2015高考数学一轮题组训练：9-1直线的方程
高考数学一轮复习 第9章 解析几何9.1直线的方程练习(
课时作业41 直线的方程一、填空题1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R )的倾斜角的取值范围是__________．2．设A (－2,3)，B (3,2)，若直线y ＝ax －2与线段AB 有交点，则a 的取值范围是__________．3．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是__________．4．直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有直线恒过定点__________．5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是__________．6．经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程为__________．7．已知曲线C ：y ＝ln x －4x 与直线x ＝1交于点P ，那么曲线C 在点P 处的切线方程是__________．8．已知直线l 过点P (2,1)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为__________．9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________．二、解答题10．已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 11．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0.(1)求证：l 经过定点；(2)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．12．(2012江苏徐州高三第一次调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x －y ＋1＝0截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为 6.(1)求圆O 的方程．(2)若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程．(3)设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交x 轴于点(m,0)和(n,0)，问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．参考答案一、填空题 1.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：斜率k ＝－1a 2＋1≥－1，故k ∈ [－1,0)，由正切函数图象知倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 2.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52 ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 解析：直线y ＝ax －2过定点C (0，－2)，所以直线的斜率a ≥k BC ＝43或a ≤k AC ＝3＋2－2－0＝－52， 即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. 3．k ＞12或k ＜－1 解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k ＜3，解不等式可得k ＞12或k ＜－1. 4．(3,1) 解析：直线方程化成y －1＝k (x －3)，故过(3,1)．5.(30°，90°) 解析：由题意，可作两条直线如图所示，从图中可以看出，满足题意的直线l 的倾斜角的取值范围为(30°，90°)．6．x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 解析：当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a＝1； 将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12， 此时直线方程为x ＋2y ＋1＝0.当直线过原点时，斜率k ＝－25， 直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0. 综上可知，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.7．3x ＋y ＋1＝0 解析：易知P (1，－4)，∵y ′＝1x－4， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝－3.∴切线方程为y ＋4＝－3(x －1)，即3x ＋y ＋1＝0.8．4 解析：设过A ，B 的直线l 的斜率为k (k ＜0)，则y －1＝k (x －2)，∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B 点坐标为(0,1－2k )． 由S △OAB ＝12·OA ·OB ＝12·2k －1k·(1－2k ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋4k －1k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫－4k －1k ＋4 ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·－4k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＋4 ＝12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝－12时，S △OAB 取得最小值4. 9．[135°，180°) 解析：切线斜率k ＝y ′＝－4e x 1＋e x 2＝－4e x ＋1e x ＋2≥－42e x ·1e x ＋2＝－1，即－1≤k ＜0，－1≤ta n α＜0.∵0°≤α＜180°，∴α∈ [135°，180°)．二、解答题10．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)，即x －(m ＋1)y ＋(2m ＋3)＝0. (2)①当m ＝－1时，α＝π2； ②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(]0，3， ∴k ＝1m ＋1∈ (－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞. ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3. 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3. 11．解：(1)证明：由kx －y ＋1＋2k ＝0，得k (x ＋2)＋1－y ＝0.所以l 经过定点(－2,1)．(2)由l 的方程得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )， 由题知：－1＋2k k＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0. ∵S ＝12·OA ·OB＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥4， 当且仅当k ＞0,4k ＝1k ，即k ＝12时，面积取最小值4，此时直线的方程是x －2y ＋4＝0. 12．解：(1)因为点O 到直线x －y ＋1＝0的距离为22，所以圆O 的半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝2，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，即bx ＋ay －ab ＝0，由直线l 与圆O 相切，得|ab |a 2＋b 2＝2，即1a 2＋1b 2＝12，DE 2＝a 2＋b 2＝2(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2≥8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(3)设M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，x 21＋y 21＝2，x 22＋y 22＝2，直线MP 与x 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1，0，m ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1，直线NP 与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1，0，n ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1，mn ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1·x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝x 21y 22－x 22y 21y 22－y 21＝2－y 21y 22－2－y 22y 21y 22－y 21＝2，故mn 为定值2.。
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-1直线的方程试题理北师大
