结构非线性分析的有限单元法分解
有限元非线性分析-正式课件-2011-01-06
屈服强度的影响因素
影响屈服强度的内在因素有：结合键、组织、结构、原子本性。 如将金属的屈服强度与陶瓷、高分子材料比较可看出结合键的影响 是根本性的。从组织结构的影响来看，可以有四种强化机制影响金 属材料的屈服强度，这就是：(1)固溶强化；(2)形变强化；(3)沉淀强 化和弥散强化；(4)晶界和亚晶强化。沉淀强化和细晶强化是工业合 金中提高材料屈服强度的最常用的手段。在这几种强化机制中，前 三种机制在提高材料强度的同时，也降低了塑性，只有细化晶粒和 亚晶，既能提高强度又能增加塑性。 影响屈服强度的外在因素有：温度、应变速率、应力状态。随 着温度的降低与应变速率的增高,材料的屈服强度升高，尤其是体心 立方金属对温度和应变速率特别敏感，这导致了钢的低温脆化。应 力状态的影响也很重要。虽然屈服强度是反映材料的内在性能的一 个本质指标，但应力状态不同，屈服强度值也不同。我们通常所说 的材料的屈服强度一般是指在单向拉伸时的屈服强度。
屈曲分析
屈曲分析 是一种用于确定结构开始变得不稳定时的临界 载荷和屈曲模态形状(结构发生屈曲响应时的特征形状)的技 术，特征值屈曲分析用于预测一个理想弹性结构的理论屈曲 强度(分叉点)。 非线性屈曲分析是一种典型而且重要的几何非线性分析， 比线性屈曲分析更精确。非线性屈曲分析的基本方法是，逐 步地施加一个恒定的载荷增量，直到解开始发散为止。尤其 重要的是，要一个足够小的载荷增量，来使载荷达到预期的 临界屈曲载荷。若载荷增量太大，则屈曲分析所得到的屈曲 载荷就可能不精确。在这种情况下，打开二分和自动时间步 长功能[ AUTOTS ,ON]有助于避免这种问题。
有限元-非线性分析
一．非线性结构分析简介 二．几何非线性（大应变、屈曲分析等） 三．材料非线性（弹塑性分析） 四．接触分析（高度非线性） 五．ANSYS的设置
非线性结构有限元分析概论
一、线性问题的基本方程
由复杂结构受力平衡问题的虚功方程有:
v T dv vuT qvdv suT qsds u0T R0
vmu
T
••
u dv
v
Du
T
•
u
dv
（10-1）
上式左端为内力的虚功，右端为外力的功。
由于： u N u Bu C
式中 u 为单元体内的位移； u为节点位移； N 形函数阵；
t t t
T
S t t t
dvt
W t t
（10-18）
返回
其中：
W tt o
tv
u
T
q tt tv
中推荐采用BFGS法。
程序对几何非线性的考虑可采用完全的拉格朗
日公式或改进的拉格朗日公式。在非线性动态分析
中采用隐式时间积分（Newmarli法和Wilson- 法） 或显式时间积分（中心差分法）的方法。隐式时间
积分通常用来分析结构的振动问题，显式时间积分
主要用来分析波传布现象。
返回
第一节 有限元基本方程
解此方程也用隐式时间积分，显式时间积分或振形迭加
法求解。
返回
二、非线性问题的基本方程
对于非线性问题通常不能用一步直接求解方案，必须分成
若干步加载,按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，即增量求
解方案。
1.增量形式的平衡方程：
已知设：0，△t，2△t‥‥的位移和应力（各载荷步的）
要求出：t+△t步时的位移和应力。
ov oe T o
o e dv
ov
o
T
t o
SdvtW t o来自ovoe Tt o
S
dv
钢管混凝土拱桥结构非线性分析
弹性模 量， ａ ／ Ｐ
７ ５ ０ ８ ７ ５ ０ ８
１ｌ６ １ １ ０ ２ ０
表 ２ 灌注弦管 阶段最大应力表
阶 段 最 大 应 力 伊 ａ 部 位
空钢管合拢后 浇筑左缀板后
４ ． ３５ ５ ． ３６
５ ． ９２ ６ ． ３８ ７ ． ７２
钢棒与弦管交点
钢棒与临时铰 中间支 座交点
弹性和塑性两部分 ，ｅ ｅ ＋ｄ ＇ 中， 为弹塑性矩阵 ， 计 ｄ ＝ｄｅ ｄ。其 其
文中以某下承式钢 管混凝 土变高 度桁 式有推 力无铰 拱桥 为 算式为 ：
～
拱肋上 、 弦杆 断面形状 为平放 的哑铃形 。 下
主要对 该 桥进行 几何 非线 性和 材料 非线性 分析 ， 用 Ａ 采 Ｎ—
Ｄ Ｄ ） ～ 塞（ Ｄ Ａ （ 襄 。 ＋ ）
其 中 ， 为弹性 矩阵 ； －分别 为塑性势 函数 和屈服 函数 ； Ｄ ｇ和 厂
表 １ 材料取值
材料 名称
Ｑ３ ５ ４ｃ Ｑ２ ５ ３ｃ
Ｃ０ ５
ＳＳ Ｙ 空间建模计算。拱肋 Ｂａ １８ ｅ ８ 单元模拟 ， ｍ 单元特性中截面采 Ａ 为与硬化关系有关 的硬化 函数。材料取值见 表 １ 。
２ １Ｘ１ １ ． ０１ ２ １Ｘ１ １ ． ０１
３ ５Ｘ １ ｏ ． ０１
质 量密度／ ｇ ｍ一 ｋ－
７８０ ５ ７８ ０ ５
非线性结构有限元分析
