π3⑺.sin8π3⑻.cos8π3⑼.sin3π2⑽.cos6π2.化简并求下列各个式子的值⑴.sin1866°−sin(−606°)+tan20°+tan160°⑵. sin−7π2 +tanπ−2cos0+cot2π⑶.cos (−585°)sin630°+sin (−690°)⑷.sin21°+sin22°+sin23°+……+sin289°3.化简下列各个式子⑴.sin(3π2+α)+cos(π−α)cos(α−π2)−sin(α−π)⑵.sin(π+α)cos(π−α)cos(π2−α)cos(72−α)cos(π+α)sin(3π−α)sin(−π+α)sin(3π2−α)4.sin(π−α)=2cos(2π-α),求sin(π−α)+5cos(2π−α)cos(α−π2)−sin(α−π2)的值.5.sin240°=＿＿＿＿＿.6.√1−2sin (2π+2)cos (2π−2)=＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.7.若n 为正数,则化简sin (nπ+α)cos (nπ+α)所得的结果为_＿＿＿＿＿.8.在△ABC 中,下列等式成立的是( ) A.sin(A+B)=sinC B.cos(C+B)=-cosA C.sin A+B 2=-cosC D.cosA+B 2=-sinC9.已知sin160°=a, 则cos340°值为＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.10.已知f(sinx)=cos3x,则f(cos10°)= ＿＿＿＿＿.11.若sin(3π+α)=-12,则cos(72π-α)= ＿＿＿＿＿.12.若sin(π+α)+cos(12π+α)=-m,则cos(32π-α)+2sin(2π-α)=_＿＿＿＿＿.13.cos(12π+φ)=√32,且|φ|<π2,则tan φ=_＿＿＿＿＿.14.tan(−α−4π3)=−5;则tan(α+π3)= ＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.15.sin(α+π12)=13;则cos (α+7π12)=_＿＿＿＿＿.17.cos(π4+α)=−12;则 sin(π4−α)=＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.18.sin(π3−α)=12,则cos(π6+α)=_＿＿＿＿＿.19. cos(75°+α)=−12;则 sin(α−15°)+cos(105°−α)=＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.20.代数式sin 2(A+45°)+ cos 2(A-45°)的化简结果是_＿＿＿＿＿.21.已知α=π3,sin(α+β)=1,则sin (2α+β)+sin(2α+3β)= ＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.22. f (x )=asinx +btanx +1 ,f (5) =7,则f (−5) = _＿＿＿＿＿.24.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边在2x-y=0上,则sin(α+32π)+cos(π−α)sin(π2−α)−sin(π−α)的值为.25.已知sin(-π2-α)·cos(-5π2-α)=60169,且π4<α<π2,求sin α与cos α的值.八. 正弦函数Y=Asin(ωx +φ)1.画出下列图像草图;⑴. y=-sinx + 1; ⑵.y = |sinx|⑶.y=sin(2x+π3),x ∈[0,πᴨ] ⑷⑷.y=2sin(2x - π3)+2图像平移变化1.用两种方法描述函数y=sinx 的图像是怎样变换成y=−2sin (2x + π3)+1的图像的?2.把函数y=Asin(ωx+φ)( ω>0,| φ|<π2)的图像的纵坐标缩短为原来的12,再向左平移π6个单位,再把图像上所有横坐标伸长为原来的二倍,所得图像函数解析式为y=sinx, 则( ) A.A=2,ω=2,φ=−π3B. A=12,ω=12,φ=π3C. A=12,ω=2,φ=−π3D. A=2,ω=2,φ=π33.将函数y=sinx 的图像上所有点向右平移π10个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,所 得函数解析式为( )A.y=sin(2x −π20) B. y=sin(12x −π10) C. y=sin(12x −π5) D. y=sin(12x −π20)4.描述函数y=−2sin (2x + π3)+1的图像是由y=sinx 经过怎样的变换得到的?函数知识点的考察1.