第一节 数列的概念与简单表示法
新课标2023版高考数学一轮总复习第7章数列第1节数列的概念与简单表示法课件
所以 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1＝n＋n 1·n－n 1·nn－ －21·…·23＝n＋2 1．
2，n＝1， 所以 an＝2nn－1，n≥2.
已知 Sn 求 an 的步骤 (1)利用 a1＝S1 求出 a1． (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－ 1(n≥2)求出当 n≥2 时 an 的表达式． (3)检验 n＝1 时的值是否符合 n≥2 时的表达式，再写出通项公 式 an．
式 an＝59(10n－1)．
1．错误地表示符号规律致误：项正负相间的数列可以用(－1)n， (－1)n＋1 表示符号，要分清是先负后正还是先正后负．
2．未对项变形致误：若已知的项的形式不统一，则不便求通项 公式，因此可以先将项通过变形统一形式后再观察求通项公式，如题 (3)．
3．求通项公式时要注意联想：对于如题(4)这样的数列，可以通 过联想 10,100,1 000，10 000→9,99,999,9 999→1,11,111,1 111 进而得 到通项公式．
考点2 由Sn与an的关系求通项——综合性
(1)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－10n，则此数列的通项 公式为 an＝________．
(2)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为 an ＝________．
3，n＝1， (1)2n－11 (2)2n－1，n≥2.
解：(1)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的乘 积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式 an＝(－ 1)n·nn1＋1．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，即分母的每一项都是两个相邻奇数 的乘积，故所求数列的一个通项公式 an＝2n－12n2n＋1．
第一节 数列的概念与简单表示法
第一节数列的概念与简单表示法【最新考纲】 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图表法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{ɑn}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项ɑn 与它的前一项ɑn －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．6．ɑn 与S n 的关系若数列{ɑn }的前n 项和为S n ，通项公式为ɑn ，则ɑn ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，（n ＝1），S n －S n －1，（n ≥2）.1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )(3)如果数列{ɑn }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有ɑn ＋1＝S n＋1－S n .( )(4)若已知数列{ɑn }的递推公式为ɑn ＋1＝12ɑn －1，且ɑ2＝1，则可以写出数列{ɑn }的任何一项．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．设数列{ɑn }的前n 项和S n ＝n 2，则ɑ8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64解析：当n＝8时，ɑ8＝S8－S7＝82－72＝15.答案：A3．对于数列{ɑn}，“ɑn＋1＞|ɑn|(n＝1，2，…)”是“{ɑn}为递增数列”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当ɑn＋1＞|ɑn|时，∵|ɑn|≥ɑn，∴ɑn＋1＞ɑn，∴{ɑn}是递增数列．当ɑn＝－1n时，数列{ɑn}是递增数列，但ɑn＋1＜|ɑn|.答案：B4．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)．则第7个三角形数是()A．27 B．28 C．29 D．30解析：由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.答案：B5．(2017·唐山调研)数列{ɑn}满足：ɑ1＝1，且当n≥2时，ɑn＝n－1 nɑn －1，则ɑ5＝________．解析：因为ɑ1＝1，且当n ≥2时，ɑn ＝n －1n ɑn －1，则ɑn ɑn －1＝n －1n .所以ɑ5＝ɑ5ɑ4·ɑ4ɑ3·ɑ3ɑ2·ɑ2ɑ1·ɑ1＝45×34×23×12×1＝15.答案：15两种关系1．数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．2．ɑn ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.三种方法由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法是： 1．ɑn ＋1－ɑn ＝f(n)型，采用叠加法． 2.ɑn ＋1ɑn＝f(n)型，采用叠乘法． 3．ɑn ＋1＝p ɑn ＋q(p ≠0，p ≠1)型，转化为等比数列解决．一、选择题1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析：根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C ，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C.答案：C2．若S n 为数列{ɑn }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1ɑ5等于( )A.56B.65C.130D ．30 解析：当n ≥2时，ɑn ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n （n ＋1），所以1ɑ5＝5×6＝30. 答案：D3．若数列{ɑn }的通项公式是ɑn ＝(－1)n (3n －2)，则ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑ10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15解析：由题意知，ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑ10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15. 答案：A4．(2017·广东六校一联)已知数列{ɑn }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则ɑ2＋ɑ18＝( )A ．36B ．35C ．34D ．33解析：当n ≥2时，ɑn ＝S n －S n －1＝2n －3， 故ɑ2＋ɑ18＝(2×2－3)＋(2×18－3)＝34. 答案：C6．数列{ɑn }满足ɑ1＝2，ɑn ＝ɑn ＋1－1ɑn ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2017＝()A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：由ɑn ＝ɑn ＋1－1ɑn ＋1＋1，得ɑn ＋1＝1＋ɑn1－ɑn，而ɑ1＝2，则有ɑ2＝－3，ɑ3＝－12，ɑ4＝13，ɑ5＝2，故数列{ɑn }是以4为周期的周期数列，且ɑ1ɑ2ɑ3ɑ4＝1， 所以T 2 017＝()ɑ1ɑ2ɑ3ɑ4504ɑ1＝1504×2＝2 答案：C 二、填空题7．在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．解析：令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴ɑ10＝0.08. 答案：108．(经典再现)若数列{ɑn }的前n 项和S n ＝23ɑn ＋13，则{ɑn }的通项公式是ɑn ＝________．解析：当n ＝1时，S 1＝23ɑ1＋13，∴ɑ1＝1.当n ≥2时，ɑn ＝S n －S n －1＝23ɑn ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23ɑn －1＋13＝23(ɑn －ɑn －1)，∴ɑn ＝－2ɑn －1，即ɑn ɑn －1＝－2， ∴{ɑn }是以1为首项，－2为公比的等比数列， ∴ɑn ＝1×(－2)n －1，即ɑn ＝(－2)n －1. 答案：(－2)n －19．(2016·太原二模)已知数列{ɑn }满足ɑ1＝1，ɑn －ɑn ＋1＝n ɑn ɑn ＋1(n ∈N *)，则ɑn ＝________．解析：由已知得，1ɑn ＋1－1ɑn ＝n ，所以1ɑn －1ɑn －1＝n －1，1ɑn －1－1ɑn －2＝n －2，…，1ɑ2－1ɑ1＝1，所以1ɑn －1ɑ1＝n （n －1）2，ɑ1＝1，所以1ɑn＝n 2－n ＋22， 所以ɑn ＝2n 2－n ＋2.答案：2n 2－n ＋2三、解答题10．数列{ɑn }的通项公式是ɑn ＝n 2－7n ＋6(n ∈N *)． (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解：(1)当n ＝4时，ɑ4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令ɑn ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令ɑn ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍)． ∵n ∈N *，∴数列从第7项起各项都是正数．11．已知S n 为正项数列{ɑn }的前n 项和，且满足S n ＝12ɑ2n ＋12ɑn (n ∈N *)．(1)求ɑ1，ɑ2，ɑ3，ɑ4的值； (2)求数列{ɑn }的通项公式． 解：(1)由S n ＝12ɑ2n ＋12ɑn (n ∈N *)可得ɑ1＝12ɑ21＋12ɑ1，解得ɑ1＝1；S 2＝ɑ1＋ɑ2＝12ɑ22＋12ɑ2，解得ɑ2＝2；同理，ɑ3＝3，ɑ4＝4. (2)S n ＝ɑn 2＋12ɑ2n ，①当n ≥2时，S n －1＝ɑn －12＋12ɑ2n －1，②①－②即得(ɑn －ɑn －1－1)(ɑn ＋ɑn －1)＝0. 由于ɑn ＋ɑn －1≠0，所以ɑn －ɑn －1＝1， 又由(1)知ɑ1＝1，故数列{ɑn }为首项为1，公差为1的等差数列， 故ɑn ＝n.。
30_第一节 数列的概念及简单表示法
(-2)n-1.
