1.5.3 定积分的概念

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1.5.3《定积分的概念》课件-(1)

5 S v(t )dt (t 2)dt 0 0 3
1 1 2
O
1 1 2 3 j n - 1
t
n n n n
n
注：
1 .当
f ( )x 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关，而与区间 a, b 的分法及
i 1 i
n
i
y y=f ( x)
b
c
b
f (x)dx。
f )( dx x)dx f (x f )( dx x) dx f (x )f dx (x f )( dx x dx f (。 x)dx a fa(x a)。 a a a c c c
b
b
c
c
b
b
b
c
b
f (x)dx。

0
y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
2
④
（2）在图②中，被积函数 f ( x) x 在[1 ， 2] 解：上连续，且f ( x) 0, 根据定积分的几何意义，可得阴影部分的面积为 A 2 x 2 dx

f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
y
y f ( x)
O
a
c1 a
Ｃ
b x
b c2

b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx

1.5.3定积分的概念课件人教新课标2(1)

一点i (i 1, 2,..., n) ，作和式：
S
n i 1
f (i )x
n i 1
ba n
f (i )
当 n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f (x) 在区间[a,b] 上的定积分：
S
lim n
n i 1
b
n
a
f
(i
)
b
f (x)dx
a
在区间[a, b]上的定积分，记为
i 1 i n x
nnn
课堂探究
例1.求由直线y 0, x 1与抛物线 y x2
所围成的平面图形的面积 s.
y
问题2：对每个小曲边梯
y x2
形如何“以直代曲”？
O1 2 3 nnn
i 1 i n x
nnn
i 1 i
n
n
课堂探究
例1.求由直线y 0, x 1与抛物线 y x2
所围成的平面图形的面积 s.
问题2：在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？为什么要逐次加倍正多边形的边数？
v
v t2
问题3：能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯
形的面积问题转化为直边图
形的面积问题？进而尽可能
有规律地减小误差，使得直
边图形的面积越来越接近曲
边梯形的面积？
O
曲边梯形
1t
割圆术
思考、讨论，进行交流
积分上限
b a
f
(x)dx
Hale Waihona Puke Slimn0
n i 1
ba n
f (i )
积分下限
被积
函
数
被积表达式

1.5.3定积分的概念(教学用)

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例1 利用定义计算定积分

1
0
x 3 dx.
i 解将[0,1]n 等分，分点为 x i ，(i 1,2, , n ) n 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，(i 1,2, , n ) n 取 i x i ，(i 1,2,, n )
轴的直线). 记xi xi xi 1 . y f ( x) y
o
a x1
x2
x i 1 x i
xn1
b
x
第二步
近似代替；
典型小区域面积
取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.
y
y f ( x)
高
f ( i )
i
o
a x1
x2
xi 1底xi
x i
xn1
b
x
Si f (i )xi . 用矩形面积近似
b
例2 利用定积分的几何意义计算下列积分.
(1) xdx ;
0 1
(2)
1
0
1 x 2 dx .
表示由x 0, x 1, y x及x轴围成的三角形面积.
解 (1) xdx ，
0
1
y x
x0
0

1
0
1 1 xdx .1 1 2 2
A
y0
1
x 1
(2)
1
0
1 x 2 dx ,
曲边梯形面积为
A lim f ( i )xi
0 i 1
n
lim[ f (1 )x1 f ( 2 )x2 f ( 3 )x3 f ( n )xn ] .

1.5.3 定积分的概念

第一章
导数及其应用
1．5.3
定积分的概念
第一章
导数及其应用
学习导航 1.了解定积分的概念．学习 2．理解定积分的几何意义．(难点) 目标 3．掌握定积分的基本性质．(重点)
通过求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个背学法景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作指导用及意义.
第一章
b
a
b
＝ [f(x)＋ g(x)]dx， ∴ f(x)dx＝ 12－ 6＝ 6， ∴ 3f(x)dx
a a b a b
b
＝ 3 f(x)dx＝ 3× 6＝ 18.
a
栏目导引
b
第一章
导数及其应用
名师解题
巧用定积分的几何意义求面积
善于思考的小明发现：半径为 a，圆心在原点的圆，如果固定直径 AB，把圆内的所有与轴平行的弦都压缩到原来的 b 倍，就得到一种新的图形 ——椭圆．他受祖冲之 “割圆术”的启发，采用“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的方法，正确地求出了椭圆的面积，他求得的结果为 ________．
n
积分下限与 _______________ 积分上限 a 与 b 分别叫做 _______________ ，区积分区间间 [a ， b] 叫做 _______________ ，函数 f(x) 叫做被积函数积分变量， f(x)dx 叫做 _______________ ， x 叫做 ______________ 被积式 _______________ ．
a
a
栏目导引
第一章
导数及其应用
2．定积分的几何意义如果在区间 [a ， b] 上函数 f(x) 连续且恒有 b f(x)≥0 _______________ ，那么定积分 f(x)dx 表示由直线 x＝ a，