【2019最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-1直线的方程试题理北师大1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.②倾斜角的范围为[0°，180°)．(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.2．直线方程的五种形式【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √)(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ×)(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ×)(4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ×)(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( ×)(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √)1．(2016·天津模拟)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ) A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案A解析依题意得＝1，解得m＝1.2．(2016·合肥一六八中学检测)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A．[0，] B．[，π)C．[0，]∪(，π) D．[，)∪[，π)答案B解析由直线方程可得该直线的斜率为－，又－1≤－<0，所以倾斜角的取值范围是[，π)．3．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．4．(教材改编)直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.答案1或－2解析令x＝0，得直线l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋，依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.5．过点A(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．答案3x＋2y＝0或x－y－5＝0解析①当直线过原点时，直线方程为y＝－x，即3x＋2y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为－＝1，即x－y＝a，将点A(2，－3)代入，得a＝5，即直线方程为x－y－5＝0.故所求直线的方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0.题型一直线的倾斜角与斜率例1 (1)(2016·北京东××区期末)已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>”是“k>”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为__________________．答案(1)B (2)(－∞，－]∪[1，＋∞)解析(1)当<α<π时，k<0；当k>时，<α<.所以“α>”是“k>”的必要不充分条件，故选B.(2)如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．引申探究1．若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．解∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，∴kAP＝＝，kBP＝＝.如图可知，直线l斜率的取值范围为.2．若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．解如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图像知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图像可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．(2016·南昌模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为( ) A．150° B．135°C．120° D．不存在答案A解析由y＝得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图像如图所示．显然直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，则圆心到此直线的距离d＝，弦长|AB|＝2＝2，所以S△AOB＝××22－2k21＋k2≤＝1，当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝时等号成立，由图可得k＝－(k＝舍去)，故直线l的倾斜角为150°.题型二求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)，从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.故所求直线方程为y＝±(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.若a＝0，即l过点(0,0)及(4,1)，∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为＋＝1，∵l过点(4,1)，∴＋＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－倍；(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB|＝5. 解 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝x ，即2x －3y ＝0. 若a≠0，则设l 的方程为＋＝1， ∵l 过点(3,2)，∴＋＝1，∴a＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－×3＝－. 又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－(x ＋1)， 即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A(1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5， 即x ＝1为所求．设过A(1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k(x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝－得两直线交点为(k≠－2，否则与已知直线平行)，则B 点坐标为(，)． ∴(－1)2＋(＋1)2＝52，解得k ＝－，∴y＋1＝－(x －1)， 即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0. 题型三 直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式相结合求最值问题例3 已知直线l 过点P(3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程． 解 方法一 设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)， 把点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，从而S △AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k ＝－＝－，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 依题意知，直线l 的斜率k 存在且k<0. 则直线l 的方程为y －2＝k(x －3)(k<0)， 且有A ，B(0,2－3k)，所以S△ABO＝(2－3k)⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋－＋4－≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－4－＝×(12＋12)＝12.当且仅当－9k ＝，即k ＝－时，等号成立．即△ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.命题点2 由直线方程解决参数问题例4 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．解由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，当a＝时，面积最小．思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．(2016·潍坊模拟)直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求直线l的方程．解依题意，直线l的斜率存在且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．令y＝0，可得A(1－，0)；令x＝0，可得B(0,4－k)．|OA|＋|OB|＝(1－)＋(4－k)＝5－(k＋)＝5＋(－k＋)≥5＋4＝9.所以当且仅当－k＝且k<0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．这时直线l的方程为2x＋y－6＝0.11．求与截距有关的直线方程典例设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.错解展示现场纠错解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴＝a－2，即a＋1＝1.∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)由＝－(a－2)得a－2＝0或a＋1＝－1，∴a＝2或a＝－2.纠错心得在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．1．(2016·北京××区检测)若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是( )A ．－6<k<－2B ．－5<k<－3C ．k<－6D ．k>－2答案 A 解析解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限， 所以k ＋6>0且k ＋2<0，所以－6<k<－2.2．(2016·威海模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小的直线方程是( ) A ．x ＝2 B ．y ＝1 C ．x ＝1 D ．y ＝2答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为， 依题意，所求直线的倾斜角为－＝，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2.3．(2016·景德镇检测)已知点A 在直线x ＋2y －1＝0上，点B 在直线x ＋2y ＋3＝0上，线段AB 的中点为P(x0，y0)，且满足y0>x0＋2，则的取值范围为( ) A ．(－，－) B ．(－∞，－] C ．(－，－] D ．(－，0)答案 A解析 设A(x1，y1)，＝k ，则y0＝kx0，∵AB 的中点为P(x0，y0)，∴B(2x0－x1,2y0－y1)． ∵A，B 分别在直线x ＋2y －1＝0和x ＋2y ＋3＝0上，∴x1＋2y1－1＝0,2x0－x1＋2(2y0－y1)＋3＝0，∴2x0＋4y0＋2＝0，即x0＋2y0＋1＝0.∵y0＝kx0，∴x0＋2kx0＋1＝0，即x0＝－.又y0>x0＋2，∴kx0>x0＋2，即(k－1)x0>2，即(k－1)(－)>2，即<0，解得－<k<－.故选A.4．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤34C.≤k≤4 D．－≤k≤4答案A解析如图所示，∵kPN＝＝，kPM＝＝－4.∴要使直线l与线段MN相交，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM，由已知得k≥或k≤－4.5．