数学中考总复习-专题训练--三角形与特殊三角形

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中考数学专题复习27特殊三角形(解析版)

特殊三角形考点1：等腰三角形的性质与判定1．（2021·江苏苏州市）如图．在Rt ABC △中.90C ∠=︒.AF EF =．若72CFE ∠=︒.则B ∠=______．【答案】54°【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A =∠AEF .再根据三角形的外角和定理得出∠A +∠AEF =∠CFE .求出∠A 的度数.最后根据三角形的内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∠ AF =EF .∠ ∠A =∠AEF .∠∠A +∠AEF =∠CFE=72°.∠ ∠A =36°.∠ ∠C =90°.∠A +∠B +∠C =180°.∠ ∠B =180°-∠A -∠C =54°．故答案为：54°．2．（2021·江苏南京市·中考真题）如图.在四边形ABCD 中.AB BC BD ==．设ABC α∠=.则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．【答案】11802α︒-【分析】由等腰的性质可得：∠ADB =1902ABD ︒-∠.∠BDC =1902CBD ︒-∠.两角相加即可得到结论．【详解】解：在∠ABD 中.AB =BD∠∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒-∠ 在∠BCD 中.BC =BD∠∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒-∠ ∠ABC ABD CBD α∠=∠+∠=∠ADC ADB CBD ∠=∠+∠ =11909022ABD CBD ︒-∠+︒-∠ =1180()2ABD CBD ︒-∠+∠ =11802ABC ︒-∠ =11802α︒- 故答案为：11802α︒-．3．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后.按图1分成六等份折叠得到图2.将图2沿虚线AB 剪开.再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒.则OBA ∠的度数为______．【答案】135°【分析】利用折叠的性质.根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．【详解】解：连接OC.EO由折叠性质可得：∠EOC=3603012︒=︒.EC=DC.OC平分∠ECD∠∠ECO=11(180275)15 22ECD∠=︒-⨯︒=︒∠∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即OBA∠的度数为135°故答案为：135°4．（2021·山东中考真题）如图.在ABC中.ABC∠的平分线交AC于点D.过点D作//DE BC；交AB于点E．（1）求证：BE DE =；（2）若80,40A C ∠=︒∠=︒.求BDE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）30BDE ∠=︒【分析】（1）由题意易得,ABD CBD CBD EDB ∠=∠∠=∠.则有ABD EDB ∠=∠.然后问题可求证；（2）由题意易得60ABC ∠=︒.则有30ABD CBD ∠=∠=︒.然后由（1）可求解．【详解】（1）证明：∠BD 平分ABC ∠.∠ABD CBD ∠=∠.∠//DE BC .∠CBD EDB ∠=∠.∠ABD EDB ∠=∠.∠BE DE =；（2）解：∠80,40A C ∠=︒∠=︒.∠18060ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒.由（1）可得30ABD CBD BDE ∠=∠=∠=︒．5．（2020•台州）如图.已知AB ＝AC .AD ＝AE .BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：∠ABD ∠∠ACE ；（2）判断∠BOC 的形状.并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证∠ABD ∠∠ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE .由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB .可求∠OBC ＝∠OCB .可得BO ＝CO .即可得结论．【解答】证明：（1）∠AB ＝AC .∠BAD ＝∠CAE .AD ＝AE .∠∠ABD∠∠ACE（SAS）；（2）∠BOC是等腰三角形.理由如下：∠∠ABD∠∠ACE.∠∠ABD＝∠ACE.∠AB＝AC.∠∠ABC＝∠ACB.∠∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE.∠∠OBC＝∠OCB.∠BO＝CO.∠∠BOC是等腰三角形．考点2：等边三角形的性质与判定6．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.等边三角形ABC的边长为4.C的半3P为AB边上一动点.过点P作C的切线PQ.切点为Q.则PQ的最小值为________．【答案】3【分析】连接OC和PC.利用切线的性质得到CQ∠PQ.可得当CP最小时.PQ最小.此时CP∠AB.再求出CP.利用勾股定理求出PQ即可．【详解】解：连接QC和PC.∠PQ和圆C相切.∠CQ∠PQ.即∠CPQ始终为直角三角形.CQ为定值.∠当CP最小时.PQ最小.∠∠ABC是等边三角形.∠当CP∠AB时.CP最小.此时CP∠AB.∠AB=BC=AC=4.∠AP=BP=2.∠CP22-3AC AP∠圆C的半径CQ3∠PQ22-=3.CP CQ故答案为：3．7．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的∠DEF的周长是．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长.再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解析】∠等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.∠EF＝2.∠DE∠AB.DF∠AC.∠∠DEF是等边三角形.∠剪下的∠DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．8．（2020•凉山州）如图.点P、Q分别是等边∠ABC边AB、BC上的动点（端点除外）.点P、点Q以相同的速度.同时从点A、点B出发．（1）如图1.连接AQ、CP．求证：∠ABQ∠∠CAP；（2）如图1.当点P、Q分别在AB、BC边上运动时.AQ、CP相交于点M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数；（3）如图2.当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时.直线AQ、CP相交于M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质.利用SAS 证明∠ABQ ∠∠CAP 即可；（2）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝60°；（3）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝120°．【解析】（1）证明：如图1.∠∠ABC 是等边三角形∠∠ABQ ＝∠CAP ＝60°.AB ＝CA .又∠点P 、Q 运动速度相同.∠AP ＝BQ .在∠ABQ 与∠CAP 中.{AB =CA∠ABQ =∠CPA AP =BQ. ∠∠ABQ ∠∠CAP （SAS ）；（2）点P 、Q 在AB 、BC 边上运动的过程中.∠QMC 不变．理由：∠∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠ACM 的外角.∠∠QMC ＝∠ACP +∠MAC ＝∠BAQ +∠MAC ＝∠BAC∠∠BAC ＝60°.∠∠QMC ＝60°；（3）如图2.