定积分概念第3

积分区间被积函数区间[a，b]叫做________ ，函数f(x)叫做_________, x 被积式积分变量叫做_________ ，f(x)dx叫做_______ ．
定积分
填一填· 知识要点、记下疑难点
如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 b f(x)≥0 ，那么定积分ʃ 几何 ________ af(x)dx表示由定积
n
定积分
常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的
b a
b ，记作 f(x)dx，即
a
f(x)dx＝
．
其中 a 与 b 分别叫做做
积分区间
积分下限
和
积分上限
，区间[a，b]叫，
，函数 f(x)叫做被积函数
被积式
，x 叫做积分变量
f(x)dx 叫做
．
5．定积分的几何意义
i－1 i－1 ＝1,2，„，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋ n ＝2＋ n ，
从而得 f (ξi)Δx＝
i＝1 n n
i＝1
i－1 1 n 1 2 i－1 2 (2＋ )· ＝ n＋ 2 [0 n＋ n2 ＝ n · n n i n ＝1
＋1＋2＋…＋(n－1)]
0 2 1 2
例2 利用几何意义计算下列定积分：
3 2 3 (1)ʃ －3 9－x dx；(2)ʃ －1(3x＋1)dx.
解 (1)在平面上y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，
1 2 其面积为S＝2·π·3 . 由定积分的几何意义知ʃ －3
3
9 9－x dx＝2π.
2
(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及 y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：

2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2教师用书：第1章 1.5.3 定积分的概念 Word版含解析

