高中数学-《平面向量》练习题
平面向量练习题
第1课时 向量的概念与几何运算
1.向量的有关概念
⑴ 既有 又有 的量叫向量.
的向量叫零向量. 的向量,叫单位向量.
⑵ 叫平行向量,也叫共线向量.规定零向量与任一向量 .⑶ 且 的向量叫相等向量.2.向量的加法与减法
⑴ 求两个向量的和的运算,叫向量的加法. 向量加法按 法则或 法则 ⑵ 求两个向量差的运算,叫向量的减法.
向量减法按 法则,作法是将两向量的 重合,连结两向量的 ,方向指向 .3.实数与向量的积
⑴ 实数λ与向量的积是一个向量,记作λ.它的长度与方向规定如下:① | λ |= .
② 当λ>0时,λ的方向与的方向 ; 当λ<0时,λ的方向与的方向 ; 当λ=0时,λ .⑵ λ(μ)= .
(λ+μ)= .
λ(+b )= .
⑶ 共线定理:向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 .
4.⑴ 平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1λ、2λ,使得 .
⑵ 设1e 、2e 是一组基底,=2111e y e x +,b =2212e y e x +,则与b 共线的充要条件
基础过关
是 .
例1
.已知△ABC 中,D 为BC 的中点,E 为
AD 的中点.设=,=,求.解:BE =AE -=4
1(+)-=-
43a +4
1b 变式训练1.如图所示,D 是△ABC 边AB 上的中点,则向量等于( )A .-+21
B .--2
1C .-21 D .+2
1解:A
例2. 已知向量2132e e -=,2132e e +=,2192e e -=,其中1e 、2e 不共线,求实数λ、μ,使
b a
c μλ+=.
解:c =λ+μb ?21e -92e =(2λ+2μ)1e +(-3λ+3μ)2e ?2λ+2μ=2,且-3λ+3μ=-9?λ=2,且μ=-1
变式训练2:已知平行四边形ABCD 的对角线相交于O 点,点P 为平面上任意一点,求证:
4=+++证明 +=2,+=2?+++=4例3. 已知ABCD 是一个梯形,AB 、CD 是梯形的两底边,且AB =2CD ,M 、N 分别是DC 和AB 的中点,若a AB =,b AD =,试用a 、b 表示和.
解:连NC ,则==-=+=+=4
14
1
;2
1-=-=变式训练3:如图所示,OADB 是以向量=,=为邻边的平行四边形,
又=3
1
,=
3
1
,试用、表示,,.解:=
61a +65b ,=32a +3
2
b ,典型例题
=
21-6
1b 例4. 设,是两不共线向量,若与起点相同,t ∈R ,t 为何值时,,t ,3
1(+)三向量的终点在一条直线上?
解:设])(3
1
[t +-=-λ (λ∈R)化简整理得:)3
1()132(=-+-t λλ∵不共线与,∴???????
==???????
?=-=-21
2303
0132t t λλλ 故21=t 时,)(31,,t +三向量的向量的终点在一直线上.
变式训练4:已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e =====u u u r r u u u r r u u u r r u u u r u r u u u r r ,设t R ∈,如果3,2,a c b d ==r r r u r
()e t a b =+r r r
,那么t 为何值时,,,C D E 三点在一条直线上?
解:由题设知,23,(3)CD d c b a CE e c t a tb =-=-=-=-+u u u r u r r r r u u u r r r r r
,,,C D E 三点在一条
直线上的充要条件是存在实数k ,使得CE kCD =u u u r u u u r ,即(3)32t a tb ka kb -+=-+r r r r
,
整理得(33)(2)t k a k t b -+=-r r
.①若,a b r r
共线,则t 可为任意实数;
②若,a b r r 不共线,则有33020
t k t k -+=??-=?,解之得,65t =.
综上,,a b r r 共线时,则t 可为任意实数;,a b r r 不共线时,6
5
t =.
