一元二次不等式表示的平面区域

一元二次不等式表示的平面区域

辽宁省营口开发区第一高级中学

韩亮

一、教材分析

1、教材的地位和作用

线性规划是新教材中的新增内容，是学生对不等式、直线方程知识的深化和综合应用。二元一次不等式表示平面区域是线性规划三个课时中的第一课时，是后续学习“图解法”解决简单线性规划问题的基础，在高考中这部分知识多以选择题、填空题出现。题型以容易题、中档题为主。这节课在教学中能很好的体现数形结合的数学方法，培养学生分析总结问题的能力，对知识的系统概括能力。是培养学生思维的良好教学素材。

2、教学的重点和难点

重点：二元一次不等式表示平面区域

难点：准确理解和判断二元一次不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧。

3、目标分析

（1）知识目标：能作出二元一次不等式（组）所表示的平面区域。

（2）能力目标：增强学生数形结合的思想方法，在分析问题的过程中培养学生探究能力，对问题的归纳总结能力。

（3）情感目标：体会数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。

4、学情分析

高二学生通过不等式和本章前三节学习，对解析几何的理性思维能力已经初步形成，具备了用代数方法(坐标，方程)讨论图形性质的能力

5、教法学法

探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。以问题为载体，设置情境、激发兴趣；以学生为中心，观察分析、探索交流；以多媒体为手段，直观演示、数形结合；以能力提高为目的，变式演练、升华理解。

二、教学过程

一．复习回顾：

1.什么叫二元一次不等式？

答：含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，称这样的不等式为二元一次不等式。

2.什么叫二元一次不等式组？

答：由几个二元一次不等式构成的不等式组我们称为二元一次不等式组 3.二元一次方程Ax+By+C=0的解集所表示的几何意义是什么？

答;二元一次方程Ax+By+C=0的解集表示由直线Ax+By+C=0上的所有的点构成的集合。 二．课题引入：

引例：班级计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大，小彩球装点联欢晚会的会场，根据需要，大彩球不少于10个，小彩球不少于20个，请你给出几种不同的购买方案? 解：设购买大彩球x 个，小彩球y 个。

⎪⎪

⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧∈∈≥≥<-+⇒<+**

2010

010021002N

y N x y x y x y x ⎩⎨

⎧==2510y x ，⎩⎨⎧==5020y x ，⎩⎨⎧==3025y x ，⎩⎨⎧==2530y x ……

问题1：平面直角坐标系中的点被直线2x+y-100=0分成了几类？上述解为坐标的点在那个区域里面？

问题2：那我们在直线的上方取几个点，代入直线方程中，能发现怎么样规律？将这个规律推广到任意直线：Ax+By+C=0，能得到什么结论？ 结论：

直线Ax+By+C=0把坐标平面内的点分成了三个部分。 直线上的点坐标满足直线的方程。

直线的同一侧的点的坐标使式子 Ax+By+C 的值具有相同的符号。 直线两侧的点的坐标使式子Ax+By+C 的值具有相反的符号。

问题3:不等式Ax+By+C ≤0表示的平面区域和不等式Ax+By+C<0表示的平面区域有什么区

别？

三．例题讲解：

例一：画出下面二元一次不等式的平面区域

（1）032>--y x （2）0623≤-+y x 解：（1）所求区域不包括直线，用虚线画出直线

032:=--y x l

将原点的坐标（0，0）代入32--y x ，可得

033002<-=--⨯

这样，就可以判定不等式032>--y x 所表示的区域 与原点位于直线032=--y x 的异侧，即不包含原点的一侧 （2）所求区域包括直线，用实线画出直线

0623:=-+y x l

将原点的坐标（0，0）代入623-+y x ，可得

0660203<-=-⨯+⨯

这样，就可以判定不等式0623≤-+y x 所表示的区域

与原点位于直线032=--y x

练习：画出下面二元一次不等式的平面区域。（课本练习）

(1) 423-<+y x (2) 022≤--y x 例二：画出下列不等式组所表示的平面区域

（1）⎩⎨⎧≥-+>+-01012y x y x （2）⎪⎩

⎪⎨⎧≤-≥+>+-0

30120

232x y y x

练习：画出下列不等式组所表示的平面区域

（1）⎩⎨⎧≤+-<++01042y x y x （2）⎪⎩

⎪⎨⎧<-≥-+>+-0

4201320

63x y x y x

四．课堂小节

1.什么是二元一次不等式表示的平面区域？

2.怎么作出二元一次不等式表示的平面区域？

4、小结归纳，拓展深化

在小结归纳中我将从学生的知识，思想和方法入手，带领学生从以下三个方面进行小结：（1）通过本节课的学习，你学到了那些知识？

（2）你又掌握了哪些学习思想、方法？

（3）能否结合以往所学対二元变量最值的求法加以改过

答：（1）利用非线性目标函数的几何意义求其在线性约束条件下的最值（数形结合的方法求二元变量最值）

（2） 学会化归与转化、数形结合思想方法的应用

（3） 在我们现在所学的基础上解决二元变量最值问题可以转化为单变量、可以利

用均值不等式、可以利用数形结合

小结有利于学生养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构，同时也培养了学生数学交流和表达的能力。

5、布置作业，提高升华

作业分层次递进，分为必做题和选作题两个部分，必做题1面向全体，注重知识反馈，选作题2更注重知识的延伸与拓展，可让让有能力的同学去探求

如此安排即让所有学生巩固所学内容并进行自我检测与评价，又让部分学生的思维得以升华提高。

作业1：关于x 的方程022

=++b ax x 的两根分别在区间（0，1）与（1，2）内，求

1

2

--a b 取值范围。 作业2：求函数222256

4322t

s t st t y +--

-=

的最小值 以上五个环节环环相扣，层层深入，充分体现教师与学生的交流互动，在教师的启发下，学生通过观察，思考，层层递进，学生亲身经历了知识的形成和发展过程，以问题为驱动，使学生对知识的理解逐步深入。 而最终的思考题又将激发学生兴趣，带领学生进入更进一步的思考和研究之中，

三 、板书设计