点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动时.∠QMC 不变理由：同理可得.∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠APM 的外角.∠∠QMC ＝∠BAQ +∠APM .∠∠QMC ＝∠ACP +∠APM ＝180°﹣∠P AC ＝180°﹣60°＝120°.即若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动.∠QMC 的度数为120°．考点3：直角三角形的性质9．（2020•衡阳）如图.在∠ABC 中.∠B ＝∠C .过BC 的中点D 作DE ∠AB .DF ∠AC .垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°.求∠BAC 的度数．【分析】（1）根据DE ∠AB .DF ∠AC 可得∠BED ＝∠CFD ＝90°.由于∠B ＝∠C .D 是BC 的中点.AAS 求证∠BED ∠∠CFD 即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B ＝50°.根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∠DE ∠AB .DF ∠AC .∠∠BED ＝∠CFD ＝90°.∠D 是BC 的中点.∠BD ＝CD .在∠BED 与∠CFD 中.{∠BED =∠CFD∠B =∠CBD =CD. ∠∠BED ∠∠CFD （AAS ）.∠DE ＝DF ；（2）解：∠∠BDE ＝40°.∠∠B＝50°.∠∠C＝50°.∠∠BAC＝80°．10．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上.抽象出如图（2）的平面图形.∠ACB与∠ECD恰好为对顶角.∠ABC＝∠CDE＝90°.连接BD.AB ＝BD.点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时.连接DF（如图（2））.小明经过探究.得到结论：BD∠DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换.即：BD∠DF.则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立.请写出证明过程；若不成立.请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6.CE＝9.求AD的长．【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF.推出EF＝FD.再证明FD＝FC 即可解决问题．（3）如图3中.取EC的中点G.连接GD．则GD∠BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．【解析】（1）如图（2）中.∠∠EDC＝90°.EF＝CF.∠DF＝CF.∠∠FCD＝∠FDC.∠∠ABC＝90°.∠∠A+∠ACB＝90°.∠BA＝BD.∠∠A＝∠ADB.∠∠ACB＝∠FCD＝∠FDC.∠∠ADB+∠FDC＝90°.∠∠FDB＝90°.∠BD∠DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∠BD∠DF.ED∠AD.∠∠BDC+∠CDF＝90°.∠EDF+∠CDF＝90°.∠∠BDC＝∠EDF.∠AB＝BD.∠∠A＝∠BDC.∠∠A＝∠EDF.∠∠A+∠ACB＝90°.∠E+∠ECD＝90°.∠ACB＝∠ECD.∠∠A＝∠E.∠∠E＝∠EDF.∠EF＝FD.∠∠E+∠ECD＝90°.∠EDF+∠FDC＝90°.∠FD ＝FC .∠EF ＝FC .∠点F 是EC 的中点．（3）如图3中.取EC 的中点G .连接GD ．则GD ∠BD ．∠DG =12EC =92. ∠BD ＝AB ＝6.在Rt∠BDG 中.BG =√DG 2+BD 2=√(92)2+62=152. ∠CB =152−92=3.在Rt∠ABC 中.AC =√AB 2+BC 2=√62+32=3√5.∠∠ACB ＝∠ECD .∠ABC ＝∠EDC .∠∠ABC ∠∠EDC .∠AC EC =BC CD. ∠3√59=3CD. ∠CD =9√55. ∠AD ＝AC +CD ＝3√5+9√55=24√55． 11．（2020•常德）已知D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.过点D 作Rt∠DEF 使∠DEF ＝90°.∠DFE ＝30°.连接CE 并延长CE 到P .使EP ＝CE .连接BE .FP .BP .设BC 与DE 交于M .PB 与EF 交于N ．（1）如图1.当D .B .F 共线时.求证：∠EB ＝EP ；（2）如图2.当D .B .F 不共线时.连接BF .求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．【分析】（1）∠证明∠CBP 是直角三角形.根据直角三角形斜边中线可得结论； ∠根据同位角相等可得BC ∠EF .由平行线的性质得BP ∠EF .可得EF 是线段BP 的垂直平分线.根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE ＝∠BFE ＝30°；（2）如图2.延长DE 到Q .使EQ ＝DE .连接CD .PQ .FQ .证明∠QEP ∠∠DEC （SAS ）.则PQ ＝DC ＝DB .由QE ＝DE .∠DEF ＝90°.知EF 是DQ 的垂直平分线.证明∠FQP ∠∠FDB （SAS ）.再由EF 是DQ 的垂直平分线.可得结论．【解答】证明（1）∠∠∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.∠∠A ＝90°﹣30°＝60°.同理∠EDF ＝60°.∠∠A ＝∠EDF ＝60°.∠AC ∠DE .∠∠DMB ＝∠ACB ＝90°.∠D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.AC ∠DM .∠BM BC =BD AB =12. 即M 是BC 的中点.∠EP ＝CE .即E 是PC 的中点.∠ED ∠BP .∠∠CBP ＝∠DMB ＝90°.∠∠CBP 是直角三角形.∠BE =12PC ＝EP ； ∠∠∠ABC ＝∠DFE ＝30°.∠BC ∠EF .由∠知：∠CBP ＝90°.∠BP ∠EF .∠EB＝EP.∠EF是线段BP的垂直平分线.∠PF＝BF.∠∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2.延长DE到Q.使EQ＝DE.连接CD.PQ.FQ.∠EC＝EP.∠DEC＝∠QEP.∠∠QEP∠∠DEC（SAS）.则PQ＝DC＝DB.∠QE＝DE.∠DEF＝90°∠EF是DQ的垂直平分线.∠QF＝DF.∠CD＝AD.∠∠CDA＝∠A＝60°.∠∠CDB＝120°.∠∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP.∠∠FQP∠∠FDB（SAS）.∠∠QFP＝∠BFD.∠EF是DQ的垂直平分线.∠∠QFE＝∠EFD＝30°.∠∠QFP+∠EFP＝30°.∠∠BFD+∠EFP＝30°．考点4：勾股定理及其逆定理12．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.ABC中.∠=︒==.将ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.则CE的长为90,8,6ACB AC BC（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10.再利用折叠的性质得到AE=BE.AD=BD=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2.解得x.可得CE．【详解】解：∠∠ACB=90°.AC=8.BC=6.∠AB22AC BC+∠∠ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.∠AE=BE.AD=BD=12AB=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中∠BE2=BC2+CE2.∠x2=62+（8-x）2.解得x=25 4.∠CE=2584-=74.故选：D．。

