考研数学高分导学班讲义汤家凤

课程配套讲义说明

1、配套课程名称

2013年考研数学高分导学（汤家凤，16课时）

2、课程内容

此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。此课程包含线代和高数，请各位学员注意查看。

3、主讲师资

汤家凤——文都独家授课师资，数学博士，教授，全国著名考研数学辅导专家，全国唯一一个能脱稿全程主讲的数学辅导老师，全国大学生数学竞赛优秀指导老师。汤老师对数学有着极其精深的研究，方法独到。汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。

严谨的思维、激情的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！

主讲：高等数学、线性代数。

4、讲义

20页（电子版）

文都网校2011年9月15日

2013考研数学高分导学班讲义

线性代数部分—矩阵理论

一、矩阵基本概念

1、矩阵的定义—形如⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 2

1

22221

11211，称为矩阵n m ⨯，记为n m ij a A ⨯=)(。 特殊矩阵有

（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。 （2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。

（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。 （4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。

2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。

3、矩阵运算

（1）矩阵加、减法：

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 2

1

22221

11211

2

1

22221

11211,，则

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛±±±±±±±±±=±mn mn m m m m n n n n b a b a b

a b a b a b a b a b a b a B A

2

21122222221

21

11121211

11。 （2）数与矩阵之积：

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 2

1

22221

11211

。

（3）矩阵与矩阵之积：

设⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=ns n n s s mn m m n n b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 21222

21112

112

1

22221

11211,，则 ⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛==ms m m s s c c c c c c

c c c C AB 2

1

22221

11211

， 其中nj in j i ij b a b a c ++= 11（n j m i ,,2,1;,,2,1 ==） 【注解】

（1）O AB =不一定有O A =或O B =。 （2）矩阵乘法没有交换律。

（3）含方阵B A ,的矩阵多项式可象普通多项式一样因式分解的充分必要条件是BA AB =。 （4）设011)(a x a x a x f n n +++= ，则定义E a A a A a A f n n 01)(+++= ，且关于矩阵的矩阵多项式可因式分解。

二、方程组的矩阵形式及解的概况 方程组的基本形式为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++0

00221122221211212111n mn m m n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1） 称（1）为齐次线性方程组。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

222212********* （2） 称（2）为非齐线性方程组。

令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 2

1

22221

11211

，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21，⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=m b b b b 21，则（1）、（2）可分别表示为矩阵形式：

O AX = （1）

及

b AX = （2）

对方程组（1）： 【例题1】讨论方程组⎩⎨

⎧=-=+0

20

2121x x x x 解的情况，并分析原因。

【例题2】讨论方程组⎩⎨⎧=+=+-0

231321x x x x x 解的情况，并分析原因。

对方程组（2）： 【例题1】讨论方程组⎩⎨

⎧-=+=-13

21

21x x x x 解的情况，并分析原因。

【例题2】讨论方程组⎩⎨

⎧=+=-+2

1

32321x x x x x 解的情况，并分析原因。

【例题3】讨论方程组⎩⎨

⎧=+=+4

221

2121x x x x 解的情况，并分析原因。

三、矩阵问题的产生

初一数学问题：解一元一次方程b ax = 情形一：当0≠a 时，b ax =两边同时乘以

a 1得

b a ax a ⨯=⨯11，于是a

b x =； 情形二：当0,0≠=b a 时，方程b ax =无解； 情形三：当0,0==b a 时，方程b ax =有无数个解。

线性方程组的类似问题：讨论方程组b AX =的解

情形一：是阶方阵，且存在，使得E BA =

由b AX =两边左乘得Bb BAX =，于是Bb X =； 情形二：虽然是阶矩阵，但不存在，使得E BA = 方程组b AX =是否有解及解的情况； 情形三：是n m ⨯矩阵，且n m ≠ 方程组b AX =是否有解及解的情况。 【注解】

（1）第一种解的情况产生矩阵的第一个核心问题—矩阵的逆阵。 （2）第二、三两种情形产生矩阵的另一个核心问题—矩阵的秩。 四、矩阵两大核心为题 （一）逆阵

1、定义—设为阶矩阵，若存在阶矩阵，使得E BA =，则称为可逆矩阵，称为的逆矩阵，记为

1-=A B 。