8 方程的解与解议程

8方程的解与解议程
解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1得方程的解，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程．
方程的解是方程理论中的二个重要概念，对于方程解的概念，要学 会从两个方面去运用：
1．求解：通过解方程，求出方程的解进而解决问题． 2．代解：将方程的解代入原方程进行解题． 当方程中的未知数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax=b 的形式，其方程的解由a 、b 的取值范围确定，当字母a 、b 的取值范围确定或对解方程的过程并未产生实质性的景响，其解法同数字系数的一次方程解法一样；当字母a 、b 的取值范围未给出时，则需讨论解的情况，其方法是： 1．当a ≠o 时，原方程有唯一解x=
a
b
； ． 2．当a=0且b=O 时，原方程有无数个解； 3．当a=0而b ≠0时，原方程无解．
例1若关于x 的方程9x 一17=kx 的解为正整数，则k 的值为_______． ‘
(河南省竞赛题)
解题思路 把x 的值用k 的代数式表示，利用整除性求出k 的值．
例2 已知a 是任意有理数，在下面各题中
(江苏省竞赛题)
（1）方程ax=O 的解是x=1 （2）方程ax=a 的解是x=1 （3）方程ax=1的解是x=
a
1 （4）方程∣a ∣x=a 的解是x=±1 结论正确的个数是( )．
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解题思路 给出的方程都是含字母系数的方程，注意a 的任意性．
例3 a 为何值时，方程
3x ＋a=2x －6
1
（x －12）有无数多个解?无解? 解题思路 化简原方程，运用方程ax=b 各种解的情况所应满足的条件建立a 的关
系式．
例4 已知p 、q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数
式p 2
－q 的值．
(第十二届北京市“迎春杯”竞赛题)
解题思路 用代解法可得到p 、q 的关系式，进而综合运用整数相关知识分析．
例5 右图中显示的填数幻方只填了一部分．
将下列九个数：41，2
1
，1，2，4，8，16，32，64填入方
格中，使得所有行、列及对角线上各数的乘积相等，求x 的值．
(第七届新西兰达尼丁——中国上海初中数学友谊通讯赛)
解题思路 九个已知数的乘积是一个定值，从突破每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积人手．
A 级 1．若关于x 的方程(k 一2)x
1
-k ＋5k=0是一元一次方程，则k=_______；若关于x 的
方程(k+2)x 2
+4kx 一5k=0是一元一次方程，则方程的解x=_______． 2．方程x 一
43[x 一41(x 一73)]=163(x －7
3)的解是_______． (2002年广西赛区选拔赛题)
3．已知1999x 7
=n 和10x
3
2+m 是同类项，则(2m 一n)2
=_______．
4．若关于x 的方程a(2x ＋b)=12a ＋5有无数个解，则a=_______，b=_______．
(“希望杯”邀请赛试题)
5．已知关于x 的方程9x 一3=kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k=_______．
(“五羊杯”竞赛题)
6．下面判断中正确的是( )．
(A)方程2x 一3=1与方程x(2x 一3)=x 同解
(B)方程2x 一3=1与方程x(2x 一3)=x 没有相同的解 (C)方程x(2x 一3)=x 的解都是方程2x 一3=1的解
(D)方程2x 一3=1的解都是方程x(2x 一3)=x 的解 7方程
21⨯x ＋32⨯x ＋···＋1996
1995⨯x =1995的解是( ) (A)1995 (B)1996 (C)1997 (D)1998
8．“※”表示一种运算符号，其意义是a※6=2a －b ，如果x ※(1※3)=2，那么x 等于( )
(第16届江苏省竞赛题)
(A)1 (B)
21 (C)2
3
(D)2 9．关于x 的方程a(x 一a)＋b(x ＋b)=O 有无穷多个解，则( )． (A)a ＋b=O (B)a －b=O (c)ab=O (D)
b
a
=0 lO ．已知关于x 的一次方程(3a ＋8b)x ＋7=O 无解，则ab 是( )．
(“希望杯”邀请赛试题)
(A)正数 (B)非正数 (C)负数 (D)非负数 11．已知关于x 的方程3[x 一2(x 一3a )]=4x 和123a x +－8
51x -=1有相同的解，求这个解．
(北京市“迎春杯”竞赛题)
12．已知关于x 的方程3x ＋a=2
a x －61
(x 一6)，问当a 取何值时(1)方程无解；(2)方程有无穷多解．
(重庆市竞赛题)
13．已知以a ，b ，c 满足下列表格中的条件．
(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)
B 级
1．已知方程2(x ＋1)=3(x 一1)的解为a ＋2，则方程2[2(x ＋3)一3(x 一a)]=3a 的解为_______．
2．已知关于x 的方程m(x －1)=2001－n(x －2)有无穷多个解，那么m 2003
＋
n
2003
=_______．
3．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x=2001--2000x 的解也是整数的是值有____个． ．
(第13届“希望杯”邀请赛试题)
4．在下面所设的每一个小方格中都填入一个整数，并且任意三个相邻格子中所填数之和等于5，则
xyz
z
y x ++=_______．
5．已知41＋4（19911＋x 1）=141，那么1872＋48·（1
919+x x
)的
值为_______.
6．计算器上有一个倒数健，能求出输入的不为零的数的倒数(注：有
时需先按
或
键再按
键，才能实现此功能，下面不再说明)例如，
输入2，按下键，则得0.5，现在计算器上输入某数，再依下列顺序按键：
，在显示屏上的结果是－0．75，则原来输入的某数是
_______.
(第17届江苏省竞赛题)
7有四个关于x 的方程
①x 一2=－1 ②(x 一2)＋(x —1)=一l ＋(x —1) ③x=0 ④x 一2＋
11-x =－1＋1
1
-x 其中同解的两个方程是( )．
(A)①与② (B)①与③ (C )①与④ (D)②与④
8．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程以ax=2a 3
－3a 2
一5a+4有整数解，则a 的值共有( )．
(第十一届“希望杯”邀请赛试题)
(A)1个 (B)3个 (C)6个 (D)9个
9．若干本书分给小朋友，每人m 本，则余14本；每人9本，则最后一人只得6本．问小朋友共几个?有多少本书?
(“五羊杯”竞赛题)
10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的k(k 是不等于l 的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人?
(上海市竞赛题)
11．下图的数阵是由77个偶数排成
用一平行四边形框出四个数
(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗?
(2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗?
‘。