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足( ) A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0答案A解析由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.6.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 ( )A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2答案D解析直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故选D.7．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．答案3解析直线AB的方程为＋＝1，∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3.即当P点坐标为时，xy取最大值3.8．(2016·潍坊模拟)直线l过点(－2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为_________________．答案x＋y＝0或x－y＋4＝0解析若a＝b＝0，则直线l过点(0,0)与(－2,2)，直线l的斜率k＝－1，直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0.若a≠0，b≠0，则直线l 的方程为＋＝1，由题意知解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.9．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．所以b 的取值范围是[－2,2]．10．(2016·山师大附中模拟)函数y ＝a1－x(a>0，a≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在mx ＋ny －1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________． 答案 4解析 ∵函数y ＝a1－x(a>0，a≠1)的图像恒过定点A(1,1)． ∴把A(1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn>0)． ∴＋＝(＋)·(m＋n)＝2＋＋≥4 (当且仅当m ＝n ＝时取等号)， ∴＋的最小值为4.11．(2016·太原模拟)已知两点A(－1,2)，B(m,3)． (1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m∈[－－1，－1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解 (1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．即x－(m＋1)y＋2m＋3＝0.(2)①当m＝－1时，α＝；②当m≠－1时，m＋1∈[－，0)∪(0，]，∴k＝∈(－∞，－]∪[，＋∞)，∴α∈[，)∪(，]．综合①②知，直线AB的倾斜角α∈[，]．12．已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时直线l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得＝2，解得k＝.此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图所示．由l⊥OP，得kl·kOP＝－1， 所以kl ＝－＝2. 由直线方程的点斜式， 得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为＝. (3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．13.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得kOA ＝tan 45°＝1，kOB ＝tan(180°－30°)＝－，所以直线lOA ：y ＝x ，lOB ：y ＝－x. 设A(m ，m)，B(－n ，n)， 所以AB 的中点C ，由点C 在直线y ＝x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝，所以A(，)．又P(1,0)，所以kAB ＝kAP ＝＝， 所以lAB ：y ＝(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋)x －2y －3－＝0.。
2015年高考数学理一轮复习精品资料 专题9.1 直线的方程含解析
2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第九章 解析几何 第一节 直线的方程一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1.【2014年高考数学全程总复习】过点M (,N (的直线的倾斜角是( )(A)34π (B) 4π (C) 6π (D)3π【答案】B【解析】由斜率公式得k==1.又倾斜角范围为[0,)π,∴倾斜角为4π. 2. 【2013-2014学年福建省清流一中高一下学期第一阶段】直线10x y --=不经过的象限是( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3. 【2013-2014学年四川省资阳市高一下学期期末】直线134x y+=与两坐标轴围成的三角形的周长为（ ）A ．6B ．7C ．12D ．1412434322=+++.4.【2013-2014学年福建省清流一中高一下学期第一阶段】过点P 且倾斜角为45°的直线方程为（ ）A ．3y x +=B ．y x =C ．y x =-．y = 【答案】C【解析】斜率145tan ==k ,由直线的点斜式方程可得⇒-=+)3(13x y y x =- C.5.【2013-2014学年湖南省安乡一中高二下学期期末】与直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（ ）A 、0543=++y xB 、0543=-+y xC 、0543=-+-y xD 、0543=++-y x6.【2013-2014学年福建省三明一中高一下学期期中】下列说法的正确的是 （ ）A ．经过定点),(00y x 的直线都可以用方程)(00x x k y y -=-表示B ．经过定点)0A b ，（的直线都可以用方程b kx y +=表示C ．经过任意两个不同的点),(111y x P ，),(222y x P 的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示7. 【2014年高考数学全程总复习】直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角是( )(A)40° (B)50° (C)130° (D)140°8. 【2013-2014学年辽宁省铁岭高中高一下学期期初】直线1l ：0ax y b -+=，2l ：0bx y a -+=（0ab ≠，a b ≠）在同一坐标系中的图形大致是( )9.【2014届陕西省高考前30天】点P （a ，b ）关于l ：x+y+1=0对称的点仍在l 上，则a+b=（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．010. 【2014高考名师推荐】设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( ) A.B.C.D.【答案】B 【解析】11.【改编自2014届高考数学总复习考点引领】2014届高考数学总复习考点引领直线l 经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为（ ）． A ．8x －5y ＋20＝0 或 2x －5y+10＝0 B ．2x －5y －10＝0 C ．8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0 D ．8x －5y ＋20＝012.【改编自2005·全国卷3文理】已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P到AC 、BC 的距离乘积的最大值是（ ）. A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C【解析】以C 为原点,CA CB 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系如图所示，则直线AB 的方程为143x y+=.由重要不等式得：43x y +≥13xy ≥≤.点P 到AC 、BC 的距离乘积即xy ，所以点P到AC 、BC 的距离乘积的最大值是3，选C .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学(理)一轮对点训练：9-1-1 直线及其方程 Word版含解析
1.已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12答案 D解析 由已知直线l 恒过定点P (2,1)，如图所示．若l 与线段AB 相交，则k P A ≤k ≤k PB ，∵k P A ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.故选D.2．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为________．答案 5x ＋y －3＝0解析 y ′＝－5e －5x ，曲线在点(0,3)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.3．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，所以C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，所以C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a . 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．。
高考数学一轮复习第九章解析几何9.1直线的方程课件理
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， )3为端点的线段有公共点，则 直线l斜率的取值范围为 (－∞，－ 3]∪[1，＋∞.) 答案 解析
几何画板展示
如图， 1－0
∵kAP＝2－1＝1， 3－0
kBP＝ 0－1 ＝－ 3， ∴k∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞).
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 1100； 解答 由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.
设倾斜角为 α，则 sin α＝ 1100(0<α<π)，
从而 cos α＝±31010，则 k＝tan α＝±13.
故所求直线方程为 y＝±13(x＋4). 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