中考数学特殊三角形综合复习

（二）特殊三角形考点精要解析考点一：线段的垂直平分线1.定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线.2.性质：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等.3.判定：与一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.4.三角形的三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，交点是三角形的外新，且到三角形三个顶点的距离相等.考点二：等腰三角形1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：（1）两腰相等（2）两底角相等（简称为等边对等角）（3）等腰三角形定角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）.（4）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线.3.判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形.（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）.考点三：等边三角形1.定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形.2.性质（1）三边都相等，三个角都相等，每个角都等于60°.（2）等边三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）.3.判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形.（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.考点四：直角三角形与勾股定理直角三角形（1）定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.（2）性质：①两锐角互余；②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（3）判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a ，b 斜边长为c ，那么222c b a =+.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.4.直角三角形斜边上的高的求法：如图4-2-29所示，ab=ch cab h =⇒ 5.折叠的常见基本图形，如图4-2-30所示.高频考点过关例题1.如图4-2-31所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，BD 平分∠CBA 交AC 于点D ，DE 丄AB 于E.若△ADE 的周长为8cm ，则AB= cm.答案：8解析：∵DE 丄AB ，∴∠DEB=90°, ∵BD 平分∠CBA,∴∠CBD=∠EBD.又∵BD=BD ，∴△CBD ≌△EBD,∴CD=DE,BC=BE.∴AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=BC+AE=BE+AE=AB=8(cm)考点二：等腰三角形和等边三角形例题2.已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )A.55°，55°B.70°，40°C.55°，55°或 70°，40°D.55°，70°答案注意分类讨论：70°角可能是顶角，也可能是底角.例题3.如图4-2-32所示，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE 丄AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F,垂足为点Q ，若BF=2，则PE 的长为( )A.2B. D.3答案C例题4 在一次数学课上，王老师在黑板上画一图，如图4-2-33所示，并写下了四个等式：①AB=DC ②BE=CE ③∠B=∠C ④∠BAE=∠CDE要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED 是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由(写出一种即可)已知：①③（或①④，或②③，或②④）求证: △AED 是等腰三角形.证明：在△ABE 和△DCE 中，B C AEB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩Q ∴△ABE ≌△DCE∴AE=DE 即△AED 是等腰三角形.考点三：直角三角形与勾股定理例题5 如图4-2-34所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B= 30°，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，EF=2，求BC 的长.【解】连接AF 如图4-2-35所示. ∵EF 垂直平分AB ，∴AF=BF,∴∠B=∠FAB.∵∠B= 30°，∴∠FAB= 30°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=120°,∴∠FAC=∠BAC －∠FAB=90°,在Rt △BEF 中,∠B=30°,∴BF=AF=2EF=4.在Rt △FAC 中,∠C=30°,∴FC=2AF=8.∴BC=BF+FC=12.中考真题链接真题1.( 天门中考)如图4-2-36所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°；BC=6cm；AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( ) A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm真题2 (毕节中考)已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为( ).A.16B.20 或16C. 20D.12真题3 (钦州中考)等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( )A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°真题4 (宿迁中考)在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1.过点C作直线l //AB，P为直线l上一点，且AP=AB则点P到BC所在直线的距离是( )A. 1B. 1或C.1或D.真题5 (衝州中考)将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为30cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图4-2-27所示，则三角板的最大边的长为( )A.3cmB.6cmC.cmD.真题6 (黔西南州中考)一直角三角形的两边长分别为3和4则第三边的长为( )A.5 D.5真题7.(新疆中考）如图4-2-38所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒(0≤t＜6),连接DE，当△BDE是直角三角形时,t的值为( )A.2B. 2.5 或3.5C. 3.5 或4.5D. 2 或3. 5 或4.5真题8（泰州中考)如图4-2-39所示，在△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为cm.真题9 (1)(巴中中考)方程x2－9x+18 = 0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为.(2) (白银中考)等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为.真题10(黔西南州中考)如图4-2-40所示，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE,则∠E= 度.真题11(黄冈中考）如图4-2-41所示，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1, 连接DE，则DE= .真题12.(鞍山中考）如图4-2-42所示，D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是.真题13.(上海中考）如图4-2-43所示，在△ABC中，AB=AC,BC=8，tanC=32，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为.真题14.(东营中考)如图4-2-44所示，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁．．离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0. 3m与蚊子相对．．的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m(容器厚度忽略不计).真题15.(河北中考)如图4-2-45所示，巳知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是.真题16.(白银中考)两个城镇A，B与两条公路l1，l2位置如图4-2-46所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1,l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点。

中考数学专题练习：特殊三角形 (含答案)

中考数学专题练习：特殊三角形（含答案）1．（·柳州)如图,图中直角三角形共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图,在△ABC中,AB＝AC＝5,BC＝6,点D在BC上,且AD平分∠BAC,则AD的长为( )A．6 B．5 C．4 D．33．在直角三角形中,如果有一个角是30°,那么下列各比值中,最有可能是这个直角三角形的三边之比的是( )A．3∶4∶5 B．1∶1∶ 2C．5∶12∶13 D．1∶3∶24．（·扬州)在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是( )A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝EC5．（·海南)已知△ABC的三边长分别为4、4、6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )条A．3 B．4 C．5 D．66．（·宿迁)若实数m、n满足等式|m－2|＋n－4＝0,且m,n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是( )A．12 B．10 C．8 D．67．等腰三角形的一个内角为40°,则它的顶角的度数为_______________．8．（·安顺)三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于__________．9．（·淄博)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE＋DF＝______．10．（·内江)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：∴△BDE是等腰三角形．参考答案1．C 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B7．100°或40°8.2.5 9.2 310．证明：如解图,∵DE∥AC,∴∠1＝∠3.∵AD平分∠BAC,∴∠1＝∠2,∴∠2＝∠3.∵AD⊥BD,∴∠2＋∠B＝90°,∠3＋∠BDE＝90°,∴∠B＝∠BDE,即BE＝DE,∴△BDE是等腰三角形．。