写出函数f(x)=2sin(2x −π3)+1的周期,单调区间,对称中心,对称轴,最值点以及值域.2.下列函数最小正周期为π的是( )⑴.sin2x ⑵sin −2x. ⑶.|sinx| ⑷. |sin2x| ⑸. sin(−2x+π3)+2 A. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ B. ⑴ ⑵ ⑸ C. ⑴ ⑵ ⑶ ⑸ D. ⑴ ⑷2.求下列函数的值域并写出分别取得最大值与最小值时x 的取值; ⑴. y=−sin2x; ⑵.y=−2sin(2x −π3)+1;⑶ y= (sinx −1)2 + 2; ⑷.y=2cos 2x+sinx −1 ⑸. y=2cos 2xsinx 1−sinx3.求下列函数的单调递增区间⑴. y=sin2x; ⑵.y=2sin(12x +π6)+1;4.求下列函数的单调递减区间⑴.y= −3sin ( 2x+π4 ) ⑵.y=2sin ( −2x+π3 )5.求下列函数的对称轴与对称中心⑴.y= −3sin ( 2x+π4)+1 ⑵.y=2sin ( 2x+π3)⑶.若函数y=sin(2x+φ)(-π<φ<0)的图像关于x=π8对称,则φ=＿＿＿＿＿. 6.不求值,比较下列函数值大小⑴.sin −π10 与sin −π18 ⑵. sin −23π5 与sin −17π4⑶.sin 74与 cos 537.下列关系式正确的是( )A.sin11°< cos78°<sin167°B. sin255°< sin256°<sin257°C. sin79°< cos10°<sin101°D.cos11°< tan11°<°sin11°8. 在[0,2π]上满足sinx ≥12 的x 的取值范围是( )A.[0,π6]B. [π6,5π6] C.[π3,2π3] D.[π6,2π]9.满足不等式sin(2x+π3) ≤√32的x 的解集为＿＿＿＿＿.10.满足不等式 12≤sin(2x −π6)≤√32的x 的取值范围是＿＿＿＿＿. 综合运用1.对于函数f(x)=2sin2x+1.⑴. f(x) 在(π4,π2)上单调递增; ⑵.f(x)的图像关于(1,0)对称; ⑶. f(x)满足f(x+π)= f(x); ⑷. f(x)的对称轴为x=k π+π4,k ϵZ.A. ⑴⑵B.⑶C. ⑵⑶D. ⑷⑶2.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A>0, ω>0,|φ|<π2)的图像如图所示,求其解析式.3.函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图像如下,此函数解析式为＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿._＿＿＿＿＿.4.已知方程cos 2x+4sinx-a=0有解,则a 的取值范围是＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.5.若函数f(x)=3sin(ωx +φ)对任意实数x 都有f(π3+x)= f(π3-x),则f(π3)=_＿＿＿＿＿.6.已知函数y=sin ωx 相邻的两对称轴间的距离为π4,则正实数ω的值为＿＿＿＿＿.7.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)在一个周期内图像上的第一个点为(-π4,0),最后一个点为(34π,0)最高点为(0,12),则其解析式为( )A.y=12sin(2x +π2) B.y=12sin(2x -π2) C.y=12sin(2x +π4) D.y=12sin(2x -π4)8.函数y= Asin(ωx +φ)在一个周期内的图像如图所示,则此函数的解析式为＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.9.已知函数y=Asin(ωx +φ)(A>0, ω>0)的图像经过(π12,0)图像上与点P 最近的一个最高点为Q(π3,5) ⑴.求函数的解析式 ⑵.求函数的单调递减区间10.已知函数y=A sin(ωx +φ)(A>0, ω>0且0<φ<π2)的部分图像如图所示.⑴.求函数的解析式⑵.若方程y=a 在(0,5π3)上有两个不同的实数根,求a 的取值范围11.已知函数f(x)=Asin(ωx -π6)+1(A>0, ω>0)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间距离为π2.⑴.求函数的解析式⑵.设α∈(0,π2),则f(α2)=2,求α的值.给定角取值范围求单调区间与最值问题1.函数y=sin(2x+π3)在区间[0,π]内的一个单调递减区间是( ) A.[0,5π12] B.[π12,7π12] C.[5π12,11π12] D.[π6,π2]2.