例4 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时， 直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实 数a的值. 解答
由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线 l2在x轴上的截距为a2＋2， 所以四边形的面积 S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4 ＝a－122＋145， 当 a＝12时，面积最小.
跟 踪 训 练 1 (2017·南 昌 月 考 ) 已 知 过 定 点 P(2,0) 的 直 线 l 与 曲 线2－yx＝2 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大
值时，直线l的倾答斜案角为解析 几何画板展示 A.150° B.135° C.120° D.不存在
题型二 求直线的方程 例 2 根据所给条件求直线的方程：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
高考数学一轮复习学案：9.1 直线的方程(含答案)
高考数学一轮复习学案：9.1 直线的方程（含答案）9.1直线的方程直线的方程最新考纲考情考向分析1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式点斜式.斜截式.截距式.两点式及一般式，了解斜截式与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主，直线的斜率.倾斜角也是考查的重点题型主要在解答题中与圆.圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择.填空题中出现.1直线的倾斜角1定义当直线l与x 轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.2范围直线l倾斜角的范围是0，1802斜率公式1若直线l的倾斜角90，则斜率ktan_.2P1x1，y1，P2x2，y2在直线l上且x1x2，则l的斜率ky2y1x2x1.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0kxx0不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式yy1y2y1xx1x2x1不含直线xx1x1x2和直线yy1y1y2截距式xayb1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0A2B20平面直角坐标系内的直线都适用题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置2坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率3直线的倾斜角越大，其斜率就越大4若直线的斜率为tan，则其倾斜角为.5斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等6经过任意两个不同的点P1x1，y1，P2x2，y2的直线都可以用方程yy1x2x1xx1y2y1表示题组二教材改编2P86T3若过点M2，m，Nm,4的直线的斜率等于1，则m的值为A1B4C1或3D1或4答案A解析由题意得m42m1，解得m1.3P100A组T9过点P2,3且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________答案3x2y0或xy50解析当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为xaya1，则2a3a1，解得a5.所以直线方程为xy50.题组三易错自纠4xx石家庄模拟直线xa21y10的倾斜角的取值范围是A.0，4B.34，C.0，42，D.4，234，答案B解析由直线方程可得该直线的斜率为1a21，又11a210，故直线经过第一.二.四象限，不经过第三象限6过直线lyx上的点P2,2作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为____________答案x2y20或x2解析若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；若直线m的斜率k0，则直线m 与x轴没有交点，不符合题意；若直线m的斜率k0，设其方程为y2kx2，令y0，得x22k，依题意有1222k22，即11k1，解得k12，所以直线m的方程为y212x2，即x2y20.综上可知，直线m的方程为x2y20或x2.题型一题型一直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率典例1直线2xcosy306，3的倾斜角的取值范围是A.6，3B.4，3C.4，2D.4，23答案B解析直线2xcosy30的斜率k2cos，因为6，3，所以12cos32，因此k2cos1，3设直线的倾斜角为，则有tan1，3又0，，所以4，3，即倾斜角的取值范围是4，3.2直线l过点P1,0，且与以A2,1，B0，3为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为___________________答案，31，解析如图，kAP10211，kBP30013，k，31，引申探究1若将本例2中P1,0改为P1,0，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解P1,0，A2,1，B0，3，kAP102113，kBP30013.如图可知，直线l斜率的取值范围为13，3.2若将本例2中的B点坐标改为2，1，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围解如图，直线PA的倾斜角为45，直线PB的倾斜角为135，由图象知l的倾斜角的范围为0，45135，180思维升华直线倾斜角的范围是0，，根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，2与2，两种情况讨论跟踪训练已知过定点P2,0的直线l与曲线y2x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为A150B135C120D不存在答案A解析由y2x2，得x2y22y0，它表示以原点O为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示显然直线l的斜率存在，设过点P2,0的直线l为ykx2，则圆心到此直线的距离d|2k|1k2，弦长|AB|22|2k|1k22222k21k2，所以SAOB12|2k|1k2222k21k22k222k221k21，当且仅当2k222k2，即k213时等号成立，由图可得k33k33舍去，故直线l的倾斜角为150.题型二题型二求直线的方程求直线的方程典例1求过点A1,3，斜率是直线y4x的斜率的13的直线方程；2求经过点A5,2，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程解1设所求直线的斜率为k，依题意k41343.又直线经过点A1,3，因此所求直线方程为y343x1，即4x3y130.2当直线不过原点时，设所求直线方程为x2aya1，将5,2代入所设方程，解得a12，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k25，所以直线方程为y25x，即2x5y0.故所求直线方程为2x5y0或x2y10.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况跟踪训练根据所给条件求直线的方程1直线过点4,0，倾斜角的正弦值为1010；2经过点P4,1，且在两坐标轴上的截距相等；3直线过点5,10，到原点的距离为5.解1由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin101000，直线l的方程为xayb1，所以2a1b1.|MA||MB|MAMBa2，12，b12a2b12ab52ab2a1b52ba2ab4，当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.命题点2由直线方程解决参数问题典例已知直线l1ax2y2a4，l22xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值解由题意知直线l1，l2恒过定点P2,2，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积S1222a122a22a2a4a122154，当a12时，四边形的面积最小思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略1求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值2求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程3求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解跟踪训练已知直线l过点P3,2，且与x轴.y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程解方法一设直线方程为xayb1a0，b0，把点P3,2代入得3a2b126ab，得ab24，从而SAOB12ab12，当且仅当3a2b时等号成立，这时kba23，从而所求直线方程为2x3y120.方法二由题意知，直线l的斜率k存在且k0，则直线l的方程为y2kx3k0，且有A32k，0，B0,23k，SABO1223k32k12129k4k121229k4k12121212.当且仅当9k4k，即k23时，等号成立即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.求与截距有关的直线方程典例设直线l的方程为a1xy2a0aR1若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；2若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.错解展示现场纠错解1当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，a2，方程即为3xy0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，直线方程可写为xa2a1ya21，a2a1a2，即a11.a0，方程即为xy20.综上，直线l的方程为3xy0或xy20.2由a2a1a2，得a20或a11，a2或a2.纠错心得在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解。
高考数学一轮复习 专题9.1 直线的方程(讲)
