高等工程数学

摘要高等工程数学是工程类硕士研究生的一门重要的数学基础课程，在研究生数学素养的训练、创新能力的提高方面具有重要作用。

内容包含矩阵论、数值计算方法和数理统计三部分，其主要内容有：先行空间与线性变换、内积空间、矩阵的标准型、数理统计的基本概念与抽样分布、参数估计、假设检验、回归分析与方差分析。

关键词：线性空间、假设检验、方差分析一、线性空间的综述简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。

1.1 数域的概念设P是一个非空数集，且至少含有非零的数，若P中任意两个数的和、差、积、商（除分母为零外）仍属于该集合，则称P是一个数域。

容易验证有理数集合Q、实数集合R与复数集合C都是数域，分别称为有理数域、实数域与复数域。

1.2 线性空间定义设V是一个非空集合，P是一个数域，如果:(1)在集合V上定义一个二维运算（通常称为加法），即对V中任意两个元素x,y经过这个运算后得到的结果，仍是集合V中唯一确定的元素，该元素称为x 与y的和记作x+y.(2)在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于P任意数λ与V中任意元素x，经过这一运算后所得到的结果，仍是V中唯一确定的元素，称为唯一确定的元素，称为λ与x的数量乘积，记作λ x。

如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间。

1.3线性空间的运算(1)对任意x,y∈V，x+y=y+x;(2)对任意x,y,z∈V，(x+y)+z=x+(y+z);(3)V中存在一个零元素，记作θ，对任意x∈V，都有x+θ=x;(4)对任意x∈V,都有y∈V，使得x+y=θ,元素y称为x的负元素，记作－x;(5)对任意x∈V,都有1x=x;对任何λ，μ∈P，x,y∈V。

均有(6)λμx=(λμ)x;(7)(λ+μ)x=λx+μx;(8)λ(x+y)=λx+λy.注意以下几点：1）线性空间是基于一定数域来的。

同一个集合，对于不同数域，就可能构成不同的线性空间，甚至对有的数域能构成线性空间，而对其他数域不能构成线性空间。

2）两种运算、八条性质。

数域P中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则是抽象的、形式的。

3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性是否满足。

V中的元素称为向量，V中的量元素称为零向量。

当P为实数域的时候，V 叫实线性空间；当P为复数域的时，V叫复线性空间。

1.4 线性空间的简单性质（1）线性空间V中的零向量是唯一的，V中每个元素x的负元素也是唯一的（2）如下恒等式成立： Ox = 0，(－1）x=－x1.5线性空间的判断若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合就不能构成线性空间．二、对假设检验的认识统计假设检验是统计推断的另一个主要内容，它的基本任务是样本所提供的信息，对未知总体分布的某些方面（常见如总体均值、总体方差、总体分布本身，等等）的假设做出合理的推断。

假设检验与参数估计一样，在数理统计的理论研究与实际运用中占有重要地位，在经济和社会生活各个领域得到了极为广泛的应用。

2.1 假设检验问题先对总体(随机变量)的参数或总体分布形式作出一个假设,再利用样本信息来判断这个假设是否合理,即判断总体的真实情况与原假设是否显著地有差异,也就是考虑总体与假设之间的差异是偶然变异,还是确实不一致所引起的,习惯上也称假设检验为显著性检验。

假设检验问题分为参数假设检验与非参数假设检验两类。

2.2 假设检验的基本思想假设检验是指对总体提出某项假设，然后利用从总体中抽样所得的样本值来检验所提的假设是否正确。

在给定的备择假设1H 下对原假设0H 作出判断，若拒绝原假设0H ，那就意味着接受备择假设1H ，否则就接受原假设0H 。

简单地说，假设检验问题就是要在原假设0H 和备择假设1H 中作出拒绝哪一个接受哪一个的判断。

假设检验的基本思想就是小概率反证法思想,假设检验中的“小概率思想”认为:小概率事件(P<0.01或P<0.05)在一次实验中基本不可能发生。

如果小概率事件在一次实验中居然发生了,则有理由怀疑假设的真实性,从而可以拒绝原来的假设。

2.3 假设检验的两类错误原假设0H 时，是根据一次抽样后所得的样本值是否落在拒绝域W 中而作出拒绝或接受原假设0H 的决定，而样本带有随机性，因此检验的结果与真实情况也可能不吻合，从而可知，检验是可能犯错误的，检验可能犯的错误有两类：一类是原假设0H 为真但由于随机性样本观测值落在拒绝域中，从而拒绝原假设0H 称为第一类错误，其发生的概率为犯第一类错误的概率，或为拒真概率，用α表示，即000)()(Θ∈∈==θαθ，为真拒绝W X P H H P ，其中),,(1n x x X =表示样本，第一类错误的概率α的大小反映了我们拒绝原假设0H 的说服力。

在显著性检验中的显著性水平α，它是根据实际问题事先给定的，表明检验的结果犯第一类错误的概率不超过α。

另一类是原假设0H 不真但由于随机性样本观测值落在接受域中，从而原假设0H 被接受了，这种错误称为第二类错误，其发生的受伪概率用 表示，即110)()(Θ∈∈==θβθ，为真接受W X P H H P 。