1.5.3 定积分的概念1．了解定积分的概念．(难点)2．理解定积分的几何意义．(重点、易混点) 3．掌握定积分的几何性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分的概念阅读教材P 45内容，完成下列问题．如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf(ξi )Δx ＝________________，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f(x(dx ＝__________.其中a 与b 分别叫做__________与__________，区间[a ，b ]叫做______，函数f (x )叫做____________，x 叫做__________，f (x )d x 叫做__________．【答案】 ∑i ＝1n b －a n f (ξi ) lim n→∞∑i ＝1n b －an f (ξi ) 积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式⎠⎛12(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形的面积有什么关系？【解析】由定积分的概念知：二者相等．教材整理2 定积分的几何意义阅读教材P 46的内容，完成下列问题．从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a b f (x )d x 表示由__________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义．【答案】直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x)判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( ) (2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛012x d x <⎠⎛022x d x ( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 教材整理3 定积分的性质阅读教材P 47的内容，完成下列问题．1.⎠⎛ab kf (x )d x ＝________________________(k 为常数)． 2.⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±__________________. 3.⎠⎛ab f (x )d x ＝______________(其中a <c <b )．【答案】 1.k ⎠⎛a b f (x )d x 2.⎠⎛a b f 2(x )d x 3.⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x填空：(1)由y ＝0，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________． (2)⎠⎛-11f (x )d x ＝⎠⎛-10f (x )d x ＋__________. (3)⎠⎛a b (x 2＋2x )d x ＝⎠⎛ab 2x d x ＋________. 【答案】 (1) ⎠⎜⎛0π2cos x d x (2)⎠⎛01f (x )d x (3)⎠⎛a b x 2d x[小组合作型]⎠⎛1【精彩点拨】根据定积分的意义，分四步求解，即分割、近似代替、求和、取极限．【自主解答】令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n. (2)近似代替、作和取ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx ＝∑i ＝1n错误!·错误!＝错误!错误!＝错误![0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5＝32×n2－n n2＋5＝132－32n. (3)取极限 ⎠⎛12(3x ＋2)d x＝lim n→∞S n ＝lim n→∞⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132.利用定义求定积分的步骤[再练一题]1．利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值．【解】令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、作和取ξi ＝1＋in (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·Δx ＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n3错误!＋错误!·错误!＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n .(3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡－13⎝⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋ ⎦⎥⎤3＋1n＝23.(1)⎠⎛-33－39－x2d x ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)d x ； (3)⎠⎛-11－1(x 3＋3x )d x . 【导学号：62952046】【精彩点拨】对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．【自主解答】 (1)曲线y ＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛-339－x2d x ＝92π.(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.(3)∵y ＝x 3＋3x 在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x 轴上方部分面积与x 轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知⎠⎛-11(x 3＋3x )d x ＝0.定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求⎠⎛ab f (x )d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及y ＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(关键词：平面图形的形状)(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：分割)[再练一题]2．上例(1)中变为⎠⎜⎛－32329－x2d x ，如何求解？【解】由y ＝9－x2，知x 2＋y 2＝9(y ≥0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32，其图象如图所示：由定积分的几何意义，知⎠⎜⎛－32329－x2d x 等于圆心角为60°的弓形C ED 的面积与矩形ABC D的面积之和．S 弓形＝12×π3×32－12×3×332＝6π－934，S 矩形＝|AB |×|BC |＝2×32×9－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝932，∴⎠⎜⎛－32329－x2d x ＝6π－934＋932＝6π＋934.[探究共研型]探究1【提示】可先把每一段函数的定积分求出后再相加．探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[a ，b ]上的定积分？【提示】 ①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝0；②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a g (x )d x ＝2⎠⎛0a g (x )d x .(1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，0≤x<1，2x2，1≤x≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.⎠⎛02(x ＋1)d xB.⎠⎛022x 2d x C.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛122x d x ＋⎠⎛02(x ＋1)d x (2)已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝________.【自主解答】 (1)∵f (x )在[0,2]上是连续的，由定积分的性质(3)得⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x .(2)由定积分的性质(2)可得 ⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛022x d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x . 又∵⎠⎛02f (x )d x ＝8，⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，∴⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x ＝8－2×2＝4.【答案】 (1)C (2)4利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：(1)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x ±…±⎠⎛ab f n (x )d x ； (2)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎜⎛a c1f (x )d x ＋⎠⎜⎛c1c2f (x )d x ＋…＋⎠⎜⎛cnb f (x )d x (其中a <c 1<c 2<…<c n <b ，n ∈N *)．[再练一题]3．已知⎠⎛0e x d x ＝e22，⎠⎛0e x 2d x ＝e33，求下列定积分的值．(1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)d x ；(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x .【解】 (1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)d x＝2⎠⎛0e x d x ＋⎠⎛0e x 2d x ＝2×e22＋e33＝e 2＋e33.(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2⎠⎛0e x 2d x －⎠⎛0e x d x ＋⎠⎛0e 1d x ，因为已知⎠⎛0e x d x ＝e22，⎠⎛0e x 2d x ＝e33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e 1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2×e33－e22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.1．下列等式不成立的是( )A.⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a b g (x )d xB.⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋b －aC.⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g (x )d x D.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2π0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x 【解析】利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立．例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4，即⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . 【答案】 C2．图1-5-3中阴影部分的面积用定积分表示为()图1-5-3A.⎠⎛012x dxB.⎠⎛01(2x －1)d xC.⎠⎛01(2x ＋1)d xD.⎠⎛01(1－2x )d x 【解析】根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x －1)d x .【答案】 B3．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________. 【导学号：62952047】【解析】 ∵0＜x ＜π2，∴sin x ＞0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎜⎛0π2 sin x d x .【答案】 ⎠⎜⎛0π2 sin x d x4．若⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝3，⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ＝1，则⎠⎛a b [2g (x )]d x ＝________.【解析】 ⎠⎛ab [2g (x )]d x＝⎠⎛a b [(f (x )＋g (x ))－(f (x )－g (x ))]d x ＝⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x －⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ＝3－1＝2. 【答案】 25．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x2d x .【解】由y ＝4－x2可知x 2＋y 2＝4(y≥0)，其图象如图．⎠⎛-114－x2d x 等于圆心角为60°的弓形C E D 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3.S 矩形＝|AB |·|BC |＝23.∴⎠⎛-114－x2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋3.。

