现代谱估计

❖ 平稳ARMA过程
离散随机过程 {x(n)}服从线性差分方程：
x(n) a1x(n 1) L ap x(n p) e(n) b1e(n 1) L bqe(n q)
{e(n)} 为离散白噪声，则称 {x(n)}为ARMA过程。 自回归(autoregressive)—滑动平均(moving average)过程
p
p
x(n) ai x(n i) v(n) a jv(n j)
i 1
j 1
特殊的ARMA
所以： ✓ 白噪声中的AR过程 = ARMA过程 ✓ 白噪声中的可预测过程 = 特殊的ARMA过程
),
Cx (k),
k 0 其他
则
N(z) A(z)
p i0
ni
z
i
p i0
ai
z
i
(k)zk
k 0
两边同乘
p i0
ai
z
i，比较系数得
p
nk ai (k i) i0
k 0,1,L , p
所以，Cadzow谱估计子的关键：估计AR阶数p和AR参ai数
Kaveh谱估计子
Px (z)
H 1(z) 1 A(z) H (z) B(z)
是否存在。
可逆性：称e(n)是x(n)的可逆函数，若
(1)存在序列i，并满足 i i
(2)
e(n) i x(n i) i0
——可逆系统的稳定性 ——可逆性条件
❖ ARMA过程的功率谱密度
e(n)～N (0, 2 ) A(z)x(n) B(z)e(n)
特例三：完全可预测过程
若A(z)s(n) 0,即 s(n) a1s(n 1) L aps(n p) 0
s( p 1), s( p 2),L 可由s(1), s(2),L , s( p)递归出来，即
p
s(n) ais(n i) i 1
线谱
加性白噪声中的可预测过程： x(n) s(n) v(n)
Px (z)
2
B( z ) B( z 1 ) A(z) A(z1)
N(z) A( z )
N (z 1) A(z 1)
N (z) A(z1) N (z1) A(z) 2B(z)B(z1)
又 Px (z) Cx (k)zk (k)zk (k)zk
k
k 0
k 0
其中
(k
)
1 2
Cx
(k
H (z) B(z) A(z)
零点部分 极点部分
极点的作用：决定系统的稳定性和因果性
A(z) 0 即极点不在单位圆上
因果性：称x(n)是e(n)的因果函数，若
⑴ hi i
⑵x(n) hie(n i) i0
即因果系统要求极点在单位圆以内，A(z)的根|z|<1
零点的作用：决定系统的可逆性，即
ARMA模型描述的线性时不变（LTI）系统
e(n) hi x(n)
传递函数：
H (z)
B(z) A( z )
hi z i
i
x(n) e(k )hnk e(n) hn k
满足ARMA模型的条件：
(1)冲激响应系数必须绝对可求和： hk (系统稳定)
(2)A(z)和B(z)无公共因子(p,q唯一)k (3)系统是物理可实现的(因果系统)
AR阶数
MA阶数
p
q
x(n) ai x(n i) e(n) bje(n j)
i 1
j 1
AR参数
MA参数
p
q
ai x(n i) bje(n j)
i0
j0
e(n) ~ N (0, 2 )
后向移位算子：z j x(n) x(n j)
A(z)x(n) B(z)e(n)
其中：A(z) 1 a1z1 L apzp B(z) 1 b1z1 L bqzq
A(z)x(n) B(z)e(n)
特例一：MA过程
A(z) 1
x(n) B(z)e(n)
H (z) hi zi
i
B(z) A( z )
1
b1z 1
L
bq zq
有限冲激响应(FIR)系统
抽头hi i 1,L , q
特例二：AR过程
B(z) 1,
e(n)
WN(0,
2 e
)
A(z)s(n) e(n)
协方差函数的Fourier变换
Px (z)
c z q
j
jq j
A(z) A(z1)
Cx (k)zk
k
pp
ck
aia*jCx (k i j)
i0 j0
k 0,1,L , q
Kaveh谱估计子： Px ()
1
c z q
k
kq k
a z p
2 i
i1 i
ze jw
❖ ARMA功率谱密度的特例
则功率谱
Px () 2
2
B(z) A(z) ze jw
2
B( z ) B( z 1 ) A(z) A(z1) ze jw
其中
A(z1) 1 a1z L ap z p A*(z) B(z1) 1 b1z L bq zq B*(z)
❖ ARMA功率谱估计的两种线性方法
Cadzow谱估计子
H(z) 1 A( z )
中含有 z1 的无数多项
无限冲激响应(IIR)系统
白噪声中的AR过程：x(n) s(n) v(n)
v(n)
~
WN(0,
2 v
)
Px () Ps () Pv ()
2 e
A(z)A(z1) ze j
2 v
2 w
B(z) 2 A(z) 2
ze j
ARMA(p,p)过程
2
B( z ) B( z 1 ) A(z) A(z1)
c z q
j
jq j
A(z) A(z1)
q
2B(z)B(z1) c j z j jq
c j c j
2
b02 b12 L bq2
c0
2 b0b1 L bq1bq
c1
M
2b0bq
cq
ห้องสมุดไป่ตู้
非线性方程，MA参数辨识 （Newton－Raphson迭代）
有偏估计,平滑性差
加窗函数
功率谱曲线平滑, 但分辨率下降
数据窗
Px ()
1 N
N 1
2
x(n)c(n)e jnT
n0
谱窗
N 1
Px () Rx (k )w(k )e jkT k 0
要提高分辨率，使用参数化的谱估计！ 经典谱估计：使用FFT的谱估计 现代谱估计：参数化谱估计
3.1 ARMA谱估计与系统辨识
经典谱估计
❖ 样本
假设已零均值化，N 2k
x(0), x(1),L , x(N -1)
❖ 直接法
周期函数
N 1
X N () x(n)e jnT n0
Px ()
1 N
X N () 2
❖ 间接法
Rx (k)
1 N
N 1
x(n)x(n
n0
k)
N 1
Px () Rx (k)e jkT n0
周期图法