第2课时 平面向量的坐标运算
1.平面向量的坐标表示
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,对于一个向量a ,有且只有一对实数x 、y ,使得=x i +y j .我们把(x 、y)叫做向量的直角坐标,记作 .并且||= .
2.向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系.3.平面向量的坐标运算:
若=(x 1、y 1),=(x 2、y 2),λ∈R ,则:
基础过关
a +
b = a -b = λa =
已知A(x 1、y 1),B(x 2、y 2),则AB = .
4.两个向量=(x 1、y 1)和=(x 2、y 2)共线的充要条件是 .
例1.已知点
A (2,3),
B (-1,5),且=3
1
,求点C 的坐标.解AC =
3
1=(-1,32),OC =AC OA +=(1,
311),即C(1, 311
)变式训练1.若(2,8)OA =u u u r ,(7,2)OB =-u u u r ,则3
1AB u u u
r = .
解: (3,2)--提示:(9,6)
AB OB OA =-=--u u u r u u u r u u u r
例2. 已知向量a =(cos 2α,sin 2α),b =(cos 2β,sin 2β),|a -b |=5
52,求cos(α-β)的值.解:|a -b |=
55222552=--?)cos(βα2cos
22552βα--?=55
222552=--?)cos(βα?cos 2
βα-=53?cos(α-β)=257-变式训练2.已知a -2b =(-3,1),2a +b =(-1,2),求a +b .解 =(-1,1),b =(1,0),∴+b =(0,1)
例3. 已知向量=(1, 2),=(x, 1),1e =+2,2e =2-,且1e ∥2e ,求x .解:1e =(1+2x ,4),2e =(2-x ,3),1e ∥2e ?3(1+2x)=4(2-x)?x =
2
1变式训练3.设=(ksinθ, 1),b =(2-cosθ, 1) (0 <θ<π),∥,求证:k≥3.
证明: k =θ
θ
sin cos 2- ∴k -3=
θ
π
θsin )
3cos(22-
-≥0 ∴k≥3
例4. 在平行四边形ABCD 中,A(1,1),=(6,0),点M 是线段AB 的中点,线段CM 与BD 交于点P .
(1) 若=(3,5),求点C 的坐标;
(2) 当||=||时,求点P 的轨迹.解:(1)设点C 的坐标为(x 0,y 0),
)5,1()5,9()0,6()5,3(00--==+=+=y x
得x 0=10 y 0=6 即点C(10,6)
典型例题
(2) ∵= ∴点D 的轨迹为(x -1)2+(y -1)2=36 (y ≠1) ∵M 为AB 的中点
∴P 分的比为2
1
设P(x ,y),由B(7,1) 则D(3x -14,3y -2) ∴点P 的轨迹方程为)1(4)1()5(22≠=-+-y y x
变式训练4.在直角坐标系x 、y 中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C 在∠AOB 的平分线上,且||=2,求的坐标.
解 已知A (0,1),B (-3,4) 设C (0,5),D (-3,9)
则四边形OBDC 为菱形 ∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDC 的对角线OD ∵2103==
∴)5
103,510(10
32-
==
第3课时 平面向量的数量积
1.两个向量的夹角:已知两个非零向量和b ,过O 点作=,=b ,则∠AOB =θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量a 与b 的 .当θ=0°时,a 与b ;当θ=180°时,a 与b ;如果a 与b 的夹角是90°,我们说a 与b 垂直,记作 .
2.两个向量的数量积的定义:已知两个非零向量与b ,它们的夹角为θ,则数量
叫做与b 的数量积(或内积),记作·b 。规定零向量与任一向量的数量积为0.若=(x 1, y 1),b =(x 2, y 2),则·b = .
3.向量的数量积的几何意义:
|b |cosθ叫做向量b 在方向上的投影 (θ是向量与b 的夹角).
a ·
b 的几何意义是,数量a ·b 等于 . 4.向量数量积的性质:设、b 都是非零向量,是单位向量,θ是与b 的夹角. ⑴ ·=·= ⑵ ⊥b ?
