2009-2011高等代数(下)考试卷(A)

2009-2010学学年第二期 数高等代(下)期末考试试卷(A 卷)

选择题题（本大共5题题小，每小3分，共15分） 1．( )义变换下列所定的σ哪个线变换，一是性

(A)线间在性空V 设中，α为对一固定的非零向量，于任意的V ξ∈，义

定()σξξα=+;

(B) 在3R 义中，定221231233(,,)(,,)x x x x x x x σ=+;

(C) 在3R 义中，定222222123131223(,,)(,,)x x x x x x x x x σ=+++;

(D) 在[]P x 义中，定()0()()f x f x σ=,其中0x 为P 个数中一固定的。 ２．（ ）实数在域R 中，由全体3阶阵构线间矩所成的性空V 维数为的 （A ）2； （B ）4； （C ）6； （D ）9。

3. ( ) 如果1V , 2V 线间是性空V 两个间的子空, 且()1dim 5V =, ()2dim 3V =,

()12dim 6V V +=, 么那()12dim V V ∩为

(A) 2 (B)

3 (C)

4 (D)

5 ４．（ 设）σ为欧间氏空V 个线变换号的一性，符(,)αβ表示向量α和β内积的，

则哪说与下列一法σ为变换正交不等价

（A ） 对任意V α∈，有()(),()(,)σασααα=； （B ） 对任意,V αβ∈，有()(),()(,)σασβαβ=; （C ）

对任意,V αβ∈，有()()(),,()σαβασβ=;

( D) σ组标阵阵在任意一准正交基下的矩是正交矩.

５. ( ) 设A 和B 为数域P 上的n 阶阵则方，A 和B 当仅当相似且

(A) A 和B 值有相同的特征； (B) A 和B 有相同的秩； (C) 为存在着行列式不零的n 阶阵方T 使得1B T AT −= ； ( D) A 和B 有相同的迹。

二、 填题空题（本大共5题题小，每小3分，共15分）

1、设阶阵三方A 项为的特征多式32()225f λλλλ=−−−则， =||A ________。

2. 设,στ是2P 两个线变换义的性，定如下(,)(,0)x y x y σ=−+, (,)(,)x y y x y τ=−+ (,x y P ∀∈)则， (,)x y στ= 。

3. 线间在性空[]4P x 义线变换中，定性()()'()f x f x σ=则，σ在基23

1,,,26

x x x 下

阵为的矩

。

4. 复数集C 为实数作域R 线间维数为上的性空的 。

5．线间求性空[]3P x 项中多式2()222f x x x =−+在基()()2

1,1,1x x −−底下的坐

标为 。

三、 断题判对（的打”√”,错的打”X”题，本大共5题小，题每小2分，共10分） 1. 设0{}V B B =为对角形矩阵则，0V 对阵数构实数于矩的加法和量乘法可以成域上的

线间性空 ( ）

2. 两个阵当仅当它们项矩相似且有相同的特征多式 ( )

3. 两个维欧间构条有限氏空同的充要件它们维数是有相同的 ( )

4数．次等于ｎ(1)n ≥ 实数项的系多对项数构实

式的全体，于多式的加法和量乘法成数线间域上的性空 （ ）

5对称阵条值为．矩Ａ可逆的充要件是Ａ的所有特征都不零 ( ） 四、 计题算题（本大共3题题小，每小11分，共33分）

1．在4P 从中，求基1(1,1,1,1),α= 2(0,1,1,1),α= 3(0,0,1,1),α= 4(0,0,0,1)α=到另外组一基12(1,0,0,0),(0,1,0,0),εε== 3(0,0,1,0),ε=4(0,0,0,1)ε=过阵并的渡矩，且求向量(1,2,3,4)ζ=在基1234,,,αααα标下的坐。

2. 设σ为数域P 线间上的性空V 线变换设的性，12,,εε3ε为V 组并的一基，且有

1123()22,σεεεε=++2123()22,σεεεε=++2123()22,σεεεε=++求σ值的域V σ和核1(0)σ−。

3. 阵求正交矩T 使'T AT 对阵化成角形矩，其中A 为220212020−⎛⎞⎜⎟

−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠

。

五、 明（本大共3小，每小9分，共27分）

1. 设V 数是域P 线间证上的性空，明：如果V 则含有非零的向量，V 必含有无限多

个向量。

2．设σ线间是非零性空 V 线变换的性，如果10k σζ−≠，但0k σζ=证，求

21,,,...,k ζσζσζσζ−线关性无，其中0k >。

3. 设V=2V R =对，于V 中任意的向量11(,)'x y α=,22(,)'x y β=义，定V 内积为

上的1212(,)x x y y αβ=+， 义定V 个变换上的一σ为θ

θσαθ

θ−⎛⎞

⎛⎞=⎜⎟⎜

⎟⎝⎠⎝⎠

11cos sin ()sin cos x y ，其中θ为个一固定的角度。

证明：(1) σ为V 线变换上的性；(2) σ为类变换第一的正交。

2010-2011学年第2学期 高等代数II 期末考试试卷（A 卷）

一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内。

1. 设21,V V 是线性空间V 的子空间，则下列集合不是V 的子空间的是（ ） (A) 21V V ∪ (B) 21V V + (C) 21V V ∩ (D) }0{1∩V

2. 欧氏空间的度量矩阵一定是（ ）

(A) 正交矩阵； (B) 正定矩阵； (C) 上三角矩阵； (D) 下三角矩阵.

3. 设A 是3阶方阵，它的特征值分别为0、1、2，则下列矩阵可逆的是（ ）(A ) 2A ; (B) 2A A +; (C) I A +; (D) 2I A −.

4. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ：

(),n A P σξξξ=∈，则1dim((0))σ−和dim(())n P σ分别为（ ）

(A) ,r n r −； (B) ,r r ； (C) ,n r r −； (D) ,n r n r −−.

5. 对于任意一个n 级实对称矩阵A ，则（ ）

(A) A 的特征值的绝对值等于1; (B) A 有n 个不同的特征值;

(C) A 的任意n 个线性无关的特征向量两两正交; (D) 存在正交矩阵T ，使1T AT T AT −′=为对角形矩阵. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）

6. 设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123,,εεε到 基231,,εεε的过渡矩阵T ＝ ，而α在基321,,εεε下的坐标是 .

7.已知α是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,...,),1,2,...,}n i W a x x x P i n =∈= 是1n P +的一个子空间，则α＝ ，而dim()W _________.

8. 在欧氏空间4R 中，已知(2,1,3,2),(1,2,2,1)αβ==−，则α= ，α与β的夹角为_________.

9. 如果1V , 2V 是线性空间V 的两个子空间, 且()1dim 3V =, ()2dim 2V =,

()12dim 4V V +=,那么()12dim V V ∩为________