含绝对值的一元一次方程与不等式
1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法(新教材,重难点分层培优提升)(解析版)
1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法（新教材，重难点分层培优提升）类型一、绝对值的有关概念1．（23-24·吉林延边·阶段练习）在下列数中，绝对值最大的数是（）A．0B．1-C．2-D．1【答案】C【分析】本题考查的是绝对值与有理数的大小比较，熟练掌握上述知识点是解题的关键．先计算出各选项的绝对值，再进行大小比较即可．=-=-==，【详解】解：∵|0|0,|1|1,|2|2,|1|1而210>>，∴->-=>，|2||1||1|0故选：C．-，那么a=．2．（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）如果a的相反数是0.74【答案】0.74【分析】本题主要考查了绝对值和相反数的知识，根据“只有符号不相同的两个数互为相反数；互为相反数3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各数：(1)34--；(2)()0.5-+-⎡⎤⎣⎦；(3)6217⎡⎤⎛⎫-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(4)()2-+．4．（2024·辽宁抚顺·三模）下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（）A ．2-B ．1-C ．3D ．05．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）若有理数m 在数轴上的位置如图所示，则化简3m m ++结果是．6．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知|2||1|6a a ++-=，则=a ；7．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知3535x x -=-，则x 的取值范围是．8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果0a b c ++=且c b a >>．则下列说法中可能成立的是（）A ．a 、b 为正数，c 为负数B ．a 、c 为正数，b 为负数C ．b 、c 为正数，a 为负数D ．a 、b 、c 为正数9．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较大小：76-65--．11．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小：①1-与0.01-；②2--与0；③0.3-与13-；12．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题：4.5+，142--，0， 2.5-，6，5-，()3+-．(1)负数集合：{．．．．．．}；(2)用“<”把它们连接起来是；(3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上．大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可；13．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果21(2)0a b ++-=，则a b +的值为（）A ．1B ．3C ．1-D ．3-14．（23-24·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知|3||5|0x y -++=，求||x y +的值．15．（21-22七年级上·陕西·期中）已知（a ＋2）2＋|b ﹣3|＝0，c 是最大的负整数，求a 3＋a 2bc ﹣12a 的值．二、填空题16．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若12x <<，求代数式2121x x xx x x---+=．17．（23-24·上海杨浦·期末）12345x x x x x -+-+-+-+-的最小值为．18．（2024七年级下·北京·专题练习）已知112x -<<，化简|||2|3x x ---=．三、解答题19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a ，b ，c 对应的数如图所示，b c =．(1)确定符号：a ______0，b ______0，c _____0，b c +_____0，a c -______0；(2)化简：a c b +-；(3)化简：a a c --．20．（23-24·北京海淀·期中）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．【答案】(1)>，<，>(2)322a c --21．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：32x -=．解：当30x -≥时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =，所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法，求解方程：3270x --=，得到的解为．22．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）阅读下列材料：我们知道x 表示的是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即0x x =-，也就是说，x 对表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离．例1：解方程6x =．解：∵06x x =-=，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为6±，即该方程的解为6x =±．例2：解不等式12x ->．解：如图，首先在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为1x <-或3x >．参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程53x -=的解为______；(2)解不等式2219x ++<；(3)若123x x -++=，则x 的取值范围是_______；故答案为：8x =或2x =．（2）2219x ++<（3）123x x -++=，表示到1的点与到2-的点距离和为3，故答案为：21x -£<．23．（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示x 和3-的两点之间的距离表示为．(2)若34x +=，则x =．(3)32x x --+最大值为，最小值为．24．