考点突破
方法技巧
Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求,将问题向不同的方向转化.
(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解. (2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.
易错警示
注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.
×7,7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积,故所求数列的一个通
项公式为an= 2n
.
(2n 1)(2n 1)
考点突破 栏目索引
(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数
再观察,即 12 , 42 , 92 , 126 , 225,…,从而可得到数列的一个通项公式为an= n22 .
所以an=
n
n
2
,
n
2,
n
N*.
栏目索引
考点突破 栏目索引
由递推关系式求数列的通项公式
典例3 (1)已知数列{an}满足an+1=an+3n+2,且a1=2,则an=
.
(2)若数列{an}满足a1= 23 ,an+1= n n1an,则an=
(3)若数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3,则an=
即an=2n+1-3.
考点突破 栏目索引
方法技巧 由数列的递推关系求通项公式的常用方法
考点突破 栏目索引
考点突破
3-1
在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1
1 n
高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示法
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴
2 3
∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足
第一节数列的概念与简单表示法
角度三 形如 an＋1＝Aan＋B(A≠0 且 A≠1)，求 an 3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋2，求 an.
解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3， 又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1.
(3)数列的通项公式： 如果数列{an}的第 n 项与 序号 n 之间的关系可以用一个 式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且 任一项 an 与它 的 前一项 an－1 (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表 示，那么这个公式叫数列的递推公式．
A．an＝1
B．an＝－12n＋1
C．an＝2－sinn2π
D．an＝－1n2－1＋3
解析：由 an＝2－sinn2π可得 a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….
答案：C
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2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，…； (3)a，b，a，b，a，b，…(其中 a，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….
又由 an＋1＝Sn＋1－Sn＝16(an＋1＋1)(an＋1＋2)－16(an＋1)·(an＋2)， 得 an＋1－an－3＝0 或 an＋1＝－an. 因为 an>0，故 an＋1＝－an 不成立，舍去． 因此 an＋1－an－3＝0. 即 an＋1－an＝3，从而{an}是以公差为 3，首项为 2 的等差数列， 故{an}的通项公式为 an＝3n－1.
高中数学课件-第1讲 数列的概念与简单表示法
第六章 数列第1讲 数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通考试要求项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.01聚焦必备知识知识梳理1.数列的有关概念(1)数列的定义一般地，我们把按照__________________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R 的函数，其自变量是__________，对应的函数值是________________，记为a n＝f (n).数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.提醒2.数列的表示法解析式法、表格法、____________.3.数列的单调性从第2项起，每一项都_________它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都_________它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，__________________的数列叫做常数列.4.数列的通项公式和递推公式(1)如果数列{a n}的__________________与它的____________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.(2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用_______________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.提醒(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.5.数列的前n项和公式如果数列{a n}的前n项和S n与它的____________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.常用结论1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( )(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( )(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( )夯基诊断√××√(2)已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2，则a n ＝____________.答案：2n －1当n＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，且a 1＝1也满足此式，故a n ＝2n －1，n ∈N *.(3)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝____________.答案：5n －4由a1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，a 4＝16＝5×4－4，…，归纳可知a n ＝5n －4.02突破核心命题考 点 一由an与S n的关系求通项公式C(2)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2n＋2－3，则a n＝_____.已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式.(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写.反思感悟训练1 (1)已知数列{a n}的前n项和为S n，且2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n a n＝n·2n，则数列{a n}的通项公式为a n＝____________.(2)已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，S n S n＋1＝－a n＋1(n∈N*)，则a10＝____________.例2 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝____________.考 点 二由数列的递推关系求通项公式考向1累加法例3 已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝_______.2累乘法反思感悟B考 点 三数列的性质考向 1数列的单调性D2数列的周期性答案：13数列的最值A反思感悟训练3 (1)如表，定义函数f (x )：对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f (a n －1)，n ＝2，3，4，…，则a 2023＝( )A.1B.2C.5D.4C x12345f (x )54312C 由题意，a1＝4，a n＝f(a n－1)，所以a2＝f(a1)＝f(4)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，a5＝f(a4)＝f(2)＝4，a6＝f(a5)＝f(4)＝1，a7＝f(a6)＝f(1)＝5，…，则数列{a n}是以4为周期的周期数列，所以a2023＝a2020＋3＝a3＝5，故选C.突破核心命题限时规范训练聚焦必备知识 4103限时规范训练(四十)ADB4.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为( )CA.760B.800C.840D.924BCD6.(2023·珠海质检)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2且a n ＋2＝a n ＋(－1)n ，n ∈N *，则该数列的前40项之和为( )A.－170B.80C.60D.230C C 由a n ＋2＝a n ＋(－1)n ，n ∈N *，得a 2k ＋2＝a 2k ＋1，a 2k ＋1＝a 2k －1－1，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋2＝a 2k －1＋a 2k ＝…＝a 1＋a 2＝3，所以数列{a n }的前40项之和为20(a 1＋a 2)＝60.。
高中数学选择性必修二(人教版)《4.1 数列的概念 第一课时 数列的概念与简单表示法》课件
()
(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．
()
(3)数列的项可以相等．
()
(4)数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．所有正奇数的立方按从小到大的顺序组成数列，其前3项为______．
答案：1,27,125
知识点二 数列的分类与通项公式
[对点练清]
[多选]下面四个结论中正确的是
()
A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集
{1,2,3，…，n})上的函数
B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C．数列的项数是无限的
D．数列的通项公式是唯一的 解析：数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C错；数列的通
项公式可能不唯一，比如数列1,0，－1，0,1,0，－1,0，…的通项公
(1)从图(2)开始观察每个图案从上往下的小正方形个数有什么规律？ 提示：按照1,3,5,7，…，1的顺序分布． (2)按照此图规律，f(6)为多少？ 提示：f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f(n)＝2n(n－1)＋1. 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
题型一 数列的概念及分类 [学透用活]
(1) 数 列 的定 义 中 要 把 握 两 个 关 键 词 ： “ 一 定 顺 序 ” 与 “ 一 列 数”．也就是说，构成数列的元素是数，并且这些数是按照“一定顺序” 排列着的，即确定的数在确定的位置上．
(2)数列的项与它的项数是两个不同的概念：项是指出现在这个数列 中的某一个确定的数，它是一个函数值，即 an＝f(n)；而项数是指这个 数列共有多少项．
高中数学知识点总结(第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示)
第六章 数列第一节 数列的概念与简单表示一、基础知识 1．数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 2．数列的分类(1)按照项数有限和无限分：⎩⎪⎨⎪⎧有限数列：项数有限个；无限数列：项数无限个；(2)按单调性来分：⎩⎪⎨⎪⎧递增数列：a n ＋1>a n ，递减数列：a n ＋1<a n，常数列：a n ＋1＝a n＝C常数，摆动数列.3．数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．1并不是所有的数列都有通项公式；2同一个数列的通项公式在形式上未必唯一. (2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式 可根据某项的序号n 的值，直接代入求出a n 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的二、常用结论(1)若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N *. (2)在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 考点一 由a n 与S n 的关系求通项a n[典例] (1)(2018·广州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为____________．(2)(2018·全国卷Ⅰ改编)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________. [解析] (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.(2)∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1为－1，公比q 为2的等比数列， ∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.[答案] (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2 (2)－2n －1[解题技法]1．已知S n 求a n 的3个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． 2．S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． (2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．[题组训练]1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2nD ．2n －1解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n .2.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝____________. 解析：因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)． 两式相减得(2n －1)a n ＝2， 所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. 