在程序中，对增量方程求解的平衡迭代采用修正 的牛顿迭代法或BFGS法。 1. 修正的牛顿迭代法。它与完全的牛顿法的不同在 于迭代过程中系数矩阵保持不变，因此不需要重新形 成和分解刚度阵，从而大大减少了计算量。但是这样 又带来了收敛速度慢和发散问题，对此程序中加入了 加速收敛和发散处理的措施。这些措施并不明显地增 加求解的时间，但却会对修正的牛顿迭代法的性能有 所改进。 2. BFGS法。又称矩阵修正迭代，是拟牛顿法的一 种。它实际上是完全的牛顿法与修正的牛顿法之间的 一种折中方法。因为它在迭代过程中，并不重新形成
0 t t t k xi N k0 xik， xi N kt xik， xi N kt t x（ i 10-28） k 1 k 1 k 1 n n n
0 k t k t t k 其中： xi ， xi ， xi 为节点k，i方向上在0，t， t+△t时刻的
返回
取位移插值函数为： n
t
写成矩阵形式：
t i
ui N u
k 1
t k k i
；
ui N k uik
k 1
n
（10-26） （10-27）
u [N ] u
t k i
；
ui [ N ]uik
其中：Nk为插值函数，[N]为形函数矩阵； t k ui ，uik 为k点i方向上t时刻的位移和位移增量； n为单元节点数。 取坐标变换为：
v
v s
{R} [ N ]T qv dv [ N ]T qs ds {R0}
{u}
外载荷阵 （10-6） 为节点位移对时间的二 次导数；
为节点位移对时间的一 次导数。
{u}
第9章 非线性问题的有限单元法
第9章非线性问题的有限单元法9.1 非线性问题概述前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。
非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。
1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变)材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。
它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化)几何非线性是有结构变形的大位移引起的。
例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。
随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。
3. 状态非线性(接触, 单元死活)状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。
例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。
这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。
9.2 非线性有限元问题的求解方法对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。
以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。
1.迭代法迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。
与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。
它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。
以平面问题为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。
在求解非线性方程组时，一般采用迭代法。
2. 牛顿—拉斐逊方法ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。
非线性有限单元法在结构分析中的应用
Байду номын сангаас
第２ ７卷第 ｌ 期
２０ ０６年 ２月
华
北
水
利
水
电
学
院
学
报
Ｖ０ ．７ Ｎｏ． Ｉ２ １
Ｊｕ ａ ｆＮ ｒ ｈｎ ｎｔｕｅｏ ａ ｒＣ ｎｅｖｎ ｙａ ｄＨｙ ｒｅｅ ｔｃＰ ｗ ｒ ｏ ｒ ｌｏ ｏｔ Ｃ ｉａＩｓｔｔ ｆＷ ｔ ｏ ｓｒａ ｃ ｎ ｄ ｌｃｒ ｏ ｅ ｎ ｈ ｉ ｅ ｏ ｉ
变． 其特 征是 在材 料 变形 过程 中 ， 力 和应 变不 再具 应 有 一一 对应 关系 ， 应变 的 大小 与加 载历 史有 关 ， 与时 间无关 ， 载过程 中 ， 力 与应 变之 间按 材料 固有 的 卸 应 弹性 规 律 变 化 ， 全 卸 载 后 有 不 可 恢 复 的 残 余 完
Ｆｂ２０ ｅ ．０ ６
文章 编号 ： ０ —５３ （０６ ０ —０ １ ０ １ ２ ６４ ２０ ） １ ０２— ３ ０
非线性有 限单元法在 结构分析 中的应 用
杨 剑 ，周 家新２ 寇 国伟２ ，
（． Ｉ 河海大 学土木工程 学院 ， 江苏 南京 ２０９ ； ． 一师。 １０ ８ ２ 农 新疆 阿克 苏 ８３０ ） ４００