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，a 可以理解为0a -，它表示：数轴上表示数a 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A ，B ，分别用数a ，b 表示，那么A ，B 两点之间的距离为AB a b =-，反过来，式子a b -的几何意义是：数轴上表示数a 的点和表示数b 的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数1-的点和表示数3-的点之间的距离是_________．(2)数轴上点A 用数a 表示，则①若35a -=，那么a 的值是_________．②36a a -++有最小值，最小值是_________；③求123202*********a a a a a a ++++++++++++ 的最小值．25．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：8+，6-，3+，4-，8+，4-，5+，3-．(1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地多少千米？(2)若出租车的收费标准为：起步价10元（不超过5千米），超过5千米，超过部分每千米2元，不超过5千米则收取起步价，求李师傅在这期间一共收入多少元？26．（23-24·黑龙江哈尔滨·阶段练习）刚刚闭幕的第33届“哈洽会”，于2024年5月16日至21日在哈尔滨市举办，中外宾客齐聚冰城．为确保全市道路交通安全有序，哈尔滨市公安交通管理局在开幕式当日对会展中心周边区域，以及部分道路进行交通管制和诱导分流．萧萧作为哈市青年当日也贡献了自己的一份力量．如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A 站，东至L 站，途中共设12个上下车站点，“哈洽会”开幕式当日，萧萧参加该线路上的志愿者服务活动，从C站出发，最后在某站结束服务活动，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：5,3,4,5,8,2,1,3,4,1+-+-+-+--+．(1)请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次萧萧志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？(3)已知油箱中要保持不低于10%的油量才能保证汽车安全行驶，若萧萧开始志愿服务活动时该汽车油量占油箱总量的1170，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存储油多少升？一、单选题1．（22-23七年级上·云南保山·期末）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，在下列结论中：①0a b ->；②0ab <；③a b a b +=--；④()0b a c ->，正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．0ab >B ．4b a ->C ．2a b a b +=D ．()()230a b +-<3．（23-24七年级上·山东德州·期末）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则b a b c a c --+--的化简结果为（）A ．2c-B ．2a C ．2b D ．22b c+4．（18-19七年级上·北京海淀·期末）如图，数轴上点A ，M ，B 分别表示数a a bb +，，，若AM BM >，则下列运算结果一定是正数的是（）A ．a b +B ．a b -C ．abD ．a b -5．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合|5||3|8a a ++-=的整数a 的值有（）A ．5个B ．7个C ．8个D ．9个二、填空题6．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知a 、b 为整数，202320a b +--=，且b a <，则a 的最小值为．7．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若0a b c ++=，且a b c >>，以下结论：①0a >，0c >；8．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知x a b ，，为互不相等的三个有理数，且a b >，若式子||||x a x b -+-的最小值为2，则2023a b +-的值为．三、解答题9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）出租车司机小王某天下午营运全是东西走向的玄武大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行驶记录如下：(单位：千米)15+，3-，13+，11-，10+，12-，4+，15-，16+，19-(1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车地点的距离是多少千米？(2)若汽车耗油量为a 升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？(3)出租车油箱内原有5升油，请问：当0.05a =时，小王途中是否需要加油？若需要加油，至少需要加多少升油？若不需要加油，说明理由．10．（23-24七年级下·四川资阳·期末）（1）【阅读理解】“a ”的几何意义是：数a 在数轴上对应的点到原点的距离，所以“2a ≥”可理解为：数a 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：“2a <”可理解为：；我们定义：形如“x m ≤，≥x m ，x m <，x m >”（m 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．例如：315x x -≤+我们将x 作为一个整体，整理得：315x x -≤+3x ≤再根据绝对值的几何意义：表示数x 在数轴上的对应点到原点的距离不大于3，可得：解集为33x -≤≤仿照上述方法，解下列绝对值不等式：①254x x -<-②1312313x x -+<-．11．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -．例如数轴上表示数2和5的两点距离为|25|3-=；数轴上表示数3和1-的两点距离为|3(1)|4--=；由此可知|63|+的意义可理解为数轴上表示数6和3-这两点的距离；|4|x +的意义可理解为数轴上表示数x 和4-这两点的距离；(1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A 和B ，要在流水线上设一个材料供应点P 往两个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小？(2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A B C ，，，要在流水线上设一个材料供应点P 往三个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A B C ，，三点的距离之和最小？