【中考提分】三角形五心的经典考题

有关三角形五心的经典试题

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.

三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于

MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)

分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP

=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点

N 是△P ′PC 的外心.有

∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，

∠PP ′C =21∠PNC =2

1

∠BAC .

∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .

从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .

例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为

顶点的三角形与△ABC 相似.

(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)

分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，

△CSQ 的外心，作出六边形

O 1PO 2QO 3S 后再由外

心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .

∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+

∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°

将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=2

1

∠O 2O 1K =

21

(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21

(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)

=2

1

∠PO 1S =∠A ；

同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心

三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每

A B C P

P M

N 'A B C Q

K P O O O ....S 123

条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.

例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，

其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)

分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB

，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′，

∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .

两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .

例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形

相似.其逆亦真.

分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE

到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .

(1)a 2，b 2，c 2

成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有

CF =

2222221

c b a -+， BE =2222221

b a

c -+， AD =222222

1

a c

b -+. 将a 2

+c 2

=2b 2

，分别代入以上三式，得 CF =

a 23，BE =

b 23，AD =

c 2

3. ∴CF :BE :AD =

a 23:

b 23:

c 2

3

=a :b :c .

故有△∽△′.

(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2

成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′，

∴∆∆S S '＝(a

CF )2

.

据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的

4

3

”，有∆∆S S '=43.

A

A 'F F 'G

E E '

D 'C 'P C B D

∴22a

CF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c

2

⇒a 2+c 2=2b 2.

三、垂心

三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.

例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为

△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.

(1992，全国高中联赛) 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径

为R .由△A 2A 3A 4知

1

321

2sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4； 由△A 1A 3A 4得

A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.

但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2， 故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4

与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.

例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线

EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.

(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外

接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 2

1A =AM 2

+A 1M 2

=AM 2

+r 2

-MH

2

=r 2

+(AM 2

-MH 2

)， ①

又AM 2

-HM 2

=(

21AH 1)2-(AH -2

1

AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2

=AH 2·AB -AH 2

=cos A ·bc -AH 2

， ② 而

ABH AH ∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2

A ,

A

a sin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2

A . ∥

=

∥=

.O

A A A A 1

2

34

H H 12H H H

M A

B B

A A

B

C C

C F

1

2111

222

D E