１ 材 料 非 线 性 问题
材料 非 线性 问题 的主要 特征是 材 料 的应 力 一应 变关 系 表现 为非 线 性 性 质 ， 由于 本 构 方程 的非 线 即 性 引起 整个 问题解 的非 线性 ．
１ １ 材料 非线性 本 构关 系 ．
弹 性应 变增 量 与应力 增 量成正 比 。 服从 虎 克定律 ３ 材 料产 生 的塑 性 应 变 ， ． 大小 取 决 于加 载历 史 和 约定 条件 ， 假定 塑 性 变形符 合正 交 流动 法则 ， 塑 即 性 变形 方 向与屈 服 面正 交 ， 性应 变增 量 为 塑
《结构分析中的有限元法》2015-有限元习题-参考答案
4、列表给出有限元几类基本单元的图形、结点数、结点自由度数和单元总自由 度数(包括杆单元、梁单元、平面三角形单元、平面四边形单元、轴对称问题三 角形单元、四边形壳单元、四面体单元)。
单元 类型 杆单
（1）单元的类型和形式 为了扩大有限元法的应用领域，新的单元类型和形式不断涌现(等参元,梁板 壳,复合材料) （2）有限元法的理论基础和离散格式 将 Hellinger-Reissner、Hu—Washizu(多场变量变分原理)应用于有限元分析， 发展了混合模型、杂交型的有限元表达格式，应研究了各自的收敛条件；将加权 余量法用于建立有限元的表达格式；进一步研究发展有限元解的后验误差估计和 应力磨平方法。 （3）有限元方程的解法(大型复杂工程结构问题——静态, 特征值, 瞬态等) （4）有限元法的计算机软件(专用软件, 通用软件)
弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如
果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内
应力在虚应变上的虚功(内力功)。
根据虚功原理得到 ( εT uT F )d uTTd 0
p
(1 T uT F)d 2
uT
Td
0
其中的 p 即为总势能泛函。由上面变分为零式表明：在所有区域内满足几 何关系，在边界上满足给定位移条件的可能位移中，真实位移使系统的总势能取 驻值(可证明此驻值为最小值)。此即总势能泛函的极值条件。
10, 0
3 2, 0
解：根据拉格朗日插值基函数：
u(x, y) l1(x, y)u1 l2 (x, y)u2 l3(x, y)u3 l4 (x, y)u4
非线性结构有限元分析
t t t k xi N k0 xik， xi N kt xik， xi N kt t x（ i 10-28） k 1 k 1 k 1
n
n
n
0 k t k t t k 其中： xi ， xi ， xi 为节点k，i方向上在0，t， t+△t时刻的 节点坐标值。
（10-25）
T T t T t t t e C e dv dv W e t tv t t t tv t tv t dv
此为改进的拉格朗日（ U·L ）公式。 三、非线性问题有限元基本方程 有了方程（10-19），（10-25）式，就可以按通常的方 法进行有限元离散，从而得到非线性问题的有限元基本方程。
第一节
有限元基本方程
一、线性问题的基本方程 由复杂结构受力平衡问题的虚功方程有:
T T T v v v s s
dv u q dv u q ds u R
T 0 0
mu u dv Du u dv
[M ]
t t
{u} [ D]
t t
{u} [ K ]t t {u} t t {R} （10-8）
解此方程也用隐式时间积分，显式时间积分或振形迭加 法求解。
二、非线性问题的基本方程 对于非线性问题通常不能用一步直接求解方案，必须分成 若干步加载,按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，即增量求 解方案。 1.增量形式的平衡方程： 已知设：0，△t，2△t‥‥的位移和应力（各载荷步的） 要求出：t+△t步时的位移和应力。 ①全拉格朗日（T·L）公式 以t=0时刻状态为度量基准，求t+△t时刻的值。 由虚功方程： 其中：
钢结构非线性分析研究
钢结构非线性分析研究作者：黄镜成来源：《建材发展导向》2013年第04期摘要：论述了几何非线性和材料非线性的基本理论，介绍了非线性分析中运动与变形的关系，给出了运用有限元进行结构非线性分析时材料非线性的应力-应变关系，介绍了非线性方程的求解方法，通过对一个具体的框架结构工程实例进行分析，验证了对结构进行非线性分析的方法，可得，考虑材料的非线性时，结构的承载能力低于考虑材料弹性状态极限承载力，为实际工程提供了参考。
关键词：钢结构；非线性；有限元钢结构具有材料强度高、材质均匀、工业化生产程度高等优点，目前在国内外的工程建设中得到了越来越广泛的应用，但是，由于钢材强度高，构件一般板件较薄，长细比大，更容易出现失稳现象，因失稳导致的钢结构事故也是非常常见的。
目前，大跨度、大空间结构应用越来越多。