是否犯某一类错误，犯错误的可能性大小取决于参数的真值和所用的检验方法及所得到的样本值。

参数真值是未知的，样本的取值是随机的，我们所能做的是适当的选取检验方法，使少犯错误。

在实际中，我们不可能要求一个检验方法永远不出错，但可以要求尽可能的使犯错误的概率小一些。

为此，在确定检验方法时，我们应尽可能使犯两类错误都较小。

但是在样本容量给定的条件下，α与β中一个减小必导致另一个增大，即在样本量一定条件下不可能找到一个使α，β都小检验。

因此，在样本容量一定的条件下，我们通常是控制犯第一类错误的概率α，使它不会超过某一个给定的值，一般情况下α的取值为0.01，0.05，0.1等，这样对犯第一类错误的概率加以适当的控制以此来制约犯第二类错误的概率。

这样的检验称为显著性检验。

2.4 假设检验基本过程根据假设建立的不同,假设检验有双侧检测和单侧检验两种类型。

(1)双侧检验若建立的原假设是μ等于某一数值μ0,则只要在样本统计量明显大于μ0或明显小于μ0两者之一有一个成立,就可以拒绝原假设,则称这种检验为双侧检验。

(2)单侧检验①左侧检验,在样本统计量明显小于假设的总体参数μ0时,就拒绝原假设。

②右侧检验,在样本统计量明显大于假设的总体参数μ0时,就拒绝原假设。

2.5 假设检验一般分为三步：（1）建立假设，确定检验水准。

一般假设检验中的检验假设（或称为零假设、无效假设），假设样本来自同一总体，即其总体参数相等。

往往建立两个假设，除建立检验假设外，还建立备择假设，作为拒绝检验假设时的备选假设，检验水准为拒绝检验假设是犯第一类错误的概率。

（2）为选择检验方法，并计算统计量。

的类型不同、变量的分布类型不同、研究目的不同，都决定着选择何种检验方法。

因此需选择合适的检验方法，并计算统计量。

（3）为根据统计量确定值，做出统计推断。

根据计算的统计量，查阅相应的统计表，确定值，以值与检验水准比较，若，则拒绝，接受；若，则不拒绝。

2.6 假设检验应注意的问题(1)做假设检验之前，应注意资料本身是否有可比性。

(2)当差别有统计学意义时应注意这样的差别在实际应用中有无意义。

(3)根据资料类型和特点选用正确的假设检验方法。

(4)根据专业及经验确定是选用单侧检验还是双侧检验。

(5)当检验结果为拒绝无效假设时，应注意有发生第一类错误的可能性，即错误地拒绝了本身成立的H，发生这种错误的可能性预先是知道的，即检验水平那么大；当检验结果为不拒绝无效假设时，应注意有发生第二类错误的可能性，即仍有可能错误地接受了本身就不成立的H，发生这种错误的可能性预先是不知道的，但与样本含量和第一类错误的大小有关系。

(6)判断结论时不能绝对化，应注意无论接受或拒绝检验假设，都有判断错误的可能性。

三、方差分析的原理及应用例子方差分析是数理统计的基本方法之一，是工农业生产和科学研究中分析数据的一个重要工具。

譬如，在气候、水利、土地、肥料、管理等条件相同时，想搞清楚几种不同的水稻优良品种对水稻的单位面积产量（亩产）是否有显著的影响，从中选出对某地区来说最优的水稻品种。

作为一种非常重要的检验方法，方差分析采用检验统计量进行显著性检验。

3.1 方差分析的原理（一）方差的分解。

样本数据波动就有二个来源：一个是随机波动，一个是因子影响。

样本数据的波动，可通过离差平方和来反映，这个离差平方和可分解为组间方差与组内方差两部分。

组间方差反映出不同的因子对样本波动的影响；组内方差则是不考虑组间方差的纯随机影响。

离差平方和的分解是我们进入方差分析的“切入点”，这种方差的构成形式为我们分析现象变化提供了重要的信息。

如果组间方差明显高于组内方差，说明样本数据波动的主要来源是组间方差，因子是引起波动的主要原因，可以认为因子对实验的结果存在显著的影响；反之，如果波动的主要部分来自组内方差，则因子的影响就不明显，没有充足理由认为因子对实验或抽样结果有显著作用。

（二）均方差与自由度。

因素或因素间“交互作用”对观测结果的影响是否显著，关键要看组间方差与组内方差的比较结果。

当然，产生方差的独立变量的个数对方差大小也有影响，独立变量个数越多，方差就有可能越大；独立变量个数越少，方差就有可能越小。

为了消除独立变量个数对方差大小的影响，我们用方差除以独立变量个数，得到“均方差（Mean Square）”，作为不同来源方差比较的基础。

引起方差的独立变量的个数，称作“自由度”。

3.2方差分析的实例从某学校同一年级中随机抽取19名学生，再将他们随机分成4组，在2周内4组学生都用120分钟复习同一组英语单词，第一组每个星期一一次复习60分钟；第二组每个星期一和三两次各复习30分钟；第三组每个星期二、四、六三次复习各20分钟；第四组每天（星期天除外）复习10分钟。

2周复习之后，相隔2个月再进行统一测验，其结果如下表所示。

运用方差分析法可以推断分析的问题是：这4种复习方法的效果之间有没有显著性差异？序号第一组A 第二组B第三组C第四组D1 2 3 4 5 6 24262028292521272830302832302627313233N 4 6 5 4 x24.5 26.67 29.2 30.75 S 3.42 3.27 2.28 2.63(表中样本平均数x 、样本标准差和S 都可以利用计算器获得)1、 确定类型由于19名学生是以随机方式被分配到四个实验组的，所以这四组样本是四个独立样本。