压电元件导纳圆的测量

压电元件导纳圆的测量
明学号：2005010856
实验日期：07-04-23 同组姓名：
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压电元件导纳圆的测量
【实验目的】
1、测量压电元件的导纳，即测量阻抗，可提供该元件与所在电路之间的阻抗匹配数据；
2、通过测量压电元件或压电换能器的导纳圆可以得到其发射效率；
3、学习利用示波器测量交流阻抗的方法
【实验原理】
一、压电效应和压电元件
对某些电介质晶体施加机械应力时，晶体因内部正负电荷中心发生相对位移而产生极化，导致晶体两端面上出现符号相反的束缚电荷，其电荷密度与应力成正比。

这种没有电场作用，由机械应力的作用而使电介质晶体产生极化并形成晶体表面电荷的现象称为压电效应。

当机械应力由压应力变成拉应
2
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3
力时，电荷符号也改变。

与以上情况相反，将具有压电效应的电介质晶体置于电场中，电场的作用引起电介质内部正负电荷中心产生相对位移，而这一位移又导致介质晶体发生形变，晶体的这种由外加电场产生形变的现象称为逆压电效应。

晶体形变的大小与外加电场强度成正比，当电场反向时，形变也改变符号。

凡具有压电效应的晶体成为压电晶体。

现代技术中，常用压电陶瓷制成压电元件，它具有很
强的压电性能。

二、压电元件的等效电路
下面我们用交流电路的复数
符号法来进行研究。

电路的总阻抗Z ＝U/I ，电路的总导纳
()0101
01I I I I I Y y y U U U U
+=
==+=+（1）
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4
y j C jb ω==
2）
式中0
b 称为静态电纳，ω为U 1111
11
1
1
1
I y g jb U R j L j C ωω=
=
=+++
（3）
1
g 为动态电导，1
b 为动态电纳。

由式（3）可得
1
12
21111R g R L C ωω=
⎛⎫+- ⎪
⎝⎭
（4）
1112
211111L C b R L C ωωωω⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭=⎛⎫+- ⎪
⎝⎭
（5）
将式（2）、（4）、（5）代入式（1）得
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5
1110
2222111111111L C R Y j C R L R L C C ωωωωωωω⎡⎤⎛⎫-⎢⎥
⎪⎢⎥⎝⎭=+-⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
(6)
现在分析一下动态导纳1
y 和总导纳随频率变化的情
况。

由式（4）和（5）二式化简得
1
1222
11121R g b R R g =
⋅+
221
111
0g g b R -
+=
（7）
将上式配方可得到方程
2
2
211
111122g b R R ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（8）
如果取横坐标表示电导1
g ，纵坐标表示电纳1
jb ，当U
的频率改变时，式（8）代表圆心1
O 在()1
12,0R ，半径为
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1
12R 的一个圆，如图2所示。

即1
Y 的相矢终端为一个
圆，如图中的ABDE 。

由式（8）可知，当1
b ＝0时，
方程的解只有1
g 或1
11g
R =，
而压电元件在共振频率振
动时总要有损耗或辐射能量，即1
0g ≠，
所以只有1
1
1g
R =存
在。

此时式（4）要求
11
1
0L C ωω-
= 即111
s
L C ωω
==。

因此图上()1
1,0R 点的频率
即是s
ω，称为串联共振频率或机械共振
频率。

当压电元件品质因素m
Q （参看式（12））较高时，
1
y 相矢终端旋转一周时，圆上各点的频率变化相对
共振频率s
ω并不大，故可近似认为0
y 保持一常数：
00s y j C ω≈。

于是将1
y 的ABDE 圆沿纵轴上移0
s
C ω，便得到
该电压元件总导纳Y 的相矢终端随频率变化的轨迹圆（图上以O 为圆心的轨迹圆），即所谓的导纳圆。

导纳
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如果能通过实验测量导纳圆图，即可求得等效电路上各元件的数值。

H 点的频率即为机械共振频率。

11R D
=
（9）
D 为导纳圆直径，过圆心O 作平行于电纳轴的直线交圆于1
F 、2F ，设其频率为1f 、2f 。

由这两点的坐标值1
g 、
1
b 及2
g
、2
b 可得
1121
R L ωω=
-
（10）
121211
1
1
s C L L ωωω=
=
（11）
0s
AC
C ω≈
，AC
为图上AC 长度对应的1
b 值。