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.5 1.5.3 定积分的概念

i i i 取 ξi＝xi＝2＋n，则 f(ξi)＝2＋n＋2＝4＋n.
f(ξi)Δxi＝
i＝ 1 n n
i＝ 1
i 1 4＋ · n n
跟踪训练
＝
i＝ 1
n
4 n＋1 i 4 1＋2＋…＋n ＋ 2＝n·＋＝4＋ . 2 n n n n 2n n＋1 9 4＋＝ . 2n 2
2
∴
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(3)函数 y＝sin x 在区间[－π，π]上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，由在 x 轴上方和下方面积相等的两部分构成，故该区间上定积分的值为面积的代数和，这个代数和为 0，即 f
π
－π
sin xdx＝0.
点评：定积分 b 介于 x＝a， a f(x)dx 的几何意义是： x＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中 x 轴上方部分的面积为正， x 轴下方部分的面积为负．
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题型1
用定义求定积分
2 例1 用定积分的定义计算： 1 x 0 dx.
解析：(1)分割． n－1 n 1 2 将区间[0,1]分成 n 等份，0＜n＜n＜…＜ n ＜n＝1，分割后的 i i－1 1 区间长为 Δx＝n－ n ＝n. (2)近似代替．第 i 个小曲边梯形的面积可近似为
i－1 i－12 1 · (i＝1,2，…，n)． ΔSi≈ΔSi′＝f ·Δx＝ n n n
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(3)求和．

1 2 0x dx≈Sn＝
i－1 · Δx ΔSi′＝ f n i＝ 1 i＝ 1
n n
n－12 1 1 1 2 1 ·＋…＋ · ＝0· ＋ n n n n n

§1.5.3定积分的概念

1.5.3定积分的概念一：教学目标知识与技能目标通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；过程与方法借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；情感态度与价值观二：教学重难点重点定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义难点定积分的概念、定积分的几何意义三：教学目标：1．创设情景复习：1．解决步骤：2 2．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a x n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11()()nnn i i i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()b aS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b af x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f nξ=-∑；④取极限：()1()lim nb i an i b a f x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()b aS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()b aW F r dr =⎰2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a xb ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

1.5.3 定积分的概念

到曲边梯形的曲边,然后通过求曲边梯形的面积得到相应的定积分
的值,但要注意,当f(x)≥0时,
��
f(x)dx=S;当
f(x)<0
时,
��
f(x)dx=-S.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法当堂检测
变式训练 2 利用定积分的几何意义计算:
(1)
2 0
(1)
1 0
2dx;(2)
2 1
xdx;(3)
1 -1
1-��2dx.
分析:画出被积函数的图象以及相应的区间,根据定积分的几何意义,通过平面图形的面积得到相应的积分值.
探究一
探究二
探究三
思想方法当堂检测
课堂篇探究学习
解:(1)
1 0
2dx
表示的是图①中阴影所示长方形的面积,由于这个
长方形的面积为
f(x)dx
的几何意义.
名师点拨
��
f(x)dx,
��
|f(x)|dx,|
��
f(x)dx|几何意义的区别:
��
f(x)dx,
��
|f(x)|dx,|
��
f(x)dx|的几何意义是不同的,绝不能等同
(2)
��
��1(��) ±
��2(��)
dx=
��
f1(x)dx±
��

人教a版数学【选修2-2】1.5.3《定积分的概念》ppt课件

0 0
[答案] C
π π [解析] 由定积分的几何意义知 sinxdx>0， cosxdx＝0，
0 0
所以C不成立，故应选C.
3．下列值等于1的是(
1 A． xdx
0
)
1 B． (x＋1)dx
0
C． 1dx
1(x)dx± f2(x)dx b a ② f ( x )]d x ＝ __________________ ； [f1(x)± 2 b a
a
b c ③ f ( x )d x ＝
a
f(x)dx f(x)dx＋__________ (其中a<c<b)．
典例探究学案
定积分的定义
1 3 求 x dx.
0
[分析] 这里的被积函数f(x)＝x3显然是连续函数．现按定
1 3 义中包含的几个步骤来求 x dx.
0
[解析] (1)分割[0,1]： n－1 n 1 2 0＜n＜n＜…＜ n ＜n＝1. (2)近似代替：作和
1 1 2 1 n 1 3 3 ·＋ ·＋…＋ 3·. n n n n n n i 1 . ＝ n3· n i＝1
n
(因为x3连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)
(3)取极限：
i 1 nn＋1 1 n 3 1 2 3 ·＝ 4 i ＝ 4 n n n n 2 i ＝1 i＝1
1 0
[答案] C [解析] 由积分的几何意义可知选C.
π 4．由正切曲线y＝tanx，直线x＝0和x＝ 4 ，x轴所围成的平面区域的面积用积分表示为________．