答案：22n －1考点二 由递推关系式求数列的通项公式[典例] (1)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________________．(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为________________． (3)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________________． [解析] (1)累加法由题意得a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)， 以上各式相加，得a n ＝a 1＋2＋3＋…＋n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋n 2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足上式，∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．(2)累乘法∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2a n －3，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立． ∴a n ＝1n (n ∈N *)．(3)构造法∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)．[答案] (1)a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *) (2)a n ＝1n (n ∈N *) (3)a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)[解题技法]1．正确选用方法求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为a n ＋1＝a n ＋f (n )的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．(2)对于递推关系式可转化为a n ＋1a n＝f (n )的数列，并且容易求数列{f (n )}前n 项的积时，采用累乘法求数列{a n }的通项公式．(3)对于递推关系式形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)的数列，采用构造法求数列的通项． 2．避免2种失误(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到a 2a 1，漏掉a 1而导致错误；二是根据连乘求出a n 之后，不注意检验a 1是否成立．(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．[题组训练] 1.累加法设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋1，则通项公式a n ＝________. 解析：原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n－1＋1n －1－1n ，以上(n －1)个式子的等号两端分别相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n .答案：4－1n2.累乘法设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.解析：由a n ＋1＝2n a n ，得a n a n －1＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n n －12.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n n －12.答案：2nn －123.构造法在数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．解析：因为点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，所以4a n －a n ＋1＋1＝0，即a n＋1＝4a n ＋1，得a n ＋1＋13＝4⎝⎛⎭⎫a n ＋13，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋13是首项为a 1＋13＝103，公比为4的等比数列，所以a n ＋13＝103·4n －1，故a n ＝103·4n －1－13.答案：a n ＝103·4n －1－13考点三 数列的性质及应用考法(一) 数列的周期性[典例] 数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12<a n<1，a a 1＝35，则数列的第 2 019项为________．[解析] 因为a 1＝35，故a 2＝2a 1－1＝15，a 3＝2a 2＝25，a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，a 7＝2a 6＝25，…，故数列{a n }是周期数列且周期为4，故a 2 019＝a 504×4＋3＝a 3＝25.[答案] 25考法(二) 数列的单调性(最值)[典例] (1)(2018·百校联盟联考)已知数列{a n }满足2S n ＝4a n －1，当n ∈N *时，{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫78n，则当a n 取得最大值时，n ＝________. [解析] (1)∵2S n ＝4a n －1,2S n －1＝4a n －1－1(n ≥2)， 两式相减可得2a n ＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＝2a n －1(n ≥2)． 又2a 1＝4a 1－1，∴a 1＝12，∴数列{a n }是公比为2的等比数列，∴a n ＝2n －2， 设b n ＝(log 2a n )2＋λlog 2a n ＝(n －2)2＋λ(n －2)， ∵{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，∴b n ＋1－b n ＝2n －3＋λ>0恒成立，∴λ>3－2n 恒成立， ∵(3－2n )max ＝1，∴λ>1， 故实数λ的取值范围是(1，＋∞)．(2)当a n 取得最大值时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎨⎧n ＋2⎝⎛⎭⎫78n≥n ＋1⎝⎛⎭⎫78n －1，n ＋2⎝⎛⎭⎫78n≥n ＋3⎝⎛⎭⎫78n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5，∴当a n 取得最大值时，n ＝5或6. [答案] (1)(1，＋∞) (2)5或6[解题技法]1．解决数列的单调性问题的3种方法2．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．[题组训练]1．设数列{a n }，a n ＝nanb ＋c，其中a ，b ，c 均为正数，则此数列( ) A ．递增 B ．递减 C ．先增后减D ．先减后增解析：选A 因为a n ＝na bn ＋c＝a b ＋c n ，而函数f (x )＝ab ＋c x(a >0，b >0，c >0)在(0，＋∞)上是增函数，故数列{a n }是递增数列．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 019＝( )A ．－1 B.12C ．1D ．2解析：选A 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 019＝a 3×673＝a 3＝－1.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·郑州模拟)已知数列1，3，5，7，…，2n －1，若35是这个数列的第n 项，则n ＝( )A ．20B ．21C ．22D ．23解析：选D 由2n －1＝35＝45，得2n －1＝45，即2n ＝46，解得n ＝23，故选D. 2．(2019·福建四校联考)若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为( )A.－1n ＋1n ＋1B.－1nn ＋1C.－1nnD.－1n －1n解析：选A 由于数列的前4项分别是12，－13，14，－15，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n 项的绝对值等于⎪⎪⎪⎪1n ＋1，故此数列的一个通项公式为－1n ＋1n ＋1.故选A. 3．(2019·莆田诊断)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 5的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A 由题意可得，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 3＝a 2－a 1＝2－1＝1，a 4＝a 3－a 2＝1－2＝－1，a 5＝a 4－a 3＝－1－1＝－2.故选A.4．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( ) A ．10 B ．15 C ．－5D ．20解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，符合上式，所以a n ＝4n －5，所以a p －a q ＝4(p －q )＝20.5．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3)D.⎝⎛⎦⎤－∞，92 解析：选C 因为数列{a n }是单调递增数列， 所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b >0(n ∈N *)， 所以b <2n ＋1(n ∈N *)， 所以b <(2n ＋1)min ＝3，即b <3.6．若数列{a n }满足12≤a n ＋1a n≤2(n ∈N *)，则称{a n }是“紧密数列”．若{a n }(n ＝1,2,3,4)是“紧密数列”，且a 1＝1，a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，则x 的取值范围为( )A ．[1,3)B ．[1,3]C ．[2,3]D ．[2,3)解析：选C 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧12≤x32≤2，12≤4x≤2，解得2≤x ≤3，故x 的取值范围为[2,3]．7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥28．已知数列32，54，76，9m －n ，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为________．解析：由数列的前3项的规律可知⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝8，m ＋n ＝11，解得⎩⎨⎧m ＝192，n ＝32，故实数对(m ，n )为⎝⎛⎭⎫192，32.答案：⎝⎛⎭⎫192，329．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________．解析：∵S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，令n ＝2， 得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0， 令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2， 则a 3＝S 3－S 2＝－1， 所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1. 答案：－110．已知数列{a n }满足a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)且数列{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n (n ＋2－λ)>0，所以n ＋2－λ>0，则λ<n ＋2.又n ∈N *，所以λ<3，因此实数λ的取值范围为(－∞，3)．答案：(－∞，3)11．(2019·衡阳四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…， 所以归纳得a n ＝4n －1.(2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝4a n ＋1a n ＋1＝4.12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，解得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．B 级1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项，而a 48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97. 答案：972．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：283．在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)． (1)讨论数列{a n }的增减性； (2)求数列{a n }的最大项．解：(1)由题意，知a n >0，令a na n －1>1(n ≥2)，即n ＋1⎝⎛⎭⎫1011nn ⎝⎛⎭⎫1011n －1>1(n ≥2)，解得2≤n <10，即a 9>a 8>…>a 1.11令a n a n ＋1>1，即n ＋1⎝⎛⎭⎫1011n n ＋2⎝⎛⎭⎫1011n ＋1>1， 整理得n ＋1n ＋2>1011，解得n >9，即a 10>a 11>…. 又a 9a 10＝1，所以数列{a n }从第1项到第9项单调递增，从第10项起单调递减． (2)由(1)知a 9＝a 10＝1010119为数列{}a n 的最大项．。
第6章 第1节 数列的概念与简单表示法
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
2．在数列{an}中，已知a1＝－14，an＋1＝1－a1n，则a3＝(
)
A．－3
B．23
C．5
D．45
1234
第一节 数列的概念与简单表示法
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
2．在数列{an}中，已知a1＝－14，an＋1＝1－a1n，则a3＝(
其中n∈N*
第一节 数列的概念与简单表示法
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
3．数列的通项公式
如果数列＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4．数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的
第一节 数列的概念与简单表示法
2．数列的分类
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列 无穷数列
项数_有__限__ 项数_无__限__
按项与项 间的大小 关系分类
递增数列 递减数列 常数列
an＋1_＞__an an＋1_＜__an an＋1＝an
第一节 数列的概念与简单表示法
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
[典例1] (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝_____.