从用途单一的仓库、车站等工业建筑到多用途的大型交通枢纽、体育场馆、展览中心等结构，对于这些大型公共建筑，结构体系复杂，设计难度高，投资大，人员密集，因此对其安全性要求极高。
其结构设计若仅对构件进行强度、稳定性、刚度进行计算和验算，无法保证其可靠性，还必须对其进行整体稳定性计算。
1 结构非线性问题结构设计方法从传统的容许应力设计法发展到了基于概率统计的极限状态设计法。
传统的容许应力设计法是基于线弹性理论，依照经验选取一定的安全系数，以构件危险截面某一点的计算应力不超过材料的容许应力为准则，目前在某些领域仍在使用。
安全系数是一个单一的根据经验确定的数值，没有考虑不同结构之间的差异，不能保证不同结构具有同等的安全水平。
从本质上讲，工程中所有的力学问题都是非线性的，一般地，力学中的非线性问题包括三类：1.1 几何非线性。
在小变形假定下，通常是在未变形的结构上建立平衡。
当结构在荷载作用下产生较大的变形，小变形假定不成立，就必须考虑几何非线性的影响，平衡应建立在结构变形后的构形上，考虑内力的二阶效应，几何方程应包括位移的高阶项。
第9章-非线性问题的有限单元法
第9章非线性问题的有限单元法9.1 非线性问题概述前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。
非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。
1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变)材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。
它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化)几何非线性是有结构变形的大位移引起的。
例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。
随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。
3. 状态非线性(接触, 单元死活)状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。
例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。
这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。
9.2 非线性有限元问题的求解方法对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。
以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。
1.迭代法迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。
与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。
它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。
以平面问题为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。
在求解非线性方程组时，一般采用迭代法。
2. 牛顿—拉斐逊方法ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。
建筑结构的非线性分析
建筑结构的非线性分析建筑结构的非线性分析是对建筑结构进行分析时所面临的一种难题。
一方面，建筑结构本身复杂多变，在外力作用下会呈现出非线性响应；另一方面，建筑结构的分析不仅需要考虑结构的受力状态，还要考虑材料、几何、荷载等因素的影响。
因此，建筑结构的非线性分析是一项非常重要的任务，它可以帮助工程师更准确地预测结构的响应，并为结构的优化设计提供有力的支持。
建筑结构的非线性响应建筑结构的非线性响应是由于材料的非线性特性、几何的非线性特性、以及受力状态的非线性特性等因素导致的。
这些因素可以是单独的，也可以是相互作用的。
其中，材料的非线性特性是指材料的力学特性呈现出非线性的形态，例如材料在不同的荷载下呈现出不同的弹性模量和极限应变等；几何的非线性特性是指结构的形态或尺寸呈现出非线性的形态，例如结构由于荷载作用变形，导致结构的尺寸出现变化；而受力状态的非线性特性是指在不同荷载作用下，结构的刚度、强度等性质呈现出非线性的形态。
建筑结构的非线性分析方法建筑结构的非线性分析方法包括有限元法、分步分析法、极限荷载法等。
其中，有限元法是应用最为广泛的分析方法之一，它利用有限元离散化的方法来近似连续介质结构的行为和响应，可以进行非线性材料、几何和受力状态的分析，并能够准确地描述结构的弯曲、剪切、扭转、局部破坏及塑性行为等现象。
与有限元法不同的是，分步分析法是一种迭代计算方法，其基本思想是将整个分析过程分成若干个阶段，逐步引入不同的非线性因素，从而分析出每个阶段的响应结果。