2018学年人教A版数学选修2-2课件第一章导数及其应用 1.5.3定积分的概念精品

这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记
作∫baf(x)dx，即∫baf(x)dx＝
n
i＝1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b－n af(ξi)，这里，a
与
b
分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式．
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0，那么定积分∫baf(x)dx 表示由直线 x＝a，x＝b， y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
2．定积分∫baf(x)dx 的几何意义是：介于 x＝a，x＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中 x 轴上方部分的面积为正，x 轴下方部分的面积为负．
3．定积分的性质主要涉及定积分的线性运算，这是解决定积分计算问题的重要工具．注意这些性质的正用、逆用以及变形使用．
答案：16
归纳升华用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是： (1)准确画出各曲线围成的平面区域； (2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意 x 轴下方有没有区域； (3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限； (4)根据积分的性质写出结果．
[类题尝试] 如图所示，阴影部分的面积分别以 A1， A2，A3 表示，则定积分∫baf(x)dx＝________．
(2)已知 f(x)＝45－－2 xx，，xx∈∈[[23，，35）]，，求 f(x)在区间[0， 5]上的定积分．
解：(1)由定积分的几何意义得：∫3－3 9－x2dx＝π·2 32 ＝92π，∫3－3x3dx＝0，由定积分性质得∫3－3( 9－x2－x3)dx ＝∫3－3 9－x2dx－∫3－3x3dx＝92π.

1.5.3定积分的概念(四)

新授课§1.5.2定积分的概念（四）知识与技能：掌握定积分的几何意义并能应用其去求简单的定积分问题；进一步理解定积分的概念。

进一步掌握掌握定积分的概念过程与方法：无限逼近的思想。

情感、态度与价值观：体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。

重点与难点重点：定积分的几何性质难点：定积分的几何性质一体化设计：定积分的几何意义探究定积分几何意义的应用教学过程：一．复习定积分的概念及其相关相关概念定积分的运算性质二．定积分的几何意义从前面的学习我们不难知道：如果在区间[a ，b]上孙数f(x)连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和()y f x =所围成曲线的曲边梯形的面积。

如图1图1三、探究（1）根据定积分的几何意义，你能用定积分表示如图2阴影部分的面积吗？（2）公式()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰你能从定积分的几何意义解释它吗？四、应用举例例1试用定积分的几何意义求⎰的值。

分析：如果直接用定义求定积分比较难，可以考虚其代表的几何图形的面积。

设y =则可有221x y +=且01x ≤≤，0y ≥其图像为四分之一圆周，所以所求的积分为四分之一圆的面积。

解：例2计算下列定积分，并从几何意义上解释这些值分别表示什么？（1）031x dx -⎰（2）031x dx -⎰ （3）231x dx -⎰解：图2总函数的图像与定积分正负的关系。

六、知识回顾定积分的几何意义作业教材第60页B组第1题板书设计教学反思：。

( 人教A版)高中数学选修22：1.5.3定积分的概念课件 (共35张PPT)

)dx＝1，
a
a
所以c2f(x)dx＋b2f(x)dx
a
c
＝2(cf(x)dx＋bf(x)dx)
a
c
＝2bf(x)dx＝4. a
答案：4
3．计算定积分3(2x＋1)dx＝________. 0
解析：3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 围成的直角梯形 OABC 的 0
a
＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积 S 而得到定积分的值：当 f(x)≥0 时，bf(x)dx＝S；
a
当 f(x)<0 时，bf(x)dx＝－S. a
2．利用定积分的几何意义，求：
3
9－x2dx.
－3
解析：(1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如
2
3552－x2dx＝21×2×1＝1，
∴5f(x)dx＝2xdx＋3(4－x)dx＋
0
0
2
3552－x2dx＝2＋23＋1＝29.
利用定积分的性质计算定积分的步骤： (1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计算，可以简化计算． (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性质计算．
dx
1
1
＝32.
(3)
1
1－x2dx 表示的是图(3)中阴影所示半径为 1 的半圆的面积，其值为π2，
-1
所以1
1－x2dx＝π2.
-1
由定积分的几何意义求定积分的步骤： (1)当 f(x)≥0 时，bf(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与曲线 y＝f(x)围成曲边