⑶ 当与b 同向时,·
b = ;当与b 反向时,·b = . 基础过关
⑷ cosθ= . ⑸ |·b |≤ 5.向量数量积的运算律:
⑴ ·b = ; ⑵ (λ)·b = =·(λb ) ⑶ (+)·c = 例1. 已知||=4,|b |=5,且与b 的夹角为60°,求:(2+3b )·(3-2b ). 解:(2a +3b )(3a -2b )=-4
变式训练1.已知||=3,|b |=4,|+b |=5,求|2-3b |的值. 解:56
例2. 已知向量=(sin θ,1),b =(1,cos θ),-
2
2π
θπ
<
<.
(1) 若a ⊥b ,求θ; (2) 求|+b |的最大值. 解:(1)若⊥,则0cos sin =+θθ 即1tan -=θ 而)2
,2(ππθ-∈,所以4
π
θ-
=
(2))4sin(223)cos (sin 23π
θθθ+
+=++=+
当4
π
θ=
时,+的最大值为12+
变式训练2:已知(cos ,sin )a αα=r ,(cos ,sin )b ββ=r
,其中0αβπ<<<. (1)求证:a b +r r 与a b -r
r 互相垂直;
(2)若ka →
+→
b 与a k →
-→
b 的长度相等,求βα-的值(k 为非零的常数).
证明:222222
()()(cos sin )(cos sin )0a b a b a b ααββ+?-=-=+-+=r r r r r r Q
a b ∴+r r 与a b -r
r 互相垂直
(2)k a →
+(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→
=++,
a k →
-(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→
=--,
典型例题
k a b →
+=r
a k
b →-=r ,
=cos()0βα-=,2
πβα-=
例3. 已知O 是△ABC 所在平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,判断△ABC 是哪类三角形.
解:设BC 的中点为D ,则(-)(2-+)=0?2BC ·AD =0?BC ⊥AD ?△ABC 是等腰三角形.
变式训练3:若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -,则△ABC 的形状是 .
解: 直角三角形.提示:(1,1),(3,3),0,AB AC AB AC AB AC ==-?=⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
例4. 已知向量m =(cosθ, sinθ)和n =(2-sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且|n m +|=5
2
8,求cos(8
2
π
θ+
)的值.
解:+=(cos θ-sin θ+2, cos θ+sin θ)由已知(cos θ-sin θ+2)2+(cos θ+sin θ)2=25
128
化简:cos 25
7)4
(=
+π
θ 又cos 2
25
162
)
4cos(1)8
2(=+
+=+π
θπ
θ
∵θ∈(π, 2π) ∴cos 25
16
2
)
4cos(1)82(=+
+=+π
απ
θ<0 ∴cos 25
162)
4
cos(1)82(=
++=+π
απθ=-54 变式训练4.
平面向量11),(2a b =-=r r
,若存在不同时为0的实数k 和t ,使2
(3)x a t b =+-r r r ,,y ka tb =-+r r r 且x y ⊥r r ,试求函数关系式()k f t =.
解:
由11),(2a b =-=r r
得0,||2,||1a b a b ?===r r r r 22
222
[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +-?-+=-+?--?+-=r r r r r r r r r r
33311
430,(3),()(3)
44k t t k t t f t t t -+-==-=-
[基础训练]
一、选择题
1.化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r
得( )
A .A
B u u u r B .
C .