(3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A B C D ，，，，要在流水线上设一个材料供应点P 往四个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A B C D ，，，四点的距离之和最小？(4)①|3||4|x x ++-的最小值是_________，此时x 的范围是_________；②|6||3||2|x x x ++++-的最小值是_________，此时x 的值为_________；③|7||4||2||5|x x x x ++++-+-的最小值是_________，此时x 的范围是_________．（3）①根据（1）的结论即可得出答案；②根据（2）的结论即可得出答案；③根据（3）的结论即可得出答案．【详解】（1）解：当点P 在点A 左边时，2PA PB PA PA AB PA AB +=++=+，当点P 在A 、B 之间时，PA PB AB +=，当点P 点点B 的右边时，2PA PB AB PB PB AB PB +=++=+，∴当点P 在A 、B 之间时，才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小；（2）解：当点P 在点A 左边时，2PA PB PC PA PA AC PB PA PB AC ++=+++=++，当点P 在A 、B 之间时，PA PB PC PB AC ++=+，当点P 在B 点时，PA PB PC AC ++=，当点P 在B C 、之间时，PA PB PC PB AC ++=+，当点P 在点C 的右边时，2PA PB PC PC PB AC ++=++，∴当点P 在B 点时，才能使P 到A B C ，，三点的距离之和最小（3）解：当点P 在点A 左边时，42PA PB PC PD PA AB CB AD +++=+++，当点P 在A 、B 之间时，2PA PB PC PD PB CB AD +++=++，当点P 在B C 、之间时，PA PB PC PD BC AD +++=+，当点P 在C D 、之间时，2PA PB PC PD BC AD PC +++=++，当点P 在点D 的右边时，24PA PB PC PD BC AD DC PD +++=+++，∴当点P 在B C 、之间时，才能使P 到A B C D ，，，四点的距离之和最小；（4）解：①由（1）可得：当34x -≤≤时，有最小值，最小值为()437--=，∴|3||4|x x ++-的最小值7，此时x 的范围是34x -≤≤；②由（2）可得：这是在求点x 到6-，3-，2三点的最小距离，∴当3x =-时，有最小值，最小值为|6||3||2||36||33||32|8x x x ++++-=-++-++--=；③由（3）可得：这是在求点x 到7-，4-，2，5四点的最小距离，∴当42x -≤≤时，由最小值，最小值为|7||4||2||5|742518x x x x x x x x ++++-+-=++++-+-=．12．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）有数a b c 、、在数轴上的大致位置如图所示：(1)a c +__________0，b c -__________0，a b -__________0（用“＞”、“<”、“=”）；(2)化简||||||a c b c a b ++---．13．（23-24七年级上·江西上饶·期中）如图所示，数轴上从左到右的三个点A ，B ，C 所对应的数分别为a ，b ，c ．其中点A 、点B 两点间的距离AB 的长是2021，点B 、点C 两点间的距离BC 的长是1000．(1)若以点C 为原点，直接写出点A ，B 所对应的数；(2)若原点O 在A ，B 两点之间，求a b b c ++-的值；(3)若O 是原点，且18OB =，求a b c +-的值．【答案】(1)点A 所对应的数a 为3021-，点B 所对应的数b 为1000-(2)3021(3)a b c +-的值为3003-或3039-【分析】本题考查了数轴与绝对值的意义，理解绝对值的意义是解答本题的关键．（1）根据题意先求解AC 的长，结合数轴的定义可求解点A ，B 所对应的数；（2）根据数轴上点的特征可得a<0，0b >，0c >，0b c -<，结合绝对值的性质化简可求解；，14．（22-23七年级上·北京·期中）已知a ，b 在数轴上的位置如图所示：(1)用“>”、“<”或“=”填空：____0a ，____0a b +，____0b a -；(2)化简：||||2||a b a a b +--+；(3)若21a b =-=，，x 为数轴上任意一点所对应的数，则代数式||||x a x b -+-的最小值是______；此时x 的取值范围是______．。
中学常见绝对值问题解法的探析
中学常见绝对值问题解法的探析作者：李玲来源：《新教育时代·教师版》2018年第14期摘要：在中学数学中，绝对值是非常常见的一种概念，绝对值通过和其他多种数学知识进行相连后，便能够衍生出更多新型绝对值问题，在中学阶段，存在很多常见的绝对值问题，因此，本文对中学常见绝对值问题解法进行深入研究，具有重要意义。
关键词：中学绝对值问题解法关于中学常见的绝对值问题，包括绝对值定义运用问题、一元一次绝对值不等式问题、一次绝对值函数问题、一元一次绝对值方程问题等，针对这些问题，本文分别给出了对应问题的解法，同时为便于理解，本文进行了例题分析。
因此，本文对中学常见绝对值问题解法进行深入研究，具有重要意义。
[1]一、绝对值的几何意义IaI的几何意义为：在数轴中，表示原点O和点a之间的距离。
Ia-bI的几何意义为：在数轴中，点a和点b之间的距离。
针对一些问题，如果采用绝对值的几何意义来进行解决，更为简单、直观，能够快速解决问题。
[2]二、一元一次绝对值方程的解法（1）针对Ia+bI=c（a≠0）型的绝对值方程，其解法为：②当c②当c=0时，原方程变为Iax+bI=0，即ax+b=0，则；③当c>0时，原方程变为ax+b=c或ax+b=-c，解得或者。
例1：求解I2x+3I=5解：根据（1）可得，由于5>0，则原方程可以变形为2x+3=5或者2x+3=-5，解得x=1或者x=-4。
（2）针对Iax+bI=cx+d（ac≠0）型的绝对值方程，其解法为：①将绝对值的非负性作为主要依据，可得cx+d≥0，进而能够将x的取值范围计算出来；②将绝对值的定义作为主要依据，能够将原方程进行转型，变为两个方程，即ax+b=cx+d 和ax+b=-（cx+d）；③对方程ax+b=cx+d和ax+b=-（cx+d）分别进行求解；④将计算出来的解，代入cx+d≧0中，对其进行检验，将不合条件的解进行舍去。
例2：解方程：I4x+3I=2x+9解：根据（2）可得，将绝对值的定义作为主要依据，对原方程进行变型，变为两个方程：4x+3=2x+9和4x+3=-（2x+9）；分别解得x=3和x=-2；通过检验后，其结果都是成立的。
2024初中数学知识点复习提纲