而极限荷载法则是一种经验法，它忽略计算领域中不便考虑的因素，例如非线性响应的微小变化、材料的粘性和不均匀性等，而仅仅关注于结构在极限荷载下的反应，从而得出结构的破坏载荷。
建筑结构的非线性分析应用建筑结构的非线性分析应用非常广泛，可以用于结构的优化设计、结构的健康监测和结构的可靠性评估等方面。
首先，在结构的优化设计方面，非线性分析可以帮助工程师更准确地预测结构的响应，并根据所得到的结果对结构进行优化设计，从而提高结构的性能。
结构非线性分析的有限单元法分解课件
通过本课件的学习，学习者可以深入理解结构非线性行为的本质，掌握先进的数值分析方法，提高在复杂工程结 构分析方面的专业素养和实践能力。同时，本课件也有助于推动结构非线性分析领域的科技进步和人才培养。
CHAPTER
非线性行为分类
材料非线性
边界条件非线性
ABCD
几何非线性
接触非线性
非线性分析的复杂性
建立模型
确定分析对象和边界条件 建立数学模型 定义材料属性
网格划分
选择合适的网格划分方法 进行网格划分 检查网格质量
施加载荷和约束
确定外部作用力
施加约束条件
求解非线性方程组
选择合适的求解器 求解非线性方程组 结果后处理
CHAPTER
工程实例一：大跨度桥梁的非线性分析
总结词
详细描述
工程实例二：高层建筑的抗震性能分析
CHAPTER
几何非线性分析
几何非线性分析是指考虑结构的大变 形和应力应变关系非线性的情况。在 有限单元法中，需要采用适当的形函 数来描述结构的几何形状变化。
VS
常用的形函数包括多项式、样条函数、 有限元形函数等，可以根据具体问题 选择合适的形函数。
材料非线性分析
常用的本构模型包括弹性模型、弹塑 性模型、塑性模型等，可以根据具体 材料的性质选择合适的本构模型。
• 结构非线性分析的基本概念 • 有限单元法的基本原理 • 结构非线性分析的有限单元法分解方法 • 有限单元法的实现过程 • 结构非线性分析的有限单元法应用案例 • 结论与展望
CHAPTER
背景介 绍
结构非线性分析的重要性 有限单元法的应用
目的和意 义
目的
本课件旨在系统介绍结构非线性分析的有限单元法分解，使学习者掌握非线性问题的有限元建模、求解和分析方 法，提高解决实际工程问题的能力。
结构非线性分析的有限单元法分解共43页文档
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
结构非线性分析的有限单元 法分解
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
结构非线性分析的有限单元法分解
上式的泰勒展开式为
, ,
令 得 则有
K T K T ,
P
KT P 0
8
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
1
则方程组的迭代公式为 n KT n Pn
n1 n n
当满足收敛准则时，迭代终止。
9
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-5 载荷增量法的几何意义
5.3 材料非线性
5.3.1 材料非线性特征
材料非线性问题可划分为以下三种类型。 （1）非线性弹性问题 （2）弹塑性问题 有限单元法求解方程的形式相同，即表现为
⑧ 作卸载计算，求出残余应力和残余应变。 ⑨ 输出计算结果。
21
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.4 几何非线性
5.4.1 几何非线性特征
几何非线性问题又可分为两大类，即大位移、小应 变问题和大位移、大应变问题。 返 回 章 节 目 录
(a) 大位移、小应变问题
(b) 大位移、大应变问题
22
20
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
⑤ 重新计算位移增量，进而计算单元应变增量和等 效应变增量，依次修改相应的m值。重复以上④~⑤步骤 计算过程，一般修改m值2~3次即可 ⑥ 计算位移和应力增量，并将位移、应变、应力增 量迭加到增量作用前的水平上。 ⑦ 重复④~⑥步骤计算过程，直至完成所 有的增量步。
图10-3 N—R迭代法的几何意义
图10-4 修正牛顿法迭代几何意义
7
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.2.3 载荷增量法
薄壳结构的非线性屈曲有限元分析
’２１６‘固体力学学报２００３年第２４卷｛ｓ｝。
＝｛ｓ｝一＋｛△８｝。