专题9.1 直线的方程【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1． 已知直线l 经过A (－cos θ，sin 2θ)，B (0，1)不同的两点，直线l 的斜率为____________，倾斜角的取值范围是____________．2． 直线l 的倾斜角α＝60°，且过点(3，1)，则直线l 的方程为____________．【解析】因为α＝60°，所以k ＝tan α＝ 3.又直线l 过点(3，1)，所以直线l 的方程为y －1＝3(x －3)，即y ＝3x －2.3． 直线的斜率为2，在x 轴上的截距为－1，则直线的斜截式方程为__________________． 【解析】直线过点(－1，0)，斜率为2，由点斜式方程得y －0＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋2. 题组二 常错题4．当a ＝3时，直线ax ＋(a －3)y －1＝0的倾斜角为____________．【解析】当a ＝3时，直线ax ＋(a －3)y －1＝0可化为3x －1＝0，其倾斜角为90°.5．直线l 经过点(5，10)，且原点到直线l 的距离是5，则直线l 的方程为__________________． 【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝5；当直线l 的斜率存在时，设其为k ，则直线l 的方程为y －10＝k (x －5)，由点到直线的距离公式可得k ＝34，故直线l 的方程为3x －4y ＋25＝0.6．过点P (－1，2)且在两轴上的截距相等的直线方程为____________________．题组三 常考题7．过A (1，2)，B (2，1)两点的直线的斜率为______________． 【解析】k AB ＝2－11－2＝－1.8．过原点且斜率为12的直线方程为______________．【解析】利用点斜式可得直线方程为y ＝12x .【知识清单】考点1 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角①定义．当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角α的范围为0απ≤<． 2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角(90)αα≠的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即tan k α＝，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线l 与x 轴平行或重合时, 0α=, tan 00k ==.②过两点的直线的斜率公式．经过两点11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，的直线的斜率公式为2121y y k x x --＝.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角α、斜率k 之间的大小变化关系： （1）当[0,)2πα∈时，0,k α>越大，斜率越大；（2）当(,)2παπ∈时，0,k α<越大，斜率越大.考点2 直线的方程1.直线的点斜式方程：直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为：)(00x x k y y -=-.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线l 过点),0(b ，则直线l 的方程为：b kx y +=.这个方程叫做直线 的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线l 过两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，则直线l 的方程为：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--.这个方程叫做直线的两点式方程.当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当21y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：1y y=.特别地，若直线l 过两点12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠，则直线l 的方程为：1x ya b+=，这个方程叫做直线的截距式方程.3.直线的一般式方程关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B 不为0时，斜率A k B =-，截距C b B=- 【考点深度剖析】直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识，二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查．【重点难点突破】考点1 直线的倾斜角与斜率【1-1】经过两点A(4,2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为34π，则y ＝ . 【答案】－3 【解析】由()21342y +---＝242y +y 2＝＋，得y 2tan ＋＝34π1.y 3∴＝－＝－. 【1-2】经过P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.【答案】[1,1]－，0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【思想方法】1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tan x的单调性求k的范围．【温馨提醒】若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．考点2 直线的方程【2-1】三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程．【答案】5100x y -+=，38150x y ++=，5360x y +-=整理得：5100x y -+=.这就是直线AC 的方程．【2-2】已知点A （-3，-1），B （1，5），直线l 过线段AB 的中点，且在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的2倍.求直线l 的方程． 【答案】230x y +-=【2-3】(1) 直线210mx y m -++=恒过一定点，则此定点为 .(2) 直线l 过点(3,2)P ，且分别交x 轴，y 轴的正半轴于A ,B 两点.求三角形OAB 的面积最小值及此时直线l 的方程.【答案】（1）(2,1)-；（2）243y x =-+. 【解析】（1）法一、直线210mx y m -++=可变形为：1(2)y m x -=+.这是直线的点斜式方程，由这个方程可知．直线恒过点 (2,1)-.法二、直线210mx y m -++=可变形为：(2)(1)0x m y +--=.若该方程对任意m 都成立，则2010x y +=⎧⎨-=⎩，即21x y =-⎧⎨=⎩，所以直线恒过点 (2,1)-. 法三、在方程210mx y m -++=中，令0m =得：10y -+=即1y =；令1m =得：30x y -+=，将1y =代入30x y -+=得2x =-.将21x y =-⎧⎨=⎩代入210mx y m -++=得21210m m --++=恒成立，所以直线210mx y m -++=恒过点(2,1)-.（2）由题设知，直线不可能与x 轴垂直，即直线的斜率必存在.设直线的斜率为k ，则其点斜式的方程为【思想方法】求直线方程的常用方法有1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3. 直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．【温馨提醒】涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为0的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.【易错试题常警惕】求直线方程忽视零截距致误典例(12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a∈R)．(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．易错分析本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况．规范解答解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.[2分]当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴a－2a＋1＝a－2，即a＋1＝1.[4分]∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.[6分][失误与防范]与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．。
2015高考数学一轮课件：9.1 直线的方程
0≤θ≤π6或56π≤θ<π.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十六页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
题型分类·深度剖析
题型一
直线的倾斜角与斜率
【例 1】(1)若直线 l 与直线 y＝1，x＝7 分别 思维启迪 解析 答案 探究提高 交于点 P，Q，且线段 PQ 的中点坐标为(1，
－1)，则直线 l 的斜率为
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十五页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
题型分类·深度剖析
题型一
直线的倾斜角与斜率
【例 1】(1)若直线 l 与直线 y＝1，x＝7 分别 思维启迪 解析 答案 探究提高
解交于析点 P(1，)Q依，且题线意段，P设Q 的点中P点(a坐,1标)，为Q(1(，7，b)，
围是
A.π6，π2∪π2，56π C.0，56π
() B.0，π6∪56π，π D.π6，56π
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十四页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
题型分类·深度剖析
题型一
直线的倾斜角与斜率
【例 1】(1)若直线 l 与直线 y＝1，x＝7 分别 思维启迪 解析 答案 探究提高
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第五页，编辑于星期五：十三点 二十八分。
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
3．过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 (1)若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直 于 x 轴，方程为 x＝x1 ； (2)若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直 于 y 轴，方程为 y＝y1 ； (3)若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即 为 y 轴，方程为 x＝0 ； (4)若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0 时，直线即 为 x 轴，方程为 y＝0 .
