结构非线性分析的有限单元法分解
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n 附近的近似 非线性方程组 0 在
n
F 0
线性方程组为
一般情况下，
故可得其解为
F n 0 1 F n1 n n n1 n n1
上式的泰勒展开式为
, ,
令 得 则有
K T K T ,
P
KT P 0
8
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.1 非线性问题分类及求解 5.2 非线性问题求解方法 5.3 材料非线性 5.4 几何非线性 5.5 边界非线性 5.6 非线性弹性稳定性问题 5.7非线性分析特点 5.8 ANSYS非线性结构计算示例 5.9ANSYS稳定性计算示例
1
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
D D
返 回 章 节 目 录
K BT D BdV
K P
10
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
(a) 非线性弹性问题
(b) 弹塑性问题
(c) 理想塑性问题
(d) 强化塑性问题
图10-6 材料非线性问题
11
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
3
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
(2) 整体刚度矩阵集成
整体刚度矩阵集成、平衡方程的建立以及约束处理， 与线性问题求解相似 。 (3) 非线性平衡方程求解 对于几何非线性问题，平衡方程必须建立在变形后 的位置，严格来讲是建立在结构的几何位置及变形状态 上，简称为位形状态。因而，非线性问题的平衡方程表 为
或为 KT 1 P 假设将载荷因子 分为m个增量，并设
0 0 1 2 m 1
n1 n
有 相应载荷为
n 1
m
n
1
Pn n P Pn Pn1 Pn n P
1
则方程组的迭代公式为 n KT n Pn
n1 n n
当满足收敛准则时，迭代终止。
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-5 载荷增量法的几何意义
Hale Waihona Puke Baidu
5.3 材料非线性
5.3.1 材料非线性特征
材料非线性问题可划分为以下三种类型。 （1）非线性弹性问题 （2）弹塑性问题 有限单元法求解方程的形式相同，即表现为
5.2.1 直接迭代法
将平衡方程写成如下迭代格式
返 回 章 节 目 录
KT n n1 P 0
具体迭代过程简述如下 取初始值 0
5
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
则得到
KT 0 KT 0
1 K P 1 T 0
图10-3 N—R迭代法的几何意义
图10-4 修正牛顿法迭代几何意义
7
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.2.3 载荷增量法
, K T P 0
为载荷因子，用来描述载荷变化的参数， 对应于 ， 对应于 ，则 , 0
KT P
求解时，一般是将非线性问题转化成一系列线性化逼 近的方法求之。即
K T P 0
求解的方法按照载荷的处理方式可分为全量法和增 量法两大类。
4
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-1 位形描述示意图
5.2 非线性问题求解方法
5.1 非线性问题分类及求解
5.1.1 非线性问题分类
当材料是线弹性体，结构受到载荷作用时，其产生 的位移和变形是微小的，不足以影响载荷的作用方向 和受力特点。静力平衡方程表示为：
K P
其基本方程的特点如下：
a．材料的应力与应变，即本构方程为线性关系。 b．结构应变与位移微小、即几何方程保持线性关系。 c．结构的平衡方程属于线性关系，且平衡方程建立于结 构变形前，即结构原始状态的基础之上。 d． 结构的边界（约束）条件为线性关系。
5.1.2 非线性问题求解
非线性问题用有限单元法求解的步骤和线性问题 基本相同，不过求解时需要多次反复迭代，基本三大 步骤如下： (1) 单元分析 非线性问题与线性问题的单元刚度矩阵不同，仅为材 料非线性时， 使用材料的非线性物理（本构）关系。 仅 为几何非线性时， 在计算应变位移转换矩阵[B]时， 应该 考虑位移的高阶微分的影响。 同时， 具有材料和几何非 线性的问题，受到两种非线性特性的藕合作用。
不同时满足上述条件的工程问题称为非线性问题。
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
习惯上将不满足条件a的称为材料非线性；不能够满 足条件b、c的称为几何非线性；不满足条件d的称为边界 非线性 。对于兼有材料非线性和几何非线性的问题称为 混合非线性问题 。 对于上述非线性问题总可归结为两大 类，即材料非线性和几何非线性。
得到改进解
重复上述过程，总结得出近似递推公式
KT n KT n
1 n1 KT P n
以一维非线性问题为例， 直接迭代法的几何意义见图 10-2。
图10-2 直接迭代法的几何意义
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.2.2 牛顿—拉裴逊（Newton—Raphson）法
（3）蠕变与应力松弛问题 在一定温度范围内，材料在固定温度和不变载荷作 用下，其变形随时间缓慢而增加的现象称之为蠕变。
n
F 0
线性方程组为