（１０ｂ）３数值算例算例ｌ计算受到外压作用的轴对称圆柱壳体的非线性屈曲问题．具体尺寸为：中面半径为１００ｍｍ，壳体壁厚为２ｒａｍ，柱长１５０ｍｍ；，材料参数为：弹性模量Ｅ＝２×１０５ＭＰａ，泊松比¨＝０．３，屈服极限ｏ，＝５５０ＭＰａ，材料采用双线性随动强化模式．图２与图３分别为结构屈曲前和屈曲时的等效应力分布图，图４和图５分别为屈曲模态与后屈曲模态的顶端视图．与特征值屈曲一样，结构在发生屈曲时变形方式会发生分叉，图５仅给出了其中的一种后屈曲模态，算例２则给出了两种后屈曲模态．图２屈曲前结构的等效应力分布图３屈曲时结构的等效应力分布图４屈曲模态顶端视图图５后屈曲模态顶端视图算例２计算受到轴向压力作用的轴对称截锥壳体的非线性屈曲问题，边界为简支．具体尺寸：底部中面半径分别为１５０ｍｍ．母线长为１００ｒａｍ，壳体的壁厚为１ｍｍ，锥度为２５。
；材料参数为：弹性模量Ｅ＝７．５×１０‘ＭＰａ，泊松比斗＝０．３，屈服极限口，＝４００ＭＰａ，材料采用双线性随动强化模式，进行有限元计算时在模型上施加了一定的小扰动．图６为小扰动与ｚ轴成不同角度的情况下截锥壳结构的后屈曲模态，由图可见失稳的形式基本相同，但是发生失稳的角度不同．表ｌ为施加不同小扰动时结构的Ｉ晦界载荷比较，由表可知与ｚ轴成不同角度的小扰动对结构的临界载荷的影响很小．表１小扰动在不同位置时的计算结果专辑嵇晓宇等：薄壳结构的非线性屈曲有限元分析－２１７【ａ）ｘ轴方向卜的小挠动（ｂ）与ｚ轴成４５’角方向上的小挠动图６小扰动在不同位置上的后屈曲模态４结论１把工程结构看成是理想弹性的特征值屈曲分析明显没有考虑初始缺陷和材料非线性、大变形等因素的非线性分析真实．非线性屈曲应用于工程分析，将更好地估计结构的临界载荷，为工程设计提供有价值的参考；２结构发生屈曲时．其变形方式会发生分叉．但是这对结构发生失稳时的临界载荷影响很小，在工程分析中若只需要计算结构的临界载荷，则不用过多地考虑这种分叉性．参考文献１王勘成，邵敏．有限单元法基本原理和数值方法．北京：清华大学出版社．１９９７２李建中等．轴对称壳体弹塑性屈曲的有限元分析．清华大学学报，１９９９，３９（２）：８２—８５ＦＩＮＩＴＥＥＬＥＭＥＮＴＡＮＡＬＹＳＩＳＯＦＮＯＮＬ玳ＥＡＲＢＵＣＫＬＩＮＧＦｏＲＴＨＤｉＳｌｉＥＬＬＸｕｂｉｎｇＪｉＸｉａｏｙｕＹｕＸｉａｎｇｄｏｎｇＹａｎｇＹｕｍｉｎｇ（Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆ＆ＭⅢＭｅｃｈａｎｉｃｓ，ＴｈｅＣｈｉｎｅｓｅＡｃａｄｅｍｙｏｆ凸讲ｎｅｅｒｉｎｇＰｈｙｓｉｃｓ，Ｍｉａｎｙａｎｇ，６２１９００）ＡｂｓｔｒａｃｔＦｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓｏｆｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｂｕｃｋｌｉｎｇｉｓｖｉｅｗｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｂｕｔｉｎｐｒａｃｔｉｃａｌｕｓｅｔｈｅｒｅａｒｅｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｓｏｆｉｎｉｔｉａｌｉｚａｔｉｏｎｄｉｓｆｉｇｕｒｅｍｅｎｔ，ｍａｔｅｒｉａｌｎｏｎｌｉｎｅａｒ，ｌａｒｇｅｄｉｓ—ａｎｄＳＯｏｎ．Ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｂｕｃｋｌｉｎｇｆｏｒｔｈｉｎｓｈｅｌｌｍａｙｉｎｃｌｕｄｅａｌｌｐｌａｃｅｍｅｎｔｔｈａｔａｒｅｐｏｉｎｔｅｄｂｅｆｏｒｅ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｂａｓｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｓｈｅｌｌｅｌｅｍｅｎｔ．ｗｅＵＳｅｔｈｅｉｎｃｒｅｍｅｎｔｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍ，ｗｈｉｃｈｉｓｍｏｒｅａｖａｉｌａｂｌｅｉｎｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎａｌｙｓｉｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｂｕｃｋｌｉｎｇ，ｎｏｎ，ｎｅａｒｂｕｃｋｌｉｎｇ，ｂｕｃｋｌｉｎｇｍｏｄｅ，ｉｎｃｒｅｍｅｎｔｆｉｎｉｔｅｅｌｅ－ｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ。
非线性结构有限元分析课件
非线性结构有限元分析的步骤与流程
• 设定边界条件和载荷，如固定约束、压力 或力矩等。
非线性结构有限元分析的步骤与流程
01 步骤三：求解
02
选择合适的求解器，如Newton-Raphson迭代法或 直接积分法。
03 进行迭代计算，求解非线性结构的内力和变形。
非线性结构有限元分析的步骤与流程
01
步骤四：后处理
非线性有限元分析的基本概念
总结词
非线性有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的结构或系统离散化为有限个小的单元，并建立 每个单元的数学模型，来模拟和分析结构的非线性行为。
详细描述