2015届高考数学(文)课时检测9-1直线方程(人教版)
课时作业(五十一)1．下列命题中，正确的是( )A ．若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是αB ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D ．直线的倾斜角α∈[0，π2)∪(π2，π)时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增答案 D解析 因为任一直线的倾斜角α∈[0，π)，而当α＝π2时，直线的斜率不存在，所以B 不对；当α∈[0，π2)时，斜率大于0；当α∈(π2，π)时，斜率小于0，C 不对；又因为直线的斜率k ＝tan θ，且θ∈[0，π)时，θ才是直线的倾斜角，所以A 不对．2．直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( )A ．40°B ．50°C ．130°D ．140°答案 B解析 将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.3．若直线l 1，l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7，则l 2的斜率是( ) A.7B ．－77 C.77 D ．－7 答案 A解析 画出图形，根据对称性分析两直线的倾斜角之间的关系，再判断其斜率之间的关系．如图所示，显然直线l 2的斜率为7.4．(2014·海淀区)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >15或k <1D ．k >12或k <－1答案 D解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式可得．也可以利用数形结合．5．两直线x m －y n ＝1与x n －y m ＝1的图像可能是图中的哪一个( )答案 B6．若点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于( )A ．4B ．2C ．1D ．0 答案 A解析 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即b －00－a ＝－1－01－a，∴1a －1b ＝1. ∴a －b ＝(a －b )(1a －1b )＝2－b a －a b ＝2＋[(－b a )＋(－a b )]≥2＋2＝4.(当a ＝－b ＝2时取等号)．7．过点M (1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y －4＝0C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0 答案 B解析 设P (x 0,0)，Q (0，y 0)，∵M (1，－2)为线段PQ 中点，∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y －4＝1.即2x －y －4＝0.8．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是( )A ．[π6，π3)B ．(π6，π2)C ．(π3，π2)D ．[π6，π2]答案 B解析 ∵直线l 恒过定点(0，－3)，作出两直线的图像，如图所示，从图中看出，直线l 的倾斜角的取值范围应为(π6，π2)．9．(2011·安徽)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②若k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点；③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线．答案 ①③⑤解析 ①正确，比如直线y ＝2x ＋3，当x 取整数时，y 始终是一个无理数；②错，直线y ＝2x －2中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1,0)；③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k ＝0，b ＝12时，直线y＝12不通过任何整点；⑤正确，比如直线y ＝2x －2只经过一个整点(1,0)．故答案为①③⑤.10．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l 的方程．答案 x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0解析 设所求直线l 的方程为x a ＋y b ＝1.∵k ＝16，即b a ＝－16⇒a ＝－6b .又S △ABC ＝3＝12|a |·|b |，∴|ab |＝6.则当b ＝1时，a ＝－6；当b ＝－1时，a ＝6.∴所求直线方程为x －6＋y 1＝1或x 6＋y －1＝1， 即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.11．已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得到的直线l ′的方程．答案 x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0解析在3x －y ＋3＝0中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．∵直线l 的斜率k ＝3，∴其倾斜角θ＝60°.若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x ＝－ 3.若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan30°＝33.故其方程为y ＝33(x ＋3)，即x －3y ＋3＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0.12．在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．答案 2x ＋5y ＋9＝0解析 k AC ＝－2，k AB ＝23.∴AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.由⎩⎨⎧ 2x ＋y －3＝0，3x ＋2y －3＝0，得C (3，－3)． 由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，x －2y ＝0，得B (－2，－1)． ∴BC ：2x ＋5y ＋9＝0.13．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．答案 (1)3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0 (2)a ≤－1解析 (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎨⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a ≤－1.14．过点P (1,2)作直线l ，与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程．答案 (S △AOB )min ＝4，l ：2x ＋y －4＝0解析 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，令y ＝0，得x ＝k －2k ，令x ＝0，得y ＝2－k .∴A 、B 两点坐标分别为A (k －2k ，0)，B (0,2－k )．∵A 、B 是l 与x 轴、y 轴正半轴的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，k －2k >0，2－k >0.∴k <0.S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·k －2k ·(2－k )＝12(4－4k －k )． 由－4k >0，－k >0，得S △AOB ≥12(4＋2(－4k )(－k ))＝4. 当且仅当k ＝－2时取“＝”． ∴S △AOB 最小值为4，方程为2x ＋y －4＝0.。
2015高考数学一轮配套课件：9-1直线的方程
• (3)(教材习题改编)若三点A(2,3)，B(a,1)，
诊断·基础知识
突破·高频考第七点页，编辑于星培期五养：十·解四点题十能分。力
• 2．对直线的方程的认识
• (4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－ y0＝k(x－x0)表示． (×)
• (5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2 ，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－ x1)(y2－y1)表示． (√)
诊断·基础知识
突破·高频考第十点三页，编辑于培星期养五：·解十四题点能十分力。
法二 由题意知，直线 l 存在斜率．设直线 l 的斜率为 k，则直 线 l 的方程为 y＋1＝kx，即 kx－y－1＝0. ∵A，B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上． ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即 2(k＋1)(k－1)≤0. ∴－1≤k≤1. ∴直线 l 的倾斜角 α 的范围是34π，π∪0，π4.
不含垂直于x轴的直线
不含垂直于x轴的直线
不含垂直于坐标轴的直线 不含垂直于坐标轴和过原 点的直线 所有直线都适用
诊断·基础知识
突破·高频考第四点页，编辑于星培期五养：十·解四点题十能分。力
• •
3．(过1)P若1(xx11≠，xy21，)，且Py21(≠x2，y2时y2yy)2－，－的yy方1直1＝程线xx2－－为方xx11 程 x＝x1
诊断·基础知识
突破·高频考第十点五页，编辑于培星期养五：·解十四题点能十分力。
解 (1)法一 设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a，若 a＝0，即 l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为 y＝23x，即 2x－3y＝0. 若 a≠0，则设 l 的方程为ax＋ay＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a＋2a＝1， ∴a＝5，∴l 的方程为 x＋y－5＝0， 综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
2015高考数学一轮精品课件：9.1 直线及其方程
(1)△ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方
程;
关闭
解:(1)平行于 BC 边的中位线就是 AB,AC 中点的连线.因为线段 AB,AC 中点
(2)BC 边的中线所在直线的一般式方程,并化为截距式方程.
解析
解析
答案
第十一页，编辑于星期五：十三点 六分。
9.1
第九章
直线及其方程
考纲要求
梳理自测
探究突破
巩固提升
5.若过点 P(1-a,1+a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角 α 为钝角,则实数 a 的取值范
围是
.
关闭
2-(1+)
3-(1-)
-1
-1
= .由 <0
2+
2+
tan α=
得-2<a<1.
11
+4
3+4
=
-1
,即
2-1
7x-y-11=0.
答案
考点一
考点二
考点三
第十六页，编辑于星期五：十三点 六分。
第九章
9.1
直线及其方程
考纲要求
梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
方法提炼
求直线方程的方法主要有以下两种:
(1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方
程;
(2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后
|PA|+|PB|的值为最小.