2024初中数学知识点复习提纲一、代数与函数1.一元一次方程与一元一次不等式•含有绝对值的一元一次不等式的解法•解一元一次方程和不等式时的变形方法•应用一元一次方程和不等式解决实际问题2.一次函数与一次函数图像•一次函数的定义、性质和图像表示•利用一次函数解决实际问题•一次函数和一元一次方程、不等式的关系3.二次根式•关于二次根式的定义、性质和化简方法•二次根式的运算和求值•应用二次根式解决实际问题4.整式的定义、性质和运算•多项式的基本概念、性质和表示方法•多项式的加、减、乘和整式除法运算•利用整式解决实际问题二、几何与测量1.平面几何初步•直线、线段、射线、角的基本概念及刻画方法•同位角、对顶角、内错角等角度关系•垂直、平行、相交、交错等线段关系•用角度关系和线段关系解决几何问题2.平面图形初步•三角形的基本性质、分类和判定方法•四边形、多边形、圆的定义和性质•识别和绘制各种平面图形•应用平面图形解决实际问题3.直线、角、面积测量•直线的测量方法和误差控制•利用角度测量解决几何问题•平面图形的面积计算及其应用4.立体几何•空间图形的基本概念、分类以及基本变换方法•立体图形的体积和表面积计算•应用立体几何解决实际问题三、数据与概率1.统计基础知识•数据和变量的定义、分类及其表示方法•统计描述性分析方法（频数、频率、中位数、平均数等）•数据图表的绘制和分析2.概率初步•随机事件和样本空间的定义、性质及表示方法•概率的定义、性质和计算方法•统计与概率的关系及其应用3.统计与概率的实际应用•利用统计和概率解决实际问题•假设检验及其应用以上是2024初中数学知识点复习提纲，希望对广大中学生有所帮助。
高考数学含绝对值的不等式1(修正)
2x + 2kx + k 1 < 0 2 4x + 6x + 3
恒大于零） （∵4x2+6x+3恒大于零） 恒大于零 2(k 3)x + 3 k > 0
取任何实数均成立， ∴原不等式对 x 取任何实数均成立，等价于不等式 2 取任何实数均成立。 2x 2(k 3)x + 3 k > 0 对 x 取任何实数均成立。 ∴△=[-2(k-3)]2 -4×2×(3-k) <0 - × × 1<k<3 的取值范围是（ ， ） ∴k的取值范围是（1，3） 的取值范围是
判别式 = b 2 4ac
>0
y
=0
y
<0
y
二次函数 y = ax 2 + bx + c (a > 0)的图像
x1 0 x 2 x
0 x1 = x2
x
0
没有实根
x
ax 2 + bx + c = 0 有两相异的实根 有两相等的实根 b (a > 0)的解 x1，x2 (且x1 < x2 ) x1 = x2 = 2a b ax 2 + bx + c > 0 {x | x < x1或x > x2} {x | x ≠ } 2a (a > 0)的解集
当 > 2时 不 式 解 为{x | x > 2或 < a} a ， 等 的 集 ： x
练习： 练习：
{x｜ 2.已知不等式ax2-5x+b＞0的解集是{x｜-3＜x＜-2}, 已知不等式ax x+b＞ 的解集是{x 求不等式bx x+a＞ 求不等式bx2-5x+a＞0的解集
初中数学竞赛主要内容
初中数学竞赛主要内容1、实数十进制整数及表示方法。
整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。
素数和合数，最大公约数与最小公倍数。
奇数和偶数，奇偶性分析。
带余除法和利用余数分类。
完全平方数。
因数分解的表示法，约数个数的计算。
有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。
1、代数式综合除法、余式定理。
拆项、添项、配方、待定系数法。
部分分式。
对称式和轮换对称式。
2、恒等式与恒等变形恒等式，恒等变形。
整式、分式、根式的恒等变形。
恒等式的证明。
3、方程和不等式含字母系数的一元一次、二次方程的解法。
一元二次方程根的分布。
含绝对值的一元一次、二次方程的解法。
含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。
含绝对值的一元一次不等式。
简单的一次不定方程。
列方程（组）解应用题。
4、函数y=|ax+b|,y=|ax2+bx+c|及y=ax2+bx+c的图像和性质。
二次函数在给定区间上的最值。
简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数。
5、逻辑推理问题抽屉原则（概念），分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。
简单的组合问题。
逻辑推理问题，反证法。
简单的极端原理。
简单的枚举法。
6、几何四种命题及其关系。
三角形的不等关系。
同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系。
面积及等积变换。
三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。
一元一次方程、一元一次不等式、绝对值不等式的解法
补课教材3：一元一次方程、不等式(组）＆绝对值不等式的解法学生姓名：【知识一】 解一元一次方程①一般形式：ax+b=0（0≠a ）②解法：③练习：2x+3=0 5x-3=0 3（x-1）=5（x-2）+8【知识二】 解一元一次不等式①一般形式：ax+b>0（0≠a ）或ax+b<0（0≠a ）若所给不等式不是般形式，先通过去括号，移项，合并同类项，化为一般形式，再解 ②解法举例：(1) 3x+2>0 (2)-3x+2>0 (3) )2(473-≥-x x 解： 23->x 解法1：23->-x 解法2：2>3x 解：去括号 32->x 3232<--<x x 即 3x<2 移项 32<x 合并同类项 答案：③总结：ax+b>0（0≠a ）的解法： ④练习： 2x-3<4 -2x+3>0x x 223>- )13(52)1(3-->--x x【知识三】 解不等式组⎩⎨⎧->-≤-)2(7328)1( 332x x x x①方法： 先分别解不等式(1)、(2),再利用数轴找出两个解的公共部分！ 解：解(1)得：解(2)得：原不等式的解集为∴不等式组的解集有四种情况：若a b <，则：x a x b <⎧⎨<⎩的解集是 ，即“小小取小”；x a x b >⎧⎨>⎩的解集是 ，即“大大取大”； x a x b >⎧⎨<⎩的解集是 ，即“大小小大中间找”；x a x b <⎧⎨>⎩，即“大大小小无解答”. （★在理解的基础上记忆）③解不等式组⎩⎨⎧<+->-14123x x ⎩⎨⎧<+<-04123x x解不等式：3123≤-<-x ⎩⎨⎧<-<-010513x x【知识四】简单的绝对值不等式！|x|<3 的解集为 |x|>4的解集为总结：|x|<a （a>0）的解集为 |x|>a （a>0）的解集为01-2。
初一难题集锦(方程与绝对值)答案-(解题过程)
答案与评分标准一、解答题（共18小题，满分150分）1、a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）|a+b|=|a|+|b|；（2）|ab|=|a||b|；（3）|a﹣b|=|b﹣a|；（4）若|a|=b，则a=b；（5）若|a|＜|b|，则a＜b；（6）若a＞b，则|a|＞|b|．考点：绝对值；不等式的性质。
分析：根据绝对值和不等式的性质对每一小题进行分析．解答：解：（1）错误．当a，b同号或其中一个为0时成立．（2）正确．（3）正确．（4）错误．当a≥0时成立．（5）错误．当b＞0时成立．（6）错误．当a+b＞0时成立．点评：本题主要考查了绝对值和不等式的有关内容．需熟练掌握和运用绝对值和不等式的性质．2、已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：|b﹣a|+|a+c|﹣2|c﹣b|．考点：整式的加减；数轴；绝对值。