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝_____.
第一节 数列的概念与简单表示法
2025年高考数学一轮复习 第六章 数列-第一节 数列的概念及简单表示法【课件】
数列的项
每一个数
数列中的__________
数列的通项
数列{ }的第项
通项公式
数列{ }的前项和
数列{ }的第项 与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来
表示,这个式子叫作这个数列的通项公式
1 + 2 + ⋯ +
数列{ }中, =________________叫作数列的前项和
第六章 数列
第一节 数列的概念及简单表示法
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
课标解 通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公
读
式）,了解数列是一种特殊函数.
01
强基础 知识回归
知识梳理
一、数列的有关概念
概念
数列
含义
确定的顺序
按照____________排列的一列数
2
2
3
1
, 4 = 2 ；五边形数： , 5 = 2 − ；六边形数： , 6 = 22 − ,可以推
2
2
测 , 的表达式,由此计算 20,23 =( B )
A.4 020
B.4 010
C.4 210
D.4 120
[解析] 由题意可得 , = + , , = + , , = − ,
[解析] 当 = 时, = = ;当 ≥ 时,
= − − = + − [ −
+ ] = − , = 不满足上式,所以
, = ,
, = ,
第一节 数列的概念与简单表示方法
第六章数列(必修5)第一节数列的概念与简单表示方法高考概览：1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．[知识梳理]1．数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的分类(3)数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. [辨识巧记]1．一个重要关系数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．2．两个特殊问题(1)对于数列与周期性有关的题目，关键是找出数列的周期．(2)求数列最大项的方法：①利用数列{a n }的单调性；②解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1， [双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( )(2)一个数列中的数是不可以重复的．( )(3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(必修5P 31例3改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.23[解析] 由a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，得a 2＝1＋1＝2，a 3＝1－12＝12，a 4＝1＋2＝3，a 5＝1－13＝23.故选D.[答案] D3．已知数列{a n }为32，1，710，917，…，则可作为数列{a n }的通项公式的是( )A ．a n ＝n －1n 2＋1B ．a n ＝n ＋1n 2＋1C ．a n ＝2n ＋1n 2＋1D ．a n ＝2n －1n 2＋1[解析] 由32，55，710，917，…，归纳得a n ＝2n ＋1n 2＋1，故选C. [答案] C4．已知数列，1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是它的( )A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项[解析] 由35＝45＝2×23－1，可知35是该数列的第23项．故选B.[答案] B5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n ，则a n ＝________. [解析] ∵S n ＝3＋2n ，∴S n －1＝3＋2n －1(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)． 而a 1＝S 1＝5，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5，n ＝1，2n －1，n ≥2. [答案] ⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2考点一 归纳数列通项公式【例1】 写出下面各数列的一个通项公式：(1)12，34，78，1516，3132，…；(2)－1，32，－13，34，－15，36，…；(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…；(4)3,33,333，3333，….[解] (1)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(2)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号因数为(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋(－1)n n .也可写为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1n ，n 为奇数，3n ，n 为偶数.(3)偶数项为负，而奇数项为正，故通项公式中必含有因子(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律，第1、2两项可改写为12＋12＋1，－22＋12·2＋1， 所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1. (4)将数列各项改写为：93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以a n ＝13(10n －1)．(1)根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．(2)对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．[对点训练]1．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)2[解析] 从图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个；n ＝2时，有3个；n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.故选C.[答案] C2．已知数列{a n }的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( )A ．a n ＝(－1)n －1＋1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数 C ．a n ＝2sin n π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1[解析] 对于选项C ，a 3＝2sin 3π2＝－2≠2，故选C.[答案] C考点二 S n 与a n 的关系【例2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求数列{a n }的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，求数列{a n }的通项公式．[思路引导] 利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化→验证n ＝1→确定结果[解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5.∵a 1＝1也适合上式，∴a n ＝6n －5. (2)由S n ＝23a n ＋13得，当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减整理得：当n ≥2时，a n ＝－2a n －1.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴a n ＝(－2)n －1.[拓展探究] (1)若把本例(1)中“S n ＝3n 2－2n ”改为“S n ＝3n 2－2n ＋1”，其他条件不变，数列{a n }的通项公式是________．(2)本例(2)中条件改为a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝__________.[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5.∵a 1＝2不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2. (2)由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，两边同时除以S n S n ＋1得1S n－1S n ＋1＝1， 即1S n ＋1－1S n ＝－1.又1S 1＝－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列， 所以1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ， 即S n ＝－1n .[答案] (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 (2)－1n已知S n 求a n 的一般步骤(1)当n ＝1时，由a 1＝S 1求a 1的值．(2)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1，求得a n 的表达式．(3)检验a 1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示a n .(4)写出a n 的完整表达式．[对点训练]已知数列{a n }的前n 项和为S n .(1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .[解] (1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2， 由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2. 考点三 数列的函数性质【例3】 (1)(2018·内蒙古阿拉善左旗月考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2018等于( ) A ．1 B ．－1 C ．－12 D ．－2(2)已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________． [思路引导] (1)递推a 1，a 2，a 3，a 4等→确定数列{a n }的周期→求值[解析] (1)∵a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，∴a 2＝－1a 1＋1＝－12，a 3＝－1a 2＋1＝－2，a 4＝－1a 3＋1＝1.由上述可知该数列为周期数列，其周期为3.又∵2018＝3×672＋2，∴a 2018＝a 2＝－12.故选C.(2)解法一：(定义法)因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1) (*)．因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.解法二：(函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数集上的函数f (n )为增函数，故只需满足f (1)<f (2)，即λ>－3.[答案] (1)C (2)λ>－3(1)周期数列的常见形式： ①所给递推关系中含有三角函数，利用三角函数的周期性；②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．(2)利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n 的取值范围．[对点训练]1．数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，那么a 2019＝( )A ．1B ．－2C ．3D ．－3[解析] 因为a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3)，所以a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n －2，所以a n ＋3＝－a n ，所以a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，所以{a n }是以6为周期的周期数列．