∴|PA|+|PB|=|PB|+|PA'|.∴当 P 为直线 A'B 与 y 轴的交点时,|PA'|+|PB|的值最小,
高考一轮作业：9-1直线方程(含答案)
时间：45分钟满分：100分班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若与直线3x－y＋1＝0垂直的直线的倾斜角为α，则cosα的值是( )A．3 B．－1 3C.31010D．－31010解析：与直线3x－y＋1＝0垂直的直线的斜率为－13，即tanα＝－13，所以sinαcosα＝－13，又sin2α＋cos2α＝1，且α∈π2，π，所以cosα＝－31010.答案：D2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( ) A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1解析：由题意得a＋2＝a＋2a，解得a＝－2或a＝1.答案：D3．过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是35的直线方程为( )A．3x－5y＋10＝0B．3x－4y＋8＝0C．3x＋4y＋10＝0D．3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0解析：设所求直线的倾斜角为α，则sinα＝35，∴tanα＝±34，∴所求直线方程为y＝±34x＋2，即为3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0.答案：D4．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( ) A．－2 B．－7C．3 D．1解析：线段AB的中点1＋m2，0代入直线x＋2y－2＝0中，得m＝3.答案：C。
【解密高考】2015届高考数学(人教)大一轮课件：9-1直线方程
精度搜索·基础夯实
深度支招·高频考点
高度警惕· 易混易错
高效作业· 练就成功
解密高考
高三大一轮复习 · 人教A版 · 数学
1.(2014· 枣庄期末)已知函数f(x)(0≤x≤1)的图象一段圆弧(如 图所示)，0＜x1＜x2，则( )
fx1 fx2 A. ＜ x1 x2 fx1 fx2 C. ＞ x1 x2
m2－1 解析：k＝ ＝1－m2≤1，又k＝tan α，0≤α＜π，所以l 1－2 π π 的倾斜角的取值范围为[0， ]∪( ，π)． 4 2
截距式 截距a与b
一般式
不含垂直于坐标轴和过 原点的直线
平面直角坐标系内的直 线都适用
Ax＋By＋C＝ 0(A、B不同时为0)
精度搜索·基础夯实
深度支招·高频考点
高度警惕· 易混易错
高效作业· 练就成功
解密高考
高三大一轮复习 · 人教A版 · 数学
特别提醒：使用直线方程时，一定要注意限制条件，以免 解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必须有斜率．截 距式的使用条件是截距存在且不为零等.
特别提醒：当α＝90° 时，tan α不存在，此时直线不存在斜 率，即与x轴垂直的直线没有斜率，但任何直线都有倾斜角．
精度搜索·基础夯实 深度支招·高频考点 高度警惕· 易混易错 高效作业· 练就成功
，倾斜角是90° 的直
解密高考
高三大一轮复习 · 人教A版 · 数学
2．直线方程的五种形式
名称
条件
答案：B
精度搜索·基础夯实
深度支招·高频考点
高度警惕· 易混易错
高效作业· 练就成功
解密高考
高三大一轮复习 · 人教A版 · 数学
2015高考数学配套课件：9-1 直线方程
2．斜率公式 (1)若直线 l 的倾斜角为 α≠90°，则斜率 k＝ tanα .
y(22－)若y1P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上且 x1≠x2，则 l 的斜率 为 x2－x1 .
课前自助餐
授人以渔第六页，编辑于星期课五：时十五作点业九分。
高考调研
新课标版 ·高三数学（文）
3．直线方程的几种基本形式
课前自助餐
授人以渔第十八页，编辑于星课期五时：十作五业点 九分。
高考调研
新课标版 ·高三数学（文）
思考题 1 已知两点 A(－1,2)，B(m,3)，求：
(1)求直线 AB 的斜率；
(2)求直线 AB 的方程；
(3)已知实数 m∈[－ 33－1， 3－1]，求直线 AB 的倾斜角 α
的范围． 【解析】 (1)当 m＝－1 时，直线 AB 的斜率不存在，
课前自助餐
授人以渔第四页，编辑于星期课五：时十五作点业九分。
高考调研
新课标版 ·高三数学（文）
课前自助餐
授人以渔第五页，编辑于星期课五：时十五作点业九分。
高考调研
新课标版 ·高三数学（文）
1．直线的有关概念 (1)直线倾斜角的范围是0°≤α<180° .
(2)若 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线 l 上两点，则 l 的方向向 量的坐标为 (x2－x1，y2－y1) ；若 l 的斜率为 k，则方向向量 的坐标为 (1，k) ．
的倾斜角的取值范围为[0，π4]∪(π2，π)．
课前自助餐
授人以渔第十一页，编辑于星课期五时：十作五业点 九分。
高考调研
新课标版 ·高三数学（文）
5．已知直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，
高考数学一轮总复习 91直线的倾斜角与斜率、直线的方程课后强化作业 北师大版
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．过点A (－2,4m )，B (m,4)的直线的斜率为1，则m ＝( ) A.35 B.25 C ．1 D ．2[答案] B [解析]4－4m m ＋2＝1，得m ＝25.2．光线自点M (2,3)射到N (1,0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．y ＝3x －3 B ．y ＝－3x ＋3 C ．y ＝－3x －3 D ．y ＝3x ＋3[答案] B[解析] 点M 关于x 轴的对称点M ′(2，－3)，则反射光线即在直线NM ′上，由y －0－3－0＝x －12－1，得y ＝－3x ＋3. 3．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a 、b 满足( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0 D ．a －b ＝0[答案] D[解析] ∵sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－1， 即－ab＝－1，∴a －b ＝0.4．(2014·宁都模拟)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2[答案] B[解析] 由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋42＝y ＋2，得：y ＋2＝tan 3π4＝－1，∴y ＝－3.5．(文)经过点A (1,2)，并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条[答案] B[解析] 设直线在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b ，则a ＝b 若a ＝b ＝0，则直线方程为y ＝kx ，∵直线过A (1,2)，∴k ＝2，∴直线方程为y ＝2x . 若a ≠0，b ≠0，则直线方程为x a ＋yb ＝1，∵直线过A (1,2)，则1a ＋2b＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝3，∴直线方程为x ＋y －3＝0， ∴满足条件的直线有2条，故选B.(理)已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，把直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＋6＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －3y －2＝0 [答案] A[解析] 由题意知M (2,0)，设已知直线和所求直线的倾斜角分别为α，β，则β＝α＋45°且tan α＝2,45°<α<90°，tan β＝tan(α＋45°)＝tan α＋tan45°1－tan αtan45°＝－3，所以所求直线方程为y －0＝－3(x －2)， 即3x ＋y －6＝0.6．(文)已知点A (1,3)，B (－2，－1)，若直线l y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围( )A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12[答案] D[解析]如图，l 过P (2,1)，k P A ≤k ≤k PB ， k P A ＝3－11－2＝－2，而k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.(理)点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1B.⎝⎛⎭⎫12，1C.⎣⎡⎦⎤14，1D.⎝⎛⎭⎫14，1[答案] D[解析] 令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和点P (x ，y )的直线斜率，显然k DA 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈⎝⎛⎭⎫14，1.二、填空题7．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－2,1)[解析] ∵直线的斜率k ＝a －1a ＋2，且直线的倾斜角为钝角，∴a －1a ＋2<0，解得－2<a <1. 8．直线ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角α为________． [答案] 135°[解析] ∵ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)， ∴a ＋m －2a ＝0. ∴m ＝a .直线方程为ax ＋ay －2a ＝0， 又m ＝a ≠0，∴直线方程即为x ＋y －2＝0. ∴斜率k ＝－1，∴倾斜角α＝135°.9．一条直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积最小时直线l 的方程为________．[答案] 4x ＋y －8＝0[解析] 设l ：x a ＋yb ＝1(a ，b >0)．因为点P (1,4)在l 上， 所以1a ＋4b ＝1.由1＝1a ＋4b ≥24ab⇒ab ≥16， 所以S △AOB ＝12ab ≥8.当1a ＝4b ＝12， 即a ＝2，b ＝8时取等号． 故直线l 的方程为4x ＋y －8＝0. 三、解答题10．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.[解析] (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ， 则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.能力强化训练一、选择题1．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4[答案] C[解析] 当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.综上知倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C.2．