函数y=sin(-x+π4)的单调递减区间为＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿. 3. 函数f(x)=sin(2x −π4)在区间[0,π2]上的最小值为＿＿＿＿＿.4.将函数y=3sin(2x+π3)的图像向右平移π2个单位长度,所得图像对应的函数( ) A.在[π12,7π12]上单调递减 B.在[π12,7π12]上单调递增 C.在[−π6,π3]上单调递减 D.在[−π6,π3]上单调递增5.y=sin(x+π4) 在下列哪个区间是递减的＿＿＿＿＿.A.[π4,5π4] B. [−π4ᴨ,0] C. [−π4,3π4] D. [−π2,π2]6.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A>0, ω>0且0<φ<π2)的周期为π,且图像上的一个最低点 M 为(2π3,-2).⑴.求函数的解析式⑵.当x ∈[0,π12]时,求f(x)的最值.九.余弦函数1.求出下列函数的单调区间⑴. y=cos2x; ⑵.y=2sin(12x +π6)+1;⑶.y= −3cos( 2x+π4 ) ⑷.y=2cos ( −2x+π3 )2.求下列函数的值域以及取得最大值时x 的值.⑴. y=cos ( 2x+π6) ,x ∈[0,π2] ⑵.y=−sin 2x −4cosx+6⑶.y=2cosx+1cosx−2⑷.y=2cos ( 2x+π3), x ∈[−π6,π6]⑸.y=sinxcosx+sinx-cosx3.已知函数y=2cos ( π3− 2x) −1,回答下列问题.⑴.求该函数的对称中心和对称轴 ⑵.求y>12时x 的取值集合4.要使得cosx=2a−34−a 有意义,则a 的取值范围是＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.5.若函数y=acosx+b(a,b 为常数)的最大值为1,最小值为-7,则y=3+absinx 的值域为＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.6. cosx=4√m有意义,则m 的取值范围是＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿.7.如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点(4π3,0)中心对称,那么|φ|的最小值 为( )A.π4 B. π2 C. π3 D. π68.设函数f(x)=asin(kx-π3),g(x)=bcos(2kx-π6)(a>0,b>0,k>0),若它们的最小正周 期之和为32π,且f(π2)= g(π2), f(π4)=-√3 g(π4)-1,求这两个函数解析式.1.把函数y= 2cosx+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变),然后向左平移一个单位长度,再向下平移一个单位长度,得到的图像是( ). 2.已知函数f(x)=2cosωx(ω>0),且函数f(x)的图像的两条相邻的对称轴间的距离为π2 )的值⑴.求f(π8个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来⑵.将函数f(x)的图像向右平移π6的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求g(x)的单调递减区间.)的图像在Y轴上的截距为1,它在Y轴3. 已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)( ω>0, A>0, |φ|<π2右侧的第一个最高点和最低点的坐标分别为(t,2)和(t+3π,2),求f(x)的解析式4.一机械振动中,某质点离开平衡位置的位移x与时间t(s)的之间的函数关系如图所示.⑴.求该函数的周期⑵.求t=37.5s时,该质点离开平衡位置的位移.1.判断下列函数的奇偶性⑴.y=3cos2x , x ∈R . ⑵ y=-cosx. , x ∈R . ⑶. y=3cos(12x+3π2) ⑷.y=-cos(x+π6)⑸.y=2cos x2+2 ⑹. Y=sinxcosx ⑺.y=-sinx ⑻. Y=2sinx+2⑼.sin(−23x+π2) ⑽.y=sin2x+1 ⑾.y=sin|x| ⑿. y=|sinx|⒀. y=|cosx|+12.下列函数通过怎样的变化能满足提问的要求;①y=sinx 变成偶函数. ②y=cosx 变成奇函数3.函数y=sinx 的图像经过怎样的变化能得到y=2cos(x-π4)的图像.4.要得到y=sin x2的图像,只需将y=cos(x 2-π4)的图像上的所有点( ) A.向左平移π4个单位 B.向右平移π4个单位 C 向左平移π2个单位 . D.