因为2019＝336×6＋3，所以a 2019＝a 3＝a 2－a 1＝3－2＝1.故选A.[答案] A2．(2018·山东济宁期中)已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －2，n <4，(6－a )n －a ，n ≥4，若对任意的n ∈N *都有a n <a n ＋1成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,4)B ．(2,5)C ．(1,6)D ．(4,6)[解析] 因为对任意的n ∈N *都有a n <a n ＋1成立，所以数列是递增数列，因此⎩⎪⎨⎪⎧ 1<a ，6－a >0，a <(6－a )×4－a ，解得1<a <4.故选A.[答案] A课后跟踪训练(三十四)基础巩固练一、选择题1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( )A.(－1)n ＋12B ．cos n π2 C.n ＋12πD ．cos n ＋22π [解析] 令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确．故选D.[答案] D2．(2019·福建福州八中质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2017＝( )A ．1B ．0C ．2017D ．－2017[解析] ∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2017＝a 1＝1.故选A.[答案] A3．某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，给出下列各式：①a n ＝22[1＋(－1)n ]；②a n ＝1＋(－1)n ；③a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(n 为偶数)，0(n 为奇数).其中可作为{a n }的通项公式的是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③[解析] 把每个式子中的前四项算出来与已知对照一下即可．[答案] D4．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )A ．103 B.8658 C.8258 D ．108[解析] 根据题意并结合二次函数的性质可得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋3＋8418， ∴n ＝7时，a n 取得最大值，最大项a 7的值为108.故选D.[答案] D5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则a 10＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8[解析] 由a n ＋1·a n ＝2n ，所以a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1，故a n ＋2a n＝2，又a 1＝1，可得a 2＝2，故a 10＝25＝32.故选B.[答案] B二、填空题6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．[解析] 令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．[答案] 107．(2019·河北唐山一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1＝________. [解析] ∵S n ＝a 1(4n －1)3，a 4＝32， ∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12.[答案] 128．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，则a 2017＝________，|a n ＋a n ＋1|＝________(n >1)．[解析] 由a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，得a 2＝a 21－1＝12－1＝0，a 3＝a 22－1＝02－1＝－1，a 4＝a 23－1＝(－1)2－1＝0，a 5＝a 24－1＝02－1＝－1，由此可猜想当n >1，n 为奇数时a n ＝－1，n 为偶数时a n ＝0，∴a 2017＝－1，|a n ＋a n ＋1|＝1.[答案] －1 1三、解答题9．(1)(2018·广东化州第二次模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式．(2)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n∈N *，均有2S n ＝a n ＋a 2n ，求数列{a n }的通项公式．[解] (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2 (2)∵2S n ＝a n ＋a 2n ，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 1＋a 21. 又a 1>0，∴a 1＝1.当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n (n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若{a n }为递增数列，求实数k 的取值范围．[解] (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)解法一：因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，注意比较对象，即得k >－3.解法二：因为{a n }是递增数列，则a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4.解得：k >－3.∴k 的取值范围为(－3，＋∞)．能力提升练11．(2019·湖南六校联考)已知数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12[解析] ∵数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，∴a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18.那么a 5＝a 3·a 2＝132.故选A.[答案] A12．已知a n ＝n －2017n －2018(n ∈N *)，则数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是( )A ．a 1，a 50B ．a 1，a 44C ．a 45，a 50D ．a 44，a 45[解析] a n ＝n －2017n －2018＝n －2018＋2018－2017n －2018＝1＋2018－2017n －2018，要使a n 最大，则需n －2018最小，且n －2018>0，∴n ＝45时，a n 最大．同理可得n ＝44时，a n 最小．故选D.[答案] D13．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.[解析] 依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.[答案] 2814．(2019·河南洛阳第二次统一考试)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n －λa 2n ，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围．[解] (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ，∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a n n ，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1， ∴a n ＝n (n ∈N *)．(2)b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2)＝2·3n －λ(2n ＋1)．∵数列{b n }为递增数列，∴2·3n －λ(2n ＋1)>0，即λ<2·3n 2n ＋1. 令c n ＝2·3n2n ＋1，即c n ＋1c n＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1. ∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．拓展延伸练15．(2019·陕西咸阳二模)已知正项数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n 2C ．a n ＝n 2D ．a n ＝n 22[解析] ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2， ∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝n (n －1)2(n ≥2)， 两式相减得a n ＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n (n ≥2)，∴a n ＝n 2(n ≥2)，(*)又当n ＝1时，a 1＝1×22＝1，a 1＝1适合(*)，∴a n ＝n 2，n ∈N *.故选B.[答案] B16．(2019·湖南永州二模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n (λ－n )－6，若数列{a n }单调递减，则λ的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，3)C ．(－∞，4)D ．(－∞，5)[解析] ∵S n ＝3n (λ－n )－6，①∴S n －1＝3n －1(λ－n ＋1)－6，n ≥2，②①－②得a n ＝3n －1(2λ－2n －1)(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝3λ－9，不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3λ－9，n ＝1，3n －1(2λ－2n －1)，n ≥2， ∵{a n }为单调递减数列，∴a n >a n ＋1(n ≥2)，且a 1>a 2，∴3n －1(2λ－2n －1)>3n (2λ－2n －3)(n ≥2)，且λ<2，化为λ<n ＋2(n ≥2)，且λ<2，∴λ<2，∴λ的取值范围是(－∞，2)．故选A.[答案] A。
高中数学第四章数列1第1课时数列的概念与简单表示法课件新人教A版选择性必修2
若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 【解析】选A.an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0， 所以an＋1>an，即{an}是递增数列．
D．摆动数列
【补偿训练】已知下列数列：
(1)0，0，0，0，0，0；
(2)0，－1，2，－3，4，－5，…；
2．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式． (2)讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论． 【解析】(1)因为f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n， 所以有2log2an－2－log2an＝－2n， 即an－a1n ＝－2n， 所以an2 ＋2nan－1＝0， 解得an＝－n± n2＋1 .
【解析】由数列中项的多少可知(1)是有穷数列，(2)(3)(4)(5)是无穷数列，根据数 列单调性的定义知(3)是递增数列，(4)是递减数列，(1)是常数列，(2)(5)是摆动数 列． 答案：(1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)
探究点二 用观察法求数列的通项公式
A．1，13 ，312 ，313 ，…
B．sin
π 13
，sin
2π 13
，sin
3π 13
，sin
4π 13
，…
C．－1，－12 ，－13 ，－14 ，…
D．1，2，3，4，…，30
【思维导引】(1)根据数列的定义去判断． (2)根据无穷数列和递增数列的定义逐一判断四个选项，即可得正确答案．
【解析】(1)选C.A中的{1，2，3，5，7}表示集合而不是数列，故A错，B中的两 个数列是不同的两个数列，因为1，0，－1，－2这四个数的顺序不一样，故B错 误，数列0，2，4，6，8，…，可记为{2(n－1)}，而不是{2n}，故D错．
第一节 数列的概念及简单表示法
≥2)时,用累乘法求解.