2019年最新中考总复习《三角形与特殊三角形》专项复习练习及答案-(数学)

初三数学中考复习三角形与特殊三角形专项复习练习1．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为( C ) A．12 B．16 C．20 D．16或202. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC 的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF 的长为( B )A．7 B．8 C．9 D．103．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE 的周长是6，则△ABC的周长是( C )A．8 B．10 C．12 D．144．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为( A )A．1 B．2 C．3 D．45．(2016·甘孜州)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为( C )A．2 B．3 C．4 D．56．如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC ＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝( C )A．118°B．119°C．120°D．121°7．如图，AB ＝AC，∠BAD＝30°，AE＝AD, 则∠EDC ＝( B )A．30°B．15°C．45°D．60°8．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是( C )A．180°B．220°C．240°D．300°9．如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，在池塘外取一点C，连接AC，BC，分别取它们的中点D，E，测得DE＝15米，则AB 的距离为( D )米．A．7.5 B．15 C．22.5 D．3010 ．如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC＝60°，∠C＝80°，则∠EOD的度数为( A )A．20°B．30°C．10°D．15°11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是斜边AB上的中线，若AB＝22，则点D到BC的距离为( A )A．1 B. 2 C．2 D．无法确定12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为( D )A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋113．如图，在△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC 的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝( B )A．1 B．2 C．3 D．414. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，D(P，D两点不重合)两点间的最短距离15．如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO＝AC，∠A＝48°，∠D＝__66°16.如图，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB ＝12，BC＝24，AC＝18，则△AMN的周长是__30__．17.已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边，且满足a ＋43＝b ＋32＝c ＋84，且a ＋b ＋c ＝12，则△ABC 的形状为__直角三角形__.18．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A 出发，经过3个面爬到点B ，如果它运动的路径是最短的，则AC 的长为3．19．著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没有弹性的木棒的两端A ，B 能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P 处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB ＝20 cm ，则画出的圆的半径为__10__cm.20．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABD，CE 平分∠ACD，且∠BEC＝27°，求∠BAC 的度数．解：∵12∠ACD－12∠ABC＝∠E，∴12∠ACD－∠ABC＝27°，∴∠ACD－∠ABC＝54°，∴∠A＝54°21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，M是BC的中点，MF∥AD交AC于点F且AB＝7，AC＝11，求CF的长．解：延长CA到点N，使得CF＝FN，连接BN，∵M是BC的中点，∴MF是△NBC的中位线，∴FM∥NB，AD∥BN，∴∠N＝∠CAD，又∵∠BAD＝∠CAD，∠BAD＝∠NBA，∴∠NBA＝∠CAD＝∠N，∴NA ＝AB，∴AB＝AN＝7，∴NC＝AN＋AC＝7＋11＝18，∵F是NC的中点，∴CF＝922. 如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°，∴∠ABC＝180°－50°－60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°－90°－∠C＝30°，∵AE，BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC－∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C＋∠CBF＝60°＋35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF＋∠AFB＝25°＋95°＝120°，故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°。

江西中考必考题型强化训练专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合

江西中考必考题型强化训练专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合◆类型一与特殊平行四边形的综合1．如图①所示的旅行箱的箱盖和箱底两部分的厚度相同，四边形ABCD为形如矩形的旅行箱一侧的示意图，F为AD的中点，EF∥CD.现将放置在地面上的箱子打开，使箱盖的一端点D靠在墙上，O为墙角，图②为箱子打开后的示意图．箱子厚度AD＝30cm，宽度AB＝50cm.(1)图②中，EC＝________cm，当点D与点O重合时，AO的长为________cm；(2)若∠CDO＝60°，求AO的长(结果取整数值，参考数据：sin60°≈0.87，cos60°＝0.5，tan60°≈1.73，可使用科学计算器)．◆类型二与特殊三角形的综合(1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径(结果精确到0.01cm)；(2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度(结果精确到0.01cm，参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器)．(1)数学课上，老师出了一道题：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝22.5°，请你在图①中，构造一个合适的等腰直角三角形，并求出tan22.5°的值(结果可带根号)；学以致用(2)如图②，厂房屋顶人字架(AB ＝BD )的跨度为10米(即AD ＝10米)，∠A ＝22.5°，BC 是中柱(C 为AD 的中点)，请运用(1)中的结论求中柱BC 的长(结果可带根号)．参考答案与解析1．解：(1)15 100 解析：根据图①，EF ∥AB ∥CD ，F 为AD 的中点，∴DF ＝AF ，∴EC ＝EB ＝12BC ＝12AD ＝15cm.根据图②，当点D 与点O 重合时，BO ＝CD .∵CD ＝AB ＝50cm ，∴AO ＝AB ＋BO ＝AB ＋CD ＝50＋50＝100(cm)．3．解：(1)设BC＝x，在AC上截取CE＝BC＝x，连接BE.∵∠C＝90°，∴∠BEC＝45°.∵∠A＝22.5°，∴∠ABE＝22.5°，∴AE＝BE＝2x，∴AC＝2x＋x，∴tan22.5°＝x2x＋x＝2－1.答：中柱BC的长为(52－5)米．。