向右平移π2个单位4.要得到函数y=sinx 的图像,只需将函数y=cos(x-π3)的图像 A.向左平移π3个单位 B.向右平移π3个单位 C 向左平移π6个单位 D.向右平移π6个单位5.若把函数y=cos(x+π3)的图像向左平移m(m>0)个单位,所得图像关于y 轴对称,则m 的最小值是_＿＿＿＿＿.6.设函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=_＿＿＿＿＿.7.(奇偶性的应用)定义在R 上的奇函数f(x)的周期为π,在x ∈[0,π2]时, f(x)=sinx,则f(5π3)=＿＿＿＿＿.8.(难题树形结合)已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x<3时,f(x)的图像如 图所示,那么不等式f(x)cosx<0的解集为( ) A.(-3,-π2 )∪ (0,1)∪(π2,3) B. (- π2,-1)∪ (0,1)∪(π2,3) C. (-3,-π2 )∪ (0,1)∪(1,3) D. (-3,-1 )∪ (0,1)∪(1,3)9.下列函数中,即是(0,π2)上的增函数,又是以π为周期的偶函数的是 ( )A.y=|sinx|B. y=|sin2x|C. y=|cosx|D. y=cos2x10.把函数y=cos(x+43π)的图像向右平移φ个单位,所得到的函数图像正好关于原点成中心 对称,则φ的最小值是_＿＿＿＿＿.十.正余弦综合复习题图像题1.（周期简单基础）函数f (x )=Asin(ωx +φ)（ A ＞0，ω>0，｜φ｜≤π2）的图像如图所示，则f(1)+ f(2)+ f(3)+……f(2014)=＿＿＿.2.（简单基础平移）函数f(x)= Asin(ωx +φ)的图像如右图所示，为了得到g(x)=Asin ωx 的图像，可以将函数f (x )的图像（ ）（ A ＞0，ω>0，｜φ｜≤π2）A.向右平移π6个单位长度B.向左平移π3个单位长度 C.向左平移π6个单位长度 D.向右平移π3个单位长度3.（中等平移）右图是函数f (x )=Asin(ωx +φ) （ A ＞0，ω>0，｜φ｜≤π2）的图像的一部分，为了得到这个函数的图像，只要将f (x )=sinx 的图像＿＿＿＿＿＿4.函数f (x )=Asin (ωx +φ)+b （ A ＞0，ω>0，｜φ｜≤π2）的部分图像如图所示，若将函数图像向右平移m(m>0)个单位后成为偶函数，则m 的最小值为（ ）A.2B.1C.2πD.3π5.已知函数f (x )=Asin(ωx +φ) （ω>0，｜φ｜＜π2）的部分图像如图所示，则函数表达式为（ ）A. f (x )=−4sin(π8x +π4)B. f (x )=4sin(π8x −π4) C. f (x )=−4sin(π8x −π4) D. f (x )=4sin(π8x +π4)6.函数f (x )=Asin(ωx +φ) （ A ＞0，ω>0，｜φ｜＜π2）的部分图像如图所示，则将f(x)的图像向右平移π6个单位后，得到的函数解析式为（ ）7.函数f (x )=Asin(ωx +φ) （ A ＞0，ω>0，｜φ｜＜π2）的图像如图所示，为了得到g(x)=sin3x 的图像，只要将f(x)的图像（ ）8.已知函数f (x )=Asin(ωx +φ) （ A ＞0，ω>0，｜φ｜＜π2）的图像如图所示，则f(0)=＿＿.9. f (x )=sin(ωx +φ) （ω>0，｜φ｜＜π2）的部分图像如图所示，如果x 1, x 2∈(−π6,π3), 且f(x 1)= f(x 2)则f(x 1+x 2)=＿＿.10.已知函数f(x)=2A cos 2(π6x+φ)-A(A>0, ｜φ｜<π2),f(x)的部分图像如图所示，P ，Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 坐标为（1，A ）11.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin （π6x+φ）+k ．据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A.5B.6C.8D.10奇偶性1.y=cos(−12x +π2)是＿＿＿函数(奇偶性做答);周期是＿＿＿＿＿.2.将函数y=sin(2x+φ)图像沿x 轴平移π8个单位后,得到一个偶函数图像,则φ的一个可能值是（ ）. A. 3π4 B . π4 C.0 D.- π43.函数Y=sin(2x+ π4)的图像向右平移φ个单位,所得图像关于Y 轴对称,则φ的最小正值是＿＿＿＿＿.4. f (x ) = Asin(wx+φ)(w ﹥0)且满足f (1)=0 则,_A. f (x −2)一定是奇函数B.f (x +1)一定是奇函数C. f (x +3)一定是偶函数D. f (x −3)一定是奇函数5.