1.5.3定积分的概念

《1.5.3定积分的概念》导学案姓名预习案一、学习目标1、知识与技能目标理解并掌握定积分的概念和定积分的几何意义.2、过程与方法目标通过学生自主探究、合作交流，培养学生分析、比较、概括等思维能力，形成良好的思维品质.3、情感态度与价值观目标通过学生积极参与课堂活动，让学生体验创造的激情和成功的喜悦，教学过程中及时地表扬鼓励学生，让学生领会到实实在在的成就感.教学重点定积分的概念，定积分的几何意义教学难点定积分的概念知识链接】曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近探究案【自主学习】1.一般地，如果函数y=f(x)在某个区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I 上的________________。

2 .以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤:①________ ,②________ ,③________ ,④________ .3. 定积分的定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上图像是连续曲线，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[a,b]等分成n 个小区间。

在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ= 作和式_______________________ ，当n →∞时，上述和式无限趋近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[a,b]上的________。

记作:________即⎰b a dx )x (f =)(f n a b lim i n 1i n ξ-∑=∞→.记为：__________________S =，其中：①()f x 称为______________，x 叫做_____________，[,]a b 为_____________，b 为_________________，a 为________________.②定积分()b a f x dx ⎰是一个常数，只与积分上、下限的大小有关，与积分变量的字母无关，()()()b b ba a a f x dx f t dt f y dy ==⎰⎰⎰【自主探究合作交流】探究一：讨论定积分的几何意义是什么？如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()ba f x dx⎰表示：如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有f(x)≤0，那么定积分()b a f x dx ⎰表示：探究二：讨论根据定积分的几何意义，用定积分表示图中阴影部分的面积：探究三：定积分的性质O x y ab A B D C )(2x f y =)(1x f y =性质1a b dx b a -=⎰1 性质2()b a kf x dx =⎰ （k 是常数）性质3 ()()12b a f x f x dx ±=⎡⎤⎣⎦⎰ 性质4 ()()()b c ba a cf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中a b c <<）思考：你能从定积分的几何意义解释性质4吗？例1用图表示下列函数的定积分，并求出定积分（1）∫012dx (2)∫12xdx (3)322166x x -+-⎰d x例2．计算定积分21(1)x dx +⎰分析：所求定积分即为如图阴影部分面积.例3计算下列定积分.50(24)x dx -⎰例4．求如图所示阴影部分图形的定积分.训练案1、由y=sinx, x=0,x=2π,y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是 2、定积分⎰ba dx x f )(的大小（）A 、与)(x f 和积分区间[]b a ,有关，与i ξ的取法无关B 、与)(x f 有关，与区间[]b a ,及i ξ的取法无关C 、与)(x f 和i ξ的取法有关，与积分区间[]b a ,无关D 、与)(x f 、区间[]b a ,和i ξ的取法都有关3、下列等式成立的个数是（）①⎰⎰=1010)()(dx x f dt t f ②dx x dx x xdx ⎰⎰⎰=+ππππ0220sin sin sin ③dx x dx x a a a ⎰⎰=-02 ④⎰⎰<-2020224dx dx x A 、1 B 、2 C 、3 D 、44.画出⎰-312)2(dx x x 表示的图形5.画出由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积.6.思考用定积分的几何意义说明下列不等式：①2202cos 2cos d d πππθθθθ-=⎰⎰ ②sin 0xdx ππ-=⎰ 1 2 yxo。

1.5.3定积分的概念课件人教新课标2

1.5.3 定积分的概念
回顾
2
求曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割: 在区间[a,b] 上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:
每个小区间宽度△x
(2)取近似求和:
任取 ξi[xi-1, xi] ，第i个小曲边梯形的面积,
用高为f(ξi)而宽为△x的小矩形面积 ΔS=f(xi)* △ x 近似值.
作业：课本P.50 A 4，5
谢谢指点
定积分的定义的理解:
探究
定积分的几何意义
yf (x)
探究
定积分的几何意义
探究
用定积分表示图中阴影部分的面积
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中蓝色阴影部分的面积?自我检测自我检测
用定积分表示图中四个阴影部分面积
自我检测
课堂小结
1.定积分定义 2.定积分几何意义 3.用定积分表示图中阴影部分的面积
(3)取极限: 所求曲边梯形的面积S为
定积分的由来
定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。定积分的思想在古代数学家的工作中, 就已经有了萌芽。比如古希腊时期阿基米德在公元前 240年左右, 就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。公元 263 年我国刘徽提出的割圆术,也是同一思想。在历史上,积分观念的形成比微分要早。但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前(17 世纪下半叶),有关定积分的种种结果还是孤立零散的, 比较完整的定积分理论还未能形成,直到牛顿 --莱布尼茨公式建立以后, 计算问题得以解决, 定积分才迅速建立发展起来。