分析：解决此题关键要对a，b，c与0进行比较，进而确定b﹣a，a+c，c﹣b与0的关系，从而很好的去掉绝对值符号．解答：解：由数轴可知：a＞b＞0＞c，|a|＞|c|，则b﹣a＜0，a+c＞0，c﹣b＜0．∴|b﹣a|+|a+c|﹣2|c﹣b|=﹣（b﹣a）+（a+c）﹣2[﹣（c﹣b）]=﹣b+a+a+c+2c﹣2b=2a﹣3b+3c．点评：在去绝对值符号时要注意：大于0的数值绝对值是它本身，小于零的数值绝对值是它的相反数．3、已知x＜﹣3，化简：|3+|2﹣|1+x|||．考点：绝对值。
专题：计算题。
分析：这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解答：解：∵x＜﹣3，∵1+x＜0，3+x＜0，∴原式=|3+|2+（1+x）||，=|3+|3+x||，=|3﹣（3+x）|，=|﹣x|，=﹣x．点评：本题考查了绝对值的知识，注意对于含有多层绝对值符号的问题，要从里往外一层一层地去绝对值符号．考点：绝对值。
专题：计算题；分类讨论。
知识点106 含绝对值符号的一元一次方程解答题
三、解答题1、（2008•乐山）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；例2：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；例3：解方程|x﹣1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3．故原方程的解是x=2或x=﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|=4的解为1或﹣7；（2）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9；（3）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．考点：含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次不等式。
专题：阅读型。
分析：仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答．解答：解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4表示求在数轴上与﹣3的距离为4的点对应的x的值为1或﹣7．（3分）（2）∵3和﹣4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与﹣4的两侧．当x在3的右边时，如图，易知x≥4．（5分）当x在﹣4的左边时，如图，易知x≤﹣5．（7分）∴原不等式的解为x≥4或x≤﹣5（8分）（3）原问题转化为：a大于或等于|x﹣3|﹣|x+4|最大值．（9分）当x≥﹣1时，|x﹣3|﹣|x+4|应该恒等于7，当﹣4＜x＜﹣1，|x﹣3|﹣|x+4|=﹣2x﹣1随x的增大而减小，当x≤﹣4时，|x﹣3|﹣|x+4|=7，即|x﹣3|﹣|x+4|的最大值为7．（11分）故a≥7．（12分）点评：本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，同学们不要产生畏惧心理．2、解方程：．考点：含绝对值符号的一元一次方程。
人教版九年级数学上册知识点
人教版九年级数学上册知识点人教版九年级数学上册知识点概述一、实数与代数表达式1. 实数的概念与性质- 正实数、负实数、零- 实数的四则运算- 实数的大小比较2. 代数表达式的运算- 整式的加法与减法- 乘法分配律- 幂的乘方与积的乘方- 单项式与多项式的乘法- 多项式的因式分解3. 二次根式的运算- 二次根式的定义- 二次根式的乘法与除法- 二次根式的加法与减法- 完全平方公式与平方差公式二、方程与不等式1. 一元一次方程与不等式- 方程的解法- 含绝对值的一元一次方程- 一元一次不等式的解集2. 二元一次方程组- 代入法与消元法- 方程组的解的情况3. 一元二次方程- 一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）- 一元二次方程根的判别式三、平面图形的性质1. 平行线与角- 平行线的判定与性质- 同位角、内错角、同旁内角- 角的平分线2. 三角形的性质- 三角形的内角和外角- 等腰三角形与等边三角形的性质- 三角形的中位线定理3. 特殊三角形- 直角三角形的性质与勾股定理- 直角三角形的判定- 含30°角的直角三角形的性质4. 平行四边形与圆- 平行四边形的性质与判定- 圆的基本性质- 圆周角与圆心角的关系- 扇形与弧长四、空间图形的性质1. 空间图形的观察- 视图的画法- 空间图形的展开图2. 空间图形的测量- 体积的计算- 表面积的计算五、统计与概率1. 统计- 数据的收集与整理- 频数与频率- 统计图表的绘制与解读2. 概率- 随机事件的概率- 概率的计算- 用树状图法解决简单的概率问题以上是人教版九年级数学上册的主要知识点概述。
这些知识点构成了九年级数学课程的核心内容，学生需要掌握这些概念、公式和解题方法，以便在数学学习中取得良好的成绩。
教师和家长应指导学生通过练习和应用这些知识点，加深理解和记忆，提高解题能力。
不等式常用公式概念及拓展详细
不等式常用公式概念及拓展详细在高中数学中，不等式是一个非常重要且常见的概念。
它们经常用来描述数值的大小关系。
本文将详细介绍不等式的常用公式、概念以及一些拓展知识。
1.不等式的基本定义和性质不等式是一个表示两个数或两个代数式关于大小关系的陈述，包括大于、小于、大于等于和小于等于四种情况。
例如，a>b表示a大于b，a<b 表示a小于b，a≥b表示a大于等于b，a≤b表示a小于等于b。
不等式的性质：-若a>b，那么b<a；-若a>b，且b>c，那么a>c；-若a>b，那么a+c>b+c（这个性质可以推广到减法、乘法和除法）；-若a>0，那么a·b>a·c（若a<0，则反号）。
2.一元一次不等式一元一次不等式是一个以一个变量为未知数的一次方程。
例如，2x+1>5是一个一元一次不等式。
解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，但需要注意在乘除法时要根据不等式的符号进行判断。
3.二元一次不等式二元一次不等式是含有两个变量的不等式，例如，2x+3y>6、要解二元一次不等式，需要将其转化为图形来表示。
可以通过绘制直线、曲线等方式来确定不等式的解集。
4.绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值的不等式。
例如，x-2，>3、解绝对值不等式时，需要考虑绝对值的两个情况，即x-2>3和x-2<-3、解出这两个方程后，将求得的解集取并集即可得到绝对值不等式的解集。
5.分式不等式分式不等式是含有分式的不等式。
例如，x/(x+3)>1、解分式不等式时，需要注意分母不能为0。
可以通过绘制函数图像的方法来确定不等式的解集。
6.不等式的加减法不等式的加减法是指对不等式的两边同时加上或减去相同的数，而保持不等式成立。
例如，若a>b，则a+c>b+c。
但是需要注意，当不等式两边乘以负数时，不等号的方向会发生翻转。
不等式解法举例(1)含绝对值的一元一次、一元二次不等式(组)的解法1
x 5x 6 0 解集是 x x 2或x 3} {
2
(3) x
2
5x 5 1
解 由原不等式得-1＜x2-5x+5＜1 即 x2-5x+4＜0 (1) ｛x2-5x+6＞0 (2) 不等式(1)的解集是1＜x＜4 不等式(2)的解集是x＜2或x＞3 ∴原不等式的解集是｛x︱1＜x＜2 或3＜x＜4｝
例1解不等式 x 3 x 4.