2024年中考数学总复习专题18解直角三角形复习划重点学霸炼技法

坡度(坡
叫做坡度(或坡比)，用字母 i 表示；
比)、坡角
坡面与水平面的夹角 α 叫坡角，i＝
h
tan α＝ .如图(3)
l
第16页
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
一般指以观测者的位置为中心，将正
北或正南方向作为起始方向旋转到目
方向角
标方向所成的角(一般指锐角)，通常
表达成北(南)偏东(西)××度．如图
专题十八
解直角三角形
中考·数学
(2)sin ∠ADC的值．
∵AD 是△ABC 的中线，
1
∴CD＝ BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.
2
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，
AE
2
∴sin ∠ADC＝
＝
.
DE
2
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
[规律方法]
解此类题的一般方法
(1)构造直角三角形．
(2)理清直角三角形的边、角关系．
(3)利用特殊角的三角函数值解答问题．
第26页
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专题十八
研究4
解题模型分析
解直角三角形
中考·数学
常见解直角三角形模型
■命题角度1：母子型
基本
模型
AB＝AB；BD＋DC＝BC
第27页
BC＝BC；AD＋DB＝AB
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专题十八

解直角三角形
中考·数学
演变
模型
BC＝EF；
解直角三角形
中考·数学
[对接教材]
人教：九下P60～P84；
北师：九下P2～P27；

2023年中考数学重难点专题复习-特殊三角形问题(二次函数综合)【有答案】

2023年中考数学重难点专题复习-特殊三角形问题（二次函数综合）1．综合与探究如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -，()3,0B ，()0,3C 三点，与y 轴交于点C ，作直线BC ．(1)求抛物线和直线BC 的函数解析式．(2)D 是直线BC 上方抛物线上一点，求BDC 面积的最大值及此时点D 的坐标．(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得△ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．3．已知，如图，抛物线2y x bx c =-++经过直线3y x =-+与坐标轴的两个交点A ，B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ．(1)求此抛物线的解析式；(2)设点Q 是线段AB 上的动点，作QM x ⊥轴交抛物线于点M ，求线段QM 长度的最大值；(3)在x 轴上是否存在点N 使ADN △为直角三角形？若存在，确定点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()2,0A -、()6,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，过点P 作x 轴的垂线l ，垂线l 交BC 于点E ，AD ∥垂线l ，求证ADM PEM ∽；当PM AM 最大时，求点P 的坐标及PM AM的最大值； (3)在(2)的条件下，在l 上是否存在点D ，使BCD 是直角三角形，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -．(1)求此抛物线的解析式；(2)点M 在抛物线的对称轴上，点Q 在x 轴下方的抛物线上，当MAQ 是以AQ 为斜边的等腰直角三角形时，求点M 的坐标．6．如图，抛物线223y ax x =++与x 轴的一个交点是()3,0A ，与y 轴交于B 点，点P 在拋物线上．(1)求a 的值；(2)过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，设点P 的横坐标为(03)m m <<，PE l =，求l 关于m 的函数关系式；(3)当PAB 是直角三角形时，求点P 的坐标．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2143y x bx =-++经过()13A -,，与y 轴交于点C ，经过点C 的直线与抛物线交于另一点()6,E m ，点M 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．(1)求直线CE的解析式；(2)如图2，点P为直线CE上方抛物线上一动点，连接PC，PE，当PCE的面积最大时，求点P的坐标以及PCE 面积的最大值；(3)如图3，将点D右移一个单位到点N，连接AN，将（1）中抛物线沿射线NA平移得到新抛物线y'，y'经过点N，y'的顶点为点G，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点H，使得MGH是等腰三角形？若存在，请直接写出点H 的坐标：若不存在，请说明理由．30，，8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2=-++的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为()y x bx cB 点坐标为10，，连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．(1)求b、c的值．(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点9．如图，已知直线y ＝x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过A 、B 两点，与x 轴交于另一个点C ，对称轴与直线AB 交于点E ，抛物线顶点为D ．(1)点A 的坐标为，点B 的坐标为．(2)①求抛物线的解析式；② 点M 是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M ，使得△MAB 的面积最大?若存在，请求这个最大值并求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P 从点D 出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t 值．10．如图，抛物线1C ：()2120y ax ax a =+>与x 轴交于点A ，顶点为点P ．(1)直接写出抛物线1C 的对称轴是______，用含a 的代数式表示顶点P 的坐标______；(2)把抛物线1C 绕点(),0M m 旋转180°得到抛物线2C （其中0m >），抛物线2C 与x 轴右侧的交点为点B ，顶点为点Q ．②在①的条件下，是否存在ABP 为等腰三角形，若存在请求出a 的值，若不存在，请说明理由．11．如图，关于x 的二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．(1)求二次函数的解析式．(2)有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．(3)在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在请说明理由．12．如图，抛物线212y ax x c =-+的图象与x 轴交点为A 和B ，与y 轴交点为()0,3D ，与直线23y x =--交点为A 和C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线23y x =--上是否存在一点M ，使得ABM 是等腰直角三角形，如果存在，求出点M 的坐标，如果不存在请说明理由．(3)若点E 是x 轴上一个动点，把点E 向下平移4个单位长度得到点F ，点F 向右平移4个单位长度得到点G ，点G 向上平移4个单位长度得到点H ，若四边形EFGH 与抛物线有公共点，请直接写出点E 的横坐标E x 的取值范围．。

2024年中考数学复习三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型(原卷+答案

三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

平分平行(射影)构等腰模型、角平行线第二定理模型(内角平分线定理和外角平分线定理模型)平分平行(射影)构等腰1)角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。

(简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结)。

平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

图1图2图3条件：如图1，OO'平分∠MON，过OO'的一点P作PQ⎳ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。

条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。

结论：△BDE是等腰三角形。

条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。

2)角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB=∠CDA=90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。

1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MOB=50°，则∠AOM=．2(2023·浙江·八年级期中)如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于．3(2023·广东·八年级期末)如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF 平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为cm．4(2023.江苏八年级期中)如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的角平分线交AD与F，交AB于E，FG⎳BC交AB于G．AE=4cm，AB=12cm，则BG=，GE=．角平行线第二定理(内角平分线定理和外角平分线定理)模型1)内角平分线定理图1图2图3条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。