D .0r
2.设00,a b u u r u u r
分别是与,a b r r 向的单位向量,则下列结论中正确的是( )
A .00a b =u u r u u r
B .00
1a b ?=u u r u u r
C .00||||2a b +=u u r u u r
D .00||2a b +=u u r u u r
3.已知下列命题中:
(1)若k R ∈,且0kb =r r ,则0k =或0b =r r
, (2)若0a b ?=r r ,则0a =r r 或0b =r r
(3)若不平行的两个非零向量b a ,,满足||||b a =,则0)()(=-?+b a b a
(4)若a 与b 平行,则||||a b a b =?r r
g
其中真命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 4.下列命题中正确的是( )
A .若a ?b =0,则a =0或b =0
B .若a ?b =0,则a ∥b
C .若a ∥b ,则a 在b 上的投影为|a|
D .若a ⊥b ,则a ?b =(a ?b)2
5.已知平面向量(3,1)a =r ,(,3)b x =-r ,且a b ⊥r
r ,则x =( )
A .3-
B .1-
C .1
D .3
*6.已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值,最小值分别是( )
A .0,24
B .24,4
C .16,0
D .4,0
二、填空题
1.若=)8,2(,=)2,7(-,则
3
1
=_________ 2.平面向量,a b r r 中,若(4,3)a =-r
,且5a b ?=r r ,则向量b =____。
3.若3a =r ,2b =r ,且a 与b 的夹角为0
60,则a b -=r r 。
4.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。
5.已知)1,2(=a ρ
与)2,1(=b ρ,要使b t a ρρ+最小,则实数t 的值为___________。
三、解答题
1.如图,ABCD Y 中,,E F 分别是,BC DC 的中点,G 为交点,若AB u u u r =a r
,AD =b r ,试
以a r ,b r 为基底表示、BF u u u r 、CG u u u r .
2.已知向量r r a 与b 的夹角为60o
,||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,求向量a r 的模。
3.已知点(2,1)B -,且原点O 分→
AB 的比为3-,又(1,3)b →=,求→
b 在→
AB 上的投影。
4.已知(1,2)a =r ,)2,3(-=,当k 为何值时,(1)ka b +r r 与3a b -r r
垂直? (2)ka +r 与3a -r
平行?平行时它们是同向还是反向?
[基础训练A 组] 参考答案
一、选择题
1.D 0AD BD AB AD DB AB AB AB --=+-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r
2.C 因为是单位向量,00||1,||1a b ==u u r u u r
3.C (1)是对的;(2)仅得a b ⊥r
r ;(3)2222()()0a b a b a b a b +?-=-=-=r r r r r r r r
(4)平行时分0
0和0
180两种,cos a b a b a b θ=?=±?r r r r r r
g
4.D 若AB DC =u u u r u u u r ,则,,,A B C D 四点构成平行四边形;a b a b +<+r r
r r
若//a b r r ,则a r 在b r 上的投影为a r 或a -r ,平行时分00和0180两种
20,()0a b a b a b ⊥?==r r r r r r g g 5.C 31(3)0,1x x +?-==
6.D
2(2cos 1),|2|a b a b θθ-=+-r r
r r
==4,最小值为0
二、填空题
1. (3,2)-- (9,6)AB OB OA =-=--u u u r
u u u r
u u u r
2.43(,)55- 5,cos ,1,,a b a a b a b a b
=<>==r r r r g r r r r r 方向相同,143
(,)555b a ==-r r
a b -====r r 4.圆 以共同的始点为圆心,以单位1为半径的圆
5.45
-
a t
b +=r r 45t =-时即可
三、解答题
1.解:1122
DE AE AD AB BE AD a b b a b =-=+-=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r
r r
1122
BF AF AB AD DF AB b a a b a =-=+-=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r
G 是△CBD 的重心,111()3
3
3
CG CA AC a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r r
r
2.解:22(2)(3)672a b a b a a b b +-=--=-r r r r r
r r r g
g 2220cos 60672,2240,a a b b a a --=---=r r r r r r
(4)(2)0,4a a a -+==r r r
3.解:设(,)A x y ,3AO
OB
=-,得3AO OB =-u u u r u u u r ,即(,)3(2,1),6,3x y x y --=--==-
得(6,3)A -,(4,2),AB AB =-=u u u v u u u v cos b AB b AB
θ==
r u u u v
r g u u u v 4.解:(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+r r
3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-r r
(1)()ka b +⊥r r (3)a b -r r
,
得()ka b +r r g (3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-==r r
(2)()//ka b +r r (3)a b -r r ,得1
4(3)10(22),3
k k k --=+=-
此时1041
(,)(10,4)333
ka b +=-=--r r ,所以方向相反。