函数f(x)=cos(2x+π2)cos(x+π2)是＿＿＿＿函数(奇,偶)6.若将函数f (x )=sin2x+cos2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于Y 轴对称，则φ的最小正值为＿＿.7.已知函数f(x)=2sin(x+α2)cos(x+α2)+2√3cos 2(x+α2)- √3是偶函数，α为三角形内角，则α=＿＿.8.已知 f(x)=axcos+bx 2sinx(a,b 不同时为0),且f(-1)=1,则f(1)= ＿＿＿＿＿.14.(奇偶性的应用)定义在R 上的奇函数f(x)的周期为π,在x ∈[0,π2]时，f(x)=sinx,则f(5π3)=＿＿＿＿＿.15.函数f(x)=ln 1+cos (x+5π2)1−cos (x+5π2)是＿＿＿＿＿._函数.(奇偶性做答)单调性1.将函数y=3sin(2x+π3)向右平移π2个单位长度，所得图像对应函数（ ） A.在区间 [π12，7π12]上单调递减 B. 在区间 [π12，7π12]上单调递增C.在区间 [−π6，π3]上单调递减 D. 在区间 [−π6，π3]上单调递增2.设函数 f (x )= sin(2x +π4) +cos (2x +π4),则（ ）A.在（0，π2）上单调递增，其图像关x= π4对称 B.在（0，π2）上单调递增，其图像关x= π2对称 C.在（0，π2）上单调递减，其图像关x= π4对称 D.在（0，π2）上单调递减，其图像关x= π2对称3.已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)，x ∈R ，其中ω>0，-π＜φ≤0ᴨ.若f (x )的最小正周期为6π，且当x=π2时，f (x )取得最小值，则（ ）A.f (x )在区间[-3π,- π]上是减函数B.f (x )在区间[-π,0]上是增函数C.f (x )在区间[3π,5π]上是增函数 D .f (x )在区间[4π,6π]上是增函数4.将函数f (x )=sin 2x （x ∈R ）向右平移π4的单位后所得图像对应的函数的一个单调递增区间是（ ）A.（π2，π） B.（π4，3π4） C.（π2，3π4） D.（3π4，π）5.y=sin(x-1)的单调区间是＿＿＿＿＿.6.y=sinwx (w>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π2]上单调递减,则w 最小值为＿＿＿＿＿.7.若y=2cos ωx 在区间[0, 2π3]上递减,且有最小值1,则ω的值可以( ) A.2 B.3 C.12 D. 138.y=sin(wx+π4)在[π2,πᴨ]上单调递减则w(w>0)的取值范围是_＿＿＿＿＿.9.函数y=sin(π4-2x)的单调递增区间是( ). A.[k π−3π8, k π+3π8]k ∈Z B. [k π+π8, k π+5π8]k ∈ZC. [k π−π8, k π+3π8]k ∈Z D.[k π+3π8, k π+7π8]k ∈Z10.函数y=log 1π√2sin(x+π4)的单调递增区间为＿＿＿＿＿.11. f (x )=cos 2π2x+√3sin π2x ﹒cos π2x-2,则函数f (x )在[-1，1]上的单调递增区间为＿＿＿＿＿.12.f (x )=sin(ωx +φ)+cos (ωx +φ)( ω>0,| φ|＜π2)的最小正周期为π，且f (−x )= f (x )，则（ ） A.f (x )在（0，π2）单调递减 B. f (x )在（π4，3π4）单调递减 C.f (x )在（0，π2）单调递增 D. f (x )在（π4，3π4）单调递增13.动点A （x,y ）在圆x 2+y 2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速转动，12s 转一周。
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过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公
（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
※典型例题
例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法）
（1） （2）3.5
（3）252º（4）11º15¹
变式训练：①填表
角度制
0º
45º
60º
90º
150º
6.用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为______.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.已知两角的和为1弧度，且两角的差为1°,试求这两个角各是多少弧度.