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变式3-1
若将本例中的条件“an+1=an+n+1”改为“an+1=
n
n
1
an”,如何
求解?
解析
∵an+1=
n
n
1
an,
∴ an1 = n ,
an n 1
∴an= an ·an1 ·an2 ·…·a3 ·a2 ·a1
an1 an2 an3
a2 a1
= n 1·n 2 ·n 3 ·…·1 ·2=2 .
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1.已知n∈N*,给出4个表达式:①an=
0, n为奇数, 1, n为偶数,
②an=1
(1)n 2
,③an=
1 cos n ,④an= sin n .其中能表示数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的
2
2
是( )
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
答案 A 检验知①②③都可以是所给数列的通项公式.
∴ 1 = 1 + 1 ,即 1 - 1 = 1 ,
an1 an 2 an1 an 2
又a1=2,则 1 = 1 ,
a1 2
∴
1 an
是以
1 2
为首项,
1 2
为公差的等差数列.
∴ 1 = 1 +(n-1)× 1 = n ,
an a1
22
∴an= 2 .
n
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变式3-4 若将本例中的条件换为“a1=1,an+1+an=2n”,如何求解? 解析 ∵an+1+an=2n,∴an+2+an+1=2n+2. 故an+2-an=2, 即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.
数列专题 第1讲
第1讲 数列的概念与简单表示法1．数列的定义按照□01一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的□02项．2．数列的分类3．数列的表示法数列有三种常见表示法，它们分别是□07列表法、□08图象法和□09解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与□10序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ， 则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎨⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎨⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( ) A.1516 B.158 C.34 D.382．(2019·湖南三市联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1的值为( )A.12B.14C.18D.1163．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N 都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A.6116B.259C.2516D.31154．在数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＝11－a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 8＝( )A ．－1B ．1 C.12 D ．25．已知数列32，54，76，9m －n ，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为________．6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则数列a n ＝________.核心考向突破考向一 利用a n 与S n 的关系求通项公式例1 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则a n ＝________.(2)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.触类旁通S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． ①利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． ②利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．即时训练 1.(2019·宁夏模拟)设S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝________.2．(2018·石家庄质检)设数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.考向二由递推关系求数列的通项公式例2分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝0，a n＋1＝a n＋(2n－1) (n∈N*)；(2)a1＝1，a n＝nn－1a n－1 (n≥2，n∈N*)；(3)a1＝－2，a n＋1＝3a n＋6 (n∈N*)．(4)a1＝－2，a n＋1＝3a n＋6n(n∈N*)．触类旁通由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且a n－a n－1＝f(n)，可用“累加法”求a n.(2)已知a1且a na n－1＝f(n)，可用“累乘法”求a n.(3)已知a1且a n＋1＝qa n＋b，则a n＋1＋k＝q(a n＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n＋k}．(4)形如a n＋1＝Aa nBa n＋C(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.即时训练 3.在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a na n＋2(n∈N*)，则14是这个数列的()A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项4．若数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1＝a n＋2n，则数列a n＝________.5．在数列{a n}中，a1＝4，na n＋1＝(n＋2)a n，则数列a n＝________.考向三 数列的性质 角度1 数列的单调性例3 (2019·吉林模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，若数列{a n }为递增数列，则λ取值范围为________.角度2 数列的周期性例4 在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018＝( )A ．20152B ．－20152C ．20172D ．－20172 角度3 数列的最值例5 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( )A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项 (2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ，则当a n 取得最大值时，n ＝________.即时训练 6.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则a 1·a 2·a 3·…·a 2019＝( )A ．－6B ．6C ．－3D ．37．已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎨⎧(1－3a )·n ＋10a ，n ≤6，a n －7，n >6(n ∈N *)，若对任意的n∈N *，均有a n >a n ＋1，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，58C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，58。
第一节 数列的概念与简单表示法
第一节数列的概念与简单表示法【考纲下载】1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．2．数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n ＋1＞a n 其中n ∈N *递减数列a n ＋1＜a n 常数列a n ＋1＝a n摆动数列从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项3．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推公式若一个数列{a n }的首项a 1确定，其余各项用a n 与a n －1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1，n ＞1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．5．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.1．数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？提示：不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为a n ＝(－1)n 或a n ＝－1，n 为奇数，1，n 为偶数.有的数列没有通项公式．2．如果数列{a n }的前n 项和为S n ，是否对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n 成立？提示：成立．∵S n ＋1＝S n ＋a n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝(S n ＋a n ＋1)－S n ＝a n ＋1.1．已知数列32，54，76，9a －b ，a ＋b 10，…，根据前三项给出的规律，则实数对(a ，b )可能是()A ．(19,3)B ．(19，－3)C.192，32D.192，－322．已知数列的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3()A ．不是数列{a n }中的项B ．只是数列{a n }中的第2项C ．只是数列{a n }中的第6项D ．是数列{a n }中的第2项或第6项3．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ∈N *，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝()A.259B.2516C.3115D.61164．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，则a 5＝________.5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式是________．\1解析：选C 由前三项可知，该数列的通项公式可能为a n ＝2解析：选D 令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或6，故3是数列{a n }中的第2项或第6项．2n ＋12n .所以a －b ＝8，a ＋b ＝11，即a ＝192，b ＝32.3解析：选D ∵a 1a 2a 3…a n ＝n 2，∴a 1a 2a 3…a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝n 2(n －1)2(n ≥2)，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝94＋2516＝3616＋2516＝6116.4解析：由题意知，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝32，a 4＝53，a 5＝85.答案：855解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1.故a n ＝－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝－1，n ＝1，2n －1，n ≥2考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式[例1]根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，….[自主解答](1)数列中各项的符号可通过(－1)n 表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)数列变为891－110，891－1102，891－1103，…，故a n ＝891－110n.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n －32n .【方法规律】求数列的通项公式应关注的四个特征(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式．(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，∴a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列21,22,23,24，…，∴a n ＝2n －12n .(3)数列的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因式(－1)n，各项绝对值的分母组成数列{n }，分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1.∴a n ＝(－1)n 2＋(－1)n n.考点二由递推关系式求通项公式[例2]根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)；(2)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；(4)a 1＝56，a n ＋1＝5a n 4a n ＋1.[自主解答](1)∵a n ＝n －1n a n－1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘，得a n ＝a 1×12×23×…×n －1n＝a 1n ＝1n .(2)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n2.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3.∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2×3n －1.∴a n ＝2×3n －1－1.(4)∵a n ＋1＝5a n 4a n ＋1，∴1a n ＋1＝45＋15a n ，∴1a n ＋1－1＝151a n －1.又1a 1－1＝15，∴1a n －1是以15为首项，15为公比的等比数列，∴1a n －1＝15·15n －1＝15n ，∴a n ＝5n 1＋5n .【方法规律】由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n ；(2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n ；(3)已知a 1且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为{a n ＋k }为等比数列；(4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln 1＋1n ，则a n ＝()A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n解析：选A 由已知，a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n，a 1＝2，∴a n －a n －1＝ln nn －1(n ≥2)，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，…a 2－a 1＝ln 21，将以上n －1个式子相加，得a n －a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＝ln n n －1.n －1n －2 (2)1＝ln n ，∴a n ＝2＋ln n (n ≥2)，经检验n ＝1时也适合．