2
解：原不等式可化为： x 3x 4 (1)或x 3x 4 (2)
2 2
不等式（）的解集为 x x 4或x 1}. 1 { 不等式（ ）的解集是。 2 原不等式的解集是不等 1 式（ ）与不等式（ ） 2 的解集的并集，即： {x x 4或x 1} {x x 4或x 1}.
例４已知关于x的不等式(m+n)x+(2m-3n)<0的 解集为（－∞，－１／３）， 求关于x 的不等式(m-3n)x+(n-2m)>0的解集．
解：（m n) x (2m 3n) 0的解集为（ ， 1 3
（m n )( 1 ) ( 2 m 3 n ) 0 , 3 m n 0,
不等式的x 2 x 1 4的解集是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
{
即{
m 2 n 0 m n 0
m 2n, n 0. 不等式(m 3n) (n 2m) 0 可化为 nx 3n 0, x 3.
例5关于x的不等式x ax 3 的解集为 2
2
{x 2 x b}, 求a, b的值。
解：原不等式可化为 x 3 0. ax 2
2
含绝对值的不等式解法
教案名称：含绝对值的不等式解法详解一、绝对值的定义和性质1.1绝对值的定义对于实数x，它的绝对值是指x到原点的距离，用符号||表示例如，|3|=3，|−3|=31.2绝对值的性质绝对值具有以下性质：非负性：||≥0，且||=0当且仅当=0正定性：||>0当且仅当≠0对称性：|−|=||三角不等式：|+|≤||+||二、含绝对值的不等式的基本形式2.1含绝对值的一元不等式含绝对值的一元不等式的基本形式为|()|≤，其中a为正实数例如，|−2|≤32.2含绝对值的二元不等式含绝对值的二元不等式的基本形式为|()−()|≤，其中a为正实数例如，|2−4|≤5三、含绝对值的不等式的解法3.1含绝对值的一元不等式的解法含绝对值的一元不等式的解法如下：将不等式转化为两个不等式：()≤和−()≤分别解出两个不等式的解集。
将两个解集取交集，得到原不等式的解集。
例如，对于不等式|−2|≤3，将其转化为()≤3和−()≤3，即−2≤3和−(−2)≤3，解得∈[−1,5]3.2含绝对值的二元不等式的解法含绝对值的二元不等式的解法如下：将不等式转化为两个不等式：()−()≤和()−()≤分别解出两个不等式的解集。
将两个解集取并集，得到原不等式的解集。
例如，对于不等式|2−4|≤5，将其转化为2−4≤5和−(2−4)≤5，即∈[−3,−1]∪[1,3]四、含绝对值的不等式的应用4.1含绝对值的不等式的应用含绝对值的不等式在数学中有广泛的应用，例如：在几何中，绝对值用于计算点到直线的距离。
在代数中，绝对值用于求解方程和不等式。
在统计学中，绝对值用于计算误差和方差。
4.2含绝对值的不等式的例题例题1：求解不等式|−3|≤2解答：将不等式转化为()≤2和−()≤2，即−3≤2和−(−3)≤2，解得∈[1,5]例题2：求解不等式|2−4|≤3解答：将不等式转化为2−4≤3和−(2−4)≤3，即∈[−7,−1∪[1,7]例题3：求解不等式|−2|+|+3|≤5解答：将不等式转化为四个不等式：−2++3≤5，−2−(+3)≤5，−(−2)++3≤5，−(−2)−(+3)≤5，解得∈[−7,2]2以上是含绝对值的不等式解法的详细介绍，希望能对家的学习有所帮助。
一元一次方程的解法及应用拓展
一元一次方程的解法及应用拓展一、一元一次方程的概念1.1 定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且两边都为整式的等式称为一元一次方程。
1.2 形式：ax + b = 0（a, b为常数，a≠0）二、一元一次方程的解法2.1 公式法：将方程ax + b = 0两边同时除以a，得到x = -b/a。
2.2 移项法：将方程中的常数项移到等式的一边，未知数项移到等式的另一边。
2.3 因式分解法：将方程进行因式分解，使其成为两个一次因式的乘积等于0的形式，然后根据零因子定律求解。