中考数学一轮教材复习-第四章三角形三角形及其性质

等边三角形
直角三角形
1.三边都相等的三 1.有一个角为
的三角形
90°
角形是等边三角形是直角三角形
2.三个角都相等的 2.勾股定理逆定理:若
, 2
a2+b2=c
腰三角形
判
三角形是等边三角则以a,b为直角边,c为斜边的三
【注意】当已知一个角求其
定
形
角形是直角三角形
他角时,要对该角是顶角还是
3.有一个角是
3.如果三角形一边上的中线等于
底角分类讨论;当已知两边
60°的等腰三这条边的一半,那么这个三角形
时,除了要确定哪条边作为腰
角形是等边三角形是直角三角形
或底边,还要考虑三边关系
（第四章三角形）
特殊三角形的性质与判定
等腰三角形
等边三角形
直角三角形
面 S=1ah(a为等腰三角形的一边 S= 3a2(a为等边三 S=1ch=1ab(a,b为直角边,c为斜
21
.
（第四章三角形）
考点2 与等腰三角形有关的证明与计算(10年4考)
2-2 [2024贵阳花溪区二模]在如图所示的网格纸中,有A,B两个格点,试取格
点C,使得△ABC是等腰三角形,则这样的格点C有
解析
如图
8
个.
（第四章三角形）
考点2 与等腰三角形有关的证明与计算(10年4考)
3 [2018贵阳20题10分]如图,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,
的高是( B )
A.4 m
B.6 m
C.10 m
D.12 m
（第四章三角形）
考点2 与等腰三角形有关的证明与计算(10年4考)

11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型(学生版)-2024年中考数学几何模型归纳讲练

专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。

1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。

2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：△即：如图：已知A，B两点是定点，找一点C构成等腰ABC方法：两圆一线AB=时，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，点C在⊙A上（B，C除外）具体图解：①当ACAB=时，以点B为圆心，AB长为半径作⊙B，点C在⊙B上（A，E除外）②当BCAC=时，作AB的中垂线，点C在该中垂线上（D除外）③当BCA．3例6．（2023·北京·八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____．例9．（2023·江苏苏州·八年级校考期中）如图，ABC V 中，90ACB ∠=︒，5cm AB =，4cm BC =，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A B C A ---运动，设运动时间为t 秒（0t >）．(1)若点P 在BC 上，且满足PA PB =，求此时t 的值；(2)若点P 恰好在ABC ∠的角平分线上，求此时t 的值：(3)在运动过程中，当t 为何值时，ACP △为等腰三角形．例10．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，经过()26A -，的直线交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C OB OC =，，直线AD 交x 轴负半轴于点D ，若ABD △的面积为27(1)求直线AB 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段AB 上（不与点A B 、重合），过点P 作x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为()0y y ≠，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．模型2、直角三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。

九年级数学中考复习练习：课时14 特殊三角形

课时14 特殊三角形一、基础知识1.如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数为( )A．2 B．3C．4 D．52.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝_______.3．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，AD是BC边上的高，DE∥AC．若AE ＝3，则BC的长为( )A．3 B．4C．5 D．64．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为( ) A．34° B．44°C．124° D．134°5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，D是AC上一点，连接BD，∠DBC ＝60°，BC＝4，则AD的长是( )A．4 B．6C．8 D．106．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝45°，AB＝12，那么BC＝_________.7.在△ABC中，AB＝AC．(1)在图①中，若BD是∠ABC的平分线，∠A＝36°，则∠DBC＝______；(2)在图①中，若E是BC延长线上一点，CD＝CE，BD⊥AC于点D，∠ABD＝50°，则∠E＝______；(3)在图②中，若AD是BC边上的中线，BC＝6，AB＝5，则AD＝____；(4)在图②中，若∠C＝60°，AB＝4，AD，BE是△ABC的高，则S△ABC＝_____，∠AOB＝_______，△BOD的周长为________.8在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点．(1)若AC＝2，BC＝4，则AB＝_______，△ABC的周长为_________.(2)连接CD，若AB＝5，则CD＝________；(3)若CE⊥AB，∠B＝30°，AC＝4，则CE＝_____，∠DCE＝________；(3)在(3)的条件下，若DF⊥BC，则S△BCD＝______.9.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为_______.10.如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为。

第17讲中考数学总复习(练习题) 特殊三角形

∵△ACE为等边三角形,∴∠ECA=∠EAC=60°,
∴∠EAB=180°－40°－60°－60°=20°.
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2.(2021·广西)如图,☉O的半径OB为4,OC⊥AB于点D,∠BAC
=30°,则OD的长是( C )
A.
C.2
B.
D.3
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解析:如图,连接OA.
∵OC⊥AB,∠BAC=30°,
1
1
∴S△
= AC×PF,S△
= AB×PE,
ACP 2
ABP 2
又∵S△
=1,AB=AC=2,
ABC
1
1
∴1=2AC×PF+2AB×PE,
1
1
即 1= ×2×PF+ ×2×PE,∴PE+PF=1.
2
2
ACP
+S△
,
ABP
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能力提升
8.(2021·温州)如图,BE是△ABC的角平分
线,在AB上取点D,使DB=DE.
∵∠C=90°,∴∠CBD=30°,
∵CD=1,∴BD=2CD=2,∴AD=2.
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7.(2021·娄底)如图,△ABC中,AB=AC=2,P是BC上任意一点,
PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,若 △ =1,则PE+PF= 1
.
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解析:如图所示,连接 AP,则S△
ABC
=S△
∵PE⊥AB 于点 E,PF⊥AC 于点 F,
∴∠ACO=90°－30°=60°,
∵OA=OC,
∴△AOC为等边三角形,
∵OC⊥AB,

∴OD= OC=2.
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3.(2021·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,