2．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为()A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有a k ≥0，a k ＋1≤0，∴22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，∴193≤k ≤223，∵k ∈N *，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7.高频考点考点三a n 与S n 关系的应用1．a n 与S n 关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度较小，属容易题．2．高考对a n 与S n 关系的考查常有以下两个命题角度：(1)利用a n 与S n 的关系求通项公式a n ；(2)利用a n 与S n 的关系求S n .[例3](1)(2012·全国高考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝()A ．2n －1B.32n -1 C.23n －1D.12n－1(2)(2013·新课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n＝________.(3)(2013·湖南高考改编)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式．[自主解答](1)由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝32n －1.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.(3)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a2.解得a 2＝2.当n ≥2时，2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1，两式相减，得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1.于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．因此，a n ＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.[答案](1)B (2)(－2)n －1a n 与S n 关系的应用问题的常见类型及解题策略(1)由a n 与S n 的关系求a n .数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，若a 1适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，若a 1不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．(2)由a n 与S n 的关系求S n .通常利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)将已知关系式转化为S n 与S n －1的关系式，然后求解．1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝()A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1解析：选A 法一：a 1＝1，a 2＝3S 1＝3，a 3＝3S 2＝12＝3×41，a 4＝3S 3＝48＝3×42，a 5＝3S 4＝3×43，a 6＝3S 5＝3×44.法二：当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列，又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝1(n ＝1)，3×4n －2(n ≥2).∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m (m ，n ∈N *)且a 1＝6，那么a 10＝()A ．10B ．60C ．6D ．54解析：选C 由S n ＋S m ＝S n ＋m ，得S 1＋S 9＝S 10，又由于a 10＝S 10－S 9＝S 1＝a 1＝6，故a 10＝6.3．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋1，则它的通项公式a n ＝________.解析：∵a 1＝S 1＝12－1＋1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－n ＋1)－[(n －1)2－(n －1)＋1]＝2n －2.∴a n ＝1(n ＝1)，2n －2(n ≥2).答案：1(n ＝1)，2n －2(n ≥2)———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————2种关系——数列与函数、a n 与S n 的关系(1)数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．(2)a n ＝S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).3种思路——由递推关系式求通项公式的常用思路(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加法或累乘法求数列的通项；(3)一般形如a n ＋1＝qa n ＋b 或a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)的数列，可采用待定系数法转化为等比数列解决．前沿热点(七)数列与函数的交汇问题1．数列的概念常与函数、方程、解析几何、不等式等相结合命题．2．正确理解、掌握函数的性质(如单调性、周期性等)是解决此类问题的关键．[典例](2012·上海高考)已知f (x )＝11＋x.各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2010＝a 2012，则a 20＋a 11的值是________．[解题指导]由a n ＋2＝f (a n )可知，a n ＋2＝11＋a n ，即以函数f (x )＝11＋x为载体给出了a n 与a n ＋2之间的关系，即奇数项与奇数项、偶数项与偶数项的关系．[解析]∵a n ＋2＝11＋a n ，又a 2010＝a 2012＝11＋a 2010，∴a 22010＋a 2010＝1.又a n >0，∴a 2010＝5－12.又a 2010＝11＋a 2008＝5－12，∴a 2008＝5－12，同理可得a 2006＝…＝a 20＝5－12.又a 1＝1，∴a 3＝12，a 5＝11＋a 3＝23，a 7＝11＋a 5＝35，a 9＝11＋a 7＝58，a 11＝11＋a 9＝813.∴a 20＋a 11＝5－12＋813＝135＋326.[答案]135＋326[名师点评]正确解决本题的关键有以下两点：(1)抓住a n ＋2＝f (a n )，得a n ＋2＝11＋a n是解题的关键．(2)转化条件a 2010＝a 2012，从而判定当n ≤2012时，数列{a n }中的偶数项为常数5－12.(2013·安徽高考)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．解析：设OA n ＝x (n ≥3)，OB 1＝y ，∠O ＝θ，记S △OA 1B 1＝12×1×y sin θ＝S ，那么S △OA 2B 2＝12×2×2y sin θ＝4S ，则S △OA 3B 3＝4S ＋(4S －S )＝7S ，……S △OA n B n ＝12x ·xy sin θ＝(3n －2)S ，∴S △OA n B n S △OA 2B 2＝12·x ·xy sin θ12×2×2y sin θ＝(3n －2)S 4S ，∴x 24＝3n －24，∴x ＝3n －2.又a n ＝x ，∴a n ＝3n －2(n ≥3)，经验证可知a n ＝3n －2(n ∈N *)．答案：a n ＝3n －2[全盘巩固]1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为()A ．15B ．16C ．49D ．64解析：选A a 8＝S 8－S 7＝82－72＝64－49＝15.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝()A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选B 由a n ＝S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)＝－8(n ＝1)，2n －10(n ≥2)，得a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k <9，由于k ∈N *，所以k ＝8.3．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是()A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：选C ∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＋S n ＝a n .两式相减，得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴a n ＝0(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＋(a 1＋a 2)＝a 2，∴a 1＝0，∴a n ＝0(n ∈N *)．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝()A ．－16B ．16C ．31D ．32解析：选B 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1，又S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝a n ＝2(a n －a n －1)．∴a n a n －1＝2.∴a n ＝1×2n －1，∴a 5＝24＝16.5．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝()A ．0B ．－3 C.32D.3解析：选B 利用a 1＝0和递推公式可求得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3，以此类推，数列{a n }的项周期性出现，其周期为3.所以a 20＝a 2＝－ 3.6．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差即a 2014－5＝()A ．2020×2012B ．2020×2013C ．1010×2012D ．1010×2013解析：选D 结合图形可知，该数列的第n 项a n ＝2＋3＋4＋…＋(n ＋2)．所以a 2014－5＝4＋5＋…＋2016＝1010×2013.7．在数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2013＝________.解析：将x 1＝1代入x n ＋1＝1x n ＋1－1，得x 2＝－12，再将x 2代入x n ＋1＝1x n ＋1－1，得x 3＝1，所以数列{x n }的周期为2，故x 2013＝x 1＝1.答案：18．数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大．解析：易知a 1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，这样只需求数列{a n }的最后一个非负项．令a n ≥0，则－n 2＋10n ＋11≥0，∴－1≤n ≤11，可见，当n ＝11时，a 11＝0，故a 10是最后一个正项，a 11＝0，故前10或11项和最大．答案：10或119．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a 2＝________，a n ＝________.解析：由a n ＝n (a n ＋1－a n )，可得a n ＋1a n ＝n ＋1n，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n ，故a 2＝2，a n ＝n .答案：2n10．已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2－5n ＋4，①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围．解：(1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝n －522－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看成是关于n 的二次函数，又考虑到n ∈N *，当－k 2＝32时a 1＝a 2，所以－k 2<32，即得k >－3.故实数k 的取值范围是(－3，＋∞)．11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1；S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.(1)记b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．解：(1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ，∴数列{b n }是首项b 1＝a －3，公比为2的等比数列．因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)×2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知，S n ＝3n ＋(a －3)×2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)×2n －1－3n －1－(a －3)×2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)×2n －2＝2n －2×12×32n －2＋a －3，∵a n ＋1≥a n ，∴12×32n －2＋a －3≥0，∴a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1，综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)．。
第七章 第一节 数列的概念与简单表示法 课件(共48张PPT)
1．(多选)(2020·山东“百师联盟”)对于数列{an}，令 bn＝an－a1n ，则下 列说法正确的是( )
A．若数列{an}是单调递增数列，则数列{bn}也是单调递增数列 B．若数列{an}是单调递减数列，则数列{bn}也是单调递减数列 C．若 an＝3n－1，则数列{bn}有最小值 D．若 an＝1－－12 n ，则数列{bn}有最大值
3．已知 an＝nn－ ＋11 ，那么数列{an}是(
)
A．递减数列
B．递增数列
C．常数列
D．摆动数列
A [因 an＋1－an＝nn－ ＋11 －n＋n 2 ＝（n＋1）－（2 n＋2） <0，则 an＋1<an，
∴数列{an}是递减数列．]
4．(必修 5P67T2 改编)数列{an}的前几项为12 ，3，121 ，8，221 ，…， 则此数列的通项公式为________．
当 n＝1 时，2S1＝3a1－3，解得 a1＝3， 所以数列{an}是以 3 为首项，3 为公比的等比数列， 所以 a4＝a1q3＝34＝81.故选 B.