人教版高中数学选修2-2学案：1.5.3定积分的概念

人教版高中数学选修2-2学案：1.5.3定积分的概念1.5.3定积分的概念【学习目标】1.了解定积分的概念和性质；2.了解定积分的几何意义；3.能对简单的定积分进行计算．【新知自学】知识回顾：求曲边梯形的面积：（1）思想：以直代曲、逼近；（2）步骤：分割?近似代替?求和?取极限；关键：近似代替；结果：分割越细，面积越精确.新知梳理：1.定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a?x0?x1?x2? …?xi?1?xi?…?xn?b将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为?x?______，在每个小区间?xi?1,xi?上取一点?i?i?1,2,Sn??f(?i)?x??i?1i?1nn,n?，作和式：b?af(?i).如果?x无限接近于0（亦即n???）时，上述和n式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为________________________．记为_______. 其中f(x)称为_________，x叫做________，[a,b]为_______，b叫做积分____，a叫做积分_____________．说明：（1）定积分?baf(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n???时）称为?baf(x)dx，而不是Sn．b（２）曲边图形面积：S??f?x?dx；变速运动路程S??v(t)dt；变力做功at1t2W??F(r)dr．ab2．定积分的几何意义：如下图所示，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)?0，那么定积分示直线x?a,x?b(a?b),y?0和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积.?f(x)dx表ab3．定积分的性质：（１）kdx?_______（k为常数）；a?b（２）kf(x)dx?____________（其中k是不为0的常数）；a?b（３）（４）??f(x)?fa1bab2(x)?dx?_______________；． ?f(x)dx?__________________（其中a?c?b）对点练习：1.下列等于1的积分是（） A.??101xdx B.?(x?1)dx01C.1dx D.01?02dx1?x2(x?0),13．设f(x)??x则f(x)dx的值是（）?2(x?0).?1?A.?01?1x2dx B.?2xdx?121x0x10?101C.?xdx??2dx D.?2dx??x2dx?13．曲线y?x2,x?0,y?1，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________.4.当函数f(x)在区间[a,b]上连续且恒有f(x)?0（即函数图象在x轴下方）时，定积分?f(x)dx表示___________________________.ab【合作探究】典例精析：例1. 根据定积分的几何意义计算定积分：|x?2|dx的值．1?3变式练习：根据定积分的几何意义计算定积分例2.利用定积分的定义，计算?21(x?1)dx的值．?x013dx的值．变式练习：计算?20x3dx的值，并从几何上解释这个值表示什么含义．【课堂小结】【当堂达标】1.求由y?ex,x?2,y?1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为（）A.［0，e2］B.［0，2］C.［1，2］D.［0，1］ 2.下列命题不正确的是（）． A.若f(x)是连续的奇函数，则B.若f(x)是连续的偶函数，则??a?aaf(x)dx?0 f(x)dx?2f(x)dx0?a?aC.若f(x)在[a,b]上连续且恒正，则D.若f(x)在[a,b]上连续且b?f(x)dx?0ab?f(x)dx?0，则f(x)在[a,b]上恒正a3.化简求值xdx?xdx?______________＝ _____________ ．01?1?24.试用定积分的几何意义说明?204?x2dx的大小．【课时作业】1.已知?20f(x)dx?3,则[f(x)?6]dx=( )0?2A.9 B.12 C.15 D.18 2.若函数f(x)?x3?x，则?2?2f(x)dx等于（）．A.0B.8C.f(x)dxD.2f(x)dx00?2?23.将和式的极限1p?2p?3p?.......?nplim(p?0)表示成定积分是（） n??nP?111pA.?dx B.?xdx00x1x11C.?()pdx D.?()pdx 0x0n14.利用定积分的性质和几何意义求定积分?30(2?x)2dx．5.用定积分表示右图中阴影部分的面积.yAy?f1(x)BDy?f(x)C2bxOa感谢您的阅读，祝您生活愉快。