中考数学复习-特殊的三角形

• 二、关于边的问题 • 3、（1）一个等腰三角形两边长分别为4和5，则它的周长等于_________。 • （2）一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长等于。 • 4、（1）如果一个等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另两边长为。 • （2）如果一个等腰三角形的周长为24，一边长为6，则另两边长为。
考点聚焦勾股定理及逆定理勾股定理勾股定理的逆定理勾股数直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c 的平方．即：________2 a2＋b2＝c 如果三角形的三边长a、b、c有关系：逆定 2 a________ ，那么这个三角形是直角三角＋b2＝c2 理形 (1)判断某三角形是否为直角三角形；(2) 用途证明两条线段垂直；(3)解决生活实际问题能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数
制作-zy
等腰三角形 (等边等腰三角形（等边三角形)的性质三角形）的判定
边
两条腰相等
（三条边都相等）
两条边相等
（三条边都相等）
角
重要线段
等边对等角
(三个角都相等，并且每个角都等于60°)
等角对等边பைடு நூலகம்
(1.三个角都相等 2.有一个角等于60 °的等腰三角形)
线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图20－3.试确定线段 AE与DB的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图20－4①，确定线段 AE与DB的大小关系，请你直接写出结论： AE________DB(填“>”“<”或“＝”) ＝

【中考一轮复习】特殊三角形---直角三角形课件

F (2)若AB+CD=2 3 +2,求AB.
D
A
E
B
目录
01 直角三角形性质与判定 02 勾股定理
典型例题
【例4】“赵爽弦图”奇妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较
长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,
D.②③
2.如图,Rt△ABC中,∠B=90º,AB=4,BC=3,AC的垂直平分线DE分别
交AB,AC于D,E两点,则CD的长为_2_85__.
A
E D
B
C
当堂训练
3.如图,有两棵树高10米,另一棵高4米,两树相距8米. 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至飞少行飞的行距(离不)B可能是( A ) A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
判定
定义法：有一个角是90º的三角形是直角三角形. 有一条边上的中线是这边的一半的三角形是直角三角形.
2.等面积法求斜边上的高:如图,S=0.5ab=0.5ch,
其中a,b为两个直角边,c为斜边,h为斜边上的高.
a
b
h
c
当堂训练
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,CD为AB边上的高,CE为AB边上
连接BE,ED,BD.若∠BAD=58º,则∠EBD的度数为_3_2__度．
6.在直角三角形ABC中,∠ACB=90º,D、E是边AB上两点,且CE所在
直线垂直平分线段AD,CD平分∠BCE,BC= 2 3，则AB=_4__.
D
A
E
C
A E D

中考总复习：特殊三角形--知识讲解(提高)