还可求得机械品质因素
1
111s
m s Q R C R ωω=
=
=
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8
（12）
三、测量电路及测量仪器
测量线路如图，E 为函数信号发生器，P 为被测压电元件，R 为无感电阻（一般用金属膜或碳膜电阻），取值尽量小一些。

用示波器测得U ，U 1，及U 与U 1之间的相
位差φ，即可求得压电元件的总阻抗或总导纳。

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9
总导纳jb g Y +=
总导纳Y 的模UR
U U Y 1
1||== 总电导T
UR U Y g πτϕ2cos cos ||1== 总电纳T
UR U Y b πτϕ2sin sin ||1
== （13） 在压电元件的某一共振频率附近改变信号频率，测得若干组g 、b ，即可得到测量的导纳圆。

由于测量时，电路中加入了采样小电阻R ，于是图压电元件的等效电路参量可替换为L 1、C 1、（R+R 1）和)1/(1
0R R
C
+
，因此公式（9）、式（10）和C 0将修正为
D R R /11=+ （14） 1
211ωω-+=
R R L （15）
)1(1
0R R
AC
C s
+
≈
ω，而C 1和O m 形式不变。

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四、补充内容：用示波器研究互感耦合电路的特性
如图所示的互感电路中，原边线圈（自感为L 1，线圈电阻为R 1）和副边线圈（自感为L 2）之间通过互感M 联系在一起组成耦合电路，副边回路的电阻为R 2，它是线圈导线电阻和外接
电阻之和。

原、副边回路的微分方程如下：
1
2
1
2
1
11
1
2
22
0di di di di
u R i L M M L R i dt dt dt dt
=+--++= 设原边电流为t
I i m ωsin 11
=，I 1m 为i 1的峰值，i 1可由
测R 上的电压得出。

从微分方程组求u 1的稳态解可
得：
t
I L L t I R R u m m ωωωcos )(sin )(1111111∆-+∆+= （B1）
式中
22
22
22
221222222221,L R L M L L R R M R ωωωω+=∆+=∆ （B 2）
从以上两式可见，副边回路对原边的影响可等效为原边电阻增加ΔR 1，同时电感减少ΔL 1，原边等效电路见上图。

当R 2=∞，即副边开路时，ΔR 1和ΔL 1
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均为0；当ω一定，且R 2=ωL 2时，ΔR 1达极大值
2
2
max 12L M R ω=
∆（B 3）
【实验内容】
1、 熟悉函数信号发生器面板上各旋钮的功能。

将
信号输出直接接至示波器，用示波器观察不同频率、不同幅度、不同波形的信号。

2、
在压电元件的某一共振频率附近，缓慢改变信号
频率，定性观察电压U 、U 1的大小及这两个电压的相位差变化情况，做简单记录。

3、
测导纳圆。

在非共振频率处，U 取峰峰值约10V 。

在共振最明显处的一共振频率附近调节频率，从小于共振频率调到大于共振频率，测量每一频率下的f ，U 、U 1、τ，由此算出g ，b ，画导纳圆。

4、
从g-f 图上查出F 1、F 2点的频率f 1、f 2，算出R 1、
L 1、C 1及Q m 。

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5、 研究副边电阻R 2改变时原边等效电阻增量ΔR 1
的变化。

按图3.13.1接线，可由下式求得等效电阻:
R u u
I u R R Rm
t m t 11111)(==
∆+ （B 4）
由于示波器各通道的输入端“地”在机内已短接，因此式（B 4）变为
R u u
R u u u R R Rm
t Rm Rm t )1()(11-=-=
∆+ （B 5）
6、 研究当ω一定时ΔＬ1随R 2的变化关系。

【实验数据】
小电阻R=3.01Ω，盒号24；
1、 观察U 、U 1的大小及这两个电压的相位差变化。

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总结如下表：
2、测导纳圆。

f=141.62kHz, 周期T=1/f=7.06115μs, T/4=1.7653μs, 所以圆心角等差取值范围：
[-1.7653，1.7653] （μs）。

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由计算机计算得到g b, 具体想详细数据请参见后附的打印表格与图像。