非线性有限元分析是一种基于离散化的数值分析方法，通过将复杂的结构或系统划分为有限个小的单 元（或称为有限元），并建立每个单元的数学模型，来模拟和分析结构的非线性行为。这种方法能够 考虑各种复杂的边界条件和材料特性，提供更精确的数值结果。
非线性有限元分析的常用方法
总结词
非线性有限元分析的常用方法包括迭代法、增量法、 降维法等。这些方法可以根据不同的非线性问题选择 使用，以达到更好的分析效果。
详细描述
在非线性有限元分析中，常用的方法包括迭代法、增量 法、降维法等。迭代法是通过不断迭代更新有限元的位 移和应力，逐步逼近真实解的方法；增量法是将总载荷 分成若干个小的增量，对每个增量进行迭代计算，最终 得到结构的总响应；降维法则是通过引入一些简化的假 设或模型，将高维的非线性问题降维处理，以简化计算 和提高计算效率。这些方法各有优缺点，应根据具体的 非线性问题选择使用。
03
02
弹性后效
材料在卸载后发生的变形延迟现象。
材料强化
材料在受力过程中发生的强度增加 现象。
04
有限单元法
有限单元法
答：一、定义
有限单元法的基本前提是：将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，这样的组合体能解析地模拟或逼近求解区域。
由于单元能按各种不同的连接方式组合在一起，且单元本身又可以有不同的几何形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域，有限元法作为一种数值分析方法的另一重要步骤是利用在每一个单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。
单元内的近似函数通常由未知场函数在各个单元节点上的数值以及插值函数表达。
这样一来，一个问题的有限单元分析中，未知场函数的节点值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
一旦求解出这些未知量，就可以利用插值函数确定单元组合体上的场函数。
显然，随着单元数日的增加，单元尺寸的缩小，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
二、有限单元法主要学什么
1、有限单元法主要讲述线弹性有限元法的基本理论、matlab编程实现及相应商业有限元软件的应用，对线弹性动力有限元法及材料、几何和接触三类非线性有限元法的基本概念和程序应用也进行了介绍。
2、主要内容是：matlab编程及符号运算、分部积分、泛函极值与变分法、直接刚度法、有限元求解方法、杆单元力学基础、单元组
装、弹性固体结构、板壳结构。
专题3--非线性问题的有限单元法
专题3 非线性问题的有限单元法第七章几何非线性问题一、非线性问题前面各章所讨论的都是属于弹性力学中的线性问题，它最后导出了如下一个关于各节点平衡的线性代数方程组：[]{}{}Rδ (7-1)K=其中[]K是一个和{}δ无关的常系数矩阵，仅和结构的离散情况，结构变形前的几何及物理特性有关。
当然，严格地说。
固体力学中的所有现象均是非线性。
然而，对于解决许多工程问题，近似地用线性理论来处理可以使计算简单切实可行，并能符合工程上的精度要求。
但是许多问题，用线性理论却是完全不适合的，它必须用非线性理论来解决。
1.分类非线性问题主要可以分成二大类。
第一类为几何非线性，第二类为材料非线性。
几何非线性问题指的是大位移问题。
对于几何非线性问题，由于问题本身的特征及解的精度，平衡方程必须相对于预先未知的变形后的几何位置写出。
严格地说，所有问题都要用已变形位置写出它的平衡方程，但是若问题的基本特征不因变形而改变，精度也满足要求，它就可以用变形前的几何位置来描述。
这正是我们以前处理问题的方法。
然而，对于有些问题就不能这样处理；例如图7-1a所示结构中B点的平衡方程就要由变形后的几何位置写出，如图7-16所示。
又例如压杆失稳后的变形研究，平板大挠度问题均属于几何非线性问题。
图7-1 非线性桁架的问题在极大多数的大位移问题中，结构内部的应变是微小的，事实上，只有在材料出现塑性变形时，以及在工程上很少应用的类似于橡皮的材料中才会遇到大的应变。
本章所讨论的几何非线性问题将限于大位移小应变问题，这时材料的应力应变关系是线性，这将使问题得到一些简化。
至于材料非线性问题，则是指材料的本构关系，即应力应变关系的非线性问题，当结构采用非金属材料，或采用金属材料但发生塑性变形时，属于这类问题。
这类问题一般仅限于讨论小变形材料非线问题。
这将于下章讨论。
对于更加复杂的几何非线性及材料非线性复合问题，如金属的塑性加工等，也将于下一章作简单讨论。
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KT P
求解时，一般是将非线性问题转化成一系列线性化逼 近的方法求之。即
K T P 0
求解的方法按照载荷的处理方式可分为全量法和增 量法两大类。
4
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-1 位形描述示意图