1.5.3 定积分的概念

[f(x)-g(x)]dx=10,
��
g(x)dx=6,则
b [-f(x)]dx a
. 解析:由于
��
[f(x)-g(x)]dx=
��
f(x)dx-
��
g(x)dx,
∴ �� f(x)dx=16,
1 0 1 0 2 0
xdx xdx 4-x 2 dx
1 0 2 1
x2dx; xdx;
2 0
2dx.
提示:(1)> (2)< (3)<
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课堂合作探究
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问题导学
一、定积分概念的理解及应用活动与探究 1
利用定积分的定义计算
3 2
(x+2)dx.
思路分析:根据定积分的定义,按照 4 个步骤依次进行计算.
�� n
b- a
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预习交流 1
思考:(1)在定积分的定义中,对区间[a,b]的分法是否是任意的?ξi 的取法是否是任意的? (2)定积分吗?
��
f(x)dx 中,定积分的值与积分变量,积分区间有关系
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提示:(1)定积分定义中,对于区间[a,b]的分法是任意的,不一定是等分,只要保证每一个小区间的长度都趋向于 0 就可以,采用等分的方式是为了便于作和.另外,关于 ξi 的取法也是任意的,实际用定积分定义计算定积分时为了方便,常把 ξi 都取为每个小区间的左(或右) 端点. (2)定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即 �� f(x) d x= f(u) d u= f(t)dt=…(称为积分形式的不变性),另外定积 �� 分

课件10：1.5.3 定积分的概念

a
2.b[f1(x)±f2(x)]dx＝bf1(x)dx±_____ab_f2_(_x)_d_x________. 3.abf(x)dx＝_ac_f(_x_)_d_x_＋_a_cb_f_(x_)_d_x(其中 a<c<b)．
a
预习自测
2.填空：(1)由 y＝0，y＝cos x，πxc＝os
[f(x)＋g(x)]dx－b
[f(x)－g(x)]dx＝3－1＝2.
a
a
5．用定积分的几何意义求1 4－x2dx. -1
解：由 y＝ 4－x2可知 x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．
1
4－x2dx 等于圆心角为 60°的弓形 CED 的面积与矩形
-1
ABCD 的面积之和．
S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sinπ3＝23π－ 3.
A.12xdx B.1(2x－1)dx C.1(2x＋1)dx D.1(1－2x)dx
0
0
0
0
【解析】根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为
12xdx－11dx＝1(2x－1)dx.
0
0
0
【答案】 B
3．由 y＝sin x，x＝π 0s，inxx＝dxπ2，y＝0 所围成图形的面积写成定积分的形式是__02______. 【解析】 ∵0＜x＜π2，∴sin x＞0.
所以e
1dx＝1×e＝e，
0
故0e(2x2－x＋1)dx＝2×e33－e22＋e＝23e3－12e2＋e.
跟踪训练
1．下列等式不成立的是( )
A.b[mf(x)＋ng(x)]dx＝mbf(x)dx＋nbg(x)dx
a
a
a
B.b[f(x)＋1]dx＝bf(x)dx＋b－a

【课件】1.5.3 定积分的概念

于 x 轴、函数 f (x) 的图形以及直线 x a , x b 之间各部分面积的代数和，在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积去负号．
定积分的性质
y y=1
y A
B C
Oa
b
x
性质 1
b
1dx b a
a
M Oa
N P bx
性质 2
b
b
kf (x)dx k f (x)dx
定积分的概念
曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：
分割→近似代替→求和→取极限
曲边图形面积 S
lim x
n i 1
f
(
i
)
x
lim
n
n i 1
1 n
f (i )
变速运动的路程 S
lim
t
n i 1
v(i ) t
lim
n
n i 1
1 n
v(i )
定积分的概念
取 i
i (i 1, 2,...n) 则 n
1 0
x3dx
Sn
n i 1
f ( i ) x n
n ( i )3 1 i1 n n
1 n4
n
i3
i 1
1 n4
1 n2 (n 1)2 4
1 (1 1 )2 4n
3 取极限
1 x3dx
0
lim
n
Sn
lim
n
1 (1 4
1 )2 n
1 4
n i 1
ba n
f (i )
如果 x 无限接近于 0（亦即 n ）时，上述和式 Sn
无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f (x) 在区

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