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝1＋2＋1＝4，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
经检验 a1＝4 不适合 an＝2n＋1，
故 an＝42n＋1
由递推关系式求数列的通项公式
(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n＋1，则 a5＝________； (2)若 a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式 an＝________； (3)已知数列{an}中，若 a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式 an＝________．
解析： (1)依题意得 an＋1－an＝2n＋1，a5＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2
2025高考数学一轮复习-6.1-数列的概念与简单表示方法【课件】
『变式训练』 1．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 2Sn＝3an－3，则 a4 等于( B ) A．27 B．81 C．93 D．243
【解析】 根据 2Sn＝3an－3，可即 an＋1＝3an，当 n＝1 时，2S1＝3a1－3，解得 a1＝3，所以数列{an}是以 3 为首项，3 为公 比的等比数列，所以 a4＝a1q3＝34＝81.故选 B.
【解析】 ∵Sn＝3＋2n， ∴Sn－1＝3＋2n－1(n≥2)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)． 而 a1＝S1＝5，∴an＝52， n－1n，＝n1≥，2.
易错点睛：(1)数列是特殊的函数，注意其自变量为正整数． (2)求数列前 n 项和 Sn 的最值时，注意项为零的情况． (3)使用 an＝Sn－Sn－1 求 an 时注意 n≥2 这一条件，要验证 n＝1 时是否成立．
满足条件
有穷数列 无穷数列
项数 项数
有限 无限
递增数列 递减数列
常数列
an＋1 an＋1 an＋1
> an < an ＝ an
其中 n∈N*
从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小
于它的前一项的数列
3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和 解析法 ． 4．数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集 N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集 R 的函数，其自变 量是序号 n，对应的函数值是数列的第 n 项 an，记为 an＝f(n)．也就是说，当自变量从 1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值 f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是 数列{an}．
同理令2nn－＋11＝15，得 n＝2，∴15为数列{an}的项；
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第五章 数 列
第一节 数列的概念与简单表示法
1．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类：
(3)数列的通项公式：
如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式
如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
[小题能否全取]
1．数列1，23，35，47，5
9
…的一个通项公式是 ( )
A ．a n ＝n 2n ＋1
B ．a n ＝n 2n －1
C ．a n ＝n
2n －3
D ．a n ＝n
2n ＋3
2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为 ( )
A ．15
B ．16
C ．49
D ．64
3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n
n ＋1
，则这个数列是 ( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数列
D ．摆动数列
4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2·
3n －
1(n 为偶数)，2n －5(n 为奇数)，则a 4·a 3＝________.
5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，a 4＝3
2
，则a 8＝________.
1．B 2．A 3．A 4．答案：54 5．答案：9
4
小结
1.对数列概念的理解
(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的函数特征
数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f (n )＝a n (n ∈N *)．
由数列的前几项求数列的通项公式
典题导入
[例1] 下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是 ( )
A ．a n ＝1
B ．a n ＝(－1)n ＋12
C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2
D ．a n ＝(－1)n －
1＋32
[答案] C
若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n }的一个通项公式为________．
答案：a n ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
0(n 为奇数)，1(n 为偶数).
⎝⎛⎭
⎫或a n ＝1＋(－1)n
2或a n
＝1＋cos n π2
由题悟法
1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n
＋1
来调整．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
以题试法
1．写出下面数列的一个通项公式．
(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，31
32，…；
(3)3,33,333,3 333，…； (4)－1，32，－13，34，－15，3
6，….
解：(1)a n ＝2n ＋1 (2)a n ＝2n －12n (3)a n ＝1
3
(10n －1)．
(4)奇所以a n
＝(－1)n
·2＋(－1)
n
n ，也可写为a n
＝⎩⎨⎧
－1
n ，n 为正奇数，3
n ，n 为正偶数.
由a n 与S n 的关系求通项a n
典题导入
[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n .
(1)S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n ＋1.
答案：(1)a n ＝4n ＋1.(2)a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4， n ＝1，
2×3n －
1， n ≥2. 由题悟法
已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：
(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；
(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；
(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．
以题试法
2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n n ＋1
，则1
a 5＝ ( )
A.56
B.65
C.1
30
D ．30
解析：选D
数列的性质
典题导入
[例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20.
(1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？
(1)－90.(2)该数列的前19或20项和最小．
在本例条件下，设b n ＝a n
n
，则n 为何值时，b n 取得最小值？并求出最小值．
解：b n ＝a n n ＝n 2－21n ＋20n ＝n ＋20
n
－21，
令f (x )＝x ＋20x －21(x >0)，则f ′(x )＝1－20
x 2，由f ′(x )＝0解得x ＝25或x ＝－25(舍)．而4<25
<5，故当n ≤4时，数列{b n }单调递减；当n ≥5时，数列{b n }单调递增．而b 4＝4＋20
4－21＝－12，b 5
＝5＋20
5
－21＝－12，所以当n ＝4或n ＝5时，b n 取得最小值，最小值为－12.
由题悟法
1．数列中项的最值的求法
根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值． 2．前n 项和最值的求法
(1)先求出数列的前n 项和S n ，根据S n 的表达式求解最值；
(2)根据数列的通项公式，若a m ≥0，且a m ＋1<0，则S m 最大；若a m ≤0，且a m ＋1>0，则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.
以题试法
3．数列{a n }的通项a n ＝n
n 2＋90
，则数列{a n }中的最大值是 ( )
A ．310
B ．19 C.1
19
D.
1060
解析：选C
拓展
1．累加法
[典例1]数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11
[答案] B 2．累乘法
[典例2]已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋2
3a n .
(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．
[解] (1)由S 2＝4
3
a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.
由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝3
2(a 1＋a 2)＝6.
(2)由题设知a 1＝1.
当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝
n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1
n －1a n －1
. 于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n
n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.
将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)
2
. 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)
2.
3．构造新数列
[典例3] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；则a n ＝________. [解析] ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，
∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －
1－1. [答案] 2×3n －
1－1。