5.2 非线性问题求解方法
上式的泰勒展开式为
, ,
令 得 则有
K T K T ,
P
KT P 0
8
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.1 非线性问题分类及求解 5.2 非线性问题求解方法 5.3 材料非线性 5.4 几何非线性 5.5 边界非线性 5.6 非线性弹性稳定性问题 5.7非线性分析特点 5.8 ANSYS非线性结构计算示例 5.9ANSYS稳定性计算示例
1
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-3 N—R迭代法的几何意义
图10-4 修正牛顿法迭代几何意义
7
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.2.3 载荷增量法
, K T P 0
为载荷因子，用来描述载荷变化的参数， 对应于 ， 对应于 ，则 , 0
n 附近的近似 非线性方程组 0 在
n
F 0
线性方程组为
一般情况下，
故可得其解为
F n 0 1 F n1 n n n1 n n1
5.1 非线性问题分类及求解
5.1.1 非线性问题分类
当材料是线弹性体，结构受到载荷作用时，其产生 的位移和变形是微小的，不足以影响载荷的作用方向 和受力特点。静力平衡方程表示为：
K P
其基本方程的特点如下：
a．材料的应力与应变，即本构方程为线性关系。 b．结构应变与位移微小、即几何方程保持线性关系。 c．结构的平衡方程属于线性关系，且平衡方程建立于结 构变形前，即结构原始状态的基础之上。 d． 结构的边界（约束）条件为线性关系。
或为 KT 1 P 假设将载荷因子 分为m个增量，并设
0 0 1 2 m 1
n1 n
有 相应载荷为
n 1
m
n
1
Pn n P Pn Pn1 Pn n P
1
则方程组的迭代公式为 n KT n Pn
n1 n n
当满足收敛准则时，迭代终止。
9
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-5 载荷增量法的几何意义
5.3 材料非线性
5.3.1 材料非线性特征
材料非线性问题可划分为以下三种类型。 （1）非线性弹性问题 （2）弹塑性问题 有限单元法求解方程的形式相同，即表现为
得到改进解
重复上述过程，总结得出近似递推公式
KT n KT n
1 n1 KT P n
以一维非线性问题为例， 直接迭代法的几何意义见图 10-2。
图10-2 直接迭代法的几何意义
6
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.2.2 牛顿—拉裴逊（Newton—Raphson）法
5.1.2 非线性问题求解
非线性问题用有限单元法求解的步骤和线性问题 基本相同，不过求解时需要多次反复迭代，基本三大 步骤如下： (1) 单元分析 非线性问题与线性问题的单元刚度矩阵不同，仅为材 料非线性时， 使用材料的非线性物理（本构）关系。 仅 为几何非线性时， 在计算应变位移转换矩阵[B]时， 应该 考虑位移的高阶微分的影响。 同时， 具有材料和几何非 线性的问题，受到两种非线性特性的藕合作用。
（3）蠕变与应力松弛问题 在一定温度范围内，材料在固定温度和不变载荷作 用下，其变形随时间缓慢而增加的现象称之为蠕变。
3
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
(2) 整体刚度矩阵集成
整体刚度矩阵集成、平衡方程的建立以及约束处理， 与线性问题求解相似 。 (3) 非线性平衡方程求解 对于几何非线性问题，平衡方程必须建立在变形后 的位置，严格来讲是建立在结构的几何位置及变形状态 上，简称为位形状态。因而，非线性问题的平衡方程表 为
5.2.1 直接迭代法
将平衡方程写成如下迭代格式
返 回 章 节 目 录
KT n n1 P 0
具体迭代过程简述如下 取初始值 0
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
则得到
KT 0 KT 0
1 K P 1 T 0
D D
返 回 章 节 目 录
K BT D BdV
K P
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
(a) 非线性弹性问题
(b) 弹塑性问题
(c) 理想塑性问题
(d) 强化塑性问题
图10-6 材料非线单元法简介
不同时满足上述条件的工程问题称为非线性问题。
2
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
习惯上将不满足条件a的称为材料非线性；不能够满 足条件b、c的称为几何非线性；不满足条件d的称为边界 非线性 。对于兼有材料非线性和几何非线性的问题称为 混合非线性问题 。 对于上述非线性问题总可归结为两大 类，即材料非线性和几何非线性。