从g-f 图上可查出， f 1=
141.3kHz
f 2=142.36kHz
圆心坐标为（14.013，1.706）ms 该圆直径 D ＝28.026ms 可算出：
()13
1
1 3.0132.6728.02610
R D R -=-=
-=Ω⨯
()
()113212111
5.35742228.02610142.36141.3R R D L mH f f ωωππ-+=
===--⨯⨯⨯-(12263
121
2111
11
235.0544142.36141.310 5.357410C pF
L f f L ωωππ-=
=
==⨯⨯⨯⨯
⨯146.13
m Q ===
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(
)
)3011 3.01111 2.091032.67s AC AC C R R R R ω--⎫≈+++=⨯⎪
⎭
()
141.83s f kHz =
==
(141.83-141.62)/141.62=0.71%, 误差很小。

3、 副边电阻R 2改变时原边等效电阻增量ΔR 1的变化
M =0.978±0.010 mH L 1=1.058±0.005 mH L 2=1.054±0.005 mH R=15.0Ω f=5.027±0.001 kHz
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2R ～1R ∆曲线
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教师评定： R 2=80Ω的点数据有问题，由整个图像可知，此点数值应比后两点大，呈递减趋势。

4、 当ω一定时ΔＬ1随R 2的变化关系。

M =0.978±0.010 mH L 1=1.058±0.005 mH L 2=1.054±0.005 mH R=15.0Ω f=4.988 0.001 kHz
R 2
ΔR
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w=2πf=31.3418 kHz
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ΔL
R
【思考题】
1、什么是压电元件的共振？如何判断共振？
答：由于压电元件的压电效应这一特性，在外电场作用下，会发生形变。

这可以类比我们在力学中常见的振动模型。

一个振动系统在外加策动力作用下受迫振动，当外加策动力频率与系统固有频率相等时，就会产生共振。

振子在此时的振幅最大。

与此类似，压电元件也有一个振动的固有频率。

当外加
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电场的频率与其相等时，该元件的振幅便达到最大。

此即为压电元件的共振。

判断压电元件的共振可从其等效电路入手，当外加电压频率ω达到某一特定值时，该电路RLC 支路产生串联谐振。

此时，1L 、1
C 上的电压为0，全部电压落在1
R 上，则此时的频率即为压电元件的共振频率。

由此可见，此时1
R 上电压的相位应与外加电压的相位相同。

所以我们可以借助示波器，当观察到电源输出的电压U 与R 两端电压U I 相位相同时，就可以判断此时压电元件处于共振状态。

2、从示波器屏幕上U I 与U 两波形出现先后的时间关系，如何确定式（13）中τ的正负？ 答：由()1112211111L C b R R L C ωωωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭可知：
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当ω>s ω（即U 领先U I ）时，b<0；当ω<s
ω（即U I 领先U ）时，b<0。

所以当ω>s ω（即U 领先U I ）时，τ<0；当ω<s ω（即U I 领先U ）时，τ<0。

3、当0b C ω=与1
1R 相比足够小时，导纳圆图中两个圆将几乎重合。

在这种情况下，如果实验中从s ω起减小（或增加）频率ω时使式（13）中的U I 与U 的时间差τ为一等差级数，则得到的实验点将均匀分别在导纳圆上。

试论证上述结论。

（实验时，不要从共振频率s
ω开始测量，而是使频率从小到大依次测量。

） 答：U I 与U 的周期不变且相等，记为T ，则U I 与U 的相差为τ/T 。

又因为压电元件与电阻R 串联，故有P R I I I ==总。

所以有I R U I R =，1U I jb =⋅总，从而
1I R R U I R jbI jb U I jb gI g
===⋅总总
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于是有jb与g之间的相差为τ/T。

所以当τ为一等差级数时，τ/T也为一等差级数。

又易知2jb
ϕ=，此时ϕ也为一等差级数，从而使测量点均匀分别在导纳圆上。

4、测量线路图中R取值应怎样考虑？R取大了有何问题？
答：R在测量允许精度内应越小越好。

因为若R取大了导纳圆图像中圆心将不能再认为在g轴上。

此时如果仍然按等差级数取τ，则实验点将不能均匀地分布在导纳圆上，这会导致实验结果的误差。

另外，若R取值过大，由
11
R D R
=-，当R偏大时，会使
1
R偏小，从而使1R的测量结果不精确。

但R也不可过小，否则会使U I过小。

从而降低了测量的精度。

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【总结】
本次实验总体来说比较简单，有几个重点，示波器的使用一定要熟悉，特别是测时间，电压的操作；测导纳圆时要算好时间差，以测得均匀的点，便于画图；选做实验要注意两个电压的意义以及测量选取方法；另外，选做的两个可以一次测量，事前应该通过推导了解到，我就是没想过这个问题，当晚没做完，只做了一组，周四上午补完。