若直线2ax ＋by ＋4＝0(a 、b ∈R )始终平分圆x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(－∞，1)[答案] A[解析] 由题意知直线过圆心(－1，－2)， ∴－2a －2b ＋4＝0，∴a ＋b ＝2， ∴ab ≤a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab 2，∴ab ≤1.二、填空题3．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________． [答案] 3[解析] 解法1：线段AB 的方程为x 3＋y4＝1(0≤x ≤3)，∴y ＝4－43x ，代入y 得xy ＝－43x 2＋4x ，由二次函数性质知，当x ＝32∈[0,3]时，xy 的最大值为3.解法2：AB 所在直线方程为x 3＋y4＝1，∴x 3·y 4≤14(x 3＋y 4)2＝14， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y4时取等号．4．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b ＝________.[答案] 12[解析] 设直线方程为x a ＋yb ＝1，因为A (2,2)在直线上，所以2a ＋2b ＝1，即1a ＋1b ＝12.三、解答题5．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵l 在两坐标轴上的截距相等， ∴直线l 的斜率存在，a ≠－1.令x ＝0，得y ＝a －2. 令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1.由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2，或a ＝0.∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不经过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]．6．已知直线l: kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[解析] (1)直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk (k ≠0)，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2kk <－21＋2k ≥1或k ＝0，解之得k ≥0.(3)由l 的方程得，A (－1＋2kk ，0)，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎨⎧－1＋2kk <01＋2k >0，，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·|1＋2k k|·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12(4k ＋1k＋4) ≥12(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.[点评] 本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”是证明曲线系过定点的一般方法．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九篇 解析几何
第1讲 直线的方程
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为________．
解析 直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为α∈[0，π)，所以α＝π
3. 答案 π
3
2．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－3
4.则直线l 的方程为________． 解析 由点斜式，得y －5＝－3
4(x ＋2)， 即3x ＋4y －14＝0. 答案 3x ＋4y －14＝0
3．(2014·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.
由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 4
4．(2014·泰州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.
解析 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k
3. 则有k 4－k
3＝2，所以k ＝－24. 答案 －24
5．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m ＝________.
解析 由题意可知2m 2
＋m －3≠0，即m ≠1且m ≠－3
2，在x 轴上截距为
4m －12m 2
＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，解得m ＝2或－1
2. 答案 2或－1
2
6．(2014·佛山调研)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足________．
①ab >0，bc <0；②ab >0，bc >0；③ab <0，bc >0；④ab <0，bc <0.
解析 由题意，令x ＝0，y ＝－c b >0；令y ＝0，x ＝－c
a >0.即bc <0，ac <0，从而a
b ＞0. 答案 ①
7．(2014·淮阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．
解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝1
2，满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞.
答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
8．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．
解析 设所求直线的方程为x a ＋y
b ＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2
b ＝1.
①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②
由①②可得(1)⎩⎨⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎨⎧
a －
b ＝－1，ab ＝－2.
由(1)解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧
a ＝－1，
b ＝－2，方程组(2)无解．
故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y
－2＝1，
即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 二、解答题
9．(2014·临沂月考)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．
解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，当然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得a －2
a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.
综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧
－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]．
10．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 存在．理由如下：
设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△AOB
的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋(－4k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥1
2(4＋4)＝4.当且仅当－4k
＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－1
2(x －2)，即x ＋2y －4＝0.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014·北京海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为________．
解析 |AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝1
2，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±3
3(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －3
3. 答案 y ＝33x ＋33或y ＝－33x －3
3
2．若直线l ：y ＝k x －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是________．
解析 如图，直线l ：y ＝k x －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝3
3，则直线P A 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6，π2.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6，π2
3．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．
解析 直线方程可化为x
2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2
＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12
，由于0≤b ≤1， 故当b ＝12时，ab 取得最大值1
2. 答案 1
2 二、解答题
4．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝1
2x 上时，求直线AB 的方程．
解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－3
3，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ， 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
m －3n 2，m ＋n 2，
由点C 在y ＝1
2x 上，且A ，P ，B 三点共线得
⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，
解得m ＝3，所以A (3，3)．
又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝3
3－1
＝3＋32， 所以l AB ：y ＝
3＋3
2(x －1)，
即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。