三、一元一次方程的应用3.1 实际问题：将实际问题转化为一元一次方程，求解未知数。
3.2 线性方程组：由多个一元一次方程组成的方程组，可用代入法、消元法等方法求解。
3.3 函数图像：一元一次方程的图像为直线，可通过解析式分析直线与坐标轴的交点、斜率等性质。
四、一元一次方程的拓展4.1 比例方程：含有一元一次方程的等比例关系，可通过交叉相乘、解一元一次方程求解。
4.2 分式方程：含有一元一次方程的分式，可通过去分母、解一元一次方程求解。
4.3 绝对值方程：含有一元一次方程的绝对值，可分为两种情况讨论，求解未知数。
五、一元一次方程的练习题5.1 选择题：判断下列方程是否为一元一次方程，并选择正确的解法。
5.2 填空题：根据题目给出的条件，填空求解一元一次方程。
5.3 解答题：解答实际问题，将问题转化为一元一次方程，求解未知数。
六、一元一次方程的考试重点6.1 掌握一元一次方程的定义、形式及解法。
6.2 能够将实际问题转化为一元一次方程，求解未知数。
6.3 熟练运用一元一次方程解决线性方程组、函数图像等问题。
6.4 理解一元一次方程的拓展知识，如比例方程、分式方程、绝对值方程等。
七、一元一次方程的学习建议7.1 多做练习题：通过大量的练习题，熟练掌握一元一次方程的解法及应用。
7.2 深入理解实际问题：学会将实际问题转化为一元一次方程，提高解决问题的能力。
一元一次方程、一元一次不等式、绝对值不等式的解法
补课教材3：一元一次方程、不等式(组）＆绝对值不等式的解法学生姓名：【知识一】 解一元一次方程①一般形式：ax+b=0（0≠a ）②解法：③练习：2x+3=0 5x-3=0 3（x-1）=5（x-2）+8【知识二】 解一元一次不等式①一般形式：ax+b>0（0≠a ）或ax+b<0（0≠a ）若所给不等式不是般形式，先通过去括号，移项，合并同类项，化为一般形式，再解 ②解法举例：(1) 3x+2>0 (2)-3x+2>0 (3) )2(473-≥-x x 解： 23->x 解法1：23->-x 解法2：2>3x 解：去括号 32->x 3232<--<x x 即 3x<2 移项 32<x 合并同类项 答案：③总结：ax+b>0（0≠a ）的解法： ④练习： 2x-3<4 -2x+3>0 x x 223>- )13(52)1(3-->--x x【知识三】 解不等式组⎩⎨⎧->-≤-)2(7328)1( 332x x x x①方法： 先分别解不等式(1)、(2),再利用数轴找出两个解的公共部分！ 解：解(1)得：解(2)得：原不等式的解集为∴不等式组的解集有四种情况：若a b <，则：x a x b <⎧⎨<⎩的解集是 ，即“小小取小”；x a x b >⎧⎨>⎩的解集是 ，即“大大取大”； x a x b >⎧⎨<⎩的解集是 ，即“大小小大中间找”；x a x b <⎧⎨>⎩，即“大大小小无解答”. （★在理解的基础上记忆）③解不等式组⎩⎨⎧<+->-14123x x ⎩⎨⎧<+<-04123x x解不等式：3123≤-<-x ⎩⎨⎧<-<-010513x x【知识四】简单的绝对值不等式！|x|<3 的解集为 |x|>4的解集为 总结：|x|<a （a>0）的解集为 |x|>a （a>0）的解集为01-2。
一元二次不等式及绝对值不等式的解法
解析（1）若a=0时，解为x>0.
（2）若a>0时，Δ=4-4a2.
①当Δ>0时，即0<a<1时，
方程ax2-2x+a=0的两根为 1 1 a，2
所以不等式的解集为
a
{1x| 1 a2 <x<1 1 a2 };
a
a
②当Δ=0，即a=1时，x∈ ；
③当Δ<0，即a>1时，x∈ .
（3）若a<0时，
为(ax-1)(x+1)<0，然后根据a的 不同取值进行分类讨论，与不 等式的解集进行比较，确定a 的值.
解析
axx又11其<解 0集为(a(-x∞-1,-)1(x)∪+1()<01. ,+∞)，
2
可知a<0，
故(ax-1)(x+1)<0 (x1- )(x+1)>0.
a
结合原不等式的解集，有 故填-2.
故填{x|0<x<2}.