8.如图，已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6，求弓形ACB的面积.
【挑战能力】
（10分）我国发射的某卫星90分钟绕地球一周,若近似地把此卫星的轨道看成一个圆形轨道,问1秒钟转过多少弧度?若地球半径取R=6 370千米,轨道距地面356千米,卫星的速度是多少?
（3）37°30′=rad；
对应关系
角的概念推广后,在弧度制下,与之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即)与它对应;反过来,每一个实数也都有(即)与它对应
预习达标练习
1. 对应的角度为( )
（A）75°（B）125°
（C）135°（D）155°
2.时钟经过1小时，时针转过了( )
（A） rad(B) rad
变式训练(2)：A= ,B= 则A、B之间的关系为.
师生共同完成内容
巩固练习
学习评价
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.在半径不等的圆中，1弧度的圆心角所对的( )
(A)弦长相等(B)弧长相等
(C)弦长等于所在圆的半径(D)弧长等于所在圆的半径
2.已知α=-3，则α是( )
(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角
学习难点：掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式
教师编制内容
生成问题预习提纲
1、弧度制的概念
1、角可以用为单位进行度量，1度的角等于。叫做角度制。角还可以用为单位进行度量，叫做1弧度的角，用符号表示，读作。
2、正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是。如果半径为r的圆心角所对的弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是。这里，α的正负由决定。
(C) rad (D) rad
3.已知扇形的面积是 ,半径是1，则扇形的圆心角是
（A） (B) (C) (D)
4.把90°化为弧度是______.
5.若α是第四象限的角，则π－α是第______象限的角.
6.在直径为20 cm的圆中，求下列各圆心角所对的弧长：
(1) (2)165°
教师精选编制内容
合
§1.1.2弧度制
学生明确内容
学习目标
1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数.
2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系.
3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题.
重难点
学习重点：正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数.
5、若
角
学生自主完成
听课所得
作
探
究
问题1：什么叫角度制？
问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？
问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？
问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？
问题5：角的集合与实数集R之间建立了________
对应关系。
问题6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.
180º
315º
弧度制
②若 ，则 为第几象限角？
③用弧度制表示终边在y轴上的角的集合___ ____.
用弧度制表示终边在第四象限的角的集合__ _____.
例2:①已知扇形半径为10cm,圆心角为60º，求扇形弧长和面积
②已知扇形的周长为8cm ,圆心角为2rad,求扇形的面积
变式训练（1）：一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积.
3.(2011·宿州高一检测)-120°化为弧度为( )
4.(2011·会昌高一检测)若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )
（A）4 cm2(B)2 cm2（C）4πcm2（D）2πcm2
二、填空题（每题4分，共8分）
5.(2011·淮安高一检测)把角 化成α+2kπ(0≤α＜2π)的形式为______.
知识点2、角度制与弧度制的关系
180°＝rad 1°＝rad≈rad 1 rad＝°≈°
练习1、将下Βιβλιοθήκη 弧度转化为角度：（1） =°；（2）－ =°′；（3） =°；
练习2、将下列角度转化为弧度：
（1）36°=rad；（2）－105°=rad；
知识点3、弧度制下角与角的弧度数之间的
角的概念推广后,在弧度制下,与之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即)与它对应;反过来,每一个实数也都有(即)与它对应.