一般情况下，
故可得其解为
F n 0 1 F n1 n n n1 n n1
上式的泰勒展开式为
, ,
令 得 则有
K T K T ,
P
KT P 0
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.1 非线性问题分类及求解 5.2 非线性问题求解方法 5.3 材料非线性 5.4 几何非线性 5.5 边界非线性 5.6 非线性弹性稳定性问题 5.7非线性分析特点 5.8 ANSYS非线性结构计算示例 5.9ANSYS稳定性计算示例
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
D D
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K BT D BdV
K P
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
(a) 非线性弹性问题
(b) 弹塑性问题
(c) 理想塑性问题
(d) 强化塑性问题
图10-6 材料非线性问题
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
(2) 整体刚度矩阵集成
整体刚度矩阵集成、平衡方程的建立以及约束处理， 与线性问题求解相似 。 (3) 非线性平衡方程求解 对于几何非线性问题，平衡方程必须建立在变形后 的位置，严格来讲是建立在结构的几何位置及变形状态 上，简称为位形状态。因而，非线性问题的平衡方程表 为
或为 KT 1 P 假设将载荷因子 分为m个增量，并设
0 0 1 2 m 1
n1 n
有 相应载荷为
n 1
m
n
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Pn n P Pn Pn1 Pn n P
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则方程组的迭代公式为 n KT n Pn
n1 n n
当满足收敛准则时，迭代终止。
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-5 载荷增量法的几何意义
Hale Waihona Puke Baidu
5.3 材料非线性
5.3.1 材料非线性特征
材料非线性问题可划分为以下三种类型。 （1）非线性弹性问题 （2）弹塑性问题 有限单元法求解方程的形式相同，即表现为
5.2.1 直接迭代法
将平衡方程写成如下迭代格式
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KT n n1 P 0
具体迭代过程简述如下 取初始值 0
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
则得到
KT 0 KT 0
1 K P 1 T 0
图10-3 N—R迭代法的几何意义
图10-4 修正牛顿法迭代几何意义
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.2.3 载荷增量法
, K T P 0
为载荷因子，用来描述载荷变化的参数， 对应于 ， 对应于 ，则 , 0
KT P
求解时，一般是将非线性问题转化成一系列线性化逼 近的方法求之。即
K T P 0
求解的方法按照载荷的处理方式可分为全量法和增 量法两大类。
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-1 位形描述示意图
5.2 非线性问题求解方法
5.1 非线性问题分类及求解
5.1.1 非线性问题分类
当材料是线弹性体，结构受到载荷作用时，其产生 的位移和变形是微小的，不足以影响载荷的作用方向 和受力特点。静力平衡方程表示为：
K P
其基本方程的特点如下：
a．材料的应力与应变，即本构方程为线性关系。 b．结构应变与位移微小、即几何方程保持线性关系。 c．结构的平衡方程属于线性关系，且平衡方程建立于结 构变形前，即结构原始状态的基础之上。 d． 结构的边界（约束）条件为线性关系。
5.1.2 非线性问题求解
非线性问题用有限单元法求解的步骤和线性问题 基本相同，不过求解时需要多次反复迭代，基本三大 步骤如下： (1) 单元分析 非线性问题与线性问题的单元刚度矩阵不同，仅为材 料非线性时， 使用材料的非线性物理（本构）关系。 仅 为几何非线性时， 在计算应变位移转换矩阵[B]时， 应该 考虑位移的高阶微分的影响。 同时， 具有材料和几何非 线性的问题，受到两种非线性特性的藕合作用。
不同时满足上述条件的工程问题称为非线性问题。
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
习惯上将不满足条件a的称为材料非线性；不能够满 足条件b、c的称为几何非线性；不满足条件d的称为边界 非线性 。对于兼有材料非线性和几何非线性的问题称为 混合非线性问题 。 对于上述非线性问题总可归结为两大 类，即材料非线性和几何非线性。
得到改进解
重复上述过程，总结得出近似递推公式
KT n KT n
1 n1 KT P n
以一维非线性问题为例， 直接迭代法的几何意义见图 10-2。
图10-2 直接迭代法的几何意义
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.2.2 牛顿—拉裴逊（Newton—Raphson）法
（3）蠕变与应力松弛问题 在一定温度范围内，材料在固定温度和不变载荷作 用下，其变形随时间缓慢而增加的现象称之为蠕变。