题型二 含绝对值不等式
例2 (2009·重庆卷）不等式|x+3|-|x-
1|≤a2-3a对任意实数x恒成立，则实数 a的取值范围为（ ） A A.（-∞，-1］∪［4，+∞) B.（-∞，-2］∪［5，+∞) C.［1，2］ D.（-∞，1］∪［2，+∞）
（方法二）求|x+3|-|x-1|的最值时，还可以 利用绝对值不等式求解.绝对值不等式是 |a|-|b|≤||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,只要利用其中
⑧.. 或{xx|x＞＜xx2}1
等实根 无实根
x1=x2= b
⑨
{.x|x≠
含绝对值符号的一元一次方程习题附答案
含绝对值符号的一元一次方程习题附答案1.已知|2-x|=4，则x的值是？解：|2-x|=4，分两种情况讨论：当2-x≥0时，有2-x=4，解得x=-2；当2-x<0时，有-(2-x)=4，解得x=-6.综上所述，x的值为-2或-6，选项C。
2.已知关于x的方程|5x-4|+a=0无解，|4x-3|+b=0有两个解，|3x-2|+c=0只有一个解，则化简|a-c|+|c-b|-|a-b|的结果是？解：首先，|5x-4|+a=0无解，说明|5x-4|≠0，即5x-4≠0，解得x≠4/5；其次，|4x-3|+b=0有两个解，说明|4x-3|=0，即4x-3=0，解得x=3/4；最后，|3x-2|+c=0只有一个解，说明|3x-2|=0，即3x-2=0，解得x=2/3.将x≠4/5，x=3/4，x=2/3代入|a-c|+|c-b|-|a-b|中，得到|a-c|+|c-b|-|a-b|=|a-0|+|0-b|-|a-b|=|a-b|-|a-b|=0，选项D。
3.方程|3x|+|x-2|=4的解的个数是？解：分两种情况讨论：当x≥0时，有3x+x-2=4，解得x=1；当x<0时，有-3x+x-2=4，解得x=-2/4=-1/2.综上所述，方程|3x|+|x-2|=4的解有两个，即x=1或x=-1/2，选项C。
4.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足方程|x-|=0，则m的值为？解：由于|x-|=0，说明x=0，代入方程mx+2=2(m-x)中，得到2m+2=0，解得m=-1，选项A。
5.方程|2x-6|=0的解是？解：|2x-6|=0，说明2x-6=0，解得x=3，选项A。
6.若|x-1|=3，则x=？解：分两种情况讨论：当x-1≥0时，有x-1=3，解得x=4；当x-1<0时，有-(x-1)=3，解得x=-2.综上所述，x的值为4或-2，选项C。
7.方程|2x-1|=4x+5的解是？解：分两种情况讨论：当2x-1≥0时，有2x-1=4x+5，解得x=-3；当2x-1<0时，有-(2x-1)=4x+5，解得x=3/2.综上所述，方程|2x-1|=4x+5的解为x=-3或x=3/2，选项A。
不等式解法举例
例3 解不等式︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱>7
解法一：（1）x<3时，不等式转化为： -（x+3)+2-x>7. ∴x<-4. (2)-3≤x<2时，不等式化为：2-x+x+3>7. 即：5＞7，不成立。故-3≤x<2时，不等式无解。 （3）x≥2时，不等式化为：x-2+x+3>7. ∴x>3. 综合可得原不等式的解集为{x︱x<-4或x>3}.
ห้องสมุดไป่ตู้
x2 5x 6 0 解集是{x x 2或x 3}
(3) x 2 5x 5 1
解 由原不等式得-1＜x2-5x+5＜1
｛ 即 x2-5x+4＜0 (1) x2-5x+6＞0 (2) 不等式(1)的解集是1＜x＜4 不等式(2)的解集是x＜2或x＞3
∴原不等式的解集是｛x︱1＜x＜2 或3＜x＜4｝
不等式解法举例(1)
含绝对值的一元一次、 一元二次不等式（组） 的解法
基本绝对值不等式的解集
不等式︱x︱<a(a>0)的解集是{x︱-a<x<a}.
不等式︱x︱>a(a>0)的解集是{x︱x>a或x<-a}.
尝试:（1）︱x︱<1
解集是{x 1 x 1}
(2)x2 5x 4 0 解集是{x1 x 4}
解法二：当x 0时，原不等式化为： x2 2x 15 0,即：（x 5)(x 3) 0. x 5. 当x 0时，原不等式化为x2 2x 15 0. 即：(x 5)(x 3) 0. x 5. 原不等式的解集为{x x 5或x 5}.
带有绝对值符号的方程解法(1)
若a≤b，则|a|≤|b|。
绝对值函数图像
01
绝对值函数y=|x|的图像是一条折线，顶点在原点，两边分别 与x轴正半轴和y轴正半轴重合。
02
当x≥0时，y=x；当x<0时，y=-x。
03
绝对值函数图像关于y轴对称。
02
一元一次绝对值方程解法
方程类型及解法思路
类型一
01
$|ax+b|=c$，其中$aneq0$，$cgeq0$
实例分析与求解过程
• 实例二：解方程组$\left{ \begin{array}{l} |x + y - 3| + |x - y + 1| = 6 \ x + 2y = 4 \end{array} \right.$。
• 分析：这是一个多元绝对值方程组，可以将其化为四个分段函数进行求 解。
• 求解过程：根据绝对值的性质，将方程组化为四个分段函数组，然后分 别求解每个分段函数组。解得$\left{ \begin{array}{l} x = \frac{8}{3} \ y = \frac{2}{3} \end{array} \right.$或$\left{ \begin{array}{l} x = 0 \ y = 2 \end{array} \right.$或$\left{ \begin{array}{l} x = \frac{4}{3} \ y = \frac{8}{3} \end{array} \right.$。经检验，所有解均符合原方程组 。
高次绝对值方程类型及解法
类型一
形如$|x^n| = a$（$n geq 2$，$a > 0$）的高 次绝对值方程。
类型二
形如$|x^n - b| = c$（$n geq 2$，$b, c in R$ ）的高次绝对值方程。
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内部资料，请勿外传 1 含绝对值的一元方程与不等式
一．知识点拨
1．最简单的绝对值方程是：a x =||。
当0<a 时，方程无解；
当0=a 时，方程的解为0=x ；
当0>a 时，方程有两解a x a x -==和。
其求解思路是想方设法去掉绝对值符号，化为常见的方程求解。
2．最简单的绝对值不等式：||x a >与||x a <（0a >）
||x a >的解集是x a x a <->或；||x a <的解集是a x a -<<
3．解绝对值的方程与不等式常用数轴来理解，即利用绝对值的几何意义
二．典例选讲
例1 方程|56|65x x +=-的解是
例2 解方程1|2||4|+=--+x x x
例3 适合|1||5|8x x -+-=的整数x 的值的个数有（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 例4 解不等式：（1）32|23|+<+x x ；
（2）.07
254<+-x x
例5 求不等式|2||4|2x x -+->的解集
例6 已知关于x 的方程|2||3|x x a -+-=，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论。