中考总复习：特别三角形—知识解说（提升）【考大纲求】【高清讲堂：等腰三角形与直角三角形考大纲求】1．认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形的观点，会辨别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判断．2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判断解决简单问题．3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决相关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2．性质：(1)拥有三角形的全部性质；(2)两底角相等 ( 等边平等角 ) ；(3)顶角的均分线，底边中线，底边上的高相互重合( 三线合一 ) ；(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．重点解说：等边三角形中高线，中线，角均分线三线合一，共有三条.3．判断：(1)假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等( 等角平等边 ) ；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形．重点解说：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形独有的观点；(2)等边三角形是特别的等腰三角形．考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2．性质：(1)直角三角形中两锐角互余；(2)直角三角形中， 30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3) 在直角三角形中，假如有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；(5)勾股定理逆定理：假如三角形的三边长a， b，c 知足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；(6) 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.重点解说：（ 1）直角三角形中，S Rt△ABC=ch=ab，此中a、 b 为两直角边， c 为斜边，h 为斜边上的高；（ 2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．3．判断：(1)两内角互余的三角形是直角三角形；(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；(3)假如三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．【典型例题】种类一、等腰三角形1．六边形ABCDEF的每个内角都为120° , 且 AB=1， BC=9，CD=6， DE=8.求六边形ABCDEF的周长．【思路点拨】考虑到每个内角为 120° , 则每个外角均为 60° , 可经过结构等边三角形来求边长及面积．【答案与分析】延伸 BC、 ED交于 M， DE、 AF 交于 N，FA、 CB交于 P．∵∠ EDC=∠DCB=120° ∴∠ DCM=∠ CDM=60°，∴△ MDC为等边三角形∠M=60°，同理△ BAP，△ EFN均为等边三角形．∠M=∠ N=60° ∴△ MNP为等边三角形，MD=MC=6， PB=PA=1，NE=NF=EF，MP=6+9+1=16=MN=NP，EF=NF=NE=MN-ME=16（-6+8） =2．FA=NP-NF-PA=16-1-2=13，∴周长为1+9+6+8+2+13=39．【总结升华】考点是多边形外角和内角的关系.贯通融会：【变式】把腰长为 1 的等腰直角三角形折叠两次后，获得的一个小三角形的周长是________．【答案】.2．已知 :如图,菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．(1)求证 :AE=AF．(2)若 AE垂直均分 BC， AF 垂直均分 CD，求证：△ AEF为等边三角形．【思路点拨】菱形的定义和性质.【答案与分析】(1) ∵四边形ABCD是菱形，∴ AB=AD,∠ B=∠ D，又∵ BE=DF，∴≌．∴AE=AF．(2)连结 AC, ∵AE垂直均分 BC，AF 垂直均分 CD，∴AB=AC=AD，∵AB=BC=CD=DA ,∴△ ABC和△ ACD都是等边三角形．∴,．∴．又∵ AE=AF ∴是等边三角形．【总结升华】本题波及到三角形全等的判断与性质，等边三角形的判断与性质.贯通融会：【高清讲堂：等腰三角形与直角三角形例 4】【变式】如图，△ ABC为等边三角形，延伸求证： CE=DE.BC到D，延伸BA到E，使AE=BD，连结CE、 DE.【答案】延伸 BD到 F，使 DF＝ BC，连结 EF，∵等边△ ABC，∴AB＝BC＝ AC，∠ B＝ 60．∵BF＝BD+DF，BE＝ AB+AE， AE＝ BD， BC＝ DF，∴ BF＝BE，∴等边△ BEF，∴ EF＝BE，∠ F＝∠ B，∴△ BCE≌△ FDE（ SAS）．∴ CE＝DE．种类二、直角三角形3．△ ABC和△ ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点．求证： (1) △ ACE≌△ BCD； (2)．【思路点拨】判断两个三角形全等时，第一要依据条件判断运用哪个判断定理.【答案与分析】 (1) ∵，∴，即．∵，∴ △ BCD≌△ ACE．(2) ∵，∴．∵ △ BCD≌△ ACE，∴，∴．∴．【总结升华】该题波及到的知识点有全等三角形的判断及勾股定理.4．如图，△ ACD和△ BCE都是等腰直角三角形，∠ ACD＝∠ BCE＝90°，AE交 DC于 F，BD分别交CE， AE 于点 G、 H. 试猜想线段 AE 和 BD的地点和数目关系，并说明原因．【思路点拨】△ACD和△ BCE都是等腰直角三角形, 为证明全等供给了等线段的条件.【答案与分析】猜想AE＝BD，AE⊥ BD.原因以下：∵∠ ACD＝∠ BCE＝ 90°，∴∠ ACD＋∠ DCE＝∠ BCE＋∠ DCE，即∠ ACE＝∠ DCB．∵△ ACD和△ BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝ CD，CE＝ CB．∴△ ACE≌△ DCB（ SAS）．∴AE＝ BD，∠ CAE＝∠ CDB．∵∠ AFC＝∠ DFH，∴∠ DHF＝∠ ACD＝ 90°，∴AE⊥ BD．【总结升华】两条线段的关系包含数目关系和地点关系两种.贯通融会：【变式】 . 以等腰三角形 AOB的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA1，再以等腰直角三角形 ABA1的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A1BB1，，这样作下去，若 OA=OB=1，则第 n 个等腰直角三角形的面积S n=________.【答案】.种类三、综合运用5 . （2012?牡丹江）如图①，△ ABC 中． AB=AC ， P 为底边 BC 上一点， PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为 E 、F 、 H ．易证 PE+PF=CH ．证明过程以下：如图①，连结 AP ．∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴ S △ABP = 1 AB?PE ， S △ACP = 1 AC?PF ， S △ABC = 1AB?CH ．22 2又∵ S △ABP S △ACP S △ABC，∴1AB?PE+1 AC?PF=1AB?CH ．∵ AB=AC ，∴ PE+PF=CH ．22 2（ 1）如图②， P 为 BC 延伸线上的点时，其余条件不变， PE 、 PF 、CH 又有如何的数目关系？请写出你的猜想，并加以证明：（ 2）填空：若∠ A=30°，△ ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC 上，且 P 到直线 AC 的距离为 PF ，当 PF=3 时，则 AB 边上的高 CH=______.点 P 到 AB 边的距离 PE=________. 【思路点拨】运用面积证明可使问题简易，（ 2）中分状况议论是解题的重点．【答案与分析】（ 1）如图②， PE=PF+CH ．证明以下：∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ， ∴ S △ABP = 1 AB?PE ， S △ACP = 1 AC?PF ， S △ABC = 1AB?CH ，2 22∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，1 1 1 ∴AB?PE= AC?PF+ AB?CH ，222又∵ AB=AC ，∴ P E=PF+CH ；（2）∵在△ ACH中，∠ A=30°，∴A C=2CH．1∵ S△ABC=AB?CH， AB=AC，∴1×2CH?CH=49，2∴C H=7．分两种状况：①P为底边 BC上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴P E=CH-PF=7-3=4 ；②P为 BC延伸线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴P E=3+7=10．故答案为7； 4 或 10．【总结升华】本题考察了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中.6．在△ＡＢＣ中，AC=BC，，点D为AC的中点．（ 1）如图 1， E 为线段 DC上随意一点，将线段DE绕点 D 逆时针旋转90°获得线段DF，连结 CF，过点F 作，交直线AB 于点 H．判断 FH与 FC 的数目关系并加以证明．（2）如图 2，若 E 为线段 DC的延伸线上随意一点，（ 1）中的其余条件不变，你在（ 1）中得出的结论能否发生改变，直接写出你的结论，不用证明．【思路点拨】依据条件判断FH=FC,要证 FH=FC一般就要证三角形全等.【答案与分析】（ 1） FH 与 FC 的数目关系是：．延伸交由题意，知于点 G ，∠EDF=∠ ACB=90°， DE=DF ．∴ DG ∥ CB ． ∵点 D 为 AC 的中点，∴点 G 为 AB 的中点，且．∴ DG 为的中位线．∴．∵ AC=BC ，∴ DC=DG ．∴ DC- DE =DG- DF ．即 EC =FG ． ∵∠ EDF =90°，，∴∠ 1+∠ CFD =90°，∠ 2+∠ CFD=90°．∴∠1= ∠2． ∵与都是等腰直角三角形，∴∠ DEF =∠ DGA = 45°． ∴∠ CEF =∠ FGH = 135 °． ∴△ CEF ≌△ FGH ．∴ FH=FC ．（ 2） FH 与 FC 仍旧相等．【总结升华】关于特别三角形的判断及性质要记着并能灵巧运用，着重累积解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培育 .贯通融会：【高清讲堂：等腰三角形与直角三角形例 7】【变式】如图，△ ABC 和△ CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M 是AE 的中点，以下结论： ① tan ∠ AEC=BC; ② S ⊿ ABC +S ⊿CDE ≥ S ⊿ACE ; ③BM ⊥ DM;④ BM=DM 正.确结论的个数CD是（）A.1 个B.2个C